2019届高三数学(理)二轮专题复习文档：专题二数列 第2讲 数列求和及综合应用 Word版含解析

第2讲　数列求和及综合应用

高考定位　1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.

真 题 感 悟

1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n .

(1)求{a n }的通项公式；

(2)求数列的前n 项和.{a n 2n ＋1}

解　(1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①

故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，②

①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝

，22n －1又n ＝1时，a 1＝2适合上式，

从而{a n }的通项公式为a n ＝.22n －1

(2)记的前n 项和为S n ，{a n 2n ＋1}

由(1)知＝＝－，a n 2n ＋12（2n －1）（2n ＋1）12n －112n ＋1

则S n ＝＋＋…＋(1－13)(13－15)(12n －1－12n ＋1)

＝1－＝.12n ＋12n 2n ＋1

2.(2017·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a

3.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列{b n a n }

的前n 项和T n .

解　(1)设{a n }的公比为q ，

由题意知{a 1（1＋q ）＝6，aq ＝a 1q 2，)

又a n >0，

解得所以a n ＝2n .{a 1＝2，q ＝2，

)

(2)由题意知：S 2n ＋1＝＝(2n ＋1)b n ＋1，（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，

所以b n ＝2n ＋1.

令c n ＝，则c n ＝，b n a n 2n ＋12n 因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n

＝＋＋＋…＋＋，325227232n －12n －12n ＋12n 又T n ＝＋＋＋…＋＋，123225237242n －12n 2n ＋12

n ＋1两式相减得T n ＝＋－，1232(12＋122＋…＋12n －1)

2n ＋12n ＋1所以T n ＝5－.2n ＋52n 考 点 整 合

1.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系，a n ＝{S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.)

(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误.

2.数列求和

(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.

(2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.

(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加

抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中{a n }是各项均不为{c a n a n ＋1}

零的等差数列，c 为常数)的数列.

温馨提醒　裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误.

3.数列与函数、不等式的交汇

数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成立问题.

热点一　a n 与S n 的关系问题

【例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n

＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝.b n ＋1

T n T

n ＋1(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值.

解　(1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *，

所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1，

两式相减，得a n ＋1＝－a n ，14又当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，知a 1＝－，14所以数列{a n }是公比、首项均为－的等比数列.14

所以数列{a n }的通项公式a n ＝.(－14)

n

(2)b n ＝－1－log 2|a n |＝2n －1，

数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2，

c n ＝＝＝－，b n ＋1T n T n ＋12n ＋1n 2（n ＋1）21n 21（n ＋1）2

所以A n ＝1－.1（n ＋1）2

因此{A n }是单调递增数列，

∴当n ＝1时，A n 有最小值A 1＝1－＝；A n 没有最大值.1434

探究提高　1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先

求出S n 与n 之间的关系，再求a n .

2.形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠1，q ≠0)，可构造一个新的等比数列.

【训练1】 (2018·安徽江南名校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足2(S n ＋1)＝(n ＋3)a n .

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设数列{b n }满足b n ＝，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <3.1a n a n ＋1

(1)解　2(S n ＋1)＝(n ＋3)a n ，①

当n ≥2时，2(S n －1＋1)＝(n ＋2)a n －1，②

①－②得，(n ＋1)a n ＝(n ＋2)a n －1，

所以＝(n ≥2)，又∵＝，a n n ＋2a n －1n ＋1a 11＋213

故是首项为的常数列.{a n n ＋2}

13所以a n ＝(n ＋2).13

(2)证明　由(1)知，

b n ＝＝＝9.1a n a n ＋19（n ＋2）（n ＋3）(1n ＋2－1n ＋3)

∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n

＝9[(13－14)＋(14－15)

＋…＋(1n ＋2－1n ＋3)]＝9＝3－<3.(13－1n ＋3)9n ＋3

热点二　数列的求和

考法1　分组转化求和

【例2－1】 (2018·合肥质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .

解　(1)∵{a n }为等差数列，

∴解得{S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，S 7＝7a 1＋7×62d ＝63，){a 1＝3，d ＝2.)

因此{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1.

(2)∵b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ＝22n ＋1＋(－1)n ·(2n ＋1)

＝2×4n ＋(－1)n ·(2n ＋1)，

∴T n ＝2×(41＋42＋…＋4n )＋[－3＋5－7＋9－…＋(－1)n (2n ＋1)]＝＋G n .8（4n －1）3当n 为偶数时，G n ＝2×＝n ，n 2∴T n ＝＋n ；8（4n －1）3当n 为奇数时，G n ＝2×－(2n ＋1)＝－n －2，n －12∴T n ＝－n －2，8（4n －1）3

∴T n ＝{8（4n －1）3＋n （n 为偶数），8（4n －1）3－n －2 （n 为奇数）.)

