高考数学典型例题讲解 学生 6.26
高考数学典型例题讲解
题型一：三角函数的恒等变化 一、常用公式：
1.和差角公式
=+)sin(b a =-)sin(b a =+)cos(b a =-)cos(b a =+)tan(b a =+)tan(b a
2.二倍角公式：(含万能公式)
=a 2sin =a 2sin
=a 2cos =a 2cos
=a 2tan
3.半角公式：（符号的选择由
2
θ
所在的象限确定） =2sin 2
a
=2cos 2
a
=
+a cos 1
2.三角函数的图像
例1．已知函数()4sin cos 3f x x x π??
=+
+ ??
?
（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）求函数()f x 在区间,46ππ??
-???
?上的值域和取得最大值时相应的x 的值.
例2．已知函数22()cos sin cos f x x x x x =+- （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递减区间.
题型二：解任意三角形 一、常用公式
1.正、余弦定理：在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1
2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .
3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：
4.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C
2. 5.三角形中的射影定理
在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 6.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.
例1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin 2sin 0A A -=.
（1）求角A 的大小；
（2）若2b =，且sin 2sin B C =，求a .
例2．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．
变式练习1．已知ABC ?的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，(sin ,n B =
sin )A ，(2,2)p b a =--.
（1）若//m n ，求证：ABC ?为等腰三角形； （2）若m p ⊥，边长2c =，角π
3
C =，求ABC ?的面积.
题型三：平面向量
[明晰考情] 1.命题角度：向量常与三角函数、不等式、解析几何等知识交汇命题，综合考查向量的有关知
识，一般以选择、填空题的形式考查.2.题目难度：中低档难度． 考点一 平面向量的线性运算
要点重组 (1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘． 1.平面向量的数量积
(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则
(1)a ∥b ?a ＝λb (b ≠0)?x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ?a·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.利用数量积求长度
(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2.
(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →
|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4.利用数量积求夹角
若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b
|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22 .
5.三角形“四心”向量形式的充要条件
设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心?|OA →|＝|OB →|＝|OC →
|＝a
2sin A
. (2)O 为△ABC 的重心?OA →＋OB →＋OC →
＝0. (3)O 为△ABC 的垂心?OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →
. (4)O 为△ABC 的内心?aOA →＋bOB →＋cOC →
＝0. (2)共线向量定理． (3)平面向量基本定理．
方法技巧 (1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减．
(2)已知O 为平面上任意一点，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在s ，t ，使得OC →＝sOA →＋tOB →
，且s ＋t ＝1，s ，t ∈R .
(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决． 例题讲解
1．(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →
等于( )
A.34AB →－14AC →
B.14AB →－34AC →
C.34AB →＋14AC →
D.14AB →＋34
AC → 2.如图，在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →
，则实数m
的值为( )
A.1
9 B.13 C ．1 D ．3
3.如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →
，则λ＋μ等于( )
A ．2 B.83 C.65 D.8
5
4．已知AB ，DC 为梯形ABCD 的两腰，若AD →＝(－1,3)，BC →
＝(1－x ，2x )，则x ＝_____.
5．在△ABC 中，点M 是线段BC 延长线上一点，且满足BM ＝3CM ，若AM →＝xAB →＋yAC →
，则x －y ＝________.
考点二 平面向量的数量积 要点重组 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)|a |2＝a ·a ；cos θ＝
a ·b
|a ||b |
. 方法技巧 (1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法． (2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法．
6．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( ) A ．－311 B ．－113 C.12 D.35
7．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →
)的最小值是( ) A ．－2
B ．－32
C ．－43
D ．－1
8．已知向量BA →＝????12，32，BC →
＝????32，12，则∠ABC 等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
9．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．
10．在平面内，AB →·AC →＝BA →·BC →＝CA →·CB →＝6，动点P ，M 满足|AP →|＝2，PM →＝MC →，则|BM →
|2的最大值是________．
考点三 平面向量的综合应用
方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题． (2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题． 11．(2018·温州模拟)如图已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交BC 于Q ，交AC 于P ，若|AB →|＝1，|AC →
|＝2，则AP →·BC →
的值为( )
A ．3 B.32 C. 3 D.3
2
12．如图，半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝120°，P 是弧AB 上的一点，且满足OP ⊥OB, M ，N 分别是线段OA ，OB 上的动点，则PM →·PN →
的最大值为( )
A.22
B.32
C ．1 D.2
13．如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE → ＝xAB →＋yAC →
，则1x ＋4y
的最小值为( )
A.32 B ．2 C.52
D.92
14．设数列{x n }的各项都为正数且x 1＝1.△ABC 内的点P n (n ∈N *)均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为2∶1，若P n A →＋12x n ＋1·P n B →＋(2x n ＋1)P n C →
＝0，则x 4的值为( )
A ．15
B ．17
C ．29
D ．31
15．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1, CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →
|的最小值为
32
，则|CO →
|的最小值为________．
题型四：数列 一、常用知识点
1.等差数列及其前n 项和
1． 等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2． 等差数列的通项公式
如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝ 3． 等差中项
如果A ＝a ＋b
2，那么A 叫作a 与b 的等差中项．
4． 等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N ＋)．
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则 (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列． 5． 等差数列的前n 项和公式
设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n = = 6． 等差数列的前n 项和公式与函数的关系
S n ＝d
2
n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7． 等差数列的前n 项和的最值
在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最值．
二、等比数列及其前n 项和
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等
比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝ 3．等比中项
若G 2＝a ·b (ab ≠0)，那么G 为a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n
－m
，(n ，m ∈N ＋)．
(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则
(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，????
