布里渊区

的Wigner-Seitz原胞给出。金刚石结构的Si、Ge和闪锌矿结构的Ⅲ-Ⅴ族半导体等, 都具有面心立方Bravais格子, 因此都具有体心立方的倒格子, 从而也都具有相同形状的第一Brilouin区, 为截角八面体(即是由6个正方形和8个正六边形构成的14面体)。

3布里渊区的特殊k点采样问题研究

介绍

在各种周期性边界条件的第一原理计算方法中，需要涉及到在布里渊区的积分问题，例如总能、电荷密度分布，以及金属体系中费米面的确定等等。如果采用普通的在布里渊区内均匀选取k点的方法，那么为了得到精确的结果点的密度必须很大，从而导致非常大的计算量。这使得计算的效率非常低下。因此，需要寻找一种高效的积分方法，可以通过较少的点运算取得较高的精度。而这些k点被称之为“平均值点”（Baldereschi）或者“特殊点”（Chadi, Cohen）。[1]

基本思想

Chadi和Cohen最早提出了这种特殊点的数学基础[1]。考虑一个光滑函数，我们可以将其展为傅立叶级数：

假设另有一个拥有体系全部对称性（对称性用对称群表示）的函数，满足条件，则我们可以将用展开如下：

其中是对称群的阶数。设，将上式的求和顺序重新组合可以得到

其中是距离原点第近邻的球半径，按升序排列，且。需要注意的是限制条件具有球对称性，也即高于的对称性，所以满足限制条件的格点集合并不一定都是等价的——或说可以通过中的操作联系起来的——格点。方程(3)中的函数满足下列条件：

上式中是倒格矢，是满足条件的格点数。五个方程分别表明函数在第一布里渊区内成奇函数、具有正交性、周期性、体系对称性和完备性。对于特殊点法而言，前两条更为重要。

注意到上面公式中的求和从1开始，因此需要对的情况进行单独定义。我们定义，则函数的平均值为：

那么该如何得到呢？注意方程(3)，如果存在这样的特殊点，使其满足：

>

那么立刻可以得到，这样的点被称为“平均值点”。但是普遍的讲，满足上述条件的点并不存在。对这个问题的解决办法就是不用单个点，而采用满足一定条件的k点的集合，利用这些点上函数值的加权平均计算。也即：

其中可以取有限值。

利用方程(3)左右端的两个式子，可以得到：

根据方程(7)，可以得到

考虑到随的增大迅速减小的性质，我们可以近似的得到的平均值：

而将方程(9)的第二项作为可控误差。因此，如果我们可以找到一组点，使得(1)集合中的点尽量少；(2)这些点在尽量大的情况下满足方程(7)，则我们进行布里渊区积分的时候可以尽可能快的得到精度较高的结果。这正是特殊点方法的要点所在。反过来讲，这也表明进行具体计算的时候我们需要对计算精度进行测试，也即保证所取点使得上式的第二项足够小。

Chadi-Cohen方法

上一节证明了点的可行性。Chadi和Cohen首先提出了一套可以得出这些特殊点的方法[1]。

首先找出两个特殊点——，二者分别在和的情况下满足

然后通过这两个点构造新的点集合：

且权重为。下面证明在的情况下仍然满足方程(7)：

根据和的定义，可知对于和，

也即

上式等价于

因此可以用这种方法产生一系列点，用以计算布里渊区内的积分。如果此时的精度不够，则利用同样的方法继续生成新的点集合：

其中为在情况下满足的特殊点。从而改进精度。

事实上，如果考虑体系的对称性，则中的点数目可以极大的减小。也就是说，对于给定的点，可以找出其波矢群，阶数为，那么实际上按上述方法构造出来的只有个不同的点，此时各点上的权重为。更进一步，通过点群的全部对称操作，可以将全部的点转入第一布里渊区的不可约部分。如果点的重叠度（即第一布里渊区不可约部分中占有同样位置的点个数）是，则在最后的计算中，这个点的权重为

Monkhorst-Pack方法

上述Chadi-Cohen方法非常巧妙，但是在具体的应用上必须首先确定23个性能比较好的点，由此构建出的点集合才拥有比较高的效率和精度。因此，对于每一个具体问题，在计算之前都必须经过相当的对称性上的分析。对于编写程序而言，这是一件很麻烦的事情。那么，是否存在一种比较简易的产生点网格的方法，同时又满足方程(7)呢？答案是肯定的，这就是通常所说的Monkhorst和Pack方法[2]。

