导数与最值
导数与最值
一．求函数最值
1.已知函数x x x x f ln 312)(-+-
=，求)(x f 在区间[1，]上值域。
二．讨论函数最值
1.已知函数()()x f x x k e =-。（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值。
2.已知函数x
a x a x x f -
+-=ln )1()(],1[,e x ∈，求)(x f 的值域
3.设1()(0)x
x
f x ae b a ae =++>。（I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值； （II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =；求,a b 的值。
三、恒成立问题（求参数范围）
例1，1ln )(+=x a x f 在区间恒成立，上，x x f e >)(),1(求实数a 的范围
例2：已知函数1
)(+=x x
xe e x f ，当11)(,002+>>>ax x f a x 时，，求实数a 的取值范围。
例3..已知函数12
3)(23+-=x ax x f ，其中0a >． （Ⅰ）若1a =，求曲线)(x f 在点（)2(,2f ）处的切线方程； （Ⅱ）若在区间]2
1,21[-
上，0)(>x f 恒成立，求a 的取值范围．
四．证明不等式
例1：设函数)(x f =x +ax 2+b ln x ，曲线y =)(x f 过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2. （I ）求a ，b 的值； （II ）证明：)(x f ≤2x -2．
例2..设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R 。 (Ⅰ)求()f x 的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当ln 21a >-且0x >时，2
21x e x ax >-+。
例3.证明;当2102
x x e x x
++>>时，有
例4.已知函数x e x e x f x x
1
2ln )(-+=，证明：1)(>x f
五．函数零点（方程的根）个数问题
例1：已知函数m x x x f +-=2ln 2)(在],1[e e
上有两个零点，求实数m 的取值范围。
例2：设函数)ln 2()(2x x
k x e x f x +-= （1）当0≤k 时，求函数)(x f 的单调区间
（2）若函数)(x f 在（0,2）内存在两个极值点，求k 的取值范围
例3.函数R m x
m x x f ∈+=,ln )( (1)m=e 时，求)(x f 的最小值
(2)讨论3
)()(x x f x g -
'=的零点个数 (3)若对任意的0>>a b ，1)()(<--a b a f b f 恒成立，求m 的范围。
六．应用题
1.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米
/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080
y x x x =-+<≤．已知甲、乙两地相距100千米
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
2.某产品销售量y （单位：千件）与价格x(单位：件）之间的关系为2)6(42
10-+-=x x y ，62< 3.两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065. （1）将y 表示成x 的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂.对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。 4.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x +万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元。 （Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式； （Ⅱ）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点． 5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点． 当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2) 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】 试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当? ??-==114b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所 导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[],x a b ?∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥，那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型） 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是1 1,,e e 之类） ，所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知()f x =R ，求a 的取值范围 思考：① 引入定义域（非R ） ②参数在二次项，就需考虑是否为0 ③引入高次（3次，4次，1 x ，ln x ，x e 等等） ④引入2a ，3a 等项（导致不能分离变量） 【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】 试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为 用导数法求函数的最值的练习题解析 一、选择题 1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 [答案] A [解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A. 2．