典型例题：抛物线问题
抛物线问题
典型例题一
例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x
分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．
（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．
解：（1）2=p ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a y 12=，a
p 1
2=∴ ①当0>a 时，
a p 41
2=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41
-=．
②当0 p 41 2-=，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是)0,41 (a ，准线方程是：a x 41-=． 综合上述，当0≠a 时，抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41 ( a ，准线方程是：a x 41 - =． 典型例题二 例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程． 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k ． 解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：???=-=x y kx y 822可得：04)84(22=++-x k x k ． ∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>?，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：28 422 21=+=+∴ k k x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ． 解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22 212 188x y x y ==． 两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即 2 121218 y y x x y y += --． 421=+x x 444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ， 4 48 -= ∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ． 典型例题三 例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为)0(22 >=p px y ．如图所示，只须证明12 MM AB =， 则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切． 证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知：BF BB AF AA ==11, 在直角梯形A A BB 11中： AB BF AF BB AA MM 21 )(21)(21111=+=+= AB MM 21 1=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交． 典型例题四 例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值． （2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标． 分析：（1）题可利用弦长公式求k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标． 解：（1）由???+==k x y x y 242得：0)44(422=+-+k x k x 设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点．则有：4,12 2121k x x k x x =?-=+ [][] ) 21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴ 53)21(5,53=-∴=∴k AB ，即4-=k （2）9=?S ，底边长为53，∴三角形高55 65 392=?=h ∵点P 在x 轴上，∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ，即 5 5 6124022 20= +--x 10-=∴x 或50=x ，即所求P 点坐标是（－1，0）或（5，0） ． 典型例题五 例5 已知定直线l 及定点A （A 不在l 上），n 为过A 且垂直于l 的直线，设N 为l 上任一点，AN 的垂直平分线交n 于B ，点B 关于AN 的对称点为P ，求证P 的轨迹为抛物线． 分析：要证P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点，l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PN PA =且l PN ⊥即可． 证明：如图所示，连结P A 、PN 、NB ． 由已知条件可知：PB 垂直平分NA ，且B 关于AN 的对称点为P ． ∴AN 也垂直平分PB ．则四边形P ABN 为菱形．即有PN PA =． ..l PN l AB ⊥∴⊥ 则P 点符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线． 典型例题六 例6 若线段21P P 为抛物线)0(2:2>=p px y C 的一条焦点 弦，F 为C 的焦点，求证： p F P F P 2 1121=+． 分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来． 证法一：)0,2 (p F ，若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时， 则有p F P F P ==21,p p p F P F P 2 111121=+=+∴ ． 若线段2 1P P 所在直线斜率存在时，设为k ，则此直线为：)0)(2 (≠-=k p x k y ，且设),(),,(222111y x P y x P ． 由??? ??? ? -=-=)2 () 2(p x k y p x k y 得：04)2(222 22=+ +-p k x k p x k 2 221) 2(k k p x x +=+∴ ① 4 2 21p x x =? ② 根据抛物线定义有：p x x P P p x F P p x F P ++=∴+=+ =21211211,2 ,2 则F P F P F P F P F P F P 21212111?+=+4)(2)2)(2(2 2121212121p x x p x x p x x p x p x p x x +++++=++++= 请将①②代入并化简得： p F P F P 21121=+ 证法二：如图所示，设1P 、2P 、F 点在C 的准线l 上的射影分别是'1P 、' 2P 、F '，且不妨设1122P P m n P P '=<='，又设2P 点在F F '、11P P '上的射影分别是A 、B 点，由抛物线定义知， p F F m F P n F P ='==,,12 又AF P 2?∽12BP P ?，1 221 P P F P BP AF = ∴ 即 n m n n m n p +=-- p n m m n n m p 2 112)(=+∴=+∴ 故原命题成立． 