数学分析3期末练习题三参考答案
10统计专业和数学专业数学分析（3）期末练习题三参考答案 1. 试求极限.4
2lim
)0,0(),(xy xy y x +-→
解
(,)(0,0)(,)lim
lim
x y x y →→=
(,)lim 4x y →== . 2. 试求极限 .)()cos(1lim
2
22
2
22)
0,0(),(y x y x e
y x y x ++-→
解 由
2222
22
2
22222222(,)(0,0)(,)(0,0)22sin
1cos()2lim lim ()4()2x y x y x y x y x y x y x y x y x y e e →→+-++=?++
1
002=?= . 3. 试求极限.1
sin 1sin )(lim )0,0(),(y
x y x y x +→
解 由于
(,)(0,0)(,)(0,0)111111lim ()sin sin lim (sin sin sin sin )x y x y x y x y x y x y x y →→+=+ ,
又 2
y x =,
所以
(,)(0,0)11lim
sin sin 0x y x x y →=，(,)(0,0)11lim sin sin 0
x y y x y →= ,
所以
(,)(0,0)11lim ()sin sin 0x y x y x y →+= .
4. 试讨论.lim 4
22
)0,0(),(y x xy y x +→
解 当点),(y x 沿直线x y =趋于原点时，
23
2424
000
lim lim 0x x y x xy x x y x x →→=→==++.
当点),(y x 沿抛物线线2
y x =趋于原点时，
2
2424440001lim lim 2y y x y xy y x y y y →→=→==++ .
因为二者不等，所以极限不存在.
5. 试求极限.1
1lim
2
2
22)
0,0(),(-+++→y x y x y x
解 由
22
(,)(,)(0,0)
lim
lim
x y x y →→=
=(,)(0,0)
lim 1)2
x y →= .
6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数，求 .,y
u x u ???? 解 令,,xy w y x v =+= 则
u f v f w f f y x v x w x v w ???????=+=+??????? u f v f w f f x
y v y w y v
w ???????=+=+??????? 7. ,arctan xy z =,x e y = 求.dx
dz 解 由
'21()1()dz y xy dx xy =++
2221(1)()1()1x x x
x x e x e xe xe x e +=+=++. 8. 求抛物面 222y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程。
解 由于
4,2x y z x z y
==,
在)3,1,1(M 处 ,4)3,1,1(=x z 2)3,1,1(=y z ，
所以, 切平面方程为
4(1)2(1)3x y z -+-=-.
即 4230x y z +--=
法线方程为
113
421x y z ---==-. 9. 求5362),(2
2+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式.
解 由
001,2,(1,2)5x y f ==--= (,)46,(1,2)0x
x f x y x y f =---=
(,)23,(1,2)0
y y f x y x y f =----=
(,)4,(1,2)4xx xx f x y f =-= (,)1,
(1,2)1
xy xy f x y f =--=-
(,)2,
(1,2)2
yy yy f x y f =--=-.
得
22(,)52(1)(1)(2)(2)f x y x x y y =+---+-+.
10. 求函数)2(),(22y y x e y x f x ++=的极值. 解 由于
222222(2)(22)0x x x x f e x y y e e x y y =+++=+++=
22(1)0
x y f e y =+=
解得驻点)1,1(--，
222222(22),(22),2x x xx x xy x
yy f e x y y e f e y f e =++++=+=
2
2
(1,1)0,
(1,1)0,(1,1)2xx xy yy A f e B f C f e -=--=>=--==--=
2
20,0AC B A -=>>
所以 )1,1(--是极小值点, 极小值为 .2)1,1(2
--=--e f 11. 叙述隐函数的定义.
答: 设R X ?，R Y ?，函数.:R Y X F →? 对于方程0),(=y x F , 若存在集合X
I ?与Y J ?，使得对于任何I x ∈，恒有唯一确定的J y ∈，使得(,)x y 满足方程0),(=y x F ,则称由方程0),(=y x F 确定了一个定义在I 上，值域含于J 的隐函数。一般可记为
)(x f y = .,J y I x ∈∈ 且成立恒等式
(,())0,.F x f x x I ≡∈
12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 答: 若(,)F x y 满足下列条件:
（i ）函数F 在以0P ),(00y x 为内点的某一区域2
R D ?上连续; （ii ）0),(00=y x F （通常称为初始条件）; （iii ）在D 内存在连续的偏导数()y x F y ,; （iv ）()00,y x F y ≠0,
则在点0P 的某邻域D P U ?)(0内，方程()y x F ,=0唯一地确定了一个定义在某区间
),(00αα+-x x 内的函数（隐函数）)(x f y =，使得
1o ()00y x f =,),(00αα+-∈x x x 时)())(,(0P U x f x ∈且()0)(,≡x f x F ；
2° ()x f 在),(00αα+-x x 内连续. 13. 叙述隐函数可微性定理的内容. 答: 若(,)F x y 满足下列条件:
（i ）函数F 在以0P ),(00y x 为内点的某一区域2
R D ?上连续; （ii ）0),(00=y x F （通常称为初始条件）; （iii ）在D 内存在连续的偏导数()y x F y ,; （iv ）()00,y x F y ≠0,
又设在D 内还存在连续的偏导数),(y x F x ，则由方程0),(=y x F 所确定的隐函数在
)(x f y =在其定义域),(00αα+-x x 内有连续导函数，且
.)
,()
,()('y x F y x F x f y x -
=
14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.
