【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第18课 利用导数研究函数的单调性 文

第18课 利用导数研究函数的单调性

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1.(选修2-2P28例1改编)函数f (x )=x 3

-15x 2

-33x+6的单调减区间为 . 【答案】(-1，11)

【解析】f'(x )=3x 2

-30x-33=3(x-11)(x+1)，

由(x-11)(x+1)<0，得单调减区间为(-1，11).亦可填写闭区间或半开半闭区间.

2.(选修2-2P29练习4(1)改编)函数y=x ln x 的单调减区间为 .

【答案】10e ?? ?

??，

【解析】y'=ln x+1，令y'<0，即ln x+1<0，解得0

e ，故所求的单调减区间为10e ?? ?

??，.

3.(选修1-1P74练习2改编)若函数f (x )=x 3

+ax-2在区间(-∞，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[0，+∞) 【解析】f'(x )=3x 2

+a ，

因为f (x )在(-∞，+∞)上是增函数， 所以f'(x )≥0恒成立，所以a ≥0.

4.(选修1-1P87练习3改编)若函数f (x )=e x

-ax 在区间(1，+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(-∞，e]

【解析】由f'(x )=e x

-a>0，得a

.若函数在(1，+∞)上单调递增，则a

在区间(1，+∞)上恒成立，所以a ≤e .

5.(选修2-2P29例2改编)方程1

3x3-3x2+1=0在区间(0，2)上恰好有个根.

【答案】1

【解析】设f(x)=1

3x3-3x2+1，则f'(x)=x2-6x=x(x-6)，当x∈(0，2)时，f'(x)<0，f(x)在(0，

2)上为减函数，又f(0)f(2)=1×

8

-121

3

??

+

?

??<0，所以f(x)=0在区间(0，2)上恰好有1个根.

1.用导数研究函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f'(x)≥0且不恒为0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)≤0且不恒为0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.

2.判定函数单调性的一般步骤

(1)确定函数y=f(x)的定义域；

(2)求导数f'(x)；

(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0或f'(x)<0；

(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间.

【要点导学】

要点导学各个击破

求函数的单调区间

例1 求下列函数的单调区间.

(1)y=x 3-12x 2

-2x+5；

(2)y=2x 2

-ln x.

【思维引导】直接解f'(x )>0和f'(x )<0即可.

【解答】(1)因为y'=3x 2

-x-2=(3x+2)(x-1)，定义域为R ，所以当y'>0时，

x ∈

2--3∞?? ?

??，∪(1，+∞)； 当y'<0时，x ∈2-13??

???，

.

所以函数的单调增区间为2--3∞?? ??

?，，(1，+∞)，单调减区间为2-13?? ???，

. (2)因为y'=4x-1x =24-1

x x ，定义域为(0，+∞)，

令y'<0，得x ∈102?? ???，；令y'>0，得x ∈12

∞??+ ???，

. 所以函数的单调增区间为12∞??+ ??

?，，单调减区间为102??

???，. 【精要点评】利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导函数f'(x )；(3)在函数f (x )的定义城内解不等式f'(x )>0和f'(x )<0；(4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.

变式 已知函数f (x )=mx 3

+nx 2

(m ，n ∈R ，m ≠0)，且函数y=f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行.

(1)用含有m 的代数式表示n ； (2)求函数f (x )的单调增区间.

【解答】(1)由已知得f'(x )=3mx 2

+2nx ，又f'(2)=0， 所以3m+n=0，故n=-3m. (2)由(1)知n=-3m ， 所以f (x )=mx 3

-3mx 2

，

所以f'(x )=3mx 2

-6mx. 令f'(x )>0，即3mx 2

-6mx>0. 当m>0时，解得x<0或x>2，

则函数f (x )的单调增区间为(-∞，0)和(2，+∞)； 当m<0时，解得0

则函数f (x )的单调增区间为(0，2).

综上，当m>0时，函数f (x )的单调增区间为(-∞，0)和(2，+∞)；当m<0时，函数f (x )的单调增区间为(0，2).

【精要点评】通过解不等式f'(x )>0(或f'(x )<0来确定函数的单调增(或减)区间，要注意对参数进行讨论；反之，若函数f (x )在某区间上单调递增(或减)，则由f'(x )≥0(或f'(x )≤0)在这个区间上恒成立求出参数的取值范围.

含参函数单调性的讨论

例2 (2014·江苏模拟改编)已知函数f (x )=x 2

-(2+b )x+b ln x (x>0，b 为实常数)，讨论

函数f (x )的单调性.

【思维引导】先确定函数的定义域为(0，+∞)，然后求解函数f (x )的导数，最后利用导数的符号判断函数的单调性.

【解答】f'(x )=2x-(2+b )+b x =(2-)(-1)

x b x x . 令f'(x )=0，得x 1=2b

，x 2=1.