晶体中的格点总可以表述为，其中是实空间三个方向上的基矢。Monkhorst和Pack建议按如下方法划分布里渊区

分量形式

将点写为分量形式，则可得到如下表达式

其中是倒空间的基矢。与Chadi-Cohen方法相似，Monkhorst和Pack定义函数为：

>

则相应于Chadi-Cohen方法中的，我们可以计算在如方程(12)所生成的离散化的网格点的相同的量：

其中

注意到都是整数，因此可以算出：

其中第三种情况是因为是奇函数。引入限制条件： <; < 则可得：

也即在点网格上是正交的。与Chadi-Cohen方法类似，将函数用展开：

同时左乘并在布里渊区内积分，可得

因为，所以从方程(19)可得

忽略前面的常数因子，可以看到Monkhorst-Pack方法中的表达式与Chadi-Cohen 方法完全一样。现在将的表达式代入上述方程，则

因此

其中

与我们在Chadi-Cohen方法中看到的一样，在第一布里渊区的平均值可以用近似（在Chadi-Cohen方法中是）。而且误差（方程右边第二项）可控，即可以通过增加点密度的方法提高精度。这是因为增大，根据上面所述的取值可知，在更大的时候仍能保证方程(7)成立。

但是根据方程(3)可得

如果值取得比较大，那么所需计算的点数目就会非常大，如何提高

Monkhorst-Pack方法的效率呢？考虑到体系的对称性，则点的数目会大大的减少。重新写出如下：

其中是体系所属点群阶数与点的波矢群阶数的比值：。是对所有点进行对称及平移操作后第一布里渊区中所有不重合的点数。进一步考虑不可约部分，那么通过改变（变为,其中定义见上节）可以进一步减少。因为处于高对称位置上的点其波矢群阶数也比较高，因此相应的这些高对称点的权重就比较小。这也是为什么在VASP的OUTCAR文件中高对称的点权重比较小的理论根本，也是特殊点法尽量避开高对称点的原因所在。与Chadi-Cohen方法一样，的大小是Monkhorst-Pack 方法效率高低的重要标志。文献中给出了bcc以及fcc两种格子中的：

BCC:

FCC:

可以看出，即使对于较大的值，也是比较小的，因此Monkhorst-Pack方法效率是比较高的。

应该注意的是，Monkhorst-Pack方法的关键一点是将三维空间的问题转化为三个独立的一维问题。因此，对于六角格子或者单斜格子，基矢之间不正交，上述

Monkhorst-Pack方法并不适用，而必须加以修改[3]。以六角格子为例，Pack

指出点网格应按下述方法生成[4]：

也即轴和轴分别设置。相应的，的大小可计算如下：

上述生成点的方法对应于VASP手册中对于点设置的建议“对于六方体系应该将点置于原点处”。

需要强调的是，我们在以上所讨论的所有对称性均指纯旋转操作，也即点群对称性。因此，对于同属一种晶系而属于不同空间群的两种体系而言，其操作可能并不一致。

Chadi-Cohen方法的实例

Cunningham[5]对于二维情况依照Chadi-Cohen方法分别生成了点集合。我们选择四方格子和正方格子两种情况进行具体的分析。

四方格子

实空间和倒空间的基矢及格点坐标分别为：

选择（或为奇数时）以及（或为奇数时）这个格子的对称操作为，按照Chadi-Cohen 方法，可以构建点如下：

每个点的权重。

正方格子

将上例中的，则四方格子转变为正方格子。两种情况最主要的不同是布里渊区不可约部分有了变化，从上式可以看出，在正方格子下，,和重合。因此只有三个不同的点，每个点的权重为，而且。