答: 设)(x f y =在0x 的某邻域内有连续的导函数'()f x ，且00)(y x f =; 考虑方程
.0)(),(=-=x f y y x F
由于
0),(00=y x F , 1=y F , 000(,)
'(),x F x y f x =- 所以只要0'()0f x ≠，就能满足隐函数定理的所有条件，这时方程(,)()0F x y y f x =-=能确定出在0y 的某邻域)(0y U 内的连续可微隐函数)(y g x =，并称它为函数)(x f y =的反函数.反函数的导数是
11'().'()'()
y x
F g y F f x f x =-
=-
=-
15. 解: 显然axy y x y x F 3),(3
3
-+=及y x F F ,在平面上任一点都连续，由隐函数定理知道，在使得()()
03,2
≠-=ax y y x F y 的点()y x ,附近，方程033
3
=-+axy y x 都能确定隐
函数)(x f y =；所以，它的一阶与二阶导数如下：
对方程求关于x 的导数（其中y 是x 的函数）并以3除之，得
22''0x y y ay axy +--=,
或
()()2
2'0.x
ay y ax y -+-= （1）
于是
2
2'.ay x y y ax
-=- ()
.02≠-ax y （2）
再对（1）式求导，得：22'(2')'()''0,x ay yy a y y ax y -+-+-= 即
22''()2'2'2.y y ax ay yy x -=-- （3）
把（2）式代入（3）式的右边，得
3332
22
22(3)
2'2'2.()a xy xy x y axy ay yy x y ax --+---=-
再利用方程就得到
323
2''.()
a xy
y y ax =-- 16. 解: 由于z y x z F F F F F F ,,,,01)0,0,0(,0)0,0,0(≠-==处处连续，根据隐函数定理18.3，在原点)0,0,0(附近能惟一确定连续可微得隐函数),(y x f z =，且可求得它得偏导数如下：
,31223xyz x yz F F x z z x -+=-=?? .313223xyz
y xz F F y z z y -+=-=?? 17. 解: (1)令2
2
2
(,,)3F x y z x y z xyz =++-, 则有
23,23,23 x y z F x yz F y xz F z xy =-=-=-.
由于0()0,,, x y z F P F F F =均连续,且
00()()10y z F P F P ==-≠,
故在点0(1,1,1)P 附近由上述方程能确定隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =. (2)当0y F ≠时, 由定理知
2323x x y F x yz
y F y xz
-=-
=--;
同理, 当0z F ≠时, 由定理知
2323x x z F x yz
z F z xy
-=-
=-
-. 于是求得
23312323
(,(,),)22(23),
23 x x x f x y z x z f f y y z xyz y xyz x yz y z y xz
=+=+-=--
2322132223
(,,(,))33(23).
23 x x x f x y z x y f f z y z xy z z xy z x yz y z z xy
=+=+-=--
并且有
(1,(1,1),1)1x f y =-, (1,1,(1,1))2x f z =-.
18. 解: 首先，,0)()(00==p G P F 即0P 满足初始条件. 再求出F ，G 的所有一阶偏导数
,2,2,1,2v F u F F x F v u y x ==-=-= .1,1,,=-=-=-=v u y x G G x G y G
容易验算，在点0P 处的所有六个雅可比行列式中只有
.01
144)
,(),(0
=--=
=
??P v
x
v x P G G F F v x G F
因此，只有,x v 难以肯定能否作为以,y u 为自变量的隐函数. 除此之外，在0P 的近旁任何两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.
如果我们想求得),(),,(v u y y v u x x ==的偏导数，只需对方程组分别关于v u ,求偏导数，得到
??
?=---=--,
01,
022u u u u xy yx y xx u （1） ?
?
?=--=--.01,
022v v v v yx xy y xx v （2） 由（1）解出
.222,21222y
x yu
x y y x xu x u
u -+-=-+=
由（2）解出
22
2122,.22v v xv x yv
x y x y x y
--=
=--- 19. 解: 设
2222(,,,)1F x y u v u v x y =+++-,
(,,,)G x y u v u v xy =-+.
(1) ,F G 关于v u ,的雅可比行列式是
22(,)2()11(,)
u v F G u v u v ?==-+-?, 当u v ≠-时, 在满足方程组的任何一点(,,,)x y u v 的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定
,u v 是,x y 的可微函数;
(2) ,F G 关于,x u 的雅可比行列式是
22(,)2()1(,)
x u F G x uy y x u ?==-?, 当x uy ≠时, 在满足方程组的任何一点(,,,)x y u v 的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定
,x u 是,y v 的可微函数.
20. 解: 设 50),,(222-++=z y x z y x F ，222),,(z y x z y x G -+=. 它们在)5 ,4 ,3(处的偏导数和雅可比行列式之值为：
,6=??x F ,8=??y F ,10=??z F
,6=??x G ,8=??y G ,10-=??z
G 和
160),(),(-=??z y G F ， (,)120(,)
F G z x ?=?，
0),()
,(=??y x G F . 所以曲线在)5 ,4 ,3(处的切线方程为：
5
12041603-=
-=--z y x ， 即
3(3)4(4)0,
5.
x y z -+-=??
=? 法平面方程为
0)5(0)4(3)3(4=-+-+--z y x ， 即
034=-y x .
21. 解: 令(,,)3z F x y z e z xy =-+-, 则
(,,),(,,),(,,)1 z x y z F x y z y F x y z x F x y z e ===-,
故0
1,2,0 x
y
z
M M M F F F ===, 因此曲面在点0(2,1,0)M 处的法向量为
(1,2,0)n =
,
所求切平面方程为
1(2)2(1)0x y ?-+?-=,
即
240x y +-=.
法线方程为
21
,120,x y z --?=?
?
?=?
即
230,
0,x y z --=??
=?