典型例题七 例7 设抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点F 的弦AB 的倾斜角为α，求证：焦点弦长为α 2 sin 2p AB = ． 分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题． 证法一：抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,2 (p ， 过焦点的弦AB 所在的直线方程为：)2 (tan p x y -=α 由方程组?? ? ?? =-=px y p x y 2)2(tan 2α消去y 得： 0tan )(tan 4tan 422222=+-αααp p x 设),(),,(2211y x B y x A ，则???????=?+=+=+4)cot 21(tan )2(tan 22122221p x x p p x x ααα 又)(tan 2121x x y y -=α [] α α ααααααα2422 2 2 2 22 22 2 122122212sin 2sin 14)cot 1(cot 4sec 44)cot 1()tan 1(4)()tan 1())(tan 1(p p p p p x x x x x x AB =?=+?=? ??????-++=-++=-+=∴ 即α 2sin 2p AB = 证法二：如图所示，分别作1AA 、1BB 垂直于准线l ．由抛物线定义有： α αcos cos 11?-==+?==BF p BB BF p AF AA AF 于是可得出：αcos 1-= p AF α cos 1+=p BF ααα α22sin 2cos 12cos 1cos 1p p p p BF AF AB = -= ++ -= +=∴ 故原命题成立． 典型例题八 例8 已知圆锥曲线C 经过定点)32,3(P ，它的一个焦点为F （1，0），对应于该焦点的准线为1-=x ，过焦点F 任意作曲线C 的弦AB ，若弦AB 的长度不超过8，且直线AB 与椭圆22322=+y x 相交于不同的两点，求 （1）AB 的倾斜角θ的取值范围． （2）设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点，求CD 中点M 的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设其斜率为k ，弦AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出k 的取值范围，从而可得θ的取值范围，求CD 中点M 的轨迹方程时，可设出M 的坐标，利用韦达定理化简即可． 解：（1）由已知得4=PF ．故P 到1-=x 的距离4=d ，从而d PF = ∴曲线C 是抛物线，其方程为x y 42=． 设直线AB 的斜率为k ，若k 不存在，则直线AB 与22322=+y x 无交点． ∴k 存在．设AB 的方程为)1(-=x k y 由???-==) 1(42x k y x y 可得：0442=--k y ky 设A 、B 坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则：442121-=?= +y y k y y 2 22122122212 )1(44)(1))(11(k k y y y y k k y y k AB += -++=-+ =∴ ∵弦AB 的长度不超过8，8) 1(42 2≤+∴k k 即12≥k 由???=+-=2 23)1(2 2y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k ∵AB 与椭圆相交于不同的两点，32<∴k 由12≥k 和32 故3tan 1≤≤θ或1tan 3-<<-θ 又πθ<≤0，∴所求θ的取值范围是： 3 4 π θπ < ≤或 4 332πθπ≤< （2）设CD 中点),(y x M 、),(33y x C 、),(44y x D 由???=+-=2 23) 1(2 2y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k 93253 13 23 1322232) 1(2,3242222 2 4322132243<+≤∴<≤+-=∴+=+=+-= ?+=+∴k k k x k k x x x k k x x k k x x 则323211522 <+-≤k 即32 52<≤x ． 3) 1(2)1(23 221 22 2 22+-?-?= +=∴-= x y x y k k x x y k 化简得：032322=-+x y x ∴所求轨迹方程为：)3 2 52(032322<≤=-+x x y x 典型例题九 例9 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 的中点到 y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标． 分析：线段AB 中点到y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究A 、B 两点的横坐标之和取什么最小值即可． 解：如图，设F 是x y =2的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ， 又M 到准线的垂线为MN ，C 、D 和N 是垂足，则 2 321)(21)(21=≥+=+=AB BF AF BD AC MN ． 设M 点的横坐标为x ，纵坐标为y ，41+=x MN ，则45 4123=-≥x ． 等式成立的条件是AB 过点F ． 当45= x 时，4 1 221-=-=P y y ，故 22 122)(212 221221=-=++=+x y y y y y y ， 221±=+y y ，2 2± =y ． 所以)2 2 ,45(±M ，此时M 到y 轴的距离的最小值为45． 说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简． 典型例题十 例10 过抛物线px y 2=的焦点F 作倾斜角为θ的直线，交抛物线于A 、B 两点，求AB 的最小值． 分析：本题可分2 π θ=和2 π θ≠ 两种情况讨论．当2 π θ≠ 时，先写出AB 的表达式， 再求范围． 解：(1)若2 π θ=，此时p AB 2=． (2)若2 π θ≠ ，因有两交点，所以0≠θ． )2(tan p x y AB -=θ：，即2 tan p y x +=θ． 代入抛物线方程，有0tan 222=-- p y p y θ ． 故θθ 2222 2 2 12csc 44tan 4)(p p p y y =+=-， θ θθ22 222122 12tan csc 4tan )()(p y y x x =-=-． 故θθ θ422 222 csc 4)tan 1 1(csc 4p p AB =+=． 所以p p AB 2sin 22 >= θ ．因2π θ≠，所以这里不能取“=”． 综合(1)(2)，当2 π θ=时，p AB 2=最小值． 说明： (1)此题须对θ分2 π θ= 和2 π θ≠ 两种情况进行讨论； (2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为θ 2 sin 2p l =； (3)当2 π θ= 时，AB 叫做抛物线的通径．通径是最短的焦点弦． 典型例题十一 例11 过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 作弦AB ，l 为准线，过A 、B 作l 的垂线，垂足分别为'A 、'B ，则①''FB A ∠为（ ），②B AF '∠为（ ）． A ．大于等于?90 B ．小于等于?90 C ．等于?90 D 不确定 分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切． 