??1a n ，{a 2n }，{a n ·b n
}，????
??
a n b
n 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n= ，
6．等比数列前n 项和的性质
公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列， 其公比为q n .
7.常见的裂项公式： ①1n (n ＋1)＝ ； ②1
n (n ＋k )＝ ；
③1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)； ④1n ＋n ＋k ＝1
k
(n ＋k －n )．
例1．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ． （△）求n a 及n S ；
（△）令21
1
n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T ．
例2．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，
22b =，q d =，10100S =．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）当1>d 时，记n
n n
a c
b =，求数列{}n
c 的前n 项和n T ．
例3．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． △1△求数列{}n a 的通项公式； △2△设2
2
n a n b n -=+，求12310b b b b +++???+的值．
题型五：立体几何
例1．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.
（△）证明： BC 1//平面A 1CD;
（△）设AA 1= AC=CB=2，，求三棱锥C 一A 1DE 的体积.
例2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE AB ∥.
（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）若1==PA AB ，3AD =，CD =，45CDA ∠=?，求四棱锥P ABCD -的体积.
例3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，
为AD 中点，M 是棱PC 上的点，
．
（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ； （2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面
．
例4．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，
PA AD
⊥，E和F分别是CD和PC的中点.
求证：（1）PA⊥底面ABCD；
BE平面PAD；
（2）//
（3）平面BEF⊥平面PCD.
题型六：统计案例分析
例1．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg△, 其频率分布直方图如下：
△1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；
△2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
△3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。 附：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
变式1．某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案①：规定每日底薪50元，
快递业务每完成一单提成3元；方案②：规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元.该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)25,35，[)35,45，[)45,55，[)55,65，[)65,75，[)75,85，[]85,95七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；
（2）若骑手甲、乙选择了日工资方案①，丙、丁选择了日工资方案②.现从上述4名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案①的概率；
（3）若从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）
2.回归直线方程与散点图
1. 求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行： 第一步，计算平均数
第二步，求和
第三步，计算
第四步，写出回归方程
例1 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨）与相应的生产能耗y （吨）标准煤的几组对
照数据.
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程=x +； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
例2.某企业上半年产品产量与单位成本资料如下： ；，y x ；
，∑∑==n
i i n
i i i x y x 1
2
1
;)()
)((1
2
2
1
1
2
1
x b y a x
n x y
x n y
x x x y y x x
b n i i n
i i
i n
i i n
i i i
-=--=
---=
∑∑∑∑====，.a bx y +=∧
y
?b ?a ?
《二次根式》典型例题和练习题
《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例１】下列各式 其中是二次根式的是＿_＿_＿＿_＿_（填序号). 举一反三: １、下列各式中,一定是二次根式的是( ） A B C D 2__＿＿__个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .［来源:学*科＊网Z*X*X*K ］ 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ) A 、x ＞3 ??B 、ｘ≥３ C 、 x>4 ??Ｄ 、x ≥３且x ≠４ 有意义的ｘ的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 Ｃ、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y ＝5-x +x -5+2009，则x+y ＝ 举一反三： 2 ()x y =+,则x -ｙ的值为( )
A ．-1 B ．1 Ｃ.2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且ｙ＝4x 233x 2+-+-,求x ｙ的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是ａ,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y,求y x 1 2+ 的值． 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 ２、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A ．３ ? B ．– ３? C.1? Ｄ．– 1 ３、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜ｘ2－4｜+652+-y y =０，则第三边长为＿__＿＿＿. ４、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 （公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、０ Ｃ、2a —4 D 、4
人教版八年级数学下册二次根式典型例题讲解+练习及答案(提高).doc
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 二次根式（提高） 责编：常春芳 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进 行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、 ； 2.； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）. 2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1）a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值. 2）a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1．当x 是__________时， +在实数范围内有意义？ 【答案】 x ≥- 且x ≠-1 【解析】依题意，得23010≥①≠②x x +??+?