利用特殊点计算电荷密度

将Bloch函数用Wannier函数展开，有[6]：

则在给定点的电荷密度为：

而

我们重写如下：

其中求和号中的表明而且。因此，考虑到对称性，又可写为：

上式中，第一项与和无关，相当于Chadi-Cohen方法中的。而第二项中因为对所有的求和，因此可以将这一项写为如下形式：

上式中与无关，且随增大而递减，相当于。因此可写为

如果存在，满足，则立即可以得到

但是普遍的讲，这样的并不存在。例如，在fcc格子中考虑第一、二、三近邻，写出：

不存在单独的点同时满足上述三个方程。因此，需要寻找一系列特殊的点，满足则。

Chadi和Cohen[6]采用、和三个点计算的值：，取得了较好的结果。而在文献1中，他们利用和改进了计算结果：。

固体物理第四章

Chapter 4 能带理论（energy band theory ） 一、简要回答下列问题（answer the following questions ） 1、波矢空间与倒格子空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？ ［答］波矢空间与倒格子空间处于统一空间，倒格子空间的基矢分别为321,,b b b ，而波矢空间的基矢分别为321332211,,;/,/,/N N N N N N b b b 分别是沿正格子基矢321,,a a a 方向晶体的原胞数目。 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *)(321Ω=??b b b 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 N N N N *)(3 32 21 1Ω= ??b b b 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N 。由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。也就是说，波矢点在倒格子空间是极其稠密的。因此，在波矢空间内作求和处理时，可以把波矢空间的状态点看成是准连续的。 2、在布里渊区边界上电子的能带有何特点？ ［答］电子的能带依赖波矢的方向，在任一方向上，在布里渊区的边界上，近自由电子的能带一般会出现禁带。若电子所处的边界与倒格矢G h 正交，边界是G h 的中垂面，则禁带的宽度Eg=2|Vn|，Vn 是周期势场的付里叶级数的系数。 不论何种电子，在布里渊区的边界上，其等能面在垂直于在布里渊区的边界上的斜率为零，即电子的等能面与布里渊区的边界正交。 3、带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？ ［答］能带顶部是能带的极大值的位置，所以 022 ??k E ，晶格对电子作正功，有效质量大于零。 4、单电子理论是怎样将多体问题简化为周期场中的单电子问题的？ [答]单电子理论是在经过几步近似之后，将多体问题转化为单电子问题，以单电子在周

§5.5 布里渊区

§5.5 布里渊区 本节我们举例说明二维和三维晶格的布里渊区。 一、二维正方格子 正格子原胞基矢 a a a a == 2, 1； 倒格子原胞基矢 a b a b π=π=22,21 。 如图5.10所示，倒格子空间离原点最近的倒格点 有四个，相应的倒格矢为 b b b b 2, 2,1,1--， 它们的垂直平分线的坐标是 a k x π±= 及 a k y π±= 这些垂直平分线围成的区域就是简约布里渊区。它也是一个正方形，其中一些特殊点和线有惯用的符号表示， 中心：Γ； 边界线中心：X ； 角顶点：M; ΓX 线：?; ΓM 线：∑。 离Γ点次近邻的四个倒格点相应的倒格矢是 b b b b b b b b 21,21),2(1,21+--+-+ 它们的垂直平分线，同第一布里渊区边界围成的区域合起来成为第二布里渊区，这个区的各部分别平移一个倒格矢，可以同第一个区重合。同理可得第三，第四，……，一系列布里渊区。 二、体心立方格子 正基矢 )(2 1k j i a a ++-=， )(2 2a a +-= ， )(2 3a a -+= 。 可证倒基矢 )(21k j a b +π= ， )(22k i a b +π= ， )(23i j a b +π= 。 （习题：证明bc c 的倒格子是fcc 。） 倒格矢： 图 5.10

])21()31()32[(2332211k n n j n n i n n a b n b n b n G n +++++π=++= 离原点最近的有12个倒格点，其坐标可一般地写为 )2 1,31,32(2n n n n n n a +++π. 具体写出是 )0,1,1(2a π， )0,1,1(2a π )0,1,1(2a π， )0,1,1(2a π )1,0,1(2a π， )1,0,1(2a π )1,0,1(2a π， )1,0,1(2a π )1,1,0(2a π， )1,1,0(2a π )1,1,0(2a π， )1,1,0(2a π 相应的倒格矢长度为 π=22),,(321a n n n G 这12个倒格矢的中垂线围成菱形正面体，称为简约布里渊区，如图5.11所示，其体积正好是倒格子原胞的大小。 简约区中的高对称点和线（如图5.11）： （点）)0,0,0(2:a πΓ；)0,0,1(2:a H π；)21,21,21(2:a P π；)0,2 1,21(2:a N π； （线）)10(),0,0,(2:<δ<δπ?a ， 图5.11

