(完整版)高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案,推荐文档
函数与方程
【知识梳理】
1、函数零点的定义
（1）对于函数y =f (x) ，我们把方程 f (x) = 0 的实数根叫做函数y =f (x) 的零点。（2）方程f (x) = 0 有实根?函数y =f (x) 的图像与 x 轴有交点?函数y =f (x) 有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f (x) = 0 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程 f (x) = 0 ，所得实数根就是
f (x) 的零点
（3）变号零点与不变号零点
左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 f (x) 的变号零①若函数 f (x) 在零点x
点。
左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 f (x) 的不变号②若函数 f (x) 在零点x
零点。
③若函数 f (x) 在区间[a, b]上的图像是一条连续的曲线，则 f (a) f (b) < 0 是 f (x) 在区间(a, b)内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数y =f (x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，
并且有f (a) ?f (b) < 0 ，那么，函数y =f (x) 在区间(a, b)内有零点，即存在x0∈ (a,b) ，使
得f (x
) = 0 ，这个x0也就是方程f (x) = 0 的根。
（2）函数y =f (x) 零点个数（或方程f (x) = 0 实数根的个数）确定方法
① 代数法：函数y =f (x) 的零点?f (x) = 0 的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系
起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定
?> 0 ?y =f (x) 有2 个零点? f (x) = 0 有两个不等实根；
?= 0 ?y =f (x) 有1 个零点? f (x) = 0 有两个相等实根；
?< 0 ?y =f (x) 无零点? f (x) = 0 无实根；对于二次函数在区间[a,b]上的零点个数，要结合图像进行确定.
1、二分法
（1）二分法的定义:对于在区间[a, b] 上连续不断且f(a)?f(b)<0的函数y=f(x),通过
不断地把函数y =f (x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间[a, b],验证f (a) ?f (b) < 0 ,给定精确度;
②求区间(a, b) 的中点c ;
③计算 f (c) ;
(ⅰ)若 f (c) = 0 ,则c 就是函数的零点;
(ⅱ) 若 f (a) ?f (c) < 0 ,则令b =c (此时零点x0∈(a, c) );
(ⅲ) 若 f (c) ?f (b) < 0 ,则令a =c (此时零点x
∈(c, b) );
④判断是否达到精确度,即a-b<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②
至④步.
【经典例题】
1．函数 f (x)=2x +x3 - 2 在区间(0,1) 内的零点个数是（）
A、0
B、1
C、2
D、3
2．函数f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是
A、(－2，－1)
B、(－1,0) ( )
C、(0,1)
x , ] ( ) ( )
4 2 D 、(1,2)
3．若函数 f (x ) = a x
- x - a ( a > 0 且
a ≠ 1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .
4．设函数 f (x ) (x ∈ R ) 满足 f ( -x )=f (x )，f (x )=f (2 - x )，且当 x ∈[0,1] 时，f (x ) =x 3.又函数 g (x )= |x cos (x )|，则函数 h (x )=g (x )-f (x )在[- 1 3
2 2 上的零点个数
为 （ ）
A 、5
B 、6
C 、7
D 、8 5．函数 f (x ) = x cos x 2 在区间[0,4]上的零点个数为
（
）
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
6．函数 f (x ) = - cos x 在[0, +∞) 内 （
）
A 、没有零点
B 、有且仅有一个零点
C 、有且仅有两个零点
D 、有
无穷多个零点
7．对实数 a 和 b ，定义运算“?”：a ?b ＝Error!设函数 f (x )＝(x 2－2)?(x －x 2)，x ∈R ，
若函数 y ＝f (x )－c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是 (
)
－1，3 －1，－3
A 、(－∞，－2]∪
B 、(－∞，－2]∪
1 1 3 1
4 (－1，4) ( ，＋∞) (－1，－4) [ ，＋∞) C 、 ∪ D 、
∪ 4 8．已知函数f （x = log a x + x - b (a ＞0，且 a ≠ 1). 当 2＜a ＜3＜b ＜4 时，函数f （） 的零点 x 0 ∈(n , n +1), n ∈ N * ,则n=
.
9. 求下列函数的零点：
（1） f (x ) = x 3 - 2x 2 - x + 2 ； （2） f (x ) = x - 4
.