设f (x )＝14x 4＋13x 3＋1 2x 2在[－1,1]上的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－1 D.1312 [答案] A [解析] y ′＝x 3＋x 2＋x ＝x (x 2＋x ＋1) 令y ′＝0，解得x ＝0. ∴f (－1)＝512，f (0)＝0，f (1)＝13 12 ∴f (x )在[－1,1]上最小值为0.故应选A. 3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.22 27 B ．2 C ．－1 D ．－4 [答案] C [解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝1 3或x ＝－1 当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝22 27；当x ＝1时，y ＝2. 所以函数的最小值为－1，故应选C. 4．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A ．最大值为13，最小值为3 4 B ．最大值为1，最小值为4 C ．最大值为13，最小值为1 D ．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A [解析] ∵y ＝x 2－x ＋1，∴y ′＝2x －1， 令y ′＝0，∴x ＝1 2，f (－3)＝13，f ? ?? ??12＝34，f (0)＝1. 5．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在 [答案] A [解析] y ′＝1 2x －121－x ＝12·1－x －x x ·1－x 由y ′＝0得x ＝1 2，在? ????0，12上y ′>0，在? ????12，1上 y ′<0.∴x ＝1 2时y 极大＝2， 又x ∈(0,1)，∴y max ＝ 2. 6．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 三、知识新授 （一）函数极值的概念 （二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x); （2）解方程f'(x)=0，得方程的根x (可能不止一个） （3）如果在x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x )是 极大值；反之，那么f(x ）是极大值 题型一图像问题 1、函数() f x的导函数图象如下图所示，则函数() f x在图示区间上（） （第二题图） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 2、函数() f x的定义域为开区间() a b ，，导函数() f x '在() a b ，内的图象如图所示，则函数() f x在 开区间() a b ，内有极小值点（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3、若函数2 () f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数() f x '的图象可能为（） D. C. B. A. 4、设() f x '是函数() f x的导函数，() y f x ' =的图象如下图所示，则() y f x =的图象可能是（） C. A. 5、 已知函数 () f x 的导函数 () f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ） -1 1 f '(x ) y x O 6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（ ） 2x O 22D. C. B. A. O x O x x O x y 7、如果函数 () y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（ ） y y y x x x y x D C A x y y=f(x) 利用导数求最值 导数是研究数学和其他自然科学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具，研究导数，有利于对数学的本质和价值的认识。导数的工具性已渗透到数学的很多分支，在函数的研究中得到充分的体现，主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。下面就利用导数求最值作一阐述，供参考。 一、函数的最大值与最小值 在闭区间[b a ,]上连续，在（b a ,）内可导，)(x f 在[b a ,]上求最大值与最小值的步骤：先求 )(x f 在（b a ,）内的极值；再将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 求可导函数极值的步骤： 首先：求导数)('x f ；再求导数)('x f =0的根；最后：检查)('x f 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取极小值。 二、利用导数求最值 例1、设0>x ，求32)1(32 )1(211ln -+--+ x x x x 的最小值。 解：设3 2)1(3 2)1(211ln )(-+--+=x x x x x f ，则 2222)1(2)1()1(1 )1(2)1(11)(-+---=-+---='x x x x x x x x x f ??? ??+--=?? ????-+--=??????-+--=2222212)1()1(21)1()1(211)1(x x x x x x x x x x .1 2)1(23 x x x +-= 令0)(='x f ，由0>x ，解得1=x 。列表： 由表可知，当1=x 时，)(x f 有最小值1。 评注：利用导数求最值，先确定函数的极值是关键，同时，最值通常应在极值及端点处取得。 当函数f （x ）为连续函数且在 [] b a ,上单调时，其最大值、最小值在端点处取得；当连 续函数f （x ）在（a ，b ）内只有一个可疑点时，若在这一点处f （x ）有极大（小）值， 导数在研究函数中的应用 知识梳理 一 函数的单调性 1、利用导数的符号判断函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数； 2、对于可导函数来说，是在某个区间上为增函数的充分非必要条件，是在某个区间上为减函数的充分非必要条件。 