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2017-2018年上海市复旦附中高中专题十四-数学归纳法与数列极限

高中数学归纳法大全数列不等式精华版

§数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．

5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题．证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边．这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n

数列的极限、数学归纳法

数列的极限、数学归纳法一、知识要点（一）数列的极限 1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作 A a n n =∞ →lim . 2.运算法则：若lim n n a →∞ 、lim n n b →∞ 存在，则有 lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ?=? )0lim (lim lim lim ≠=∞→∞ →∞→∞→n n n n n n n n n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=?? ???-=>=<=∞ →)11() 1(1) 1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为p a 、 p b 且)(0)(N n n g ∈≠,则??? ????>=<=∞→)()() (0)()(lim q p q p b a q p n g n f q p n 不存在 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：1 1a S q = - （|q|<1）无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞ = （当lim n n S →∞ 存在时）（二）数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数0n n = 成立。 ②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n ≥ 0n 的自然数,命题都成立。二、例题（数学的极限）

专题12数列极限数学归纳法

专题三函数不等式数列极限数学归纳法一能力培养 1,归纳猜想证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力二问题探讨 1 冋题1数列｛ a n ｝满足3] , a i a 2 2 问题2已知定义在R 上的函数f(x)和数列｛ a n ｝满足下列条件： a 1 a , a . f (a n 1) (n =2,3,4, ),a 2 印， f (a n ) f (a n 1) = k(a n a n 1) (n =2,3,4,),其中 a 为常数,k 为非零常数 (I) 令b n a n 1 a n ( n N )，证明数列｛b n ｝是等比数列； (II) 求数列｛ a n ｝的通项公式；(III)当k 1时，求 lim a n . n umv uuuv uuuv uuuv uuuiv uuv 问题3已知两点M ( 1,0) ,N (1,0),且点P 使MP MN , PM PN , NM NP 成公差小于零的等差数列? uuuv uuuv (I)点P 的轨迹是什么曲线？ (II)若点P 坐标为(X g , y 。),记为PM 与PN 的夹角，求tan 2 a n n a n ,(n N ). (I)求｛a n ｝的通项公式 (II)求丄 100n 的最小值； a n (III)设函数 f(n)是— 100n 与n 的最大者，求 f (n)的最小值.

三习题探讨选择题 2 1数列｛a n ｝的通项公式a n n kn ,若此数列满足a n a n ,(n N ),则k 的取值范围是 A, k 2 B, k 2 C,k 3 D, k 3 2等差数列｛ a n ｝,｛ b n ｝的前n 项和分别为S n ,T n ,若」 --- ，贝V —= T n 3n 1 b n 2 2n 1 2n 1 2n 1 A,— B,- C,- D,- 3 3n 1 3n 1 3n 4 3已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ,则q 的取值范围是若AF , BF , CF 成等差数列，则有 1 6在 ABC 中,ta nA 是以4为第三项,4为第七项的等差数列的公差，ta nB 是以-为 3 第三项,9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对填空 2m 项之和S 2m ___________________________________ 11等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和且S 6 S 7，S 7 S 8,则①此数列的公差 d 0, 1苗 A, (0, 丁) B,(1 5 1 、5 1 、、 5 c,[1, 丁) D,( 1_5) 2 4在等差数列｛a n ｝中,a 1 8 B ,75 1 ，第10项开始比1大，记 25 t 色 25 4 C , 75 [ im A (a n n n _3 50 S n ) t ,则t 的取值范围是 4 D ,75 t 5o 5 设 A (x i , y i ),B (X 2, y 2),C (X 3, y 3)是椭圆 2 y b 2 1(a 0)上三个点 ,F 为焦点， A, 2X 2 X ] x 3 B,2y 2 y 1 y 3 2 C,— X 2 2 D, X X 1 X 3 X 1 X 3 7等差数列｛a n ｝前n (n 6)项和& 324，且前6项和为36,后6项和为180，则n 22 32 23 33 62 63 {a n }中』m(a 1 a ? 10 一个数列{a n },当n 为奇数时，a . 9在等比数列 2n 3n 6n ,则 lim S n 1 a n ) ，则a 1的取值范围是 ________________ 15 n 5n 1 ；当n 为偶数时，a n 22 .则这个数列的前