x
10. 判断函数 y ＝x 3－x －1 在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点
(精确度 0.1)．
【课堂练习】
1、在下列区间中，函数 f (x ) = e x + 4x - 3 的零点所在的区间为 （ ） A 、(- 1
, 0) B 、 1 C
1 1 D
1 3
(0, ) 4
4
、( , )
4 2
、( , )
2 4
2、若 x 0 是方程lg x + x = 2 的解，则 x 0 属于区间 （ ）
A 、(0,1)
B 、(1,1.25)
C 、(1.25,1.75)
D 、(1.75, 2) 3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )
x 4、函数 f (x )=2 x
+3x 的零点所在的一个区间是
（ ）
A ．（-2,-1）
B 、（-1，0）
C 、（0，1）
D 、（1，2）
5、设函数 f (x )=4sin （2x+1）-x ，则在下列区间中函数 f (x )不存在零点的是 （
）
A 、[-4,-2]
B 、[-2,0]
C 、[0,2]
D 、[2,4]
6、函数 f (x )= - cos x 在[0， + ∞ ﹚内 （
）
A 、没有零点
B 、有且仅有一个零点
C 、有且仅有两个零点
D 、有无穷多个零点
7、若函数 f (x ) 的零点与 g (x ) = 4x + 2x - 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25，则 f (x ) 可以是（ ）
A 、 f (x ) = 4x -1 f (x ) = ln(x - 1 )
2
B 、 f (x ) = (x -1)2
C 、 f (x ) = e x -1
D 、
8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )
A 、 f (x ) = x 3 - 8 f (x ) = -x 2 + 4x +1
B 、 f (x ) = ln x + 3
C 、 f (x ) = x 2 + 2 2x + 2
D 、
9、函数 f(x)=log 2x+2x-1 的零点必落在区间 （
）
A 、? 1 , 1 ?
B 、? 1 , 1 ?
C 、? 1 ?
D 、(1,2)
?
? 8 4 ?
? ? 4 2 ?
,1?
? 2 ?
10、lg x - 1
= 0 有解的区域是
（ ）
x
A 、(0, 1]
B 、(1, 10]
C 、(10, 100]
D 、
(100, + ∞)
11、在下列区间中，函数 f (x ) = e x + 4x - 3 的零点所在的区间为 （ ）
A 、(- 1 , 0) 4
B 、 (01, ) 4
C 、1 (1, ) 4 2
D 、
1 (3, )
2 4
12、函数 f (x ) = x + log 2 x 的零点所在区间为（
）
1
A 、 [0, ]
8
1 1 B 、[ , ]
8 4
1 1 C 、[ , ]
4 2
1 D 、[ ,1]
2
13、设 f (x )= 3x + 3x - 8 ,用二分法求方程3x + 3x - 8 = 0在x ∈ (1,2)内近似解的过程中
得f (1)< 0, f (1.5)> 0, f (1.25)< 0, 则方程的根落在区间（）
A、(1,1.25)
B、(1.25,1.5)
C、(1.5, 2)
D、不能确定
14、设函数 f (x) = 4 sin(2x +1) -x ，则在下列区间中函数 f (x) 不存在零点的是（）
A、[-4, -2]
B、[-2, 0]
C、[0, 2]
D、[2, 4]
?x2 + 2x - 3, x ≤ 0
15、函数 f (x) =?
-2 + ln x, x > 0 ，零点个数为（）A、3 B、2 C、1
D、0 ?
16、若函数 f (x) =x3 +x2 - 2x - 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参
考数据如下：
那么方程x3 +x2 - 2x - 2 = 0 的一个近似根（精确到0.1）为（）
A、1.2
B、1.3
C、1.4
D、1.5
17、方程2-x +x2 = 3 的实数解的个数为.
18、已知函数 f (x) =x2 + (a2 -1)x +a - 2 的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求
实数a 的取值范围。
19、判断函数 f (x) = 4x +x2 -2
x3 在区间[-1,1] 上零点的个数，并说明理由。3
20 、求函数f (x) =x3 + 2x2 - 3x - 6 的一个正数零点(精确度0.1)．
【课后作业】
1、下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )
2、设f (x) = 3x -x2 ，则在下列区间中，使函数f (x) 有零点的区间是( )
A、[0,1]
B、[1,2]
C、[－2，－1]
D、[－1,0]
3、已知 f (x) 唯一的零点在区间(1,3) 、(1,4) 、(1,5) 内，那么下面命题错误的（
）
A 、函数 f (x ) 在(1, 2) 或[2, 3)内有零点
B 、函数 f (x ) 在(3, 5) 内无零点
C 、函数 f (x ) 在(2, 5) 内有零点
D 、函数 f (x ) 在(2, 4) 内不一定有
零点
4、若函数 f (x ) = x 3 - 3x + a 有 3 个不同的零点,则实数a 的取值范围是
（
） A 、(-2, 2)
B 、[-2, 2]
C 、(-∞, -1)
D 、(1, +∞) 5、函数 f (x ) = x + ln x 的零点所在的区间为
（
）
A 、（－1，0）
B 、（0，1）
C 、（1，2）
D 、（1，e ）
6、求函数 f (x ) = 2x 3 - 3x + 1 零点的个数为
（ ）
A 、1
B 、 2
C 、3
D 、4
7、如果二次函数 y = x 2 + x + m + 3 有两个不同的零点，则m 的取值范围是 （
） A 、 11
B 、(-∞ 11
C 、(-∞ 11
( , +∞)
, )
, )
4 2 4 D 、 11
( , +∞)
2
8、方程lg x - x = 0 根的个数为 （ ）
A 、无穷多f(3)
B 、3
C 、1
D 、0
9、用二分法求方程 f (x ) = 0 在(1,2)内近似解的过程中得
f (1) < 0, f (1.5) > 0, f (1.25) < 0 f(1)<0，则方程的根在区间 ( ) A 、(1.25,1.5) B 、(1,1.25) C 、(1.5,2) D 、不能 确定
