基本不等式高考历年真题

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【考点20】基本不等式

2009年考题

1.（2009天津高考）设0,0.a b >>若11

333a b a b

+是与的等比中项，则的最小值为（ ）

A 8

B 4

C 1

D 14

【解析】选B. 因为333=?b a ，所以1=+b a ，

1111()()2224b a b a a b a b a b a b a b

+=++=++≥+?=， 当且仅当

b a a b =即2

1

==b a 时“=”成立，故选择B. 2.（2009天津高考）设y

x b a b a b a R y x y

x

1

1,32,3,1,1,,+=+==>>∈则

若的最大值为（ ） A.2 B.

23 C.1 D.2

1 【解析】选C. 因为3log ,3log ,3b a y

x y x b a ====，

1)2

(log log 11233=+≤=+b a ab y x （当且仅当a=b=3时等号成立）.

3.（2009重庆高考）已知0,0a b >>，则

11

2ab a b

++的最小值是（ ） A ．2

B ．22

C ．4

D ．5

【解析】选C. 因为

11112222()4ab ab ab a b ab ab ++≥+=+≥当且仅当11a b

=， 且

1

ab ab

=，即a b =时，取“=”号。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4.（2009湖南高考）若x ∈(0,

2π)则2tanx+tan(2

π

-x)的最小值为 . 【解析】由(0,)2x π∈，知1

tan 0,tan()cot 0,2tan παααα

>-==>所以

1

2tan tan()2tan 22,2tan παααα

+-=+≥当且仅当2tan 2α=时取等号，即最小值是22

答案：22

5.（2009湖南高考）若0x >，则2

x x

+

的最小值为

. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 0x >Q 222x x ?+≥，当且仅当2

2x x x

=?=时取等号.

答案：22

6.（2009湖南高考）若0x >，则2

x x

+

的最小值为 . 【解析】选0x >Q 222x x ?+≥，当且仅当2

2x x x

=?=时取等号.

答案：22

7.（2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m

m a

+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a

+.如果一个人

对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为12h h .现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙(1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当3

5

A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；(2)设3

5

A B m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。【解析】(1)

当3

5

A B m m =时，235

35

(20)(5)125

B B B B B B B m m m h m m m m =

?=++++甲

235320(5)(20)35

B

B B B

B B B m m m h m m m m =

?=++++乙 h 甲=h 乙

（2）当

3

5

A B

m m

=时，

2

2

11

=,

20511

(20)(5)(1)(1)100()251

B

B B

B B B B

m

h

m m

m m m m

==

++++++

甲

由

111

[5,20][,]

205

B

B

m

m

∈∈

得，故当

11

20

B

m

=即20,12

B A

m m

==时，

甲乙两人同时取到最大的综合满意度为

10

。

（3）由（2）知：

h=

10

由

10

=

1255

A B

A B

m m

h h

m m

?≥=

++

甲

得：

1255

2

A B

A B

m m

m m

++

?≤，

令

35

,,

A B

x y

m m

==则

1

[,1]

4

x y∈

、，即：

5

(14)(1)

2

x y

++≤。

同理，由

10

5

h h

≥=

乙

得：

5

(1)(14)

2

x y

++≤

另一方面，

1

[,1]

4

x y∈

、141

x x

+∈+∈

5

、1+4y[2,5],、1+y[,2],

2

55

(14)(1),(1)(14),

22

y x y

++≤++≤当且仅当

1

4

x y

==，即

A

m=3

5B

m时，取等号。由（1）知

A

m=3

5B

m 时h甲=h乙

所以不能否适当选取

A

m、

B

m的值，使得

h h

≥

甲

和

h h≥

乙

同时成立，但等号不同时成立。

8.（2009湖北高考）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）。

（Ⅰ）将y表示为x的函数：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为a m,则2y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360

由已知xa=360,得a=

x

360

,

所以y=225x+2

360360(0)x x -> w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (II)2

23600,225222536010800x x x

>∴+≥?=Q 104403603602252≥-+=∴x

x y .当且仅当225x=x 2

360时，等号成立.

即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

2008年考题

1、（2008四川高考）已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( ) （A ）(,1]-∞- （B ）(,0)(1,)-∞+∞U （C ）[3,)+∞ （D ）(,1][3,)-∞-+∞U 【解析】选D.方法1：∵等比数列{}n a 中21a =∴当公比为1时，1231a a a ===，33S =； 当公比为1-时，1231,1,1a a a =-==-，31S =-从而淘汰（A ）（B ）（C ）故选D ；

方法2：∵等比数列{}n a 中21a =∴3123211(1)1S a a a a q q q q

=++=++=++∴当公比0q >时，

3111123S q q q q =+++?…；当公比0q <时，3111()12()1S q q q q

=-----?--?∴3(,1][3,)S ∈-∞-+∞U 故

选D ；

方法3：311S x x =++(0)x ≠．由双勾函数1y x x =+的图象知，12x x +…或12x x +-?，故选D ．

2、（2008重庆高考）函数()x f x =

的最大值为（ ） A ．25

B ．12

C 2

D ．1

【解析】选B.11()12x f x x x

=

=?1x x =，即1x =时取等号）。故选B 。

3、（2008浙江高考）已知0,0,2,a b a b +=且则厖（ ）

A.12

ab ?