22. 解: 这个问题实质上就是要求函数
222),,(z y x z y x f ++=（空间点(,,)x y z 到原点(0,0,0)的距离函数的平方）
在条件02
2
=-+z y x 及01=-++z y x 下的最大、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法，令
()()22222(,,,,)1L x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-.
对L 求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有
?????
????=-++==-+==+-==++==++=.
01,0,02,022,02222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ 求得这方程组的解为
,33
11
7,3353±-=±
-=μλ 与 .32,2
3
1 =±-=
=z y x （1） （1）就是拉格朗日函数),,,,(μλz y x L 的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得.由于
所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集{}
1,),,(2
2=++=+z y x z y x z y x 上
连续，从而必存在最大值与最小值），故由
2f ? 所求得的两个值359 ，正是该椭圆到原点的最长距离359+与最短距离359-. 23. 叙述含参量x 的正常积分定义.
答: 用积分形式所定义的这两个函数
[].,,),()(?∈=d
c
b a x dy y x f x I （1）
与 [].,,),()()
()
(?
∈=
x d x c b a x dy y x f x F , （2）
通称为定义在[]b a ,上含参量x 的（正常）积分，或简称含参量积分.
（1）式的意义如下：设),(y x f 是定义在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上的二元函数。当x 取[]b a ,上某定值时，
函数),(y x f 则是定义在[]d c ,上以y 为自变量的一元函数.倘若这时),(y x f 在[]d c ,可积，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记它为)(x I ，就有
[].,,),()(?∈=d
c
b a x dy y x f x I .
（2）式的意义如下：一般地，设
),(y x f 为定义在区域
{}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=),()(),(上的二元函数，其中)(),(x d x c 为定义在[]b a ,上的
连续函数，若对于[]b a ,上每一固定的x 值，),(y x f 作为y 的函数在闭区间[])(),(x d x c 上
可积，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数，记作)(x F 时，就有
[].,,),()()
()
(?
∈=x d x c b a x dy y x f x F
24. 叙述含参量x 的正常积分的连续性定理的内容.
答: 设二元函数),(y x f 在区域
{}b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=),()(),(
上连续，其中)(),(x d x c 为[]b a ,上的连续函数，则函数
?
=)
()
(),()(x d x c dy y x f x F （6）
在[]b a ,上连续.
25. 叙述含参量x 的无穷限反常积分定义.
答: 设二元函数),(y x f 定义在无界区域{}
(,),R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对于
[]b a ,上每一固定的x 值，反常积分
(,)c
f x y dy +∞
?
(1)
都收敛, 则它的值是x 在[]b a ,上取值的函数, 当记这个函数为()I x 时, 则有
[]()(,),, c
I x f x y dy x a b +∞
=∈?
,
称(1)式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分, 或简称含参量反常积分. 26. 叙述含参量x 的无穷限反常积分的一致收敛性定义. 答: 若含参量反常积分
(,)c
f x y dy +∞
?
与函数()(,)c
I x f x y dy +∞
=?
对任给的正数ε，
总存在某一实数,c N >使得当N M >时，对一切[]b a x ,∈，都有 ,)(),(ε<-?M
c
x I dy y x f
即
,),(ε
+∞M dy y x f
则称含参量反常积分
(,)c
f x y dy +∞
?
在[]b a ,上一致收敛于)(x I ，或简单地说含参量积分
(,)c
f x y dy +∞
?
在[]b a ,上一致收敛.
27. 叙述含参量x 的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.
答: 含参量反常积分
(,)c
f x y dy +∞
?
在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总
存在某一实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切[]b a x ,∈，都有
21
(,)A A f x y dy ε
.
28. 叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法. 答: 设
)(i 对一切实数N>c ，含参量正常积分?N
c
dy y x f ),(对参量x 在[]b a ,上一致有界，即存
在正数M ，对一切N>c 及一切∈x []b a ,，都有
;),(M dy y x f N
c
≤?
)(ii 对每一个∈x []b a ,，函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量),(,y x g x 一致地收敛于0.
则含参量反常积分
?
+∞
c
dy y x g y x f ),(),(
在[]b a ,上一致收敛．
29. 叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法. 答: 设
)
(i ?
+∞
c
dy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛；
)(ii 对每一个[]b a x ,∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量x ，),(y x g 在[]b a ,上
一致有界，则含参量反常积分
?
+∞
c
dy y x g y x f ),(),(
在[]b a ,上一致收敛。
30. 叙述含参量反常积分的可积性定理内容.
答: 设),(y x f 在[][)+∞?,,c b a 上连续，若?
+∞
=c
dy y x f x I ),()(在[]b a ,上一致收敛，
则)(x I 在[]b a ,上可积，且
.),(),(???
?
+∞+∞
=b
a
c
c
b
a
dx y x f dy dy y x f dx
设),(y x f 在[)[)+∞?+∞,,c a 上连续.若
)
(i ?
+∞
a
dx y x f ),(关于y 在任何闭区间[]d c ,上一致收敛，?
+∞
c
dy y x f ),(
关于x 在任何区间[]b a ,上一致收敛； )(ii 积分
?
??
?
+∞
+∞+∞
+∞
a
c
c
a
dx y x f dy dy y x f dx ),(),(与 （18）
中有一个收敛，
则（18）中另一个积分也收敛，且
.),(),(?
??
?
+∞
+∞+∞
+∞
=a
c
c
a
dx y x f dy dy y x f dx
31. 解: 因为
,ln x x x dy x a
b b
a
y
-=?
所以??=b a y dy x dx I .10 由于函数y x 在[][]b a R ,1,0?=上
满足定理6.19的条件，所以交换积分顺序得到
.11ln 111
a
b
dy y dx x dy I b
a y
b a
++=+==?
??