探究提高　1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n 的奇偶进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.

2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.考法2　裂项相消法求和

【例2－2】 (2018·郑州调研)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝2n 2＋5n .

(1)求证：数列{3a n }为等比数列；

(2)设b n ＝2S n －3n ，求数列

的前n 项和T n .{n a n b n }(1)证明　∵S n ＝2n 2＋5n ，

∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n ＋3.

又当n ＝1时，a 1＝S 1＝7也满足a n ＝4n ＋3.

故a n ＝4n ＋3(n ∈N *).

由a n ＋1－a n ＝4，得＝3a n ＋1－a n ＝34＝81.3an ＋1

3an ∴数列{3a n }是公比为81的等比数列.

(2)解　∵b n ＝4n 2＋7n ，

∴＝＝，n a n b n 1（4n ＋3）（4n ＋7）14(14n ＋3－14n ＋7)

∴T n ＝14(17－111＋111－115＋…＋14n ＋3－14n ＋7)

＝＝.14(17－14n ＋7)

n 7（4n ＋7）探究提高　1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.

2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

【训练2】 (2018·成都二诊)设正项等比数列{a n }，a 4＝81，且a 2，a 3的等差中项为(a 1＋a 2).32

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝log 3a 2n －1，数列{b n }的前n 项和为S n ，数列{c n }满足c n ＝

，T n 为14S n －1数列{c n }的前n 项和，若T n <λn 恒成立，求λ的取值范围.

解　(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，

由题意，得解得{a 4＝a 1q 3＝81，a 1q ＋a 1q 2＝3（a 1＋a 1q ），){a 1＝3，q ＝3.)

所以a n ＝a 1q n －1＝3n .

(2)由(1)得b n ＝log 332n －1＝2n －1，

S n ＝＝＝n 2

n （b 1＋b n ）2n [1＋（2n －1）]2

∴c n ＝＝，14n 2－112(12n －1－12n ＋1)

∴T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]

＝

.n 2n ＋1若T n ＝<λn 恒成立，则λ>(n ∈N *)恒成立，n 2n ＋112n ＋1

则λ>，所以λ>.(12n ＋1) max 13

考法3　错位相减求和

【例2－3】 (2018·潍坊一模)公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝10，且a 1，a 3，a 9成等比数列.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)求数列的前n 项和T n .{a n 3n }

解　(1)设{a n }的公差为d ，由题设

得∴{4a 1＋6d ＝10，a ＝a 1·a 9，){4a 1＋6d ＝10，（a 1＋2d ）2＝a 1（a 1＋8d ）.)

解之得a 1＝1，且d ＝1.

因此a n ＝n .

(2)令c n ＝，则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n n 3n ＝＋＋＋…＋＋，①13232333n －13n －1n 3n T n ＝＋＋…＋＋，②13132233n －13n n 3

n ＋1①－②得：T n ＝－23(13＋132＋…＋13n )

n 3n ＋1＝－＝－－，13(1－13n )1－13

n

3n ＋11212×3n n 3n ＋1∴T n ＝－.342n ＋34×3n 探究提高　1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解.

2.在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地

写出“S n －qS n ”的表达式.

【训练3】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.

(1)求数列{b n }的通项公式；

(2)令c n ＝，求数列{c n }的前n 项和T n .（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n

解　(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5.

当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式.所以a n ＝6n ＋5.

设数列{b n }的公差为d ，

由即{a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，){11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，

)

可解得所以b n ＝3n ＋1.{b 1＝4，d ＝3.

)(2)由(1)知c n ＝＝3(n ＋1)·2n ＋1.，（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，

得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，

2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2].

两式作差，得

－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]

＝3×＝－3n ·2n ＋2.[4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）×2n ＋2]

所以T n ＝3n ·2n ＋2.

热点三　与数列相关的综合问题

【例3】 设f (x )＝x 2＋2x ，f ′(x )是y ＝f (x )的导函数，若数列{a n }满足a n ＋1＝f ′(a n )，12

且首项a 1＝1.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值.

解　(1)由f (x )＝x 2＋2x ，得f ′(x )＝x ＋2.12

∵a n ＋1＝f ′(a n )，且a 1＝1.