2013固体物理复习题及答案要点

固体物理卷（A ） 第一部分：名词解释（每小题5分，共40分） 1.原胞：在完整晶体中，晶格在空间的三个方向上都具有一定的周期对称性，这样可以取一个以结点为顶点，边长等于这三个方向上的周期的平行六面体作为最小的重复单元，来概括晶格的特征，这样的重复单元称为初基原胞或简称原胞。 2.晶面指数：一个晶面得取向可以由这个晶面上的任意三个不共线的点确定，如果这三个点处在不同的晶轴上，则通过有晶格常量321,,a a a 表示这些点的坐标就能标定它们所决定的晶面，它们具有相同比率的最小整数称为晶面指数 3.布拉格定律：假设入射波从晶体中的平行原子平面作镜面反射，每个平面反射很少一部分辐射，就像一个轻微镀银的镜子一样。在这种类似镜子的镜面反射中，其反射角等于入射角。当来自平行原子平面的反射发生相长干涉时，就得出衍射束。考虑间距为d 的平行晶面，入射辐射线位于纸面平面内。相邻平行晶面反射的射线行程差是2dsinx ，式中从镜面开始量度。当行程差是波长的整数倍时，来自相继平面的辐射就发生了相长干涉。 这就是布拉格定律。布拉格定律用公式表达为：2dsinx=n*λ(d 为平行原子平面的间距，λ为入射波波长，x 为入射光与晶面之夹角) ，布拉格定律的成立条件是波长小于等于2d 。 布拉格定律是晶格周期性的直接结果。 4.简述三维空间的晶系种类及其所包括的晶格类型 三斜1， 单斜2， 正交 4， 四角 2， 立方3， 三角1， 六角1。 5.布里渊区：在固体物理学中，第一布里渊区是动量空间中晶体倒易点阵的原胞。固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区

习题 研究生

固体物理练习题 其中带* 的为附加题 第1讲晶体结构 1.1画出下列晶体结构的原胞，说明他们的Bravais格子，并标出原胞中原子的坐标。（1）面心立方金属、氯化钠、金刚石； （2）体心立方金属、氯化铯。 1.2利用钢球密堆模型，求致密度： （1）简单立方；（2）体心立方；（3）六方密堆；（4）金刚石结构。 1.3证明对于六角密堆积结构，理想的c/a比为（8/3）1/2≈1.633。又：金属Na在273 K 因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a = 0.423 nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值，试求其晶格常数。 1.4画出正四面体的所有基本对称操作。 1.5写出面心立方晶格的基矢，轴矢，配位数，致密度，体积 1.6金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析方法证明这一夹角为109o28'。 1.7画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在（100），（110）和（111）面上的原子排列。 1.8指出立方晶格（111）面与（110）面，（111）面与（100）面的交线的晶向。 1.9如将布拉维格子的格点位置在直角系中用一组数（n1，n2，n3）表示，证明 （1）对于体心立方格子，n i全部为偶数或奇数； （2）对于面心立方格子，n i的和为偶数。

1.10 证明体心立方和面心立方格子互为正、倒格子。 1.11 对于密堆六方结构，原胞基矢为 123222 2a a a a c = +=- + =a i j a i j a k 试求倒格子基矢，并画出第一Brillouin 区。 1.12 考虑晶格中的一个晶面hkl （1）证明倒格矢123h k l =++G b b b 垂直于这个晶面； （2）证明晶格中另个相邻平行晶面的间距为()2/d h k l π=G ，对于简单立方晶格有 2 2 2 2 2 ()/()d h k l a h k l =++。 1.13 证明第一Brillouin 的体积为3 (2)/c V π，其中V c 是晶体原胞的体积。 1.14 * 试求面心立方结构，体心立方结构的结构因子，并讨论衍射的相消条件。 1.15 * 双原子线，设有A-B 键长为a /2，ABAB 排列……AB ，原子A 、B 的散射因子分别为f A ，f B ，X 射线束垂直作用于原子线。 （1）证明干涉条件为n λ = a cos θ，其中θ为衍射束与原子线之间的交角。 （2）倒格矢G = hb ，h 为整数，证明h 为奇数时衍射束的强度正比于│f A ? f B │2 ，h 为偶数 时正比于│f A + f B │2。