1
10、设函数 f(x)1＝3x －lnx(x ＞0)，则 y ＝f(x) ( ) 1
A 、在区间(e ，1)，(1，e)内均有零点
B 、在区间(e ，1
)
，(1，e)内均无
零点
1 1
C 、在区间(e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
D 、在区间(e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
11、设函数 f (x ) = ln x - 1
x 2 +1(x > 0) ，则函数 y = 2
f (x ) (
)
A 、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点
B 、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点
C 、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点
D 、在区间(0,1)内无零点，在区间
(1,2)内有零点
12、用二分法研究函数 f (x ) = x 3 + 3x -1的零点时，第一次经计算 f (0) < 0，f (0.5) > 0 ， 可得其中一个零点 x 0 ∈ ， 第二次应计算 . 以上横线上应填的
内容为
( )
A 、（0，0.5）， f (0.25)
B 、（0，1）， f (0.25)
C 、（0.5，1）， f (0.75)
D 、（0，0.5）， f (0.125)
13、函数 f (x ) = 2 x + x 3 - 2 在区间(0,1)内的零点个数是 （
）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
14、（已知函数 f (x ) = log a x + x - b (a > 0, 且a ≠ 1).当2 < a < 3 < 4 是，函数 f (x ) 的零点
x 0 ∈(n , n +1), n ∈ N *, 则 n= .
15、用二分法求函数 y = f (x ) 在区间(2,4)上的近似解，验证 f(2)·f(4)<0，给定精确
2＋4
度 ε＝0.01，取区间(2,4)的中点 x 1＝ 点 x 0∈ ．
2 ＝3，计算得 f(2)·
f(x 1)<0，则此时零 16、已知函数 f (x )＝Error!若函数 g (x )＝ f (x )－m 有 3 个零点，则实数 m 的取值
范围是 ． 17、函数 f (x ) = x 2 - 5x + 6 的零点组成的集合是
.
18、用“二分法”求方程 x 3 - 2x - 5 = 0 在区间[2, 3] 内的实根，取区间中点为
x 0 = 2.5 ，那么下一个有根的区间是
19、函数 f (x ) = ln x - x + 2 的零点个数为
.
20、证明方程 6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度 0.1)．
函数与方程
【考纲说明】
2、了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个
数。
3、能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。
【知识梳理】
1、函数零点的定义
（1）对于函数y =f (x) ，我们把方程 f (x) = 0 的实数根叫做函数y =f (x) 的零点。（2）方程f (x) = 0 有实根?函数y =f (x) 的图像与 x 轴有交点?函数y =f (x) 有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f (x) = 0 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程 f (x) = 0 ，所得实数根就是
f (x) 的零点
（3）变号零点与不变号零点
①若函数 f (x) 在零点x
左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 f (x) 的变号零
点。
左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 f (x) 的不变号②若函数 f (x) 在零点x
零点。
③若函数 f (x) 在区间[a, b]上的图像是一条连续的曲线，则 f (a) f (b) < 0 是 f (x) 在区间(a, b)内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数y =f (x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，
并且有 f (a) ?f (b) < 0 ，那么，函数y =f (x) 在区间(a, b)内有零点，即存在x0∈ (a,b) ，使
得 f (x
) = 0 ，这个x0也就是方程 f (x) = 0 的根。
（2）函数y =f (x) 零点个数（或方程f (x) = 0 实数根的个数）确定方法
① 代数法：函数y =f (x) 的零点?f (x) = 0 的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系
起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定
?> 0 ?y =f (x) 有2 个零点? f (x) = 0 有两个不等实根；
?= 0 ?y =f (x) 有1 个零点? f (x) = 0 有两个相等实根；
?< 0 ?y =f (x) 无零点? f (x) = 0 无实根；对于二次函数在区间[a,b]上的零点个数，要结合图像进行确定.
4、二分法
（1）二分法的定义:对于在区间[a, b] 上连续不断且f(a)?f(b)<0的函数y=f(x),通过
不断地把函数y =f (x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间[a, b],验证f (a) ?f (b) < 0 ,给定精确度;
②求区间(a, b) 的中点c ;
③计算 f (c) ;
(ⅰ)若 f (c) = 0 ,则c 就是函数的零点;
(ⅱ) 若 f (a) ?f (c) < 0 ,则令b =c (此时零点x0∈(a, c) );
(ⅲ) 若 f (c) ?f (b) < 0 ,则令a =c (此时零点x
∈(c, b) );
④判断是否达到精确度,即a-b<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②
, ] 至④步.