∴a n ＋1＝a n ＋2则a n ＋1－a n ＝2，

因此数列{a n }是公差为2，首项为1的等差数列.

∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.

(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝＝n 2，n （1＋2n －1）2

等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，∴q ＝3.

∴b n ＝3n －1.

∴数列{b n }的前n 项和T n ＝＝＝.1－3n 1－33n －13－13n －12T n ≤S n 可化为≤n 2.3n －12

又n ∈N *，∴n ＝1，或n ＝2

故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1和2.

探究提高　1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.

2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.

【训练4】 (2018·长沙雅礼中学质检)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)记数列的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<成立的n 的最小值.{1a n }11 000

解　(1)由已知S n ＝2a n －a 1，

有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2).

从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.

又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，

所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，

所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，

故a n ＝2n .

(2)由(1)可得＝，1a n 12n

所以T n ＝＋＋…＋＝＝1－.1212212n 12[1－(12)n ]

1－1212n 由|T n －1|<，得<，11 000|

1－12n －1|11 000即2n >1 000，又∵n ∈N *，

因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n ≥10，

于是，使|T n －1|<成立的n 的最小值为10.1

1 000

1.错位相减法的关注点

(1)适用题型：等差数列{a n }乘以等比数列{b n }对应项得到的数列{a n ·b n }求和.

(2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比.②把两个和的形式错位相减.③整理结果形式.

2.裂项求和的常见技巧

(1)＝－.(2)＝.1n （n ＋1）1n 1n ＋11n （n ＋k ）1k (1n －1n ＋k )

(3)＝.1n 2－112(1n －1－1n ＋1)

(4)＝.14n 2－112(12n －1－12n ＋1)

3.数列与不等式综合问题

(1)如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用；

(2)如果是解不等式，注意因式分解的应用

.

一、选择题

1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＝a 5.令b n ＝(－1)n －1a n ，则数列{b n }的前2n 项和T 2n 为( )

A.－n

B.－2n

C.n

D.2n

解析　设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝a 5得3a 2＝a 5，∴3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b n ＝(－1)n －1(2n －1)，∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1)＝－2n .

答案　B

2.(2018·衡水中学月考)数列a n ＝，其前n 项之和为，则在平面直角坐1n （n ＋1）910

标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )

A.－10

B.－9

C.10

D.9解析　由于a n ＝＝－.1n （n ＋1）1n 1n ＋1

∴S n ＝＋＋…＋(1－12)(12－13)(1n －1n ＋1)

＝1－.因此1－＝，所以n ＝9.1n ＋11n ＋1910

所以直线方程为10x ＋y ＋9＝0.

令x ＝0，得y ＝－9，所以在y 轴上的截距为－9.

答案　B

3.已知T n 为数列的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小{2n ＋12n }

值为( )

A.1 026

B.1 025

C.1 024

D.1 023

解析　因为＝1＋，所以T n ＝n ＋1－，2n ＋12n 12n 12n 则T 10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－，12101210又m >T 10＋1 013，

所以整数m 的最小值为1 024.

答案　C

4.已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )

A.9

B.15

C.18

D.30

解析　∵a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，∴数列{a n }是公差为2，首项为－5的等差数列.∴a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7.

数列{a n }的前n 项和S n ＝

＝n 2－6n .n （－5＋2n －7）2令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥.72∴n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n .

则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝

S 6－2S 3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.

答案　C

5.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )

A.2

B.2n

C.2n ＋1－2

D.2n －1－2解析　因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1

＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n －2＋2＝2n ，所以S n ＝＝2n ＋

2－2n 1－22－2n ＋11－2

1－2.

答案　C

二、填空题

6.(2018·昆明诊断)数列{a n }满足a n ＝

，则＋＋…＋等于________.n （n ＋1）21a 11a 21a 2 018解析　a n ＝，则＝＝2n （n ＋1）21a n 2n （n ＋1）(1n －1n ＋1)

∴＋＋…＋1a 11a 21a 2 018＝2[(1－12)＋(12－13)

＋…＋(12 018－12 019)]＝2＝.(1－12 019)

4 0362 019

答案　4 0362 0197.记S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且a n ＋1＝2，则S 2 018＝________.

S n

解析　由题意得4S n ＝(a n ＋1)2，①

当n ＝1时，4a 1＝(a 1＋1)2，a 1＝1，

当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2，②

①－②得a －a －2(a n ＋a n －1)＝0，

2n 2n －1所以(a n －a n －1－2)(a n ＋a n －1)＝0，

又a n >0，所以a n －a n －1＝2，

则{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列.