32. 解: 因为
01lim sin ln 0ln b a
x x x x x +→-??= ???, 01lim sin ln 0ln b a
x x x x x
-
→-??= ??? 所以该积分是正常积分. 交换积分次序, 得
()
1
1100
111sin ln sin ln sin ln ln b a
b
b y y a
a
x x I dx x dy dx x dx dy x x x x -??
????
??=== ? ?
???????
???????
??.
在上面的内层积分中作变换1
ln
u x
=,有 1
(1)20011sin ln sin 1(1)y
y u
x dx e udu x y +∞-+??== ?++??
??, 于是
12011sin ln arctan(1)arctan(1)1(1)b b y a a I x dx dy dy b a x y ??
??===+-+ ???++???
????. 解法二: 取b 为参量, 利用积分号下求导数的方法,有
12011'()sin ln 1(1)b I b x dx x b ??
== ?++??
? 积分上式,可得
()arctan(1)I b b c =++
由于()0I a =,即有arctan(1)c a =-+,于是有
()arctan(1)arctan(1)I I b b a ==+-+.
33. 解: 因为
?=-b a xydy x
ax
bx cos sin sin ，所以 ?+∞--=0sin sin dx x
ax
bx e I px ??+∞-??? ??=0cos dx xydy e b a px ?
?+∞
-=
cos b
a
px xydy e dx （21）
由于px px
e xy e
--≤cos 及反常积分?
+∞
-0
dx e px 收敛，根据魏尔斯特拉斯M 判别法，含参量
反常积分
?
+∞
-0
cos xydx e px
在[]b a ,上一致收敛.由于xy e px cos -在[][b a ,),0?+∞上连续，根据定理19.11交换积分（21）
的顺序，积分I 的值不变.于是
??
?+==+∞-b a
b
a
px dy y
p p
xydx e dy I 2
20
cos .arctan arctan
p
a p
b -= 在上述证明中，令0=b ，则有
sin ()arctan (0)px
ax a
F p e dx p x p
+∞
-==>?, (22) 由阿贝耳判别法可得上述含参量反常积分在0≥p 上一致收敛.于是由定理19.9，)(p F 在
0≥p 上连续，且
.sin )0(0
?
+∞=dx x
ax
F 又由（22）式
()(0)lim ()lim arctan
sgn .2
p p a I a F F p a p π
++→→==== 在上式中，令1a =，则有2
I π
=.
34. 解: 由于2
2
cos x x e rx e
--≤对任一实数r 成立及反常积分?+∞
-0
2
x e 收敛①，所以原积分在
()+∞∞-∈,r 上收敛.
考察含参量反常积分
(
)
2
2
'
cos sin x x r
e rx dx xe rxdx +∞
+∞
--=-?
?, (24)
由于2
2
sin x x xe rx xe
--≤-对一切+∞<<-∞≥r x ,0成立及反常积分?+∞
-0
2
dx xe x 收敛，
根据魏尔斯特拉斯M 判别法，含参量积分（24）在()+∞∞-,上一致收敛. 综合上述结果由定理19.10即得
??-+∞→+∞
--=-=A
x A x rxdx xe rxdx xe r 0
'sin lim sin )(2
2
?
???? ??-=?--+∞→A x x A rxdx re A rx e 0cos 210sin 21lim 22 ().2
cos 202r r
rxdx e r x ?-=-=?+∞-
于是有
()2
ln ln 4
r r c ?=-+,
()24
r r ce
?-
=.
从而()c =0?，又由原积分，()2
00
2
π
?=
=
?
∞
+-dx e x ，所以2
π
=
c ，因此得到
().2
4
2r e r -=
π
?
35. 解: 把含参数a 的反常积分
sin ()(0,0)kx
k ax
I a e dx k a x
+∞
-=>≥?. 中的被积函数关于a 求偏导数, 可得
cos kx e axdx +∞
-?
,
当0k >时, 有
cos kx kx e xy e --≤,
因此,由M 判别法, 0
cos kx e axdx +∞
-?
关于参量0a ≥是一致收敛的,因此对()k I a 可以在积分
号下求导,即
22
0()cos kx k d k
I a e axdx da a k +∞-==+?.
因为(0)0k I =,所以
122
1()arctan a
k k a
I a da a k k
==+?
. 于是
0000sin sin ()lim lim arctan 2kx k k ax ax a I a dx e dx x x k π+++∞
+∞-→→====?
?.
令1a =,有0sin 2
x I dx x π
+∞==?. 36.解：
||L
y ds ?θθθθπ
d 2
220
cos sin |sin |+=?
4sin 20
==?π
θθd .
37.解： 直线段的参数方程是：
1032≤≤??
?
??===t t z t y t
x ， 于是，
?-+-++L
dz x z dy z y dx y x )()()(?-+-++=1
)]3(3)32(2)2[(dt t t t t t t
2
771
=
=?tdt . 38.解:原式(),C B A AB
AB
Pdx Qdy Pdx Qdy →
→
+=
+-
+?? y
()0
420b
D
dxdy dx =---+???
42S b =-+
39.解:
()2332
1333C x y y dx x xy dy ??+++ ??
?? ()()2222
3343344D
D
x y x y dx dx ab π??=++-+==??????. 40.解： 由于
dz y zx dy x yz dx z xy x z z y y x d )2()2()2()(222222+++++=++，因此，全微分dz y zx dy x yz dx z xy )2()2()2(222+++++的原函数是C x z z y y x +++222.
41.解:(Ⅰ).画出积分区域
y
y x =
o x (Ⅱ).
()
) 1
x
D x y dxdy dx x y dy +=+???
?
