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2006年全国初中数学联赛试题与答案

2006年全国初中数学联赛

第一试

一、选择题

1．已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点用S 、p 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；S 1、p 1，分别表示四边形EFGH 的面积和周长．设

,p p k S S k ==

．则下面关于1k k 、的说法中，正确的是【】

(A) 1k k 、均为常值

(B)k 为常值，1k 不为常值 (C)k 不为常值，1k 为常值

(D)1k k 、均不为常值

2．已知m 为实数，且ααcos sin 、是关于x 的方程0132

=+-mx x 的两根．则

+?α4

sin

α4

cos 的值为【】

(A)

2 (B)

1 (C)

7 (D)1

3．关于x 的方程a x x =-|1

仅有两个不同的实根．则实数a 的取值范围是【】

(A)a ＞0

(B)a≥4 (C)2＜a ＜4 (D)0＜a ＜4

4．设.,02,02

a bc c a

b a b >=+->则实数

c b a 、、的大小关系是【】 (A)a c b >> (B)b a c >> (C)c b a >>

(D)c a b >>

5．b a 、为有理数，且满足等式324163++

=+b a ,则b a +的值为

【】 (A)2

(B)4

(D)8

6．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，

二、填空题

7．函数2008||20062+-=x x y 的图像与x 轴交点的横坐标之和等于． 8．在等腰ABC Rt ?中，AC ＝BC ＝1，M 是BC 的中点，CE⊥AM 于点E ，交AB 于点F ，则S △MBF ＝。 9．使16)8(42

+-+

+x x 取最小值的实数x 的值为．

10．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC 内部(边界及顶点除外)一格点P 满足

P O C PAB PBC POA S S S S ?????=?。就称格点P 为“好点”．则正方形OABC 内部好点的个数

为．

注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．

第二试

A 卷

一、已知关于x 的一元二次方程0)994()32(22

=++++++b a x b a x 无相异两实根．则满足条件的有序正整数组)(b a ，有多少组?

二、如图，D 为等腰△A BC 底边BC 的中点，E 、F 分别为AC 及其延长线上的点．已知 ∠EDF ＝90°．ED ＝DF ＝1，AD ＝5．求线段BC 的长．

三、如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O 1分别为△CEF、△ABE 的外心．求证： (1)O 、E 、O 1三点共线；(2).2

1ABC OBD ∠=

∠

B 卷

三、如图，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，点O 、O 1分别为△CEF、△A BE 的外心．

(1)求证：O 、E 、01三点共线；(2)若,70o ABC =∠求OBD ∠的度数．

C 卷

三、设p 为正整数，且2≥p ．在平面直角坐标系中，点),0(p A 和点)0,(p B 的连线段通过1-p 个格点,),1,1(1 -p C )1,1(,).,(1---p C i p i C p i ．证明：

(1)若p 为质数，则在原点O(0，0)与点),(i p i C i -的连线段)1,,2,1(.-=p i OC i 上除端点外无其他格点；

(2)若在原点O(0，0)与点),(i p i C i -的连线段)1,,2,1(-=p i OC i 上除端点外无其他格点，则p 为质数．

2006年全国初中数学联赛

第一试

一、选择题

,p p k S S k ==

．则下面关于1k k 、的说法中，正确的是( B )．

(A) 1k k 、均为常值

(B)k 为常值，1k 不为常值 (C)k 不为常值，1k 为常值

(D)1k k 、均不为常值

2．已知m 为实数，且ααcos sin 、是关于x 的方程0132

=+-mx x 的两根．则

+?α4

sin

α4

cos 的值为( C )．

(A)

2 (B)

1 (C)

7 (D)1

3．关于x 的方程a x x =-|1

仅有两个不同的实根．则实数a 的取值范围是( D )．

(A)a ＞0 (B)a≥4 (C)2＜a ＜4 (D)0＜a ＜4

4．设.,02,0222a bc c ab a b >=+->则实数c b a 、、的大小关系是( A )． (A)a c b >> (B)b a c >>

(C)c b a >>

(D)c a b >>

5．b a 、为有理数，且满足等式324163++

=+b a ,则b a +的值为( B )．

(A)2

(B)4

(D)8

6．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为( C )．

二、填空题

7．函数2008||20062+-=x x y 的图像与x 轴交点的横坐标之和等于 0 ． 8．在等腰ABC Rt ?中，AC ＝BC ＝1，M 是BC 的中点，CE⊥AM 于点E ，交AB 于点F ，则S △MBF ＝