高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版

高等数学求极限的常用方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：

1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ

专题06 数列与数学归纳法(原卷版)

1 专题6.数列与数学归纳法数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合. 预测2021年将保持稳定，主观题将与不等式、函数、数学归纳法等相结合 . 1．（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0， 11a d ≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ．2428a a a = D ．2428b b b = 2．（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +??????就是二阶等差数列，数列(1)2n n +?????? (N )n *∈ 的前3项和是________． 3．（2020·浙江省高考真题）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，111112 1,,()n n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-= ?∈*N ．（Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d +++<+．*()n N ∈ 4．（2020·天津高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列， ()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；

数列极限数学归纳法综合能力训练

1 mn 4(m n) mn 2(m n) 【综合能力训练】一、选择题 1?数列｛a n ｝是等比数列，下列结论中正确的是（） A. a n ? a n+1 >0 B. a n ? a n+1 ? a n+2>0 C. a n ? a n+2 >0 D. a n ? a n+2 ? a n+4>0 2.在等比数列｛a n ｝中，a 1=sec 0 （ B 为锐角），且前n 项和S n 满足lim S n = ，那么B 的 n a 1 取值范围是（） A. （0, ） B. （0, ） C. （0, ） D. （0, 2 3 6 4 3.已知数列｛a n ｝中，a n =p^ （n € N ），则数列｛a n ｝的最大项是（） n 156 A.第12项 B.第13项 C.第项或13 . D.不存在 4.三个数成等差数列，如果将最小数乘 2，最大数加上 7,所得三数之积为 1000,且成等比数列，则原等差数列的公差一定是（ ) A.8 B.8 或—15 C. ± 8 D. ± 15 112 1 2 3 1 2 9 1 5.已知数列｛a n ｝： , + , + +-, + + …+ ” , ... 那么数列｛ 2 3 3 4 4 4 10 10 10 a n ?a n 1 的所有项的和为（ ) A.2 B.4 C.3 D.5 n 1 | n n 1 . n 6.已知a 、b € —?a -> lim n ，贝V a 的取值范围是（） n a n a A. a>1 B. — 11 D.a>1 或一1O ,且 |a 10|<|an|, S n 为其前 n 项之和, 则（） A. S 1,S 2,…， S 10都小于零，S 11, S 12, …都大于零 B. S 1,S 2,…， S 5都小于零，S 6, S 7,… 都大于零 C. S 1,S 2,…， S 19都小于零，S 20, S 21 , …都大于零 D. S 1,S 2,…， S 20都小于零，S 21 , S 22 , …都大于零 9.将自然数1, 2, 3,…，n ,…按第k 组含k 个数的规则分组： (1), (2, 3), (4, 5, 6）,…，那么1996所在的组是（） A.第62组 B.第63组 C.第64组 D.第65组 10.在等差数列中，前 n 项的和为S n ,若 S m =2n,S n =2m,(m 、 n € N 且m ^ n ）,则公差d 的值为（）

求数列极限的方法总结

求数列极限的方法总结万学教育海文考研教学与研究中心贺财宝极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大.极限的计算是核心考点，考题所占比重最大.熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键. 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数. 熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算.以下我们就极限的内容简单总结下. 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法. 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限. 与极限计算相关知识点包括：1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验0()f x '存在的定义是极限000(+)-()lim x f x x f x x ???→ 存在；3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限.

高考一轮复习之数列与数学归纳法

43 / 1843 / 18 第三章数列及数学归纳法知识结构高考能力要求 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及前n 项和的公式，并能解决简单的实际问题． 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式，并能解决简单的实际问题． 4、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．高考热点分析纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容，数列及函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的 “知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用．高考复习建议数列部分的复习分三个方面：① 重视函数及数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．② 掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．③ 要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活，解这类题时，要引导学生科学合理地思维，全面灵活地运用数学思想方法．数列部分重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们对比起来复习；由于数列方面的题目的解法的灵活性和多样性，建议在复习这部分内容时，要启发学生从多角度思考问题，提倡一题多解，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质． 3．1 数列的概念知识要点 1．数列的概念数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *或其子集{1，2，3，……n }的函数f (n )．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第项． 2．数列的通项公式一个数列{a n }的及之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f (n )来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．在数列{a n }中，前n 项和S n 及通项a n 的关系为： = n a ?? ? ??≥==21n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法 ⑴ 公式法：等差数列及等比数列采用首项及公差(公比)确定的方法． ⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式．

新人教高考数学总复习专题训练数列极限和数学归纳法

新人教高考数学总复习专题训练数列极限和数学归纳法 Last revision date: 13 December 2020.