【经典例题】
【例 1】 函数 f (x )=2x +x 3 - 2 在区间(0,1) 内的零点个数是 （
）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
【答案】B
【解析】解法 1：因为 f (0)=1+0 - 2= -1， f (1)=2+23 - 2=8 ，即 f (0) ? f (1)<0 且函数
f (x ) 在(0,1) 内连续不断，故 f (x ) 在(0,1) 内的零点个数是 1.
解法 2：设 1y =2x ， 2 y =2 - x 3 ，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知 B 正确.
【例 2】 函数 f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是
(
)
A 、(－2，－1)
B 、(－1,0)
C 、(0,1)
D 、(1,2) 【答案】B
5
【解析】∵ f (－1)＝2－1＋3×(－1)＝－2<0，
f (0)＝20＋0＝1>0，
∴ f (－1) f (0)<0.
∴ f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间为(－1,0)．
【例 3】若函数 f (x ) = a x
- x - a 【答案】（1，+ ∞）
【解析】 函数 f (x ) = a x - x - a ( a > 0 且
a ≠ 1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .
( a > 0 且 a ≠ 1)有两个零点， 方程a x
- x - a = 0 有两个不相等
的实数根，即两个函数 y = a x
与 y = x + a 的图像有两个不同的交点，当0 < a < 1 时，两个函数的
图像有且仅有一个交点，不合题意；当 a > 1 时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.
【例 4】设函数 f (x ) (x ∈ R ) 满足 f ( -x )=f (x )，f (x )=f (2 - x )，且当 x ∈[0,1] 时，
f (x )=x 3.又函数
g (x )= |x cos (x )|，则函数
h (x )=g (x )-f (x )在[- 1 3
2 2
上的零点
个数为 （ ）
x x x x x x 2 x
x [1 ] [ , A 、5
B 、6
C 、7
D 、8
【答案】B
【解析】因为当 x ∈[0,1] 时，f (x )=x 3.
所以当 x ∈[1, 2] 时， (2 - x ) ∈[0,1] ，
f (x ) = f (2 - x ) = (2 - x )3 ，
1
1 3
当x ∈ [0, ]时， g (x ) = x cos(
x ) ；当 x ∈ [ , ] 时， g (x ) = -x cos(
x ) ，注意到函数
2
2 2
f (x )、
g (x )都是偶函数，且 f (0)= g (0)， f (1)= g (1)， g ( 1 ) = g ( 3
) = 0 ，作出
2
2
函数 f (x )、 g (x )的大致图象，函数 h (x )除了 0、1 这两个零点之外，分别在区间[- 1
, 0]、[ 1 ] [ 1
, 1]、 3
上各有一个零点，共有 6 个零点，故选 B 0, 、 ,
2
2 2
2
【例 5】函数 f (x ) = x cos x 2 在区间[0,4]上的零点个数为
（ ） A 、4 B 、5 C 、6
D 、7
【答案】C
π
【解析】：f(x)=0，则 x=0 或 cosx 2=0，x 2=kπ+ 2 ,k∈Z ，又 x∈[0,4]， k=0,1,2,3,4，所以共有 6 个解．选 C ．
【例 6】函数 f (x ) = - cos x 在[0, +∞) 内
（ ）
A 、没有零点
B 、有且仅有一个零点
C 、有且仅有两个零点
D 、有
无穷多个零点 【答案】B
【解析】解法一：数形结合法，令 f (x ) = - cos x = 0 ，则 = cos x ，设函数
y = 和 y = cos x ，它们在[0, +∞) 的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且
只有一个，所以函数 f (x ) = - cos x 在[0, +∞) 内有且仅有一个零点；
解法二：在 x ∈
+∞) 上， 2
> 1 ， cos x ≤ 1 ，所以 f (x ) = - cos x > 0 ；
在x ∈ (0, ] ， f '(x ) = 2 1 + sin x > 0 ，所以函数 f (x ) = - cos x 是增函数，又因为
x
2
x f ( ) A 0
f (0) = -1， 2 = > 0 ，所以 f (x ) = - cos x 在 x ∈
[0, ] 2 上有且只有一个零
点．
【例 7】对实数 a 和 b ，定义运算“?”：a ?b ＝Error!设函数 f (x )＝(x 2－2)?(x －x 2)， x ∈R ，若函数 y ＝f (x )－c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围
是 ( )
－1，3 －1，－3
2
1 1 3 1 4 C 、(－1，4)∪(4，＋∞) 【答案】B
【解析】f (x )＝Error! ＝Error!