①当2b

≤0，即b ≤0时，函数f (x )的单调减区间为(0，1)，单调增区间为(1，+∞)； ②当0<2b

<1，即0

所以函数f (x )的单调增区间为02b ?? ???，，(1，+∞)，单调减区间为12b ?? ???，

；

③当2b

=1，即b=2时，函数f (x )的单调增区间为(0，+∞)； ④当2b

>1，即b>2时，列表如下：

所以函数f (x )的单调增区间为(0，1)，2∞??+ ??

?，，单调减区间为12??

???，. 综上，当b ≤0时，函数f (x )的单调减区间为(0，1)，单调增区间为

(1，+∞)；当0

时，函数f (x )的单调增区间为02b ?? ??

?，，(1，+∞)，单调减区间为12b ??

???，；当b=2时，函数f (x )的单调增区间为(0，+∞)；当b>2时，函数f (x )的单调增区间为(0，1)，2b ∞??

+ ???，

，单调减区间为12b ??

???，.

【精要点评】当导函数中含有字母参数时，要注意对字母参数进行讨论后再确定导数符号.其本质是利用分类讨论思想求解含参数不等式.

变式 已知函数f (x )=12x 2

-m ln x+(m-1)x ，当m ≤0时，试讨论函数f (x )的单调性.

【解答】函数的定义域为(0，+∞)，

f'(x )=x-m

x +(m-1)=2(-1)-x m x m x +=(-1)()x x m x +.

①当-10，得01； 令f'(x )<0，得-m

所以当-1

②当m=-1时，f'(x )≥0在(0，+∞)上恒成立，所以当m=-1时，函数f (x )的单调增区间为(0，+∞).

③当m<-1时，同理可得，函数f (x )的单调增区间为(0，1)和(-m ，+∞)，单调减区间为(1，-m ).

根据函数的单调性求参数

例3 已知函数f (x )=13x 3+mx 2-3m 2

x+1，m ∈R .

(1)当m=1时，求曲线y=f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若f (x )在区间(-2，3)上是减函数，求实数m 的取值范围.

【思维引导】(1)利用导数的几何意义求解；(2)利用f'(x )≤0对x ∈(-2，3)恒成立来处理，即(-2，3)?f (x )的单调减区间.

【解答】(1)当m=1时，f (x )=13x 3+x 2

-3x+1， 则f'(x )=x 2

+2x-3，所以f'(2)=5.又因为f (2)=5

3， 所以所求切线方程为y-5

3=5(x-2)，

即15x-3y-25=0.

(2)因为f'(x )=x 2

+2mx-3m 2

， 令f'(x )=0，得x=-3m 或m.

当m=0时，f'(x )=x 2≥0恒成立，不符合题意；

当m>0时，f (x )的单调减区间是(-3m ，m )，若f (x )在区间(-2，3)上是减函数，则

-3-23m m ≤??

≥?，，解得m ≥3；

当m<0时，f (x )的单调减区间是(m ，-3m )，若f (x )在区间(-2，3)上是减函数，则

-2-33m m ≤??

≥?，，解得m ≤-2.

综上，实数m 的取值范围是(-∞，-2]∪[3，+∞).

【精要点评】由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减)，等价于不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围.

变式(2015·湖北重点中学联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=2，且f(x)的导函数f'(x)在R上恒有f'(x)<1，则不等式f(x)

【答案】(1，+∞)

【解析】令g(x)=f(x)-x-1，

因为f'(x)<1(x∈R)，

所以g'(x)=f'(x)-1<0，

所以g(x)=f(x)-x-1为减函数.

又因为f(1)=2，所以g(1)=f(1)-1-1=0，

所以不等式f(x)

即g(x)

所以x>1，即x∈(1，+∞).

1.(2015·南昌模考)函数f(x)=ln x+x2-3x的单调减区间为.

【答案】

1

1 2?? ???

，

【解析】f(x)的定义域为(0，+∞)，

f'(x)=1

x+2x-3=

2

12-3

x x

x

+

，

当1

2

所以f(x)的单调减区间为

1

1

2

?? ???

，

.

2.(2014·全国卷)若函数f (x )=kx-ln x 在区间(1，+∞)上单调递增，则实数k 的取值范围是 . 【答案】[1，+∞)

【解析】f'(x )=k-1x =-1kx x ，且x>0，令f'(x )≥0，得kx-1≥0，所以x ≥1

k 且k>0.因为函数f (x )在区间(1，+∞)上单调递增，所以1

k ≤1，解得k ≥1.

3.(2015·浙江重点中学联考)若函数y=f (x )在(0，+∞)上的导函数为f'(x )，且不等式

xf'(x )>f (x )恒成立，又常数a ，b 满足a>b>0，给出下列不等式：①bf (a )>af (b )；

②af (a )>bf (b )；③bf (a )

【解析】令g (x )=()

f x x (x>0)， 则g'(x )=2'()-()

xf x f x x (x>0).