常用结构的布里渊区

常用结构和布里渊区 (参考书： C.J. Bradley, A.P. Cracknell, “The Mathematical Theory of Symmetry in Solids: Representation Theory for Point Groups and Space Groups”, Oxford, Clarendon Press, 1972) 1. 简单立方: Cubic Primitive, c Γ , m3m (O h ) 正格子：（a,0,0），（0,a,0），（0,0,a ）， 正格体积 a 3 倒格子： )0,0,1(2a π，)0,1,0(2a π，)1,0,0(2a π，倒格体积 33 8a π 布里渊区： Fig. 3.13 Γ=(0, 0, 0), X=(0, 1/2, 0), M=(1/2, 1/2, 0), R=(1/2, 1/2, 1/2) [注：以上各高对称点单位为： ),,(321b b b , 图上的i i b g =]

2. 面心立方: Cubic Face-centred, c f Γ , m3m (O h ) 正格子：（0,a/2,a/2），（a/2,0,a/2），（a/2,a/2,0）， 正格体积 a 3/4 即： ??? ? ?? ???+=+=+=)(2)(2)(23 21j i a a i k a a k j a a （下同） 倒格子： )1,1,1(2-a π，)1,1,1(2-a π，)1,1,1(2-a π，倒格体积 33 32a π 即： ??? ? ?????-+=+-=++-=) (2)(2)(2321k j i a b k j i a b k j i a b πππ （下同） 布里渊区： Fig. 3.14 Γ=(0, 0, 0), X=(1/2, 0, 1/2), L=(1/2, 1/2, 1/2), W=(1/2, 1/4, 3/4), K=U=(3/8, 3/8, 3/4)

固体物理选择题

选择题 1.（）布拉伐格子为体心立方的晶体是 A. 钠 B. 金 C. 氯化钠 D. 金刚石 2.（）布拉伐格子为面心立方的晶体是 A. 镁 B. 铜 C. 石墨 D. 氯化铯 3.（）布拉伐格子为简立方的晶体是 A. 镁 B. 铜 C. 石墨 D. 氯化铯 4.（）银晶体的布拉伐格子是 A. 面心立方 B. 体心立方 C. 底心立方 D. 简立方 5.（）金属钾晶体的布拉伐格子是 A. 面心立方 B. 体心立方 C. 底心立方 D. 简立方 6.（）金刚石的布拉伐格子是 A. 面心立方 B. 体心立方 C. 底心立方 D. 简立方 7.（）硅晶体的布拉伐格子是 A. 面心立方 B. 体心立方 C. 底心立方 D. 简立方 8.（）氯化钠晶体的布拉伐格子是 A. 面心立方 B. 体心立方 C. 底心立方 D. 简立方 9.（）氯化铯晶体的布拉伐格子是 A. 面心立方 B. 体心立方 C. 底心立方 D. 简立方 10.（）ZnS 晶体的布拉伐格子是 A. 面心立方 B. 体心立方 C. 底心立方 D. 简立方 11.（）下列晶体的晶格为简单晶格的是 A. 硅 B. 冰 C. 银 D. 金刚石 12.（）下列晶体的晶格为复式晶格的是 A. 钠 B. 金 C. 铜 D. 磷化镓 13.（）晶格常数为a 的简立方晶格，原胞体积Ω等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D. a 3 /4 14.（）晶格常数为a 的体心立方晶格，原胞体积Ω等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D. a 3/4 15.（）晶格常数为a 的面心立方晶格，原胞体积Ω等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D. a 3/4 16.（）晶格常数为a 的CsCl 晶体的原胞体积等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D. a 3/4 17.（）晶格常数为a 的NaCl 晶体的原胞体积等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D. a 3 /4 18.（）晶格常数为a 的Cu 晶体的原胞体积等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D. a 3/4 19.（）晶格常数为a 的Na 晶体的原胞体积等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D. a 3/4 20.（）晶格常数为a 的Au 晶体的原胞体积等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D. a 3 /4 21.（）晶格常数为a 的金刚石晶体的原胞体积等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D. a 3/4 22.（）晶格常数为a 的Cu 晶体的单胞体积等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D. a 3 /4 23.（）晶格常数为a 的Li 晶体的单胞体积等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D. a 3/4 24.（）晶格常数为a 的Ge 晶体的单胞体积等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D. a 3/4 25.（）晶格常数为a 的GaP 晶体的单胞体积等于 A. 2a 2 B.a 3 C. a 3/2 D. a 3/4 26.（）晶体铜的配位数是 A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 27.（）金属钠晶体的配位数是 A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 28.（）金刚石的配位数是 A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 29.（）面心立方密集的致密度是 A. 0.76 B. 0.74 C. 0.68 D. 0.62 30.（）体心立方密集的致密度是 A. 0.76 B. 0.74 C. 0.68 D. 0.62 31.（）晶体的布拉伐格子共有几种？ A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 32.（）立方晶系的布拉伐格子共有几种？ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 33.（）表征晶格周期性的概念是 A. 原胞或布拉伐格子 B. 原胞或单胞 C. 单胞或布拉伐格子 D. 原胞和基元 34.（）晶体共有几个晶系？ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 35.（）晶体点群有 A. 230种 B. 320种 C. 48种 D. 32种 36.（）晶格常数为a 的一维单原子链，倒格子基矢的大小为 A. a B. 2a C. π/a D. 2π/a 37.（）晶格常数为a 的一维双原子链，倒格子基矢的大小为 A. a B. 2a C. π/a D. 2π/a 38.（）晶格常数为a 的简立方晶格的(010)面间距为A.a B. 2 2 a C. 33 a D.1/2 a 39.（）晶格常数为a 的简立方晶格的(110)面间距为A. 2 a B. 3 a C. 4 a D. 5 a