则 f (x )的图象如图
D 、
(－1，－4)∪[4，＋∞) ∵ y ＝f (x )－c 的图象与 x 轴恰有两个公共点， ∴ y ＝f (x )与 y ＝c 的图象恰有两个公共点，
3
由图象知 c ≤－2，或－1 【例 8】已知函数f （） = log a x + x - b (a ＞0，且 a ≠ 1). 当 2＜a ＜3＜b ＜4 时，函数 f （） 的零点 x 0 ∈(n , n +1), n ∈ N *,则n= . 【答案】5 【解析】方程log a x + x - b (a ＞0，且 a ≠ 1) =0 的根为 x ,即函数 y = log a x (2 < a < 3) 的 图象与函数 y = x - b (3 < b < 4) 的交点横坐标为 x ,且 x ∈(n , n +1), n ∈ N * ,结合图象, 因为当 x = a (2 < a < 3) 时, y = 1,此时对应直线上 y = 1的点的横坐标 x = 1+ b ∈(4, 5) ; 当 y = 2 时, 对数函数 y = log a x (2 < a < 3) 的图象上点的横坐标 x ∈(4, 9) ,直线 y = x - b (3 < b < 4) 的图象上点的横坐标 x ∈(5, 6) ,故所求的n = 5 . 【例 9】求下列函数的零点： （1） f (x ) = x 3 - 2x 2 - x + 2 ； （2） f (x ) = x - 4 . x 【答案】（1）2,1，-1.（2）2，-2. x 【解析】（1）由 x 3 - 2x 2 - x + 2 = 0, 故函数的零点是 2，1，-1. （2）由得- 4 = 0, x 2 - 4 = 0, x x 故函数的零点是 2，-2. 【例 10】判断函数 y ＝x 3－x －1 在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度 0.1)． 【答案】1.312 5 【解析】 因为 f (1)＝－1<0，f (1.5)＝0.875>0，且函数 y ＝x 3－x －1 的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下： 由于|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1， 所以函数的一个近似零点为 1.312 5. 【课堂练习】 1、在下列区间中，函数 f (x ) = e x + 4x - 3 的零点所在的区间为 （ ） A 、(- 1 , 0) B 、 1 C 1 1 D 1 3 (0, ) 4 4 、( , ) 4 2 、( , ) 2 4 2、若 x 0 是方程lg x + x = 2 的解，则 x 0 属于区间 （ ） A 、(0,1) B 、(1,1.25) C 、(1.25,1.75) D 、(1.75, 2) 3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( ) 4、函数 f (x )=2 x +3x 的零点所在的一个区间是 （ ） A ．（-2,-1） B 、（-1，0） C 、（0，1） D 、（1，2） 5、设函数 f (x )=4sin （2x+1）-x ，则在下列区间中函数 f (x )不存在零点的是 （ ） A 、[-4,-2] B 、[-2,0] C 、[0,2] D 、[2,4] 6、函数 f (x )= - cos x 在[0， + ∞ ﹚内 （ ） A 、没有零点 B 、有且仅有一个零点 C 、有且仅有两个零点 D 、有 无穷多个零点 7、若函数 f (x ) 的零点与 g (x ) = 4x + 2x - 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25，则 f (x ) 可以是（ ） A 、 f (x ) = 4x -1 f (x ) = ln(x - 1 ) 2 B 、 f (x ) = (x -1)2 C 、 f (x ) = e x -1 D 、 8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( ) A 、 f (x ) = x 3 - 8 f (x ) = -x 2 + 4x +1 B 、 f (x ) = ln x + 3 C 、 f (x ) = x 2 + 2 2x + 2 D 、 9、函数 f(x)=log 2x+2x-1 的零点必落在区间 （ ） A 、? 1 , 1 ? B 、? 1 , 1 ? C 、? 1 ? D 、(1,2) ? ? 8 4 ? ? ? 4 2 ? ,1? ? 2 ? 10、lg x - 1 = 0 有解的区域是 （ ） x A 、(0, 1] B 、(1, 10] C 、(10, 100] D 、 (100, + ∞) 11、在下列区间中，函数 f (x ) = e x + 4x - 3 的零点所在的区间为 （ ） A 、(- 1 , 0) 4 B 、 (01, ) 4 C 、1 (1, ) 4 2 D 、 1 (3, ) 2 4 12、函数 f (x ) = x + log 2 x 的零点所在区间为（ ） 1 A 、 [0, ] 8 1 1 B 、[ , ] 8 4 1 1 C 、[ , ] 4 2 1 D 、[ ,1] 2 13、设 f (x )= 3x + 3x - 8 ,用二分法求方程3x + 3x - 8 = 0在x ∈ (1,2)内近似解的过程中得 f (1)< 0, f (1.5)> 0, f (1.25)< 0, 则方程的根落在区间（ ） A 、(1,1.25) B 、(1.25,1.5) C 、(1.5, 2) D 、不能确定 14、设函数 f (x ) = 4 sin(2x +1) - x ，则在下列区间中函数 f (x ) 不存在零点的是（ ） A 、[-4, -2] B 、 [-2, 0] C 、[0, 2] D 、[2, 4] ?x 2 + 2x - 3, x ≤ 0 15、函数 f (x ) = ?-2 + ln x , x > 0 ， 零点个数为（ ）A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 ? 16、若函数 f (x) =x3 +x2 - 2x - 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参 考数据如下： 那么方程x3 +x2 - 2x - 2 = 0 的一个近似根（精确到0.1）为（） A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5 17、方程2-x +x2 = 3 的实数解的个数为. 18、已知函数 f (x) =x2 + (a2 -1)x +a - 2 的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求 实数a 的取值范围。 19、判断函数 f (x) = 4x +x2 -2 x3 在区间[-1,1] 上零点的个数，并说明理由。3 20 、求函数f (x) =x3 + 2x2 - 3x - 6 的一个正数零点(精确度0.1)． 【课后作业】 1、下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( ) 2、设f (x) = 3x -x2 ，则在下列区间中，使函数f (x) 有零点的区间是( ) A、[0,1] B、[1,2] C、[－2，－1] D、[－1,0] 3、已知 f (x) 唯一的零点在区间(1,3) 、(1,4) 、(1,5) 内，那么下面命题错误的（ ） A、函数f (x) 在(1, 2) 或[2, 3)内有零点 B、函数f (x) 在(3, 5) 内无零点 C、函数f (x) 在(2, 5) 内有零点 D、函数f (x) 在(2, 4) 内不一定有 零点 4、若函数f (x) =x3 - 3x +a 有3 个不同的零点,则实数a 的取值范围是（ ） A、(-2, 2) B、[-2, 2] C、(-∞, -1) D、(1, +∞) 5、函数f (x) =x + ln x 的零点所在的区间为（ ） A 、（－1，0） B 、（0，1） C 、（1，2） D 、（1，e ） 6、求函数 f (x ) = 2x 3 - 3x + 1 零点的个数为 （ ） A 、1 B 、 2 C 、3 D 、4 7、如果二次函数 y = x 2 + x + m + 3 有两个不同的零点，则m 的取值范围是 （ ） A 