又因为xf'(x )>f (x )，所以g'(x )>0， 所以函数g (x )在(0，+∞)上是增函数. 又因为a>b>0，所以g (a )>g (b )，

即()f a a >()

f b b ，所以bf (a )>af (b ).

4.(2014·南通期末)已知a 为实常数，y=f (x )是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当

x<0时，f (x )=2x-32

a x +1.

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)若f (x )≥a-1对一切x>0恒成立，求a 的取值范围.

【解答】(1)由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(-∞，0)上的单调性即可.

f'(x )=2+33

2a x ，令f'(x )=0，得x=-a.

①若a ≤0，则f'(x )>0，

故f(x)在区间(-∞，0)上单调递增.

②若a>0，则当x∈(-∞，-a)时，f'(x)>0，所以f(x)在区间(-∞，-a)上单调递增；当x∈(-a，0)时，f'(x)<0，所以f(x)在区间(-a，0)上单调递减.

综上所述，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞，0)，(0，+∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(-∞，-a)，(a，+∞)，单调减区间为(-a，0)，(0，a).

(2)因为f(x)为奇函数，所以当x>0时，

f(x)=-f(-x)=-

3

2

21

a

x

x

??

--+

?

??=2x+

3

2

a

x-1.

①当a<0时，要使f(x)≥a-1对一切x>0恒成立，

即2x+

3

2

a

x≥a对一切x>0恒成立.而当x=-2

a

>0时，有-a+4a≥a，所以a≥0，与a<0矛盾，所以

a<0不成立.

②当a=0时，f(x)=2x-1>-1=a-1对一切x>0恒成立，故a=0满足题设要求.

③当a>0时，由(1)可知f(x)在(0，a)上是减函数，在(a，+∞)上是增函数.

所以f(x)min=f(a)=3a-1>a-1，

所以a>0时也满足题设要求.

综上，a的取值范围是[0，+∞).

趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第35~36页.

【检测与评估】

第18课利用导数研究函数的单调性

一、填空题

1.当x>0时，函数f(x)=x+4

x的单调减区间是.

2.若函数f(x)=x-ln x，则f(x)的单调增区间为.

3.已知f(x)=x3-ax在[1，+∞)上是单调增函数，则实数a的最大值是.

4.已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0)，且f(x)的单调减区间为(0，4)，那么实数k的值为.

5.若函数f(x)=-1

2(x-2)2+b ln x在(1，+∞)上是减函数，则实数b的取值范围为.

6.(2015·唐山一中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)+f '(x)>1，f(0)=4，则不等式

e x f(x)>e x+3(其中e为自然对数的底数)的解集为.

7.已知函数f(x)=ln x+2x，若f(x2+2)

8.已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围

是.

二、解答题

9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a，b∈R)的图象过点P(1，2)，且在点P处的切线的斜率为8.

(1)求a，b的值；

(2)求函数f(x)的单调区间.

10.已知函数f(x)=(ax2+x)e x，其中e为自然对数的底数，a∈R.

(1)当a<0时，解不等式f(x)>0；

(2)若f(x)在区间[-1，1]上是单调函数，求实数a的取值范围.

11.(2014·山东卷)已知函数f(x)=a ln x+

-1

1

x

x ，其中a为常数.

(1)若a =0，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性.

三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果) 12.已知函数f (x )=e x

-ax -1. (1)求函数f (x )的单调增区间.

(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求实数a 的取值范围.

(3)是否存在实数a ，使得函数f (x )在区间(-∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增?若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.

【检测与评估答案】

第18课 利用导数研究函数的单调性

1.(0，2) 【解析】f'(x )=1-2

4x (x>0)，令f'(x )<0，解得0

(0，2).

2. (1，+∞) 【解析】令f'(x )=1-1

x =0，解得x=1.当x ∈(0，1)时，f'(x )<0；当x ∈(1，+∞)

时，f'(x )>0，所以f (x )的单调增区间为(1，+∞).

3. 3 【解析】由题意知f'(x )=3x 2

-a ≥0在[1，+∞)上恒成立，即a ≤3x 2

在[1，+∞)上恒成立，而(3x 2

)min =3×12

=3，所以a ≤3，故a max =3.

4. 1 【解析】由f'(x )=3kx 2

-6(k+1)x<0的解集为(0，4)，得k=1.

5. (-∞，-1] 【解析】由f (x )=-12(x-2)2

+b ln x ，得f'(x )=-(x-2)+b

x (x>0)，由题意知f'(x )≤0，即-(x-2)+b

x ≤0在(1，+∞)上恒成立，所以b ≤[x (x-2)]min ，当x ∈(1，+∞)时

[x (x-2)]∈(-1，+∞)，所以b ≤-1.

6. (0，+∞) 【解析】设g (x )=e x

f (x )-e x

，则g '(x )=e x

f (x )+e x

f'(x )-e x

，因为f (x )+f

'(x )>1，所以f (x )+f '(x )-1>0，所以g '(x )>0，所以y=g (x )在定义域R 上单调递增.因为

e x

f (x )>e x

+3，所以g (x )>3，又因为g (0)=e 0

f (0)-e 0

=3，所以g (x )>g (0)，所以x>0，即x ∈(0，

+∞).

