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2010届高三数学精品讲练直线和圆的方程

2010届高三数学精品讲练:直线和圆的方程

一、典型例题

例1、已知定点P (6,4)与定直线 1:y=4x ,过P 点的直线 与 1交于第一象限Q 点,与x 轴正半轴交于点M ,求使△OQM 面积最小的直线 方程。

分析:

直线 是过点P 的旋转直线,因此是选其斜率k 作为参数,还是选择点Q (还是M )作为参数是本题关键。

2010届高三数学精品讲练直线和圆的方程

通过比较可以发现,选k 作为参数,运算量稍大,因此选用点参数。 设Q (x 0,4x 0),M (m ,0) ∵ Q ,P ,M 共线 ∴ k PQ =k PM ∴

m

64

x 6x 4400-=--

解之得:1

x x 5m 00

-=

∵ x 0>0,m>0 ∴ x 0-1>0 ∴ 1

x x 10m x 2x 4|OM |21

S 02

000OMQ

-===? 令x 0-1=t ,则t>0

)2t

1

t (10t )1t (10S 2++=+=

≥40 当且仅当t=1,x 0=11时,等号成立 此时Q (11,44),直线 :x+y-10=0

评注:本题通过引入参数,建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式,再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数,在解析几何中,斜率k ,截距b ,角度θ,点的坐标都是常用参数,特别是点参数。

例2、已知△ABC 中,A (2,-1),B (4,3),C (3,-2),求:

(1)BC 边上的高所在直线方程;(2)AB 边中垂线方程;(3)∠A 平分线所在直线方程。

分析: (1)∵ k BC =5

∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=5

1

- ∴ AD 所在直线方程y+1=5

1

-(x-2) 即x+5y+3=0

2010届高三数学精品讲练直线和圆的方程

(2)∵ AB 中点为(3,1),k AB

=2

∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0

(3)设∠A 平分线为AE ,斜率为k ,则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。

∵ k AC =-1,k AB =2 ∴

k

21k

2k 11k +-=

-+ ∴ k 2

+6k-1=0

∴ k=-3-10(舍),k=-3+10

∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0

评注:在求角A 平分线时,必须结合图形对斜率k 进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时,都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE 所在直线方程,设P(x ,y)为直线AE 上任一点,则P 到AB 、AC 距离相等,得2

|

1y x |5

|

5y x 2|-+=

--,化简即可。还可注意到,AB 与AC 关于AE

对称。

例3、(1)求经过点A (5,2),B (3,2),圆心在直线2x-y-3=0上圆方程;

(2)设圆上的点A (2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为22,求圆方程。

分析:

研究圆的问题,既要理解代数方法,熟练运用解方程思想,又要重视几何性质及定义的运用,以降低运算量。总之,要数形结合,拓宽解题思路。 (1)法一:从数的角度

若选用标准式:设圆心P (x ,y ),则由|PA|=|PB|得:(x 0-5)2

+(y 0-2)2

=(x 0-3)2

+(y 0-2)2

又2x 0-y 0-3=0

两方程联立得:???==5y 4x 0

0,|PA|=10

∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2

=10

若选用一般式:设圆方程x 2

+y 2

+Dx+Ey+F=0,则圆心(2

E

,2D --) ∴ ???

?

???=----?=++++=++++0

3)2E

()2D (20F E 2D 3230F E 2D 5252222

解之得:??

?

??=-=-=31F 10E 8

D

法二:从形的角度

AB 为圆的弦,由平几知识知,圆心P 应在AB 中垂线x=4上,则由?

??==--4x 0

3y x 2得圆心P (4,

5)

∴ 半径r=|PA|=10

显然,充分利用平几知识明显降低了计算量 (2)设A 关于直线x+2y=0的对称点为A ’ 由已知AA ’为圆的弦 ∴ AA ’对称轴x+2y=0过圆心 设圆心P (-2a ,a ),半径为R 则R=|PA|=(-2a-2)2

+(a-3)2

又弦长22d R 222-=,2

|

1a a 2|d +--=

∴ 2

)1a 3(2R 22

-+=

∴ 4(a+1)2

+(a-3)2

=2+2

)1a 3(2

-

∴ a=-7或a=-3

当a=-7时,R=52;当a=-3时,R=244

∴ 所求圆方程为(x-6)2

+(y+3)2

=52或(x-14)2

+(y+7)2

=244

例4、已知方程x 2

+y 2

-2(m+3)x+2(1-4m 2

)y+16m 4

+9=0表示一个圆,(1)求实数m 取值范围;(2)求圆半径r 取值范围;(3)求圆心轨迹方程。

分析:

(1)m 满足[-2(m+3)]2

+[2(1-4m 2

)]2

-4(16m 4

+9)>0,即7m 2

-6m-1<0

∴ 1m 7

1

<<-

(3)半径r=7

16

)73m (71m 6m 722+--=++-

∵ 1m 7

1

<<-

∴ 7

3

m =

时,774r max =

∴ 0

77

4

(3)设圆心P (x ,y ),则?