B. 12

ab …

C.222a b +…

D. 223a b +?

【解析】选C.由0,0a b

厖,且2a b +=∴22222

4()22()a b a b ab a b =+=+++?，当且仅当a=b=1时等号

成立∴22

2a b +…。

4、（2008陕西高考）“18a =”是“对任意的正数x ，21a x x

+…”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【解析】选A.18a =112222188a x x x x x x ?+=+?=…，另一方面对任意正数x ，21a x x +…

只要22221a a x x a

x x

+?=2厖18

a ?…，所以选A.

5、（2008江西高考）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（ ） A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．12

【解析】选A.22121212121

(

)()222

a a

b b a a b b ++++=? 112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--… 11221221()a b a b a b a b ++…

12121122112111221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=++++?∴112212

a b a b +…

6、（２００８年安徽高考）设函数1()21(0),f x x x x

=+-< 则()f x （ ）

A ．有最大值

B ．有最小值

C ．是增函数

D ．是减函数

【解析】选A .1020,0x x x <->->∵∴，11()21[(2)()]1f x x x x x =+-=--+--，由基本不等式

11()[(2)()]12(2)()1221f x x x x x

=--+------=--?有最大值.

7、（2008江苏高考）2

,,,230,y x y z R x y z xz

*

∈-+=的最小值为 。

【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由230x y z -+=得32x z

y +=，代入2y xz 得

229666344x z xz xz xz

xz xz

+++≥=，当且仅当3x z =时取“=”。

答案:3

8、 (2008湖北高考).如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2,四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？

【解析】方法1：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab =9000.

①

广告的高为a +20，宽为2b +25，其中a ＞0，b ＞0.

广告的面积S ＝(a +20)(2b +25)＝2ab +40b +25a +500＝18500+25a +40b

≥18500+2b a 4025?=18500+.245001000=ab

当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b =a 8

5

,代入①式得a =120，从而b =75.

即当a =120，b =75时,S 取得最小值24500.

故广告的高为140 cm,宽为175 cm 时，可使广告的面积最小.

方法2：设广告的高为宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，

,2

25

-y 其中x ＞20，y ＞25 两栏面积之和为2(x －20)18000225=-y ,由此得y =,2520

18000

+-x 广告的面积S =xy =x (252018000+-x )＝2520

18000

+-x x ,

整理得S =.18500)20(2520

360000

+-+-x x

因为x －20＞0，所以S ≥2

.2450018500)20(2520

360000

=+-?-x x

当且仅当

)20(2520

360000

-=-x x 时等号成立，

此时有(x －20)2＝14400(x ＞20)，解得x =140，代入y =20

18000

-x +25,得y ＝175，

即当x =140，y ＝175时，S 取得最小值24500，

故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小. 2007年考题

1.（2007上海高考）已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）

A 、22a b <

B 、22ab a b <

C 、2211ab a b

<

D 、b a

a b < 【解析】选C. 若0a b <

a ≥2

b ，A 不成立；若220

,ab a b ab a b

>??

则

12,2b a b a

a b a b

==?>,所以D 不成立 ,故选C. 2.（2007重庆高考）若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则

|

|2||2b a ab

+的最大值为（ ）

A.

1552 B.42 C.55 D.2

2

【解析】选B.a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则2

2

2

2

14414||.a b a b ab =-?+=≥

1

||.4

ab ∴≤2224(||2||)4|| 1.a b a b ab +=+-=Q

2

||2||ab a b ∴=≤=+

=

=

11||4,4||

ab ab ≤

∴≥Q

4

=

3.（2007山东高考）函数1(01)x

y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线

10(0)mx ny mn +-=>上，则

11

m n

+的最小值为 ． 【解析】函数1(01)x

y a

a a -=>≠,的图象恒过定点(1,1)A ，

1110m n ?+?-=，1m n +=，,0m n >，

（方法一）

：2m n +≥，

11224m n +≥?=（当且仅当m=n=1

2

时等号成立）.（方法二）

：1111()()224n m m n m n m n m n +=+?+=++≥+=（当且仅当m=n=1

2

时等号成立）. 答案：4.

4.（2007山东高考）函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则

12

m n

+的最小值为_______. 【解析】函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点(2,1)A --，(2)(1)10m n -?+-?+=，

21m n +=，,0m n >

，

12124()(2)448.n m m n m n m n m n +=+?+=++≥+= 答案：8.

5.（2007上海高考）已知,x y R +

∈，且41x y +=，则x y ?的最大值为_____

【解析】211414()44216

x y xy x y +=?≤=，当且仅当x=4y=1

2时取等号.

答案:

16

1