所以a n ＝2n －1，S 2 018＝

＝2 0182.2 018（1＋2×2 018－1）2

答案　2 0182

8.(2018·贵阳质检)已知[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.在数列{a n }中，a n ＝[lg n ]，n ∈N ＋，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝________.解析　当1≤n ≤9时，a n ＝[lg n ]＝0.

当10≤n ≤99时，a n ＝[lg n ]＝1.

当100≤n ≤999时，a n ＝[lg n ]＝2.

当1 000≤n ≤2 018时，a n ＝[lg n ]＝3.

故S 2 018＝9×0＋90×1＋900×2＋1 019×3＝4 947.

答案　4 947

三、解答题

9.(2018·济南模拟)记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝，求数列{b n }的前n 项和T n .1a n a n ＋1解　(1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n －[2(n －1)2＋(n －1)]＝4n －1.

又a 1＝3满足上式.

所以a n ＝4n －1(n ∈N *).

(2)b n ＝

＝＝.1a n a n ＋11（4n －1）（4n ＋3）14(14n －1－14n ＋3)

所以

T n ＝14[(13－17)＋(17－110)

＋…＋(14n －1－14n ＋3)]＝＝.14(

13－14n ＋3)n 12n ＋910.(2018·南昌调研)已知数列{－n }是等比数列，且a 1＝9，a 2＝36.

a n (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求数列{a n －n 2}的前n 项和S n .

解　(1)设等比数列{－n }的公比为q ，

a n 则q ＝＝＝2.a 2－2a 1－16－23－1－n ＝(3－1)×2n －1，故a n ＝(n ＋2n )2.

a n (2)由(1)知a n －n 2＝n ·2n ＋1＋4n .

记T n ＝22＋2·23＋…＋n ·2n ＋1，

则2T n ＝23＋2·24＋…＋(n －1)·2n ＋1＋n ·2n ＋2，

两式作差，得

－T n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－n ·2n ＋2

＝2n ＋2－4－n ·2n ＋2＝(1－n )·2n ＋2－4，

∴T n ＝(n －1)·2n ＋2＋4，

故S n ＝T n ＋＝(n －1)·2n ＋2＋.4－4n ＋11－44n ＋1＋83

11.若数列{a n }是公差为2的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)设数列{c n }满足c n ＝，数列{c n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)n λ

n －1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.

解　(1)∵数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.∴n ＝1时，a 1＋1＝2，解得a 1＝1.

又数列{a n }是公差为2的等差数列，

∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.

∴2nb n ＝nb n ＋1，化为2b n ＝b n ＋1，

∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.∴b n ＝2n －1.

(2)由数列{c n }满足c n ＝＝＝，a n ＋1b n ＋12n 2n n 2

n －1数列{c n }的前n 项和为

T n ＝1＋＋＋…＋，22322n 2n －1∴T n ＝＋＋…＋＋，1212222n －12n －1n 2n 两式作差，得

∴T n ＝1＋＋＋…＋－＝－121212212n －1n 2n 1－12n 1－12

n 2n

＝2－，∴T n ＝4－

.n ＋2

2n n ＋22n －1不等式(－1)n λ

n

2n －1

22n －1n ＝2k (k ∈N *)时，λ<4－，取n ＝2，∴λ<3.22n －1

n ＝2k －1(k ∈N *)时，－λ<4－，取n ＝1，∴λ>－2.22

n －1综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).

2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法 文数(含解析)

专题43 数列 数列的求和4 （ 分组求和、倒序相加法） 【考点讲解】 一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述： 求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：； 等比： 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，q a S -= 11 （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ； ； ； ； （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么

这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝ 的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 形如： n n b a +其中， （6）并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类 型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求 的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： ； . 【真题分析】

高中数学数列专题大题训练

高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

高考理科数学复习题解析 数列求和

高考数学复习 第四节 数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋n n －12 d ； (2)等比数列的前n 项和公式： 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解． 5．倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] 1．一些常见的数列前n 项和公式：

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n n ＋1 2 ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2 ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2 ＋n . 2．常用的裂项公式 (1) 1n n ＋k ＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (2)1 4n 2－1＝1 2n －1 2n ＋1＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a ? ?? ??1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n . [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2 ＋3a 3 ＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n n ＋1 ，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n ＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1) n －1 ·n ，则S 50＝________. －25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.] 4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2 n ，…的前n 项和S n 的值等于________．

数列求和的方法专题

数列求和的方法 一、公式法[来源: 自然数方幂和公式：1 123(1)2 n n n +++???+= + 22221 123(1)(21)6n n n n +++???+=++ 333321 123[(1)]2 n n n +++???+=+ 【例题1】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1 {}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000 n T -<成立的n 的最小值. 【变式训练】已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =9 2 . (Ⅰ)求{}n a 的通项公式， (Ⅱ)设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T . 二、分组法 类型一、等比数列+等差数列混合求和： 【例题2】已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22 －1,9＋23 －1,12＋24 －1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .

【变式训练】已知数列{a n }的通项公式为a n =2n (n ∈N*)，数列{b n }是以函数 214sin 12y x π? ?=+- ?? ?的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a n - b n }的 前n 项和S n . 类型二、奇数项和偶数项分别求和： 【例题3】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N * )，则S 2 012= 。 【变式训练】【2015高考湖南，文19】（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 已知121,2a a ==，且13n n a S +=* 13,()n S n N +-+∈， （I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S . 类型三、正数项和负数项分别求和后再求和： 【例题4】在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (Ⅰ)求d ，a n ； （Ⅱ）若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |. 【变式训练】在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 3a 5＋2a 4a 6＋a 3a 9＝100，又4是a 4与a 6的等比中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2a n ，求数列{|b n |}的前n 项和S n .

高考数学第2讲数列求和及综合问题

第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1， 所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，

所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1， 由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题

用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1

数列求和专题训练 方法归纳

数列求和专题 方法归纳 方法1：分组转化法求和 1．已知{a n }的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n ＋2n －1，则S n ＝ ________. 2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an －2＋n ，求 b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 方法2裂项相消法求和 3.设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N * )，则数列? ???????? ?1a n 前 10项的和为______． 4. S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. ①求{a n }的通项公式； ②设b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． 5．若已知数列的前四项是 112 ＋2，122＋4，132＋6，1 42＋8 ，则数列的前n 项和为________． 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. （1)求{a n }的通项 公式； (2)设b n ＝1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 7．已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设 b n ＝1 a n ，求证：数列{ b n }是等差数列；(2)求数列?????? ??? ?a n n ＋1的前n 项和S n . 方法3：错位相减法求和 8．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n ＞0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求 T n . 9．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－ 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通 项公式．

（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比 数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥， 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-??

2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和

第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )

备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题26 数列求和方法答案解析

【高考地位】 数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 【方法点评】 方法一 公式法 解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 第二步 根据已知条件列方程求出未知量； 第三步 利用前n 项和公式求和结果 例1.设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{n S n 的前n 项和，求n T ． 【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：

等差数列前n 项和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a q a a q q q q =??=--?=≠?--? ． 自然数方幂和公式：1123(1)2 n n n +++???+=+ 22221123(1)(21)6 n n n n +++???+=++ 333321123[(1)]2 n n n +++???+=+ 【变式演练1】已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B 【解析】 试题分析：a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，解方程组可得11,2a d == 101109101002 S a d ?∴=+ = 考点：等差数列通项公式及求和 方法二 分组法 解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式； 第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和； 第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和. 例2. 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项 S n .

数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和.

解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f

高中数学数列求和专题复习知识点习题.doc

数列求和例题精讲 1． 公式法求和 （1）等差数列前 n 项和公式 S n n(a 1 a n ) n(a k 1 a n k ) n( n 1) d 2 2 na 1 2 （2）等比数列前 n 项和公式 q 1 时 S n na 1 q 1 时 S n a 1 (1 q n ) a 1 a n q 1 q 1 q （3）前 n 个正整数的和 1 2 3 n(n 1) n 2 前 n 个正整数的平方和 12 22 32 n 2 n(n 1)(2n 1) 6 前 n 个正整数的立方和 13 23 33 n 3 [ n(n 1) ] 2 （ 1）弄准求和项数 n 的值； 2 公式法求和注意事项 （ 2）等比数列公比 q 未知时，运用前 n 项和公式要分类。 例 1．求数列 1，4，7， ，3n 1 的所有项的和 例 2．求和 1 x x 2 x n 2 ( n 2, x 0 )

2．分组法求和 例 3．求数列 1， 1 2，1 2 3，，1 2 3 n 的所有项的和。 5n 1 (n为奇数 ) 例 4．已知数列a n中，a n ，求 S2m。 ( 2) n (n为偶数 ) 3．并项法求和 例 5．数列a n 中， a n ( 1) n 1 n2，求 S100。 例 6．数列a n中，，a n( 1) n 4n ，求 S20及 S35。 4．错位相减法求和 若a n 为等差数列，b n 为等比数列，求数列a n b n（差比数列）前n项 b n 的公比。 和，可由S n qS n求 S n，其中q 为