31
2201322x x x dx ??=+- ????320
=. 42.解:
()2
2
2
V x y z dxdydz ++??? 2
224 0
sin R
d d r r dr π
π
θ??=??
??
2
4
4 0 0 0sin R
d d r dr π
π
θ??=?????[
](5
54 012cos 255
R R π
π?π=?-?=.
43.解:
x
(Ⅰ). 由2
x y x y a b a b
??
+=- ???,得22221210x y x xy y a ab b a b +
+-+=. 于是2
22224440B AC a b a b ?=-=-=,故2
x y x y a b a b
??+=- ???是抛物线.令0y =,得
0,x x a ==.故2
x y x y a b a b
??
+=- ???与x 轴相交于()()0,0,,0a .
(Ⅱ).令,.x y u a b x y v a b
?+=????-=?? ,则()(),2
.
2a x u v b y u v ?
=+????=-??，故
()(),22
,222
x x a
a
x y ab u v y y b b u v u v ?????===-???-??. (Ⅲ).
''
22D D D ab ab S dxdy dudv dudv ===??????()2 1 12
0 02212u u ab ab ab du dv u u du =?=-=???. 44.解:222
22sin D
x y dxdy a b ??+ ????? 2 122
0 0
sin d r rdr πθ=???
1
2
2
2
0sin r dr π=?2 1
2
01cos 22
r dr π-=?1
22011sin 224r r π??=-????4
π=. 45.解:
V
zdxdydz
???2
2 0
3
r d rdz π
θ=??
?
?
2 22 0
3
12r
d z dr π
θ??=?????
?
5 23
0 01429r d r r dr πθ?=--??
???
.
624 01113
2224544r r r ππ??=?--=???
?. 46.
解：因为z =
故x y z z ''==
==.
于是
1xy
S D d z σ=????()22xy D adxdy a a h π==-??.
47.解：S 是2222(0,0)x y z a x y ++=≥≥分解为两部分:
()22221:0,0,0S x y z a x y z ++=≥≥≥, ()22222:0,0,0S x y z a x y z ++=≥≥≤.
故
S
zdxdy ??12
S S zdxdy zdxdy =+????
(xy
xy
D D dxdy =-????
2xy
D =
32
0 01
6a
d a π
?π==??.
48.解：原式= 222222
2122333V y y y y x f y f z dxdydz z z z y z z ????????????''+++-+ ? ? ? ? ??? ?
????????????
??? 222
3
()V
x y z dxdydz =++??? 2
224 0
3sin b
a
d d r r dr π
π
θ??=?
??
4
4 0 6sin b
a d r dr π
π??=?
?44
615b a π?-=
.
y
49.解:(Ⅰ).
y
(Ⅱ).原式=
()2
22V
x
y z dxdydz ++??? 2 22 0
.sin a
d d r r dr π
πθ??=?
??5
45
a π=
. 50.解：由Gauss 公式，得?????++=++=V
S
dV z y x dxdy zx dzdx yz dydz xy I )(222222，由广
义球坐标变换 ??
?
??===?θ?θ?cos sin sin cos sin cr z br y ar x , ?θ?sin ),,(2abcr r J =，得
???++=π
π??θ?θ??θ20
222222221
2222sin )cos sin sin cos sin (dr abcr r c r b r a d d I
22222222200222(sin cos sin sin cos )sin 54().15
abc d a b c d abc a b c π
πθ?θ?θ???π=++=++??
《数学分析III》期中考试试题及参考答案
数学分析下册期末试题（模拟） 一、填空题（每小题3分，共24分） 1 、重极限 22(,)lim x y →=___________________ 2、设(,,)x yz u x y z e +=，则全微分du =_______________________ 3、设(sin ,)x z f x y y e =+，则 z x ?=?___________________ 4、设L 是以原点为中心，a 为半径的上半圆周，则 2 2()L x y ds +=?________. 5、曲面222 239x y z ++=和2 2 2 3z x y =+所截出的曲线在点(1,1,2)-处的 法平面方程是___________________________. 6 、已知12??Γ= ???32?? Γ-= ??? _____________. 7、改变累次积分的顺序，2 1 20 (,)x dx f x y dy =?? ______________________. 8、第二型曲面积分 S xdydz ydzdx zdxdy ++=??______________，其中S 为 球面2 2 2 1x y z ++=，取外侧. 二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1、下列平面点集，不是区域的是（ ） （A ）2 2 {(,)14}D x y x y =<+≤ （B ）{(,)01,22}D x y x y =<≤-≤≤ （C ）{(,)01,1}D x y x y x =≤≤≤+ （D ）{(,)0}D x y xy => 2、下列论断，正确的是（ ） （A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都不存在，则该函数在 00(,)x y 处重极限必定不存在.