数列、极限和数学归纳法安徽理（11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是____________ (11)15【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n 项和. 【解析】由算法框图可知(1) 1232 k k T k +=++++=，若T ＝105，则 K ＝14，继续执行循环体，这时k ＝15，T >105，所以输出的k 值为15. （18）（本小题满分12分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=求数列{}n b 的前n 项和n S . （本小题满分13分）本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力. 解：（I ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则 ,2121++????=n n n t t t t T ①， ,1221t t t t T n n n ????=++ ② ①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n .1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=????=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n （II ）由题意和（I ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+?+=n n n b n 另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan k k k k k k ?++-+= -+= 得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=?+k k k k 所以∑∑+==?+==2 3 1tan )1tan(n k n k k n k k b S 23 tan(1)tan tan(3)tan 3( 1)tan1tan1 n k k k n n +=+-+-=-=-∑ 安徽文（7）若数列}{n a 的通项公式是()()n a n =-13-2,则a a a 1210++= （A ） 15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15 （7）A 【命题意图】本题考查数列求和.属中等偏易题. 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；法二：12349103a a a a a a +=+= =+=，故a a a 1210++ =3?5=15.故选A.

数列、极限、数学归纳法归纳、猜想、证明教案

数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明·教案张毅教学目标 1．对数学归纳法的认识不断深化． 2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法． 3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．教学重点和难点用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明．教学过程设计（一）复习引入师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？生：与连续自然数n有关的命题．师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？生：共有两个步骤：（1）证明当n取第一个值n0时结论正确；（2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确．师：这两个步骤的作用是什么？生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程．师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题．今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1．（二）归纳、猜想、证明 1．问题的提出 a3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式．师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理．（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上）师：正确．怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下．

数列极限求法及其应用-毕业论文

数列极限的求法及其应用 2012年 9 月 28 日

容提要数列极限可用N ε-语言和A N -语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz 公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求. 最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解. 关键词 ε-定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限 N

On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit Name: Yang NO. 07 The guidance of teachers: Dong Titles: Lecturer Abstract The limit of a sequence can be accurately defined by N ε-language and A N - language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit. Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans.

课时考点数列极限数学归纳法

课时考点数列极限数学归纳法 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

课时考点6 数列、极限、数学归纳法考纲透析考试大纲：数学归纳法，数列的极限，函数的极限，极限的四则运算，函数的连续性。高考热点：数学归纳法，数列的极限 1专题知识整合 1.无穷递缩等比数列(q ?0,|q |<1)各项和1 1a S q = - 2.归纳法证猜想的结论，用数学归纳法证等式和不等式。 3.含有n 的无理式，如lim n →∞ 需分子有理化，转化为 0n = 4.指数型，如111lim n n n n n a b a b +++→∞-+，分子、分母同除以|a|n +1或|b|n +1转化为求lim n n q →∞ 热点题型1：数列与极限样题1： (05全国卷II)已知{a n }是各项均为正数的等差数列，lga 1、lga 2、lga 4成等差数列．又21 n n b a = ，n=1,2，3，…．（Ⅰ）证明{b n }为等比数列；（Ⅱ）如果无穷等比数列{b n }各项的和1 3 S =，求数列{a n }的首项a 1和公差d ．（注：无穷数列各项的和即当n ??时数列前n 项和的极限）解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，依题意，由 2142lg lg lg a a a =+ 得 2214a a a =