7. (1，2) 【解析】由f (x )=ln x+2x ，得f'(x )=1

x +2x

ln 2>0，x ∈(0，+∞)，所以f (x )在

(0，+∞)上单调递增.又由f (x 2

+2)

+2<3x ，所以x ∈(1，2).

8.(-∞，-2) 【解析】①当a=0时，显然f (x )有两个零点，不符合题意.②当a ≠0时，

f'(x )=3ax 2-6x ，令f'(x )=0，解得x 1=0，x 2=2a .当a>0时，2

a >0，所以函数f (x )=ax 3-3x 2+1在(-∞，0)和2a

∞??+ ???，上为增函数，在20a ?? ?

??，上为减函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0>0，则f (0)<0，即1<0，不成立.当a<0时，2a <0，所以函数f (x )=ax 3-3x 2+1在

2-a ∞?? ???，和(0，+∞)上为减函数，在20a ?? ???，上为增函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0>0，则f 2a ?? ???>0，即a ·38a -

3·2

4

a +1>0，解得a>2或a<-2，又因为a<0，故实数a 的取值范围为(-∞，-2).

9. (1) 由函数f (x )的图象过点P (1，2)，得f (1)=2，所以a+b=1. 因为函数图象在点P 处的切线的斜率为8，所以f'(1)=8. 又f'(x )=3x 2

+2ax+b ，所以2a+b=5. 因此，a=4，b=-3.

(2) 由(1)得f'(x)=3x2+8x-3.

令f'(x)>0，得x<-3或x>1 3；

令f'(x)<0，得-3

故函数f(x)的单调增区间为(-∞，-3)，

1

3

∞

??

+

?

??

，

；单调减区间为

1

-3

3

??

?

??

，

.

10. (1) 因为e x>0，所以不等式f(x)>0即为ax2+x>0.

又a<0，所以不等式可化为x

1

x

a

??

+

?

??<0，所以当a<0时，不等式f(x)>0的解集为

1

0-

a

??

?

??

，

.

(2) f'(x)=(2ax+1)e x+(ax2+x)e x=[ax2+(2a+1)x+1]e x.

①当a=0时，f'(x)=(x+1)e x，f'(x)≥0在[-1，1]上恒成立，当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求.

②当a≠0时，令g(x)=ax2+(2a+1)x+1，因为Δ=(2a+1)2-4a=4a2+1>0，所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1>x2，因此f(x)有极大值又有极小值.若a>0，因为g(-1)·g(0)=-

a<0，所以f(x)在(-1，1)内有极值点，故f(x)在[-1，1]上不单调；若a<0，可知x1>0>x2，因为

g(x)的图象开口向下，所以要使f(x)在[-1，1]上单调，因为g(0)=1>0，必须满足

(1)0

(-1)0 g

g

≥

?

?

≥

?

，

，

即

320

-0

a

a

+≥

?

?

≥

?

，

，

所以-

2

3≤a<0.

综上可知，实数a的取值范围是

2

,0

3

??-????.

11.(1)由题意知当a=0时，f(x)=

-1

1

x

x+，x∈(0，+∞).

此时f'(x)=

2

2

(1)

x+，所以f'(1)=

1

2.

又f(1)=0，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.

(2)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，

f'(x)=a

x+2

2

(1)

x+=

2

2

(22)

(1)

ax a x a

x x

+++

+.

当a≥0时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增. 当a<0时，令g(x)=ax2+(2a+2)x+a，

则Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).

①当a≤-1

2时，Δ≤0，f'(x)≤0在(0，+∞)上恒成立，

所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递减.

②当-1

20.

设x1，x2(x1

则x1

=，

x2

=

-(a

a

+

.

因为x2>x1

=-

a

a

+

=>0，

因此，当x∈(0，x1)时，g(x)<0，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f'(x)>0，f(x)单调递增，

当x∈(x2，+∞)时，g(x)<0，f'(x)<0，f(x)单调递减.

综上，当a≥0时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增；

当a≤-1

2时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减；

当-1

2

在

?

??

，

?

+∞??

??

上单调递减，在??上单调递增.

12. (1) 易知f'(x)=e x-a.

若a≤0，则f'(x)=e x-a>0恒成立，即f(x)在R上单调递增；

若a>0，令e x-a>0，得e x>a，即x>ln a，此时f(x)的单调增区间为(ln a，+∞).

(2) 要使f(x)在R内单调递增，只要f'(x)≥0在R上恒成立，即e x-a≥0 a≤e x在R上恒成立，即a≤(e x)min.

又因为e x>0，所以a≤0，

即实数a的取值范围是(-∞，0].

(3) 假设存在a满足条件.