数学分析期末考试题
数学分析期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分， 共20分） 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（ ）
数学分析(2)期末试题
数学分析（2）期末试题 课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业 一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分） 1、 下列级数中条件收敛的是（ ）． A ．1(1)n n ∞ =-∑ B ． 1n n ∞ = C ． 21(1)n n n ∞=-∑ D ． 11(1)n n n ∞ =+∑ 2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数 在 它的间断点x 处 （ ）． A ．收敛于()f x B ．收敛于1 ((0)(0))2f x f x -++ C ． 发散 D ．可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）． A ．有界 B ．连续 C ．单调 D ．存在原函 数 4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ） A ． 1x B ．ln x x C ． 21 x - D ． x e 5、已知反常积分2 (0)1dx k kx +∞ >+? 收敛于1，则k =（ ） A ． 2π B ．22π C ． 2 D ． 24π 6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+L L 收敛，则（ ） A ． x e < B ．x e > C ． x 为任意实数 D ． 1e x e -<<
二、填空题（每小题3分，3×6＝18分） 1、已知幂级数1n n n a x ∞ =∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ． 2、若数项级数1 n n u ∞ =∑的第n 个部分和21 n n S n = +，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1 y x = 与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1 ()()b x x a e f e dx f x dx =??，则a = ，b = ． 5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n n n n ?? -=??+?? L 的聚点为 ． 6、函数2 ()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ． 65
数学分析3期末试题
2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三） 一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分） 1. 下列数项级数中收敛的是 （ ） A. 211 n n ∞ =∑； B. 2 1n n n ∞ =+∑； C. 1 1 n n ∞ =∑； D. 0 1 23n n n ∞ =++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是 （ ） A. 1(1)n n n ∞ =-∑ B. 1n n ∞= 1n n ∞=1sin n n n ∞ =∑ 3.函数项级数1n n x n ∞ =∑的收敛域是 （ ） A. (1,1)- B. (1,1]- C. [1,1)- D. [1,1]- 4.幂级数021n n n x n ∞ =+∑的收敛半径是 （ ） . A B C D 1 ．2 ．1 ．02 5. 下列各区域中，是开区域的是 （ ） 2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥ 6.点集11{,|}E n N n n ?? =∈ ??? 的聚点是 （ ） A. (){0,0} B.()0,0 C. 0,0 D.{}{}0,0 7.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数 （ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则z x ??等于 （ ） A. ()()u x v y x y ???? B. ()()du x v y dx y ?? C. ()()du x v y dx D. ()() u x v y x y ??+ ?? 10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数. 二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分） 11. 若数项级数1 1n p n n ∞ =-∑（） 绝对收敛，则p 的取值范围是 ； 12. 幂级数0(1)n n n x ∞ =+∑的和函数是 ； 13．幂级数2 01 (1)n n x n ∞ =-∑ 的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________ 17．函数y z x =，则 z y ?=? ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ= 的方向导数是 ___________； 19．设cos sin x r y r ? ?=??=?，则 x x r y y r ??????=???? ； 20 ．若arctan y x =，则 dy dx =______________________。
数据分析期末试题及答案
数据分析期末试题及答案 一、人口现状.sav数据中是1992年亚洲各国家和地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)的数据，试用多元回归分析的方法分析各国家和地区平均寿命与人均GDP、成人识字率、一岁儿童疫苗接种率的关系。(25分) 解： 1.通过分别绘制地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间散点图初步分析他们之间的关系 上图是以人均GDP(x1)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系。尝试多种模型后采用曲线估计，得出 表示地区平均寿命(y)与人均GDP(x1)的对数有线性关系
上图是以成人识字率(x2)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间基本呈正线性关系。 上图是以疫苗接种率(x3)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系 。 x）为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，上图是以疫苗接种率(x3)的三次方（3 3 由图可知，他们之间呈正线性关系 所以可以采用如下的线性回归方法分析。
2.线性回归 先用强行进入的方式建立如下线性方程 设Y=β0+β1*（Xi1）+β2*Xi2+β3* X+εi i=1.2 (24) 3i 其中εi（i=1.2……22）相互独立，都服从正态分布N（0，σ^2）且假设其等于方差 R值为0.952，大于0.8，表示两变量间有较强的线性关系。且表示平均寿命(y)的95.2%的信息能由人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)一起表示出来。 建立总体性的假设检验 提出假设检验H0：β1=β2=β3=0，H1,：其中至少有一个非零 得如下方差分析表 上表是方差分析SAS输出结果。由表知，采用的是F分布，F=58.190，对应的检验概率P值是0.000.，小于显著性水平0.05，拒绝原假设，表示总体性假设检验通过了，平均寿命(y)与人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间有高度显著的的线性回归关系。
数学分析试题及答案解析
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（ ）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到 的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相 等，则（ ）
A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；
数学分析1-期末考试试卷(A卷)
数学分析1 期末考试试卷（A 卷） 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（ ）。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。
(完整word版)微积分(数学分析)练习题及答案doc
统计专业和数学专业数学分练习题 计算题 1. 试求极限 .4 2lim )0,0(),(xy xy y x +-→ 2. 试求极限.)() cos(1lim 222222) 0,0(),(y x y x e y x y x ++-→ 3. 试求极限.1 sin 1sin )(lim )0,0(),(y x y x y x +→ 4. 试讨论.lim 4 22 )0,0(),(y x xy y x +→ 5. 试求极限 .1 1lim 2 2 22) 0,0(),(-+++→y x y x y x 6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数，求 .,y u x u ???? 7. ,arctan xy z =,x e y = 求 .dx dz 8. 求抛物面 2 22y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程. 9. 求5362),(2 2+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式. 10. 求函数)2(),(2 2y y x e y x f x ++=的极值. 11. 叙述隐函数的定义. 12. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 13. 叙述隐函数可微性定理的内容. 14. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 15. 讨论笛卡儿叶形线 0333=-+axy y x 所确定的隐函数)(x f y =的一阶与二阶导数. 16. 讨论方程 0),,(323=-++=z y x xyz z y x F 在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数. 17. 设函数23 (,,)f x y z xy z =, 方程 2223x y z xyz ++=. (1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =; (2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值. 18. 讨论方程组