、 11 B 、(-∞ 11 C 、(-∞ 11 ( , +∞) , ) , ) 4 2 4 D 、 11 ( , +∞) 2 8、方程lg x - x = 0 根的个数为 （ ） A 、无穷多f(3) B 、3 C 、1 D 、0 9、用二分法求方程 f (x ) = 0 在(1,2)内近似解的过程中得 f (1) < 0, f (1.5) > 0, f (1.25) < 0 f(1)<0，则方程的根在区间 ( ) A 、(1.25,1.5) B 、(1,1.25) C 、(1.5,2) D 、不能 确定 1 10、设函数 f(x)1＝3x －lnx(x ＞0)，则 y ＝f(x) ( ) 1 A 、在区间(e ，1)，(1，e)内均有零点 B 、在区间(e ，1)，(1，e)内均无 零点 1 1 C 、在区间(e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D 、在区间(e ，1 ) 内无零点， 在区间(1，e)内有零点 11、设函数 f (x ) = ln x - 1 x 2 +1(x > 0) ，则函数 y = 2 f (x ) ( ) A 、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点 B 、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点 C 、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点 D 、在区间(0,1)内无零点，在区间 (1,2)内有零点 12、用二分法研究函数 f (x ) = x 3 + 3x -1的零点时，第一次经计算 f (0) < 0，f (0.5) > 0 ， 可得其中一个零点x0∈，第二次应计算. 以上横线上应填的内容为( ) A、（0，0.5），f(0.25) B、（0，1），f(0.25) C、（0.5，1），f(0.75) D、（0，0.5），f(0.125) 13、函数f (x) = 2 x +x3 - 2 在区间(0,1)内的零点个数是（） A、0 B、1 C、2 D、3 14、（已知函数f (x) = log a x +x -b(a > 0, 且a ≠ 1).当2 x0∈(n, n +1), n ∈N *, 则n= . 15、用二分法求函数y =f (x) 在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确 2＋4 度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝点x0∈．2 ＝3，计算得f(2)·f(x 1)<0，则此时零 16、已知函数f(x)＝Error!若函数g(x)＝f(x)－m 有3 个零点，则实数m 的取值 范围是． 17、函数f (x) =x 2 - 5x + 6 的零点组成的集合是. 18、用“二分法”求方程x3 - 2x - 5 = 0 在区间[2, 3] 内的实根，取区间中点为 x0= 2.5 ，那么下一个有根的区间是 19、函数f (x) = ln x -x + 2 的零点个数为. 20、证明方程6－3x＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)． 函数与方程【参考答案】 【课堂练习】 1-16、CDCBA BACCB CCBABC 17、2 18、解：设方程x2 + (a2 -1)x +a - 2 = 0 的两根分别为x , x (x 1 2 1 2 则(x1-1)(x2-1) < 0 ，所以x1?x2- (x1+x2 ) +1 < 0 由韦达定理得a - 2 + (a2 -1) +1 < 0 ， 即a 2 + a - 2 < 0 ，所以-2 < a < 1 19、解：因为 f (-1)= -4 +1+ 2 = - 7 < 0 ， f (1)= 4 +1- 2 = 13 > 0 3 3 3 3 所以 f (x )在区间[-1,1] 上有零点 9 ? 1 ?2 又 f ' (x )= 4 + 2x - 2x 2 = - 2 x - ? 2 ? 2 ? 当-1 ≤ x ≤ 1时， 0 ≤ f ' (x )≤ 9 2 所以在[-1,1] 上单调递增函数，所以 f (x )在[-1,1] 上有且只有一个零点。 20、解 由于 f (1) = -6 < 0, f (2) = 4 > 0 ，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1， 所以可将 1.687 5 作为函数零点的近似值． 【课后作业】 1-13、BDCAB CCDAD AAB 14、2 15、(2,3) 16、 (0,1) 17、{2, 3} 18、[2, 2.5) 19、2 20、证明 设函数 f (x )＝2x ＋3x －6， ∵f (1)＝－1<0，f (2)＝4>0， 又∵f (x )是增函数，所以函数 f (x )＝2x ＋3x －6 在区间[1,2]内有唯一的零点， 则方程6－3x＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1,2]， 取x1＝1.5，f(1.5)＝1.33>0，f(1)·f(1.5)<0， ∴x0∈(1,1.5)， 取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0， f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)， 取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.445<0， f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)， 取x4＝1.187 5，f(1.187 5)＝－0.16<0， f(1.187 5)·f(1.25)<0， ∴x0∈(1.187 5,1.25)． ∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1， ∴1.187 5 可以作为这个方程的实数解． “” “” At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you! 第五节 函数的图象 ? 基础知识 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换 ①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位 a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→ b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位 y ＝f (x )＋b 的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f (x )整体上加减. (2)对称变换 ①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称 y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1 a 纵坐标不变 01，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0 函数图象变换 1、平移变换（左加右减上加下减）： y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h. 2、对称变换： y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x) 轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点 →y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x); 3、翻折变换： （1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方， 去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4、伸缩变换： y=f(x)ω?→x y=f(ωx ); y=f(x)ω ?→y y=ωf(x). 