方法一：由题意知e x-a≤0在(-∞，0]上恒成立，所以a≥e x在(-∞，0]上恒成立.

因为e x在(-∞，0]上为增函数，所以a≥1.

同理可知e x-a≥0在[0，+∞)上恒成立，所以a≤e x在[0，+∞)上恒成立，所以a≤1.

综上，a=1.

方法二：由题意知，x=0为f(x)的极小值点，所以f'(0)=0，即e0-a=0，所以a=1.经验证，符合题意.

k52006年高考第一轮复习数学：14.1 导数的概念与运算

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※第十四章
●网络体系总览
导 概 数 念 的 导 数
导数
的 性 导 求 函 单 数 法 数 调 的 的 导 应 函 极 数 用 数 值 的 函 最 数 大 的 值 小 与 值 最
●考点目标位定位 要求： （1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率 等） ，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. （2）熟记基本求导公式〔C，xm（m 为有理数） ，sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax 的导数〕 ，掌握 两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. （3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条 件和充分条件（导数在极值点两侧异号） ，会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值 和最小值. ●复习方略指南 深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求 导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大（小）值的数学模型,应用导数知识去解 决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键. 1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础. 2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大（小）值中的应用,尤其要重视导数 运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.
14.1
●知识梳理
导数的概念与运算
1.导数的概念： （1）如果当Δ x→0 时，
?y 有极限，我们就说函数 y=f（x）在点 x0 处可 ?x
导 ， 并 把 这 个 极 限 叫 做 f （ x ） 在 点 x0 处 的 导 数 ， 记 作 f ′ （ x0 ） 即 f ′ （ x0 ） = ，
?x ?0
lim
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim . ?x ?x?0 ?x
（2）如果函数 f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，就说 f（x）在开区间（a,b）内 可导.这时对于开区间（a,b）内每一个确定的值 x0,都对应着一个确定的导数 f′（x0）,这样 就在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新函数叫做 f（x）在开区间（a,b）内的导函 数，记作 f′（x）,即 f′（x）= lim
?x ?0
f ( x ? ?x) ? f ( x) ，导函数也简称导数. ?x
2.导数的几何意义：函数 y=f（x）在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f（x）在点 P（x0,f（x0） ）处的切线的斜率. 3.几种常见的导数： － C′=0（C 为常数）;（xn）′=nxn 1;（sinx）′=cosx;（cosx）′=－sinx;（ex）′=ex;

2017四川对口高考数学试题

机密★启封并考试结束前 四川省2017年普通高校职教师资班和高职班对口招生统一考试 数学 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在考试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共60分） 注意事项： 1.选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2.本部分共1个大题，15个小题．每个小题4分，共60分． 一、选择题：（每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合A={0,1}，B={-1,0}，则A∪B=（） A．? B.{0} C.{ -1,0,1} D.{0,1} 2．函数的定义域是（） A.（1，,+∞） B.[1,+∞） C.（-1,+∞） D. [-1,+∞） 3.=（） A. B. C. D.

4.函数 的最小正周期是（ ） A.2 B. C. D. 5.已知平面向量 ) 1,1(0,1-==b a ），（，则 b a 2+=（ ） A.（1,1） B.（3，-2） C.（3，-1） D.（-1,2） 6.过点（1,2）且与y 轴平行的直线的方程是（ ） A. y =1 B. y =2 C. D. 7.不等式| -2|≤5的整数解有（ ） A.11个 B.10个 C.9个 D.7个 8.抛物线 的焦点坐标为（ ） A.（1,0） B.（2,0） C.（0,1） D.（0,2） 9.某班的6位同学与数学老师共7人站成一排照相，如果老师站在中间，且甲同学与老师相邻，那么不同的排法共有（ ） A.120种 B.240种 C.360种 D.720种 10.设 ㏒ ， ㏒ ，其中m ，n 是正实数，则mn （ ） A. B. C. D. 11.设某机械采用齿轮转动，由主动轮M 带着从动轮N 转动（如右图所示），设主动轮M 的直径为150mm ，从动轮N 的直径为300mm ，若主动轮M 顺时针旋转 ，则从动轮N 逆时针旋转（ ） A. B. C. D. 12.已知函数 的图像如右图所示，则函数

2017高考数学一轮复习第四章三角函数4.3三角函数的化简与求值对点训练理

2017高考数学一轮复习 第四章 三角函数 4.3 三角函数的化简与 求值对点训练 理 1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－3 2 B.32 C ．－12 D.12 答案 D 解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝1 2. 2．化简 cos40° cos25°1－sin40° ＝( ) A ．1 B. 3 C. 2 D ．2 答案 C 解析 原式 ＝ cos 220°－sin 220° cos25° sin 220°－2sin20°cos20°＋cos 220° ＝ cos 220°－sin 220°cos25° cos20°－sin20° ＝ 2sin65°cos25°＝2cos25° cos25° ＝ 2. 3．已知向量a ＝? ????sin ? ????α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ? ????α＋4π3＝( ) A ．－3 4 B ．－14 C.34 D.14 答案 B 解析 ∵a ⊥b ，