数学系第三学期数学分析期末考试题及答案
第三学期《数学分析》期末试题 一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 2、 =??),(00|) ,(y x x y x f （ ） A x y x f y y x x f x ?-?+?+→?),(),(lim 00000 ； B x y x x f x ??+→?) ,(lim 000； C x y x x f y y x x f x ??+-?+?+→?),(),(lim 00000 ； D x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000。 3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ） A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ； B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续； C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ； D 以上全不对。 4、2 222 2) (),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ） A 、0，0，0； B 、不存在，0，0，； C 、0，不存在，0； D 、0，0，不存在。 5、设y x e z =，则=??+??y z y x z x （ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。 二、计算题（50分，每小题10分） 1、 证明函数?? ? ??=+≠++=0 00),(22222 2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导， 但它在该点不可微； 2、 设 ??'=-x x t x f x f dt d e x f 0) (),(,)(2 求ττ； 3、 设有隐函数,0 x y F z z ??= ???,其中F 的偏导数连续,求z x ??、z y ??； 4、 计算 (cos sin ) x C e ydx ydy -? ，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点 的光滑曲线； 5、 计算 zdS ∑ ??，其中∑为22 z x y =+在 1 4z ≤ 的部分； 三、验证或解答（满分24分，每小题8分）
数学分析试题及答案解析
2014 —--201５学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分,共２１分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?( ） ． ２．若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[] ????= dx x g dx x f dx x g x f （ )． 3． 若()? +∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收敛（ )。 ４． 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ) 5． 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间Ｉ上内闭一致收敛（ ）。 ６。 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发 散于正无穷大( ). 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ). 二. 单项选择题（每小题3分，共15分) 1．若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ) A.不连续 Ｂ． 连续 C ．可微 D 。不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不
相等,则（ ） Ａ． ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C 。 ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D 。 ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 Ｂ．绝对收敛 C.条件收敛 D ． 不确定 4。设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是( ） A ．若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B 。 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛; C ． 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D 。 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当,则级数∑n u 一定发散; 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是( ) A 。 ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B ． ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的; C ． ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；
数学分析复习题及答案
数学分析复习题及答案 一.单项选择题 1．已知x e x x f +=3)(，则)0(f '=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．设3)21(lim -∞ →=+e x kx x ，则=k （ ） A. 6- B. 23 C. 32- D. 23- 3．? =dx xe x （ ） A. C e x + B. C e xe x x +- C. C e x x +- D. C e x ++1 4．下列函数在),(∞-∞内单调增加的是（ ） A. x y = B. x y -= C. 3x y = D. x y sin = 二、填空题 1．设函数==+dz e z y x 则全微分,2 2．.______________23sin lim 0 =→x x x 3．??? ????>+=<=0)1ln()(00 sin )(x x x k x k x x x x f 为常数在0=x 处连续，则_________=a 三、判断题 1．若函数f 在区间),(b a 上连续，则f 在),(b a 上一致连续。（ ） 2．实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点。（ ） 3．设f 为定义在)(0x U ?上的单调有界函数，则右极限)(lim 0 x f x x +→存在。（ ） 四、名词解释 1．用δε-的语言叙述函数极限的定义 2．用N -ε的语言叙述数列极限的定义 五、计算题
1．根据第四题第1小题证明04 )1(lim 2=--+∞→n n n n 2．根据第四题第2小题证明5311lim 22=++→x x x 3．设n n n x x x x x x x ++=++ ==+11,,11110010 ，，求证n n x ∞→lim 存在，并求其值。 4．证明：2)(x x f =在[]b a ,上一致连续，但在()+∞∞-,上不一致连续。 5．证明：若)(0x f '存在，则=??--?+→?x x x f x x f x )()(lim 000)(20x f ' 6．证明：若函数)(x f 在0x 连续，则)(x f 与)(2x f 也在0x 连续，问：若在)(x f 或) (2x f 在I 上连续，那么)(x f 在I 上是否必连续。 一、1.D 2.C 3. B 4.C 二、1. dy e dx e y x y x +++222 2.2 3 3. 1 三、1.× 2.√ 3.√ 四、 1. 函数极限定义：设函数f 在点0x 的某个空心邻域);(0δ'?x U 内有定义，A 为定数。 0>?ε，0>?δ，当δ<-<00x x 时，ε<-A x f )(，则A x f x x =→)(lim 0 。 2.数列极限定义：设为数列}{n a ，a 为定数，0>?ε，0>?N ，当N n >时，有ε<-a a n ，则称数列}{n a 收敛于a 。 五、1.证明：ε<-<-?++=-+<--+2 12121414)1(22n n n n n n n n n )2(>n 0>?∴ε，21+?? ????=?εN ，当N n >时，ε<--+4)1(2n n n ；得证。 2. 证明：)13()2() 1(5)13)(2(531122+-<++-=-++x x x x x x x 令1)2(<-x ，则31<
第三学期 数学分析(3)试卷
一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ?=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2_______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