经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用 例1．函数1 11--=x y 的图象是（ ） 答案B 例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([2 1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（ ） 答案A 例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象： （1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f 例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（ ） 答案B 例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（ ） 答案A 例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )． A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个 解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A 这份资料是全部内容已经完成的一部分， 写中。此资料是必修一函数部分的总结， 同学有所帮助。 路。部分题目仅仅是题目。 的题目，总结这一类题目的思路与方法。活学活用。 第一部分典型例题解析 一、函数部分 一、函数的值域：求函数值域的常用方法有 方法、判别式、换元、分离常数法、方程法）。 1、函数y=的值域是（）。A、[0,+ B、[0,4) C[0,4] D（0,4） 解析：本题是指数函数与幂函数复合， 各自的取值范围。所以本题我们用直接分析法。 [) 40160 0160,4 x x x x ∴∴≥ ≤ Q＞16-4＜；要根号有意义，16-4 综上可知：16-4＜ 2、若函数() y f x =的值域是 1 ,3 2 ?? ?? ?? ，则函 1 ()() () F x f x f x =+的值域是（）。 11051010 .,3.2,.,.3, 23223 A B C D ???????? ???????? ???????? 解析：本题是复合函数求值域，可变 11 (),()(),,3 2 f x t F x F t t t t ?? ===+∈?? ?? 。 方法一：定义求单调区间 21 212121 2112 212112 12 12 12 1212 12 12 11 (),()(),,3,, 2 111 ()()()()(1). 1 011 1 11(1)0 1 1111 1 (1)0 f x t F x g t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ?? ===+∈?? ?? ∴-=+-+=-- -∴? - ? - Q 令＞ ＞，∴＞。当＞时，求得＜ ＜，＜。此时＜，函数递减。 当＜时，求得＞＞，＞。 此时＞，函数递增 [] 1 ,1,1,3.. 2 151010 (),(1)2,(3).()2,. 2233 x x g g g F x ?? ∴∈∈ ?? ?? ?? ∴===∴∈?? ?? 。 时函数递减.时函数递增 学了不等式的话，我们可以由基本不等式求单调 11 0,2, 1. 1 1 ,3 2 t t t t t t t ∴+≥=?= = = 此时 时，函数取得最小值。然后判断 时的函数值即可。 2 34 x y x = - 的值域是（） 44 ,)(,) 33 -∞+∞ U B. 22 (,)(,) 33 -∞+∞ U C.R 24 ,)(,) 33 -∞+∞ U 分离常数法。希望同学自己探究分离常数的方法。 22882 .0,. 3439129123 22 ,, 33 x y x x x =+≠∴≠ --- ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? Q U 24 .(34)2.. 3432 2 320. 3 22 ,, 33 x y y x x x x y y y ?∴-=?= -- ∴-≠?≠ ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? U 2 1 22 x y x x + = ++ 的值域是（）。 11 (,) 22 - B.(11 ,,) 22 ?? -∞-+∞ ?? ?? U C. 11 , 22 ?? -?? ?? ]1,1 - () 2 2 2 2 2 (21)210. 22110, , (21)210 11 =40.,. 22 ) yx y x y x x R y x y b a c y ?+-+-= ++=++≠ ∈ +-+-= ?? -≥∈-?? ?? 方程有意义。 在R上有根。 解得 讨论一元一次方程情况 1 1 (1) 1 y x x = ++ + ，参考例题2两个方法。 R的函数() y f x =的值域为[],a b，则函数 函 数 练 习 题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x = 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数 《函 数》复习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111y x x = +-+ -2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数 1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 223y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 )5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、 ⑵、⑶ C 、 ⑷ D 、 ⑶、⑸ 10、若函数()f x = 3442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 4 3) 11、若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 12、对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） (A) 02x << (B) 0x <或2x > (C) 1x <或3x > (D) 11x -<< 13、函数()f x = ） A 、[2,2]- B 、(2,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞U D 、{2,2}- 14、函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数 《函数》知识要点和基本方法 1.映射定义：设非空集合A,B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射。若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 可建立n m 个映射。 2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B 上的映射f 。此时称数集A 为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x ∈A}为值域，且C ?B 。 3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。 相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。(两点必须同时具备) 4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y 轴上。 5.函数解析式的求法：①配凑法； ②换元法： ③待定系数法； ④赋值法；⑤消元法等。 6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。 7.