∴a ·b ＝4sin ? ?? ?? α＋π6＋4cos α－3 ＝2 3sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ? ???? α＋π3－3＝0， ∴sin ? ????α＋π3＝14 . ∴sin ? ????α＋4π3＝－sin ? ?? ??α＋π3＝－14. 4.已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝1 7，则tan β的值为________． 答案 3 解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ tan α＋β－tan α 1＋tan α＋βtan α ＝ 1 7＋2 1－ 27 ＝3. 5．sin15°＋sin75°的值是________． 答案 62 解析 解法一：sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝62 . 解法二：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15° ＝ 2sin(45°＋15°)＝ 2sin60°＝6 2 . 6．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图象有一个横坐标为π 3的交 点，则φ的值是________． 答案 π6 解析 显然交点为? ?? ?? π3，12，

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

高三数学一轮复习导数导学案

课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时 一、考点梳理： 1.导数、导数的计算 （1）．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=. （2）．导函数： 记为f ′(x )或y ′. （3）．导数的几何意义： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几 何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． ! （4）．基本初等函数的导数公式 （5）．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)??? ?f x g x ′ ＝__________(g (x )≠0)． （6）．复合函数的导数： 2．导数与函数的单调性及极值、最值 （1）导数和函数单调性的关系： (1)对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上f ′(x )>0，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上f ′(x )<0，那么f (x )为该区间上的________． (2)若在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0，f ′(x )≥0?f (x )在(a ，b )上为____函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，?f (x )在(a ，b )上为____函数． [ （2）函数的极值与导数 (1)判断f (x 0)是极值的方法： 一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ： ①____________ ；②________________ ;③_________________________. （3）求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________； (2)将函数y ＝f (x )的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． ` 二、基础自测： 1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2Δx 2 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) ； f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________ f (x )＝e x > f ′(x )＝________ f (x )＝lo g a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln x f ′(x )＝________

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0

高考文科数学专题复习导数训练题文

欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数

高考数学第一轮复习导数概念和几何意义

第1讲 变化率与导数、导数的运算 【2014年高考会这样考】 1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】 本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. 基础梳理 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 . 若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0Δy Δx ＝ li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝li m Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式 若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0； 若f (x )＝x α(α∈R )，则f ′(x )＝αx α－1； 若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ；

高考数学导数专题复习(基础精心整理)学生版

导数专题复习（基础精心整理）学生版 【基础知识】 1.导数定义：在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 3.导数的四则运算法则： （1） （2） （3） 4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性： ①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。 （3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】 一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。 例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是（ ） A. 41- B. 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f

(word完整版)2017年高考全国卷文科数学第一轮复习讲义一数列

（2017 高考文科数学）2016-4-30 讲义一数列 一、高考趋势 1、考纲要求 （1）．了解数列的概念和几种简单的表示方法( 列表、图像、通项公式 ) ．（2）．了解数列是自变量为正整数的一类函数． （3）．理解等差数列的概念． （4）．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式． （5）．了解等差数列与一次函数的关系． （6）．理解等比数列的概念． （7）．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式． （8）．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．（9）．了解等比数列与指数函数的关系． 2、命题规律 数列一般在全国文科卷中平均考查分值为12 分。考察形式一般有两种，第一种是选择 题+填空题的形式，第二种是解答题的形式。并且全国文科卷解答题第一 题是数列和三角函数二选一。因此数列题在高考中属于“要尽量全部做对且 拿到满分”的“高期待值”题。

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二、基础知识 +典型例题 1、等差数列的概念与运算 （1）．等差数列的定义 如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示． （2）．等差数列的通项公式 如果等差数列 { a n 的首项 为 a 1 ，公差为 d，则它的通项公 式是（ n N ） } a n a1 (n 1)d . （3）．等差中项 a b 如果 A ，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项． 2 （4）．等差数列的前n 项和 等差数列 { a n 的 前 项和公 式： n(n 1) n(a 1 a n ) N ）n S n na1 d （ n } 2 2 （5）．等差数列的判定通常有两种方法： ①第一种是利用定义，an－ an－ 1＝ d(常数 ) (n≥2)， ②第二种是利用等差中项，即2an＝ an＋ 1＋an－ 1 (n≥ 2)． [ 来源学科网] 背诵知识点一： （ 1）等差数列的通项公式：a n a1(n 1)d（ n N ） （2）等差中项： a,b,c构成等差数列，则 a c 2b （ 3）等差数列的前n 项和： S n na1n(n 1) d n(a1a n )（n N ） 2 2

高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数

2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值．

2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数．

高三数学一轮复习 导数的综合应用

导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0e x-e x=0, 所以g(x)=e x·f(x)-e x为R上的增函数. 又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1, 所以原不等式转化为g(x)>g(0), 解得x>0. 故选A. 3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( A )