??-=+=1m 4y 3

m x 2

消去m 得:y=4(x-3)2

-1 又1m 71

<<- ∴

4x 7

20

<<

∴ 所求轨迹方程为(x-3)2

=

41(y+1)(4x 7

20<<) 例5、如图,过圆O :x 2

+y 2

=4与y 轴正半轴交点A 作此圆的切线 ,M 为 上任一点,过M 作圆O 的另一条切线,切点为Q ,求△MAQ 垂心P 的轨迹方程。

分析:

从寻找点P 满足的几何条件着手,着眼于平几知识的运用。 连OQ ,则由OQ ⊥MQ ,AP ⊥MQ 得OQ ∥AP

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同理,OA ∥PQ 又OA=OQ ∴ OAPQ 为菱形 ∴ |PA|=|OA|=2

设P(x ,y),Q(x 0,y 0),则???-==2y y x

x 0

又x 02+y 02

=4

∴ x 2

+(y-2)2

=4(x ≠0)

评注:一般说来,当涉及到圆的切线时,总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系;涉及到圆的弦时,常取弦的中点,考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。

同步练习

(一)选择题

1、若直线(m 2

-1)x-y+1-2m=0不过第一象限,则实数m 取值范围是 A 、-1

21 B 、21-≤m ≤1 C 、21

1

≤m ≤1 2、已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为4

π

,则m 值为 A 、 31-

或-3 B 、-3或31 C 、-3或3 D 、3

1

或3 3、点P 在直线x+y-4=0上,O 为原点,则|OP|的最小值是

A 、 2

B 、6

C 、22

D 、10 4、过点A (1,4),且横纵截距的绝对值相等的直线共有

A 、 1条

B 、2条

C 、3条

D 、4条

5、圆x 2

+y 2

-4x+2y+C=0与y 轴交于A 、B 两点,圆心为P ,若∠APB=900

,则C 的值是 A 、 -3 B 、3 C 、22 D 、8

6、若圆(x-3)2

+(y+5)2

=r 2

上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1,则半径r 取值范围是

A 、 (4,6)

B 、[4,6)

C 、(4,6]

D 、[4,6] 7、将直线x+y-1=0绕点(1,0)顺时针旋转2

π后,再向上平移一个单位,此时恰与圆x 2+(y-1)2=R 2

相切,则正数R 等于

A 、 2

1

B 、22

C 、1

D 、2

8、 方程x 2+y 2

+2ax-2ay=0所表示的圆

A 、关于x 轴对称

B 、关于y 轴对称

C 、关于直线x-y=0对称

D 、关于直线x+y=0对称 (二)填空题

9、直线ax+by+c=0与直线dx+ey+c=0的交点为(3,-2),则过点(a ,b ),(d ,e )的直线方程是___________________。

10、已知{(x ,y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x ,y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ,则直线(m+3)x+y= 3m+4与坐标轴围成的三角形面积是__________________。

11、已知x ,y 满足??

?

??≥+-≤-+≥++010y 5x 206y 3x 50

15y 8x 3,则x-y 的最大值为________,最小值为________。

12、过点A (2,1),且在坐标轴截距相等的直线方程是_________________。 13、已知圆:(x-1)2

+y 2

=1,作弦OA ,则OA 中点的轨迹方程是__________________。

(三)解答题

14、已知y=2x 是△ABC 中∠C 平分线所在直线方程,A (-4,2),B (3,1),求点C 坐标,并

判断△ABC 形状。

15、已知n 条直线:x-y+c i =0(i=1,2,…,n ),其中C 1=2,C 1

之间的距离顺次为2,3,4,…,n ,(1)求C n ;(2)求x-y+C n =0与坐标轴围成的三角形面积:(3)求x-y+C n-1=0与x-y+C n =0与x 轴、y 轴围成的图形面积。

16、已知与曲线C :x 2+y 2

-2x-2y+1=0相切的直线 交x 、y 轴于A 、B 两点,O 为原点,|OA|=a ,

|OB|=b ,a>2,b>2,(1)求证:(a-2)(b-2)=2;(2)求线段AB 中点的轨迹方程;(3)求△AOB 面积的最小值。

17、已知两圆x 2

+y 2

=4和x 2

+(y-8)2

=4,(1)若两圆分别在直线y=

2

5

x+b 两侧,求b 取值范围;(2)求过点A (0,5)且和两圆都没有公共点的直线的斜率k 的范围。

18、当0

y-2a 2

-4=0和坐标轴成一个四边形,要使围成的四边形面积最小,a 应取何值?

参考答案

(一)1、D 2、C 3、C 4、C 5、A 6、A 7、B 8、D (二)9、3x-2y+C=0 10、2 11、6,-5 12、x+y=3或x-2y=0

13、41

y )21x (22=+-(x ≠0)

(三)14、C (2,4),∠C=900

15、(1)2

)1n (n 2C n +=

(2)4)1n (n 22+ (3)n 3

16、(1)利用圆心到直线距离等于半径 (2)(x-1)(y-1)=2

1

(x>1,y>1) (3)322+ 17、(1)画图 3≤b ≤5 (2)k ∈(2

5

,25-

1

18、

2