函数单调性及证明方法: 如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x 1,x 2，当x 1 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 高中数学必修三角函数知 识点与题型总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 三角函数典型考题归类 1．根据解析式研究函数性质 例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84?? ????，上的最小值和最大值． 【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ????? ?=-++++ ? ? ?????? ?． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ? ?=+ ?? ?，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 2．根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）如图，函数π 2cos()(00)2 y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(0，且 该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ?? ??? ，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当0y = 0ππ2x ?? ∈???? ，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2 ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω??? ?=++--∈ ? ???? ?R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交 点间的距离为 π 2 ，求函数()y f x =的单调增区间． （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. § 1.2.1 函数的概念 ¤知识要点： 1. 设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f (x) ， x A ．其中， x 叫自变量， x 的取值范 围 A 叫作定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 . 2. 设 a 、b 是两个实数，且 a 高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 0)()( 函数及其表示 考点一 求定义域的几种情况 ①若ｆ（x)是整式，则函数的定义域是实数集Ｒ； ②若ｆ（x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于０的实数集合； ④若ｆ(ｘ)是对数函数,真数应大于零。 ⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。 ⑥若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; ⑦若f(x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 考点二 映射个数公式 C ａrd(A)=m ，card(B)=ｎ, m,n ∈N * ，则从A 到B 的映射个数为 n m 。简单说成“前指后底”。 方法技巧清单 方法一 函数定义域的求法 2.（2００9江西卷理)函数 2 34 y x x = --+的定义域为? ?? ( ) Ａ．(4,1)-- B ．(4,1)- C.(1,1)- Ｄ.(1,1]- 解析 由2 10 1 1141 340x x x x x x +>>-????-<??.故选C ５.求下列函数的定义域。①y= 22+?-x x .②ｙ＝ () x x x -+12 .③y= x x -+-11 6.已知函数f(x)的定义域为(),51，求函数F （x)=f(3ｘ-1)-ｆ（3ｘ+1)的定义域。 1. 下列各组函数中表示同一函数的是（ )A.y=5 5 x 和 x y 2 = B ．y ＝ｌn e x 和 e x y ln = Ｃ. ()()() ()3131+=-+-= x y x x x y 和 D. x x y y 0 1 = = 和 ２．函数y=f(ｘ)的图像与直线x ＝２的公共点个数为 A. 0个Ｂ． 1个 Ｃ. ０个或1个 D. 不能确定 ３．已知函数y= 22 -x 定义域为{}2,1.0,1-，则其值域为 方法三 分段函数的考察 ⅰ 求分段函数的定义域和值域 ２ｘ+２ x []0,1-∈ 1求函数f(ｘ)= x 2 1- ｘ()2,0∈ 的定义域和值域 3 x [)+∞∈ ,2 函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ． 高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ?? ??0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ??1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ????0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ????1a ＝ln 1a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ??1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性. (2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a ＋a －1<0，则需要构造函数来解. 1函数解析式的特殊求法 例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式 例2 若x x x f 21 (+=+）,求f(x) 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 例5 已知f(x)满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f 2函数值域的特殊求法 例1. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 例2. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域。 例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域 例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。 例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3 )5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(- 例3 已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+- 0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。 （1）求：(2)f 的值； （2）求证：()f x 是R 上的减函数； （3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。 例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }， 2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}， 问是否存在实数,a b ，使得 (1)A B ≠?，(2)(,)a b C ∈同时成立. 证明题高中数学,函数图形考点及题型全归纳
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