解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)

2020高考数学复习-导数部分

-2 2 x y O 1 -1 -1 1 2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！ 1、(广东卷)函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为(D) （Ａ）(2,)+∞（Ｂ）(,2)-∞（Ｃ）(,0)-∞（Ｄ）(0,2) 2.（全国卷Ⅰ）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（B ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 3. （湖北卷）在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4 π的 点中，坐标为整数的点的个数是 （ D ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 4．(江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(中'()f x 是函数()f x 的导函数)象中()y f x =的图象大致是(C ） 5.(浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( B ) (A) 18 (B)41 (C) 2 1 (D)1 6. (重庆卷)曲线y x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x 2所围成的三角形的面积为______8/3____。 7.（江苏卷）（14）曲线31y x x =++在点（1,3）处的切线方程是41y x =- O -2 2 x y 1 -1 -2 1 2 O x y -2 -2 2 1 -1 1 2 O -2 4 x y 1 -1 -2 1 2 O -2 2 x y -1 2 4 A

8. ( 全国卷III)曲线32y x x =-在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0 9. （北京卷）过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为 (1, e )； ，切线的斜率为e ． 10.(全国卷Ⅱ)设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值. (Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点. 解：(I)'()f x =32x －2x －1 若'()f x =0，则x ==－13 ，x =1 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表： ∴()f x 的极大值是()3 27 f a -= +，极小值是(1)1f a =- (II)函数322()(1)(1)1f x x x x a x x a =--+=-++- 由此可知，取足够大的正数时，有()f x >0，取足够小的负数时有()f x <0，所以曲线y =()f x 与x 轴至少有一个交点 结合()f x 的单调性可知： 当()f x 的极大值 527a +<0，即5 (,)27 a ∈-∞-时，它的极小值也小于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。 当()f x 的极小值a －1>0即a ∈(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点，它在(－∞，－13 )上。 ∴当5 (,)27 a ∈-∞- ∪(1， +∞)时，曲线y =()f x 与x 轴仅有一个交点。 11. (全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ 2x -2ax ）x e

2017高考一轮备考如何又快又准做数学选择题_答题技巧

2017高考一轮备考如何又快又准做数学选择题_答题技巧 高考数学选择题从难度上讲是比其他类型题目降低了，但知识覆盖面广，要求解题熟练、准确、灵活、快速。选择题的解题思想，渊源于选择题与常规题的联系和区别。下面是如何又快又准做数学选择题，希望对大家有帮助。 它在一定程度上还保留着常规题的某些痕迹。而另一方面，高考数学选择题在结构上具有自己的特点，即至少有一个答案(若一元选择题则只有一个答案)是正确的或合适的。因此可充分利用题目提供的信息，排除迷惑支的干扰，正确、合理、迅速地从选择支中选出正确支。高考数学选择题中的错误支具有两重性，既有干扰的一面，也有可利用的一面，只有通过认真的观察、分析和思考才能揭露其潜在的暗示作用，从而从反面提供信息，迅速作出判断。由于我多年从事高考试题的研究，尤其对选择题我有自己的一套考试技术，我知道无论是什么科目的选择题，都有它固有的漏洞和具体的解决办法，我把它总结为：6大漏洞、8大法则。“6大漏洞”是指：有且只有一个正确答案;不问过程只问结果;题目有暗示;答案有暗示;错误答案有严格标准;正确答案有严格标准;“8大原则”是指：选项唯一原则;范围最大原则;定量转定性原则;选项对比原则;题目暗示原则;选择项暗示原则;客观接受原则;语言的精确度原则。经过我的培训，很多的学生的选择题甚至1分都不丢。 下面是一些实例： 1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。 例：△ABC的三个顶点在椭圆4x2+5y2=6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为 A. -5/4 B.-4/5 C.4/5 D. 2√5/5 解析：因为要求k1k2的值，由题干暗示可知道k1k2的值为定值。题中没有给定A、B、C 三点的具体位置，因为是选择题，我们没有必要去求解，通过简单的画图，就可取最容易计算的值，不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为椭圆的短轴上的一个顶点，这样直接确认交点，可将问题简单化，由此可得，故选B。 2.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。 3.剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。 4.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。 5.递推归纳法：通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。 6.顺推破解法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。 例：银行计划将某资金给项目M和N投资一年，其中40%的资金给项目M，60%的资金给项目N，项目M能获得10%的年利润，项目N能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户. 为了使银行年利润不小于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户回扣率最小值为( )

高考数学理科导数大题目专项训练及答案

高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.