简约布里渊区形状及特殊k点坐标

能带计算必备：简约布里渊区形状及特殊K点坐标，直观体现出空间构型

Symbol Description 符号描述 Γ Center of the Brillouin zone 布里渊区中心 Simple cube 简单的立方体 M Center of an edge 边的中心 R Corner point 转折点；拐角点 X Center of a face 面心 Face-centered cubic 面心立方 K Middle of an edge joining two hexagonal faces 连接两个六角形面的边的中心 L Center of a hexagonal face 六角形面心 U Middle of an edge joining a hexagonal and a square face 连接六角形面和四边形面的边的中心W Corner point 转折点；拐角点 X Center of a square face 四边形面心 Body-centered cubic 体心立方 H Corner point joining four edges 四边的交点 N Center of a face 面心 P Corner point joining three edges 三边的交点 Hexagonal 六方晶系 A Center of a hexagonal face 六角形面心 H Corner point 转折点；拐角点 K Middle of an edge joining two rectangular faces 连接两个矩形面的边的中心 L Middle of an edge joining a hexagonal and a rectangular face 连接六角形面和矩形面的边的中心M Center of a rectangular face 矩形面心

固体物理基础

固体物理基础 本课程侧重固体物理学的基本概念及理论框架的理解性掌握 第一章晶体结构 1. 固态物质的分类及其结构特点 答：（1）晶体：原子在三维空间周期地长程有序排列 （2）准晶：原子有长程准周期平移序和非晶体学旋转对称性的固态有序相 （3）非晶：原子排列短程有序，长程无序 2. 根据布拉菲晶胞选取的具体原则，证明不存在底心四方点阵或面心四方点阵 答：布拉菲晶胞的选取原则： （1）反映出点阵的最高对称性；（2）相等的棱或角数量应最多； （3）直角数目应最多；（4）在满足上述条件下，晶胞应具有最小的体积。 底心四方点阵可以转化为体积更小的简单四方点阵；（画图证明） 面心四方点阵可以转化为体积更小的体心四方点阵。（画图证明） 3. 基于CsCl晶体，讨论点阵与晶体结构 答：空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点是等同点，周围环境相同，只能有14种类型； 晶体结构是晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况，能组成各种类型的排列，实际存在的晶体结构是无限的。 晶体结构=空间点阵+基元。CsCl晶体为CsCl结构，简单立方点阵，基元为1Cs++1Cl-。4. 分析并画出二维正方点阵的第一和第二布里渊区。注意正、倒空间转换。 答：布里渊区为倒易空间中的概念，首先做出二维正方点阵的倒易点 阵，以(1, 0)、(-1, 0)、(0, 1)、(0, -1)倒易矢量的中垂面围成第一布里渊 区；以(1, 1)、(1, -1)、(-1, 1)、(-1, -1)倒易矢量的中垂面围成第二布里 渊区。 5. 晶体中缺陷的基本类型有哪些 答：（1）点缺陷（空位、间隙原子、俘获电子的空位、杂质原子等，如：弗兰克尔缺陷、肖特基缺陷、替位式杂质原子、色心、极化子等） （2）线缺陷：位错（刃位错、螺位错、混合位错、不全位错、超位错等） （3）面缺陷：表面、界面、层错、小角度晶界、大角度晶界、孪晶界、相界第二章统计热力学和量子力学基础 1. 固体中热力学平衡态的物理含义 答：给定温度下，热力学平衡态满足①系统的体积熵最大；②系统的自由能最小；对于一个具有1023个粒子数的系统，分子量子态的组合数目是个大数：假定分子总数和系统总能固定，存在这样一个分布（N1,N2,…，N i,…,N i代表E i+d E范围内分子