2、 设),(2x y y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。 3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。
数学分析试题及答案
（二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。
(汇总)数学分析3试卷及答案.doc
数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日 班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。
一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关 于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
数学分析习题及答案 (50)
习 题 12.5 偏导数在几何中的应用 1． 求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程： （1）?????+==.1,2x x z x y 在??? ??21,1,1点； （2）??? ? ??? =-=-=.2sin 4,cos 1, sin t z t y t t x 在2π=t 的点； （3）???=++=++.6, 0222z y x z y x 在)1,2,1(-点； （4）???=+=+. ,2 22222R z x R y x 在??? ??2,2,2R R R 点。 解 （1）曲线的切向量函数为2 1(1,2, )(1)x x +，在?? ? ??21,1,1点的切向量为1(1,2,)4。于是曲线在?? ? ??21,1,1点的切线方程为 )12(41)1(2-=-=-z y x ， 法平面方程为 252168=++z y x 。 （2）曲线的切向量函数为(1cos ,sin ,2cos )2 t t t -，在2 π =t 对应点的切向 量为(1,1。于是曲线在2 π = t 对应点的切线方程为 22 2 112 -= -=+- z y x π ， 法平面方程为 (1)(1)2 x y z π - ++-+- =402 x y π ++- -=。 （3）曲线的切向量函数为2(,,)y z z x x y ---，在)1,2,1(-点的切向量为 (6,0,6)-。于是曲线在)1,2,1(-点的切线方程为
?? ?-==+2 2 y z x ， 法平面方程为 z x =。 （4）曲线的切向量函数为4(,,)yz xz xy --，在?? ? ??2, 2 , 2 R R R 点的切向量为22(1,1,1)R --。于是曲线在?? ? ??2, 2,2R R R 点的切线方程为 2 22R z R y R x +-=+-=-， 法平面方程为 02 2 =+ --R z y x 。 2.在曲线32,,t z t y t x ===上求一点，使曲线在这一点的切线与平面102=++z y x 平行。 解 曲线的切向量为2(1,2,3)t t ，平面的法向量为(1,2,1)，由题设， 22(1,2,3)(1,2,1)1430t t t t ?=++=， 由此解出1t =-或13 -，于是 )1,1,1(-- 和 )27 1 ,91,31(-- 为满足题目要求的点。 3. 求曲线t z t t y t x 22cos ,cos sin ,sin ===在2 π =t 所对应的点处的切线的 方向余弦。 解曲线的切向量函数为(sin 2,cos 2,sin 2)t t t -，将2 t π =代入得)0,1,0(-，它是单位向量，所以是方向余弦。 4. 求下列曲面在指定点的切平面与法线方程： （1）3432y x z +=，在点)35,1,2(； （2）4e e =+z y z x ，在点)1,2ln ,2(ln ； （3）3322,,v u z v u y v u x +=+=+=，在点1,0==v u 所对应的点。 解（1）曲面的法向量函数为32(8,9,1)x y -，以(,,)(2,1,35)x y z =代入，得
数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)
一、 判断题（每小题2分，共20分） 1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集． （ ） 2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等． （ ） 3.连续函数的全增量等于偏增量之和． （ ） 4. xy y x f =),(在原点不可微． （ ） 5.若),(),(y x f y x f yx xy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =． （ ） 6. dy y x xy y ) 1(sin 2 1 +? +∞ 在)1,0(内不一致收敛． （ ） 7.平面图形都是可求面积的． （ ） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （ ） 9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”． （ ） 10.二重积分定义中分割T 的细度 T 不能用}{max 1i n i σ?≤≤来代替． （ ） 二、 填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy +=，则其全微分=dz ． 2.设 3 2),,(yz xy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度= )(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线 22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则?=+L ydx xdy ． 4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于 ． 5.曲面2732 22=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限 xy y x y x )(lim 22) 0,0(),(+→． 2． 设),(y x z z =是由方程z e z y x =++所确定的隐函数，求xy z ． 3．设 ]1,0[]1,0[?=A ，求??++=A y x ydxdy I 2 322)1( . 4．计算抛物线) 0()(2 >=+a ax y x 与x 轴所围的面积.
数学分析 期末考试试卷
中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷（A 卷） 姓名： 学号： 学院专业： 联系方式： 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。
（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（ ） 。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。
数学分析试题及答案4
（十四） 《数学分析Ⅱ》考试题 一 填空（共15分，每题5分）： 1 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 2 设 =--='→5 ) 5()(lim ,2)5(5 x f x f f x 则54； 3 设?? ?>++≤=0 , )1ln(,0, sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则0 1 ， =b 0 。 二 计算下列极限：（共20分，每题5分） 1 n n n 1 )1 31211(lim ++++ ∞→ ; 解: 由于，n n n n 1 1)131211(1≤++++≤ 又，1lim =∞→n n n 故 。1)131211(lim 1 =++++∞→n n n 2 3 )(21lim n n n ++∞→； 解: 由stolz 定理, 3 )(21lim n n n ++∞→33)1()(lim --=∞→n n n n ) 1)1()(1(lim -+-+ -- =∞ →n n n n n n n n ) 1)1(2))(1(() 1(lim --+---+=∞→n n n n n n n n n .3 2)1)11(21 11lim 2=-- +- + =∞ →n n n n 3 a x a x a x --→sin sin lim ；
解: a x a x a x --→sin sin lim a x a x a x a x --+=→2sin 2cos 2lim .cos 2 2sin 2 cos lim a a x a x a x a x =--+=→ 4 x x x 10 ) 21(lim + →。 解: x x x 10 )21(lim +→.)21(lim 2 2 210e x x x =?? ??? ?+=→ 三 计算导数（共15分，每题5分）： 1 );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+= 求 解: 。 1 11 11 1 1221122)(2 2 2 22 2+-= +- +=++++ - +='x x x x x x x x x x x x f 2 解: 3 设。 求)100(2 ,2sin )23(y x x y -= 解: 由Leibniz 公式 )23()2(sin )23()2(sin )23()2(sin 2)98(2 1002)99(11002)100(0100)100(' '-+'-+-=x x C x x C x x C y 6)2sin(26)2sin(2100)23)(2sin(22 98982991002999922100100?+++?+-+=?πππx x x x x x x x x x 2sin 2297002cos 26002sin )23(298992100?-?--= 。 ]2cos 12002sin )22970812[(2298x x x x --= 四 （12分）设0>a ，}{n x 满足： ,00>x ,2,1,0),(211 =+= +n x a x x n n n ;sin cos 33 表示的函数的二阶导数求由方程???==t a y t a x , tan sin cos 3cos sin 3)cos ()sin (22 33t t t a t t a t a t a dx dy -=-=''=。t t a t t a t dx y d sin cos 3sec )cos (sec 223222='-=