由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三： 【变式】（2015?随州）若代数式11x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1 【答案】D 提示：∵代数式 +有意义， ∴， 解得x ≥0且x ≠1． 类型二、二次根式的性质 2.根据下列条件，求字母x 的取值范围： (1) ； (2). 【答案与解析】(1) (2) 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三： 【：二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】 【变式】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）y=x -－1 1+x ,___________________；（2）y=222+-x x ，______________________； 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥，≤且 （2）22 22(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数. 3. （2016?潍坊）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |+ 的结果是（ ） A ．﹣2a +b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 【思路点拨】直接利用数轴上a ，b 的位置，进而得出a ＜0，a ﹣b ＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
高考数学大题经典习题
1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 （1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围； （2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立， 而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1． 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f .
初三数学二次根式经典习题
二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1 213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若 1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< ?0 ③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 . 中考数学经典题例（一）及解答 1、（2010年北京市）24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = - 4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。 (1) 求点B 的坐标； (2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的 垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动 时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求 OP 的长； 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1 点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒 2个单位(当Q 点到达O 点时停止 运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分 别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。 【解答】 24. 解：(1) ∵拋物线y = -4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2经过原点，∴m 2-3m +2=0，解得m 1=1，m 2=2， 由题意知m ≠1，∴m =2，∴拋物线的解析式为y = -41x 2+2 5 x ，∵点B (2，n )在拋物线 y = -41x 2+2 5 x 上，∴n =4，∴B 点的坐标为(2，4)。 (2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ，求得直线OB 的解析式为 y =2x ，∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的 坐标为(10，0)，设P 点的坐标为(a ，0)，则E 点的坐标为 (a ，2a )，根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1。可求 得点C 的坐标为(3a ，2a )，由C 点在拋物线上，得 2a = -41?(3a )2+25?3a ，即49a 2-211a =0，解得a 1=9 22，a 2=0 (舍去)，∴OP =9 22 。 依题意作等腰直角三角形QMN ，设直线AB 的解析式为y =k 2x +b ，由点A (10，0)， 点B (2，4)，求得直线AB 的解析式为y = -2 1 x +5，当P 点运动到t 秒时，两个等腰 直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况： 第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ 为等腰直角三 角形。此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。∴PQ =DP =4t ， ∴t +4t +2t =10，∴t =7 10 。 第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM 为等腰直角三 角形。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴OQ =10-2t ，∵F 点在 第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54 人教版初中数学二次根式经典测试题及答案 一、选择题 1．下列各式中，不能化简的二次根式是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 【分析】 A 、 B 选项的被开方数中含有分母或小数；D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数9；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有 C 选项符合最简二次根式的要求． 【详解】 解：A =，被开方数含有分母，不是最简二次根式； B = ，被开方数含有小数，不是最简二次根式； D =，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 所以，这三个选项都不是最简二次根式． 故选：C ． 【点睛】 在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 2．下列各式计算正确的是（ ） A 1082 ==-= B ． ()() 236= =-?-= C 115236==+= D ．54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断． 【详解】 解：A 、原式，所以A 选项错误； B 、原式=49?=49?=2×3=6，所以B 选项错误； C 、原式=1336=136 ，所以C 选项错误； D 、原式255164=- =-，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋2(a b )-的结果是（ ） A ．2a+b B ．-2a+b C ．b D ．2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简． 【详解】 解：由数轴可知：0a <，0b >， ∴0a b -<， ∴()()22a a b a b a a b -=-+-=-+， 故选：B ． 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键． 4．已知实数a 满足20062007a a a --=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值． 【详解】 ∵a-2007≥0， 《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式，则一定有a ≥0；当a ≥0时，必有a ≥0； 2、当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，因此有 ()a a =2；反过来，也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式； 3、()2a 表示a 2的算术平方根，因此有a a =2，a 可以是任意实数； 4、区别()a a =2和a a =2 的不同： ( 2a 中的可以取任意实数，()2a 中的a 只能是一个非负数，否则a 无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若m ＜0，则将负号留在根号外．即： x m x m 2-=(m ＜0)． （2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 6、二次根式的比较： （1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算[高考数学]高考数学函数典型例题
中考数学经典题例(一)及解答
二次根式知识点及典型例题练习
人教版初中数学二次根式经典测试题及答案
《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)
- 人教版八年级数学下册二次根式典型例题讲解+练习及答案(基础).doc
- 《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)
- 初中数学二次根式经典题型与典型例题讲解及答案解析
- 二次根式知识点及典型例题
- 二次根式知识点总结对应典型例题讲解-可用于提高培优
- 初中数学二次根式经典测试题及答案
- 人教版初中数学二次根式经典测试题及答案
- 数学二次根式知识点-+典型题及解析
- 二次根式知识点及典型例题
- 最新21二次根式知识点+典型例题+习题
- 二次根式知识点及典型例题练习
- 人教版九年级上册二次根式典型例题
- 二次根式典型例题(较好)
- 第十六章 二次根式知识点及典型例题知识讲解
- (完整版)二次根式训练经典题目汇总
- 二次根式 基础知识详解+基本典型例题解析
- 二次根式(基础-基础知识与例题)
- 二次根式的运算(提高)知识讲解
- 二次根式知识点典型例题习题
- 二次根式重点题型解析及答案,二次根式经典例题以及答案解析