布里渊区的选取

电子科技大学光电信息学院 课程设计论文 课程名称固体与半导体物理 题目名称布里渊区的选取 学号 2905301014 2905301015 2905301016姓名李雄风寿晓峰陈光楠 指导老师刘爽 起止时间2011.10.1-2011.10.15 2011年10月1日

布里渊区的选取 摘要 本文着重介绍了布里渊区的选取。首先，本文给出了倒格子和布里渊区的相关概念；随后，本文以一维的简单格子、二维的有心长方格子、三维的面心立方格子和体心立方格子为例，详细说明了布里渊区的选取过程；最后，本文介绍了制作面心立方格子和体心立方格子的第一布里渊区的实物模型的方法（附上实物模型）。 一、相关概念介绍 1.1倒格子 假设晶格原胞基失为、和，则对应的倒格子原胞基失为、和，它们满足如下关系： 其中为原胞体积。 、和是不共面的，因而由、和也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子。 倒格子原胞基失也可以通过下式来定义（在处理一维和二维问题时我们将用到它）： 倒格子的一个基矢是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。 倒格子是描述晶体结构周期性的另一种类型的格子，它是在波矢空间的数学表示，它的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，因此可将晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。尤其是下面介绍的布里渊区，就是在倒格子下定义的。 倒格子与布里渊区有着非常紧密的联系。在正格子空间中，正格子原胞体积等于威格纳-赛兹原胞体积；在倒格子空间中，倒格子原胞体积则等于第一布里渊区的体积。 1.2布里渊区 在倒格子空间中，以某一倒格点为原点，从原点出发作所有倒格点的位置矢 量的垂直平分面，这些平面把倒格子空间划分成一些区域，这些区域称为布里渊区。其中最靠近原点的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界

布里渊区固体的能带理论中2

晶胞：构成晶格的最基本的几何单元称为晶胞（Unit Cell），其形状、大小与空间格子的平行六面体单位相同，保留了整个晶格的所有特征。晶胞是能完整反映晶体内部原子或离子在三维空间分布之化学-结构特征的平行六面体最小单元。其中既能够保持晶体结构的对称性而体积又最基本特称“单位晶胞”，但亦常简称晶胞。 原胞：在晶格取一个格点为顶点，以三个不共面的方向上的周期为边长形成的平行六面体作为重复单元，这个平行六面体沿三个不同的方向进行周期性平移，就可以充满整个晶格形成晶体，这个平行六面体即为原胞。 晶面：在晶体学中，通过晶体中原子中心的平面叫作晶面（Faces)。 晶系： 倒格失： 晶体对称性：

布里渊区固体的能带理论中，各种电子态按照它们的波矢分类。在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区。各布里渊区体积相等，都等于倒易点阵的元胞体积。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布拉格反射,对于电子德布罗意波,这一反射可能使电子能量在布里渊区界面上（即倒易点阵矢量的中垂面）产生不连续变化。根据这一特点,1930年L.-N.布里渊首先提出用倒易点阵矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。 绝热近似它基于这样一个事实：电子与核的质量相差极大，当核的分布发生微小变化时，电子能够迅速调整其运动状态以适应新的核势场，而核对电子在其轨道上的迅速变化却不敏感。这种近似是量子化学和凝聚态物理学中的一种常用方法，用于对原子核和电子的运动进行退耦合。