3、利用导数判断函数单调性的步骤： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间. 4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 二 函数极大值、极小值 1、极大值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最大值点，即不等式 对一切 成立，就说函数f(x)在处取到极大值，并称为函数f(x)的一个极大值点，为f(x) 的一个极大值。 2、极小值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最小值点，即不等式 对一切 成立，就说函数f(x)在处取到极小值，并称为函数f(x)的一个极小值点，为f(x) 的一个极小值。 3、极大值与极小值统称为极值 ，极大值点与极小值点统称为极值点；若，则叫做函数f(x)的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。 4、判别f (c )是极大、极小值的方法:若满足，且在c 的两侧的导数异号，则c 是的极值点，是极值，并且如果在c 两侧满足“左正右负”，则c 是的极大值点，是极大值；如果在c 两侧满足“左负右正”，则c 是的极小值点，是极小值 5、求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求f(x)的驻点，即求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值 三 函数的最大值和最小值 在区间[a ，b]上连续的函数f 在[a ，b]上必有最大值与最小值。求闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤： )(x f y ='f )(x 0>)(x f 'f 0)( 最大值与最小值 一、基础过关 1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是________，________. 2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________． 3．函数y ＝ln x x 的最大值为________． 4．函数f (x )＝x e x 的最小值为________． 5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a ,2]上的最大值为15 4 ，则a 等于________． 6．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________． 7．求函数f (x )＝1 3x 3－4x ＋4在[0,3]上的最大值与最小值． 二、能力提升 8．函数y ＝4x x 2＋1 的值域为________． 9．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当MN 达到最小时t 的值为________． 10．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值． 12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围． 三、探究与拓展 13．已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间； (2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． 高考数学专题：导数应用-极值最值问题一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点． 5．函数y＝x3 3＋x 2－3x－4在[0,2]上的最小值是() A．－17 3B．－ 10 3 含参导数求最值问题（1—2） 编制人：闵小梅审核人：王志刚 【使用说明及学法指导】 1．完成预习案中的相关问题； 2．尝试完成探究案中合作探究部分，注意书写规范； 3．找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂讨论质疑。 【学习目标】 1．掌握利用导数求函数最值的方法 2．会用导数解决含参函数的综合问题 【预习案】 一、知识梳理 函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二、尝试练习 1．设函数f(x)＝x3－x2 2 －2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实 数a的取值范围是________ (－∞，7 2 ) 2．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0，1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________ [4，＋∞) 【探究案】 一、合作探究： 例1. 设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； 增(0，2)，减(2，2) (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值． a ＝12 二、拓展探究： 例2. 已知函数f(x)＝lg(x ＋a x －2)，其中a ＞0且为常数． (1)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；ln a 2 (2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，试确定实数a 的取值范围．(2，＋∞) 三、深层探究：单调性的应用 例3．求f (x )＝ax x e -? (a ＞0)在x ∈[1,2]上的最大值 导数在研究函数中的应用 知识梳理 一 函数的单调性 1、利用导数的符号判断函数的单调性： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数；如果'f 0)( 三、知识新授 (一) 函数极值的概念 (二) 函数极值的求法：(1)考虑函数的定义域并求f(x); (2) 解方程f(x)=O ，得方程的根X o (可能不止一个) (3) 如果在x o 附近的左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,那么f(x o )是 极大值；反之，那么f(x o )是极大值 题型一图像问题 1、函数f(x)的导函数图象如下图所示，贝U 函数 f(x)在图示区间上( 2、函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a , b)内的图象如图所示，贝U 函数f(x)在 开区间(a ,b)内有极小值点 ( A ?无极大值点，有四个极小值点 C ?有两个极大值点，两个极小值点 B ?