例 7．求和12x 3x 2nx n 1（x0 ）。 5．裂项法求和 :把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 例 8．求和 1 1 1 1 。 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 例 9．求和 1 1 1 1 2 1 3 2 23 。 n 1n ［练习］ 1 1 1 1 1 2 3 2 3 n 1 2 1 a n S n 2 1 n 1

高中数列求和公式

数列求和的基本方法和技巧 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

专题--数列求和的基本方法和技巧

数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5.2 1 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位）

高中数学数列求和

第四节数列求和 [备考方向要明了] 考什么怎么考 熟练掌握等差、等比数 列的前n项和公式. 1.以选择题或填空题的形式考查可转化为等差或等比数列的数列 求和问题，如2012年新课标全国T16等． 2.以解答题的形式考查利用错位相减法、裂项相消法或分组求和法 等求数列的前n项和，如2012年江西T16，湖北T18等. [归纳·知识整合] 数列求和的常用方法 1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和 (1)等差数列的前n项和公式： S n＝ n(a1＋a n) 2＝na1＋ n(n－1) 2d； (2)等比数列的前n项和公式： S n＝ ?? ? ??na1，q＝1， a1－a n q 1－q ＝ a1(1－q n) 1－q ，q≠1. 2．倒序相加法 如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．3．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．[探究] 1.应用裂项相消法求和的前提条件是什么？ 提示：应用裂项相消法求和的前提条件是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后抵消． 2．利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？

提示：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差； (2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下两项． 5．分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [自测·牛刀小试] 1. 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1 (3n －2)(3n ＋1) 等于( ) A.n 3n ＋1 B.3n 3n ＋1 C ．1－1 n ＋1 D ．3－1 3n ＋1 解析：选A ∵1(3n －2)(3n ＋1)＝13????1 3n －2－13n ＋1， ∴ 11×4＋14×7＋17×10＋…＋1 (3n －2)(3n ＋1) ＝13?? ? ???1－14＋????14－17＋???? 17－110＋…＋ ??????13n －2－13n ＋1＝13????1－13n ＋1＝n 3n ＋1 . 2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝321 64，则项数n 等于( ) A ．13 B ．10 C ．9 D ．6 解析：选D ∵a n ＝2n －12n ＝1－1 2n ， ∴S n ＝????1－12＋????1－122＋…＋????1－1 2n ＝n －????12＋12 2＋ (12)

数列求和7种方法(方法全_例子多)

数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）

＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ －１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2 +cn ，则a = ,b = ,c = . 解： 原式= 答案： 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1) 1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和.

高考数学专题复习数列求和

第4讲数列求和 一、选择题 1．设数列{(－1)n}的前n项和为S n，则对任意正整数n，S n＝( ) A.n[1n－1] 2 B. 1n－1＋1 2 C.1n＋1 2 D. 1n－1 2 解析∵数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列， ∴S n＝11n1 11 ＝ 1n－1 2 . 答案 D 2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝( ) A．66 B．65 C．61 D．56 解析当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－4n＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n－5.∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，∴|a1| ＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋81＋15 2 ＝2＋64＝66. 答案 A 3．在数列{a n}中，a n＝ 1 n n ＋1 ，若{a n}的前n项和为 2 013 2 014 ，则项数n为( )． A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014 解析∵a n＝1 n n ＋1＝ 1 n － 1 n＋1 ，∴S n＝1－ 1 n＋1 ＝ n n＋1 ＝ 2 013 2 014 ，解得n＝2 013. 答案 C 4．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为( )．A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 解析当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1， 当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，

∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30 3＋119 2 ＝30×61＝1 830. 答案 D 5．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则 1～100 这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是( ) A ．130 B ．325 C ．676 D ．1 300 解析 设两个连续偶数为2k ＋2和2k (k ∈N ＋)，则(2k ＋2)2－(2k )2＝4(2k ＋1)，故和平数 是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，…，4×25，共计13个，其和为4×1＋252 ×13＝676. 答案 C 6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1 2(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21 ＝ ( )． A.21 2 B ．6 C ．10 D ．11 解析 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝1 2，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、 偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×1 2＋1＝6，故选B. 答案 B 二、填空题 7．在等比数列{a n }中，若a 1＝1 2，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋… ＋|a n |＝________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以