所有布里渊区高对称点坐标

Triclinic(primitive) Basic vectors: arbitrary V olume:[a1a2a3] Kpoints: gamma(0 0 0) B(1/2 0 0) F(0 ? 0) G(0 0 1/2) Monoclinic(primitive) Basic vectors: (0 -b 0) (a sinr -a cosr 0) (0 0 c)

V olume:abc sinr Kpoints: gamma(0 0 0) B(-1/2 0 0) Y(0 ? 0) Z(0 0 ?) C(0 ? ?) D(-1/2 0 ?) A(-1/2 ? 0) (-1/2 -1/2 0) or(? ? 0) E(-1/2 ? ?) (-1/2 -1/2 ?) or(1/2 ? ?) Monoclinic(Base centered) Basic vectors: (0 -b 0) 1/2(a sinr a cosr -c) 1/2(a sinr -a cosr c) V olume:1/2abc sinr Kpoints: gamma(0 0 0) A(-1/2 0 0) Z(0 -1/2 ?) M(-1/2 -1/2 ?) L(1/2 0 ?) V(0 0 ?)

Othorhombic(Primitive) Basic vectors:(0 -b 0) (a 0 0) (0 0 c) V olume: abc Kpoints: gamma(0 0 0) Y(-1/2 0 0) X(0 ? 0) Z(0 0 ?) U(0 ? ?) T(-1/2 0 ?) S(-1/2 ? 0) R( -1/2 ? ? )

固体物理题目与解答

1.1理论证明由10种对称素只能组成（32）种不同的点群即晶体的宏观对称只有32个不同类型 1.2根据晶胞基矢之间的夹角、长度关系可将晶体分为（7大晶系）对应的只有（14种布拉伐格子） 1.3面心立方晶体在（100）方向上表面二维布拉伐格子是（正方格子）在（111）方向上表面二维布拉伐格子是(密排结构) 1.4晶体表面二维晶格的点群表示，由于晶格周期性在Z 轴方向的限制，二维晶格的对称素只有6个，即垂直于表面的n 重转轴1/2/3/4/6——5个，垂直于表面的镜面反演m ——1个。由6种对称素可以组成10种二维点群，按照点群对基矢的要求划分，二维格子有4个晶系，5种布拉伐格子 1.5在结晶学中,晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的（周期性）又要考虑晶体的（宏观对称性） 1.6六角密积属（六角晶系）,一个晶胞(平行六面体)包含（两个）原子. 1.7对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =ai +2aj +2ak 正交的倒格子晶面族的面 指数为(122),其面间距为(a 32π ). 1.8典型离子晶体的体积为V ,最近邻两离子的距离为R ,晶体的格波数目为(3 43R V π),长光学波的(纵)波会引起离子晶体宏观上的极化. 1.9金刚石晶体的结合类型是典型的(共价结合)晶体,它有(6)支格波 1.10在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ 晶体中原子间距的数量级为1010 -米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于1010-米.但可见光的波长为7.6?4.0710-?米,是晶体中原子间距的 1000倍.因此,在晶体衍射中，不能用可见光. 2.1离子晶体的特征：一种离子的最近邻离子为异性离子；离子晶体的配位数最多只能是8 2.2离子晶体结合的稳定性——导电性能差、熔点高、硬度高和膨胀系数小 2.3共价键结合的两个基本特征——饱和性和方向性；共价键的强弱取决于形成共价键的两个电子轨道相互交叠的程度 2.4共价晶体结合的一对平衡力是（外层未配对的自旋方向相反的电子电子云重迭）和（内层相同电子态的电子之间的排斥） 2.5金属晶体结合的一对平衡力是（共有化电子云和离子实之间的相互作用）和（共有化电子云浓度增加伴随电子动能上升） 2.6共价结合,两原子电子云交迭产生吸引,而原子靠近时,电子云交迭会产生巨大的排斥力,如何解释? 共价结合,形成共价键的配对电子,它们的自旋方向相反,这两个电子的电子云交迭使得体系的能量降低,结构稳定.但当原子靠得很近时,原子内部满壳层电子的电子云交迭,量子态相同的电子产生巨大的排斥力,使得系统的能量急剧增大. 2.7为什么许多金属为密积结构? 金属结合中,受到最小能量原理的约束,要求原子实与共有电子电子云间的库仑能要尽可能的低(绝对值尽可能的大).原子实越紧凑,原子实与共有电子电子云靠得就越紧密,库仑能就越低.所以,许多金属的结构为密积结构.