有三个极大值点，两个极小值点 D ?有四个极大值点，无极小值点 A . 1个 .3个 D . 4个 B . 2 个 C 2 A. B. C. D. 5、已知函数f x的导函数f x的图象如右图所示，那么函数f x的图象最有可能的是（） f °）是f（x）的导函 数, f（x）的图象只可能是（ ） f（X）的图象如图所示， 则 f（X）的图象可能是（ ） x的图象如图，那么导函数y 7、如果函数y &如图所示是函数y f(x)的导函数y f (x)图象，则下列哪一个判断可 能是正确的( A .在区间(2 ,0)内y f(x)为增函数 B .在区间(0 ,3)内y f(x)为减函数 C .在区间(4 ,)内y f(x)为增函数 D .当x 2时y f (x)有极小值 9、如果函数y f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判 断: ①函数y f(x)在区间3, 1内单调递增; ②函数y f(x)在区间1,3内单调递减； 2 ③函数y f(x)在区间(4 , 5)内单调递增； ④当x 2时，函数y f(x)有极小值； ⑤当x 1时，函数y f(x)有极大值； 则上述判断中正确的是 ____________ . 11、己知函数f x ax c，其导数f(X)的图象如图所示，贝U函数f x的极小值是( A . a b c B . 8a 4b c C . 3a 2b D . c 1 10、函数f(x) x3x22的图象大致是() A B C D 导数求极值与最值 函数导数求极值，最值 1．（本小题满分12分）已知?Skip Record If...?，在?Skip Record If...?与?Skip Record If...?时，都取得极值。 （Ⅰ）求?Skip Record If...?的值； （Ⅱ）若?Skip Record If...?都有 恒成立，求c的取值范围。 ?Skip Record If...? 【答案】（Ⅰ）?Skip Record If...??Skip Record If...?＝－6. （Ⅱ） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由题设有?Skip Record If...?=0的两根为?Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?＝－6. （6分） （Ⅱ）当?Skip Record If...?时，由（1）得有?Skip Record If...?，即 ?Skip Record （8分） If...? 所以由题意有?Skip Record If...? （10分） （12分） 考点：函数导数求极值，最值点评：不等式恒成立转化为求函数最值 2．已知函数 ，?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?。 ?Skip Record If...? （1）若?Skip Record If...?是函数?Skip Record If...?的极值点，求实数?Skip Record If...?的值。 （2）若对任意的?Skip Record If...?，?Skip Record If...?（?Skip Record If...?为自然对数的底数）都有?Skip Record If...?成立，求实数?Skip Record If...?的取值范围。 1.3.3运用导数求函数的最大（小）值 一、学习目标 1、结合函数图像，能够求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值和最小值。 2、掌握导数法求最大值、最小值的方法，并能应用其它函数类型上。 二、学习重难点 重点是求最值的方法和最值的应用。 难点最值与极值的区别及参数问题。 三、知识链接 1、若函数)(x f y =是在闭区间],[b a 上的连续函数，即在闭区间],[b a 上函数)(x f 的图像 是一条 的曲线，则该函数在闭区间],[b a 上一定能够取得到 和 。 2、若函数)(x f y =是开区间),(b a 上的可导函数，则该函数在闭区间],[b a 上的最大值与 最小值必在 或 取得。函数的最大值和最小值统称 。 四、导学过程 【例1】求函数)(x f 536342 3+-+=x x x ，]2,2[-∈x 的最值。 【例2】已知函数)(x f a x x x +++-=9323 （1）求)(x f 的单调递减区间 （2）若)(x f 在区间]2,2[-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。 变式：已知函数)(x f c bx ax x +++=23在3 2-=x 与1=x 时都取得极值。 （1）求b a ,的值及函数)(x f 的单调区间。 （2）若对]2,1[-∈x ，不等式)(x f 2 c <恒成立，求c 的取值范围。 【例3】如图，ABCD 是一块边长为a 2的正方形铁板，剪掉四个小正方形角，沿虚线折叠后焊 接成一个无盖的长方体水箱，若水箱的高度x 与底面边长的比不超过常数)0(>k k 。 (1）写出水箱的容积V 与水箱高度x 的函数表达式。 （2）当水箱高度x 为何值时，水箱的容积V 最大， 并求出其最大值。 导数中极值和最值问题 【探究拓展】 探究1：已知函数 2 23)(a bx ax x x f +++=在 1 =x 处有极值 10 ，则 =+b a ________. -7 变式1：已知函数()4322f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R ．若函数()f x 仅在0 x =处有极值，则a 的取值范围是 .88,33??-???? 变式2：已知函数 d cx x x x f ++-= 24 64 1)(既有极大值又有极小值，实数c 的取值范围是_________. []16,16- 首先转化为导函数（三次函数）至少有两个互异实数根 极小值小于等于0小于等于极大值 变式3：若1=x 是定义在R 上的函数f (x )极小值点，且f ’(x )=(x -1)(x 2-ax +2), 则a 的取值范围为_______. a<3 变式4：设函数2 ()(2) ()x f x x x b e =-+，若2x =是()f x 的一个极大值点，则实数 b 的取值范围为_________. 2b <- 变式5：下列关于函数x e x x x f )2()(2-=的判断正确的是___________. ① 0)(>x f 的解集是()2,0；② )2(-f 是极小值，)2(f 是极大值； ③ )(x f 没有最小值，也没有最大值. 