112

。

9．使16)8(42

+-+

+x x 取最小值的实数x 的值为 8

．

10．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC 内部(边界及顶点除外)一格点P 满足

P O C PAB PBC POA S S S S ?????=?。就称格点P 为“好点”．则正方形OABC 内部好点的个数为

197 ．

注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．

第二试

A 卷

一、已知关于x 的一元二次方程2222(23)(499)0x a b x a b ++++++=无相异两实根．则满足条件的有序正整数组)(b a ，有多少组? 由题意：方程有两个相等实根或无实数根 △<＝0

所以：4(a ＋2b ＋3)^2－4(a^2＋4b^2＋99)<＝0

即 2ab＋3a＋6b<＝45

a<＝(45－6b)/(2b＋3)

因为 a,b均为正整数

所以b＝1,a＝1,2,3,4,5,6,7

b＝2,a＝1,2,3,4

b＝3,a＝1,2,3

b＝4,a＝1

b＝5,a＝1

所以共有有序正整数组16组

二、如图l，D为等腰△A BC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点．已知∠EDF＝90°．ED＝DF＝1，AD＝5．求线段BC的长．

三、如图2，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．求证：

(1)O 、E 、O 1三点共线； (2).2

1ABC OBD ∠=

∠

B 卷

一、(20分)同A 卷第一题．二、(25分)同A 卷第二题．

三、(25分)如图2，在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线分别与BC 、DC 的延长线交于点

E 、

F ，点O 、O 1分别为△CEF、△A BE 的外心． (1)求证：O 、E 、01三点共线；

(2)若,70o ABC =∠求OBD ∠的度数．

C 卷

一、(20分)同A 卷第二题．二、(25分)同B 卷第三题．

三、(25分)设p 为正整数，且2≥p ．在平面直角坐标系中，点),0(p A 和点)0,(p B 的连线段通过1-p 个格点,),1,1(1 -p C )1,1(,).,(1---p C i p i C p i ．证明：

(1)若p 为质数，则在原点O(0，0)与点),(i p i C i -的连线段)1,,2,1(.-=p i OC i 上除端点外无其他格点；

(2)若在原点O(0，0)与点),(i p i C i -的连线段)1,,2,1(-=p i OC i 上除端点外无其他格点，则p 为质数．

角CEF＝角DAE＝角BAF＝角CFE，所以CE＝CF又OE＝OF＝OC，所以三角形OCE全等于三角形OCF，所以角OEC＝角OFC＝角OCF，所以角OEB＝角OCD，从而三角形OCD全等于三角形OEB，所以角ODC＝角OBE，OD＝OB，所以角ODC＝角OBC，角OBD＝角ODB，所以角OBD＝角OBC＋角CBD＝角ODC＋角BDA＝角ADC－角BDO＝角ABC－角OBD

所以角OBD＝角ABC/2，所以角OBD＝35°

3 解：（1）用P(a,b)表示三角形OAB内的格点，a,b为正整数，假设结论不成立，则P 位于某线段OCi内部，过P作PE垂直

OB于E，过Ci作CiF垂直OB于F，三角形POE和三角形CiOF相似，则b/a＝（p－i)/i 其中1<＝i<＝p－1，易知1<＝a

故i<＝a与a

（2）同理分析，假设结论不成立则p为合数，设p＝ay，x，y属于N＋，且2<＝x,y<＝p －1，因为三角形OAB内的格点横纵坐标之和可以是2到p－1间任何整数，所以一定有一格点P（a,b)满足a＋b＝x，于是（a＋b)y＝xy＝p即ay＋by＝p因此点(ay,by)必定是Ci 中的一个，于是有ya＝i,by＝p－i，故b/a＝（p－i)/i，所以点P（a,b）在线段OCi内部，即在线段OCi上还有其他格点，与已知矛盾，所以原结论成立.