即)3()(1121d a a d a +=+，得d =0 或 d =a 1 因 1 221 +=+n n a a b b n n ∴ 当d =0时，{a n }为正的常数列就有 11 221 ==++n n a a b b n n 当d =a 1时，1112112)12(,)12(1a a a a a a n n n n -+=-+=++,就有 1221+= +n n a a b b n n 2 1 = 于是数列{b n }是公比为1或 2 1 的等比数列（Ⅱ）如果无穷等比数列{b n }的公比q =1，则当n →∞时其前n 项和的极限不存在。因而d =a 1≠0，这时公比q =21，11 2b d = 这样{b n }的前n 项和为11[1()] 22112 n n d S -=- 则S=11[1()] 122lim lim 112 n n n n d S d →+∞→+∞-==- 由1 3 S =，得公差d =3，首项a 1=d =3 变式题型1 设数列{a n }是等差数列，a 1=1，其前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，b 2=4，其前n 项和为T n . 又已知lim n →∞ T n =16,S 5=2T 2+1.求数列{a n }、{b n }的通项公式。样题2： (05天津)已知：u n =a n +a n -1b+a n -2b 2+…+ab n -1+b n (n ?N*,a >0,b >0)。（Ⅰ）当a = b 时，求数列{a n }的前n 项和S n ；（Ⅱ）求1 lim n n n u u →∞-。解：（I ）当a = b 时，u n =(n+1)a n ，它的前n 项和 ()232341n n S a a a n a =+++++ ① ①两边同时乘以a ，得 ()23412341n n aS a a a n a +=+++ ++ ②

高等数学求极限的14种方法

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（1）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则（5）两边夹挤准（夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：（1）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (3)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。

求极限的方法及例题总结

1．定义：说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。注：本题也可以用洛比达法则。例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以。例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→

不等式数列极限数学归纳法复习资料

不等式、数列、极限与数学归纳法湖南省常德市一中曹继元不等式、数列是高中数学的主干知识，也是高考的重点内容之一，每年都有与此相关的大题。其中，选择题和填空题一般以考查基础知识、基本方法为主，而解答题以考查数学思想方法、思维能力、以及创新意识为主。总体看来，本节内容对运算能力和逻辑推理能力有较高的要求。预测今年高考关于这一部分的内容, 仍然是以考能力为主，稳中有变，“小”中有新。与往年一样，可能出现基本题型、综合题型、应用题型等，个别题型还将会命出新意，把不等式、数列知识和现实生活、市场经济、理化生知识等紧密结合起来，甚至还会出现有较新创意的应用型题目。因此，我们必须引起高度重视。 1.不等式. 1.1 近三年湖南省高考考查情况统计

1.2 近三年考查情况分析从近三年的高考湖南卷来看，虽然每年都有几道不等式的题，但大都是将不等式融入其它知识之中。一般来讲，选择题、填空题主要考查不等式性质、简单不等式的解法、函数最值的运用。解答题主要考查与不等式有关的基础知识、基本方法，以及运用相关知识去分析问题和解决问题的能力。不等式作为工具知识，在高中数学的各个分支中都有广泛的应用。如确定函数的定义域、值域，确定函数的最值，确定集合的子集关系，确定方程的解等，无一不与不等式有着密切的关系。而不等式中往往蕴含有多种数学思想方法，如等价转化、分类讨论、数形结合、函数方程的思想方法，极易使得不等式与其它知识融会交融，体现“在知识交汇处设计命题”的特点，符合“多考一点想，少考一点算”的命题理念，也能有效的测试考生的“逻辑思维能力、运算能力、以及分析问题和解决问题的能力”。所以，我们复习时，要以此为重点，强化训练，提高能力。 1.3 今年考情预测 ①不等式仍将是高考数学的重点内容之一。选择题、填空题的难度不会增大，重在基础知识、基本方法的考查，但命题角度会有所变化，设问方式会有所创新，考查内容主要分布在不等式的性质、简单不等式的解法、不等式与集合、不等式与函数、不等式与方程等知识点中。解答题仍将以能力考查为主，重在考查代数推理能力，常以高中代数的主要内容（函数、方程、不等式、数列、导数、极限、数学归纳法）以及交叉综合内容为知识背景设计问题，主要考查含参数不等式的解法、均值不等式的运用、取值范围的求法等知识点，不排除应用题中直接涉及不等式相关知识的可能。 ②以不等式为中心设计函数、方程、不等式的综合题的可能性仍然较大，特别是含绝对值