变式6：对于函数1)(23+-+=x ax x x f 的极值情况，4位同学有下列说法： 甲：该函数必有2个极值； 乙：该函数的极大值必大于1 丙：该函数的极小值必小于1； 丁：方程0)(=x f 一定有3个不等的实数根 这四种说法中，正确的个数为_________ 3 只有丁错误 导数与函数的极值和最值问题 类型一利用导数研究函数的极值 计算函数f(x)的定义域并求出函数f(x)的导函数f'(x)； 第二步求方程f'(x) 0的根； 第三步判断f'(x)在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步利用结论写出极值? 例1已知函数f(x) 1 In X,求函数f x的极值. x 【答案】极小值为1，无极大值? 试题解析：⑴因两了何显+ln心所以/m -------------- 4丄?耳.令『何?0鬲- X/W的放域为W—切」由得由厂⑴刈得，w 所以—1时./■何有扱小值为1J无极大值. D . 17 或18 【答案】C 【解析】 试题分析: f (x) 4 11 f (x) 3x2 2ax b, 1aba210时,f (x) 3(x 1)20,在x 1处 8x 11 (3x 11)(x1)，11 x ( 3,1), i f (2) 8 16 221618 .故选C. 3 3 不3x2 3 2a a 12 0 存在极值. 【变式演练2】设函数f x In x 1 — ax 2 a 4或 b 11 f (x) 0 ；x (1, ), f (x) bx，若x 1是f x的极大值点，则 4 11 0,符合题意.所 a的取值范围为 解题模板：第一步 【变式演练1】已知函数f(x)x3 2 ax bx a2在x 1处有极值10，则f (2)等于( A . 11 或18 B . 11 C . 18 B. 1, C. 0, D. , 1 U 0, 【答案】B 【解析】 试题分析：丁/(a)=fc X--OX1 -bx r J. x>0J—-ax-b,由/*l 1 i- 0 得b =l-a f 2 x 丁(￡=丄-血"-1= _ ‘ ①若CO J 宙 f 仗)=Oj 得乂= 1启o vmC时J /r M> 0、此x x 时/■&)单调递増；^>161, r(xJ<0,此时九t)电调遷融所￡U=1是/(罰的徵大值臥②若口V0, 则由 r(xl=0,得“ 1或X = --. .-x = 1时TV)的扳丈值钛二丄〉】■解得-U x 0 -综合g亀d a a 的取值范围时Q T?故选氏 1 1 【变式演练3】函数f(x) -x3-(m 1)x22(m 1)x在(0,4)上无极值，则m ^ 3 2 【答案】3 【解析】 试题分析：因为 f (x) !x3^(m 1)x22(m 1)x , 3 2 所以f'(x) x2 (m 1)x 2(m 1) x 2 x m 1，由f' x 0 得x 2 或x m 1，又因为 1 1 函数f(x)—X3(m 1)x22(m 1)x在(0,4)上无极值，而2 0,4，所以只有m 1 2 ,m 3 3 2 时，f x在R上单调，才合题意，故答案为3. 【变式演练4】设函数f (x) x3 (1 a)x2 ax有两个不同的极值点x1，x2，且对不等式 f(xj f(X2)0恒成立，则实数a的取值范围是 ________________ . 【答案】(，1]U 1,2 2 【解析】 x；1 a x；x；a x-i x20 ,即 x1 x20, 试题分析： x1x2 为 2 X2 f(xj f(X2) 3x1x2 0 ,故得不等式洛 利用导数求函数的极值 例 求下列函数的极值： 1．x x x f 12)(3-=；2．x e x x f -=2)(；3．.21 2)(2-+=x x x f 分析：按照求极值的基本方法，首先从方程0)(='x f 求出在函数)(x f 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值． 解：1．函数定义域为R ．).2)(2(3123)(2-+=-='x x x x f 令0)(='x f ，得2±=x ． 当2>x 或2- 令0)(='x f ，得1±=x ． 当1- 用导数法求函数最值 中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础，因此最值问题历来是各类考试的热点。利用中学数学知识解决最值问题方法很多，如：配方法、不等式法、数形结合法、换元法、判别式法等等，但在我们学习了导数知识后，发现用导数法来求函数的最值要比初等方法快捷简便，因此导数法求最值也是一种不可忽视方法： 在闭区间[,]a b 上连续的函数()f x 在[,]a b 上必有最大值与最小值。 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，求()f x 的最大值与最小值的步骤如下： (1) 求()f x 在(,)a b 内的极值； (2) 将()f x 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值。 应注意：（1）()f x 的极值是局部概念，而最大(小)是值 则可看作整体概念，即在定义域内最大或最小如图所示 : （2）求函数的最值与求函数极值不同的是，在求可导函数的最值时，不需对各导数为0的点讨论其是极大值还是极小值，只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可。 （3）可利用函数的单调性求()f x 在区间上的最值，若()f x 在[a,b]上单调增加，则()f x 的最大值为()f b ，最小值为()f a ；若()f x 在[a,b]上单调减少，则()f a 为函数最大值，()f b 为最小值。 例1：求函数53 231y x x x =--+在[2,2]-上的最大值与最小值。 解：由 53231y x x x =--+得'42221091(101)(1)y x x x x =--=+-令' 0y =解得 121,1x x =-=，列表讨论如下： 又因为当1x =-时y =532(1)3(1)(1)1-----+g g =3 当1x =时5213111y =--+g g =1- 而函数在两个端点的函数值分别为37-，39，因此函数y 的最大值为39，最小值为37-高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)
导数与函数极值、最值问题
导数中恒成立问题(最值问题)
(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)
用导数法求函数的最值的练习题解析
(完整版)导数与极值、最值练习题
利用导数求最值
导数 极值 最值问题
导数运用最大值与最小值(含答案)
高考数学专题：导数应用-极值最值问题
导数求最值(含参)
导数极值最值问题
导数与极值、最值练习题
最新导数求极值与最值
利用导数求函数的最值
导数中极值和最值问题
导数与函数的极值、最值问题(解析版)
利用导数求函数的极值习题
用导数法求函数最值