届高三数学第一轮复习导数

导 数 第3章 导数及其运用 §3.1导数概念及其几何意义 重难点：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 考纲要求：①了解导数概念的实际背景． ②理解导数的几何意义． 经典例题：利用导数的定义求函数y=|x|(x ≠0)的导数． 当堂练习： 1、在函数的平均变化率的定义中，自变量的的增量x ?满足（ ） 2 3 ） 4 5A C 6A ．7A ．f ′(x0)>0 B ．f ′(x0)<0 C ．f ′(x0)=0 D ．f ′(x0)不存在 8．已知命题p ：函数y=f(x)的导函数是常数函数；命题q ：函数y=f(x)是一次函数，则命题p 是命题q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f(x)在x0处可导，则0 lim →h h h x f h x ) ()(00--+等于 A ．f ′(x0) B ．0 C ．2f ′(x0) D ．－2f ′(x0) 10．设f(x)=x(1+|x|),则f ′(0)等于

A ．0 B ．1 C ．－1 D ．不存在 11．若曲线上每一点处的切线都平行于x 轴，则此曲线的函数必是___． 12．两曲线y=x2+1与y=3－x2在交点处的两切线的夹角为___________． 13．设f(x)在点x 处可导，a 、b 为常数，则0 lim →?x x x b x f x a x f ??--?+) ()(=_____． 14．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在t=5时的 瞬时速度________． 15.已知质点M 按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)， (1)当t=2，Δt=0.01时，求t s ??． 法则3 2()()v x v x ???? 经典例题：求曲线y=2 1x x +在原点处切线的倾斜角. 当堂练习： 1.函数f （x ）=a4+5a2x2－x6的导数为 ( ) A.4a3+10ax2－x6 B.4a3+10a2x －6x5 C.10a2x －6x5 D.以上都不对 2.函数y=3x （x2+2）的导数是( ) A.3x2+6 B.6x2 C.9x2+6 D.6x2+6

2017届高考数学一轮复习详细计划及资料推荐_考前复习

2017届高考数学一轮复习详细计划及资料推荐_考前复习 高三数学学习可以分为三个阶段：1.一轮复习（至2017年元旦前后）：夯实基础，构建知识体系，强化能力训练；2.二轮复习（从一轮结束至三模结束）：固化与应用，优化思维模式；3.考前冲刺（考前一个月）：巩固已知，调整状态。 一轮复习特点：时间长，任务重，此特点与《课程标准》中“培养学生实事求是的态度，锲而不舍的精神”吻合；学生易懈怠、易迷茫、易焦虑。 一轮复习数学资料：一轮复习讲义、教材（10本）、章节测试、08年——12年高考试题分类汇编、天利38套模拟试题、2013年高考真题。 一轮复习着重从知识、方法、能力、技巧四方面入手，为实现二轮复习“数学思想统领学习”的目标做下坚实基础。知识与方法可以跟随老师的讲解及时整理记忆，与原有知识结构实现对接，实现知识与方法的零死角；能力的提升需要自己细致扎实的练习与思考，基础能力：总结反思、语言表达、阅读理解，学科能力：空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理；技巧是从勤勉的实践中点滴积累起来的，是反复感知与应用后沉淀下的极其实用的小绝招，每个个体总结的技巧是不尽一致的。 一轮复习思路千百种，现仅从“如何搭配练习册及试卷的应用”的角度对一轮复习大致框架加以论述： 1. 无论复习哪一学科，都要有一个系统的练习过程，认准一本复习资料加以练习不放松。课堂上，按照拟好的“主线”进行复习，“函数、几何、概率统计、运算、算法、数学应用”六条主线将课标内容纵横交织，打破资料章节顺序，优化组合串讲课标所要求考点。 2. 新课标精神的直接体现就是教材，重读教材意义重大。要读初学时未关注的细节，要关注数学概念、法则、结论的发展过程。教材上练习题不必每道必做，根据实际情况，有选择地挑出一些必做题。我将依照教材内容组织一张练习卷，尽可能检验出大家对教材的熟悉程度及理解的深度。 3. 必备的章节模拟训练是不可少的，一段时间的复习后来个小测验，及时对所学有一个检验，也时刻提醒我们要注意多回头看看。章节测试所用试题由我为大家提供，在每个章末测试一张卷，限时训练，之后，学生再进行局部弥补性练习。 4. 前几年的高考题就是最好的模拟题，去年暑假始，我们已着手做“分类汇编”，一轮复习时，紧跟模块复习完成“分类汇编”上尚未完成的任务，并且从做过的试题中寻找规律性的东西也是必须面对的任务。 5. 一轮复习战线过长，不对过往重点知识加以多次循环则不能识其本质。天利38套的应用：每周每个同学利用课余时间写一套模拟题，每周日晚上“就题论题，不举一反三”。目的：化整为零，保持新鲜感，给学生以充分思考交流的空间和时间。计划进行20周，余下的试卷由学生自行处理。 6. 不能急于完成“2013年高考真题”，我们可以使其发挥更大利用价值。将这19套真题作为一个研究平台，我们要逐一细致分析试卷的规律性。从哪些角度分析？分析什么内容？如何利用分析结论？这些都会使我们的思考更有条理，使我们的表达更清晰。