解：①点A 在抛物线上，由抛物线定义，则21'∠=∠?=AF AA ， 又x AA //'轴31∠=∠?． ∴32∠=∠，同理64∠=∠， 而?=∠+∠+∠+∠1804632，∴?=∠+∠9063， ∴?=∠90''FB A ．选C ． ②过AB 中点M 作l MM ⊥'，垂中为'M ， 则AB BF AF BB AA MM 2 1 )(21)(21'''=+=+= ． ∴以AB 为直径的圆与直线l 相切，切点为'M ． 又'F 在圆的外部，∴?<∠90'B AF ． 特别地，当x AB ⊥轴时，'M 与'F 重合，?=∠90'B AF ． 即?≤∠90'B AF ，选B ． 典型例题十二 例12 已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PF PM +取最小值时，点P 的坐标为__________． 分析：本题若建立目标函数来求PF PM +的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决． 解：如图， 由定义知PE PF =，故2 1 3=≥≥+=+MN ME PM PF PF PM ． 取等号时，M 、P 、E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标 为2， 所以P点坐标为)2,2(． 说明：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离．要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离的相互转换． 目录 目录-------------------------------------------------------------------------------------------------1抛物线大题专练（一）--------------------------------------------------------------------------------2抛物线大题专练（二）--------------------------------------------------------------------------------5抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------8抛物线大题专练---------------------------------------------------------------------------------------11参考答案与试题解析---------------------------------------------------------------------------------11 抛物线大题专练（一） 1．已知抛物线C的方程为x2=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为； （1）求抛物线C的方程； （2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同）， 求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切 线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N． （1）求抛物线的方程； （2）试问：的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 《抛物线》典型例题12例 典型例题一 例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程． （2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程． 解：（1）2=p Θ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a y 12=，a p 1 2=∴ ①当0>a 时， a p 41 2=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41 -=． ②当0?，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：28 422 21=+=+∴ k k x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ． 解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22 212 188x y x y ==． 两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即 2 121218 y y x x y y +=--． 421=+x x Θ444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ， 4 48 -= ∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ． 典型例题三 例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明12 MM AB =， 则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切． 证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作 l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知： BF BB AF AA ==11, 在直角梯形A A BB 11中： AB BF AF BB AA MM 21 )(21)(21111=+=+= AB MM 21 1=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交． 典型例题四 例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值． （2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面 抛物线经典结论和例题 方程 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点 ),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 一、抛物线的定义及其应用 1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：2 p OF OK == 。 ⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F 、 准线是公切线。 ⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。 ⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。 3抛物线标准方程的四种形式： ，，px y px y 2222-==。，py x py x 2222-== 4抛物线px y 22 =的图像和性质： ①焦点坐标是：?? ? ??02，p ， ②准线方程是：2 p x - =。 ③焦半径公式：若点),(00y x P 是抛物线px y 22 =上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：02 p PF x =+ ， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222 p p PQ x x x x p =+ ++=++ ⑤抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 οοy p y 或2(2,2)P pt pt 或P οοοοpx y y x 2),(2=其中 5一般情况归纳： y 2=kx k>0时开口向右 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距 离 k<0时开口向左 x 2=ky k>0时开口向上 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距 离 k<0时开口向下 抛物线的定义： 例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方 程． 分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义． 答案：y 2=－16x 例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长． 分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和． 解：如图8－3－1，y 2=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1． 由???+==1 42x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则 ()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A 点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。 例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y 2=10x ，求它的焦点坐标和准线方程； (2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程； (3) 已知抛物线方程为y =－mx 2 (m >0)求它的焦点坐标和准线方程； 抛物线及其性质 【考纲说明】 1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。 【知识梳理】 1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质： 图形 参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔. 开口方向 右 左 上 下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =-> 焦 点位 置 X 正 X 负 Y 正 Y 负 焦 点坐 标 (,0)2 p (,0)2p - (0,)2p (0,)2p - 准 线方 程 2p x =- 2p x = 2p y =- 2p y = 范 围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ 0,y x R ≥∈ 0,y x R ≤∈ 对 称轴 X 轴 X 轴 Y 轴 Y 轴 顶 点坐 标 （0,0） 离心率 1e = 通 径 2p 焦半径11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 焦点弦长AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦长AB 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质： (1)范围 因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点( ,0)2p F ，准线2 p x -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22 >=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。 4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ，焦点( ,0)2 p F (1) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：21 24 p x x =，2 12y y p =-。 (2) 若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α =（α≠0）。 (3) 已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F , 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? (4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径． (5) 两个相切：○1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5．弦长公式：),(11y x A ,),(22y x B 是抛物线上两点，则 AB =||1 1||1212212y y k x x k -+ =-+= 【经典例题】 （1）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章. 《抛物线》典型例题 12例 典型例题一 例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程. (1) X 2 =4y (2) X =ay 2 (a H 0) 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 P,再写出焦点 坐标和准线方程. （2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 P 及 焦点坐标与准线方程. 解：（1）寫P =2,.??焦点坐标是（0, 1）,准线方程是：y = -1 （2）原抛物线方程为：y 2 a 1 ，二 2 P = — a ①当2时，牛右，抛物线开口向右, 二焦点坐标是（丄,0），准线方程是：x = 4a 4a ②当a < 0时，牛-右，抛物线开口向左, 1 1 ???焦点坐标是（丄,0），准线方程是：x =-' 4a 4a 综合上述，当a H0时，抛物线x=ay 2的焦点坐标为（丄,0），准线方程是：x = - 1 4a 4a 典型例题 例2若直线y =kx-2与抛物线y 2 =8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2, 求此直线方程. 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解.另由于已知与直线 斜率及弦中点坐标有关，故也可利用 作差法”求k. 解法一：设 A （x 1, y 1）、 y = kx — 2 B( x 2, y 2)，则由：｛ 2 可得：k 2x 2-(4k+8)x + 4 = 0 . 2 C l y =8x ???直线与抛物线相交, ” k H 0 且 i >0，贝U k A —1 . ??? AB 中点横坐标为: 解得：k=2或k=—1 2 （舍去）. k 2 =2 ， 1. 一个动圆经过点F （-1,0），又与直线L:x=1相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A.x y 42= B.x y 22-= C.x y 42-= D.x y 82-= 2.顶点在原点，且过点P （-4,4）的抛物线标准方程是（ ） A.x y 42-= B.y x 42= C.x y 42-=或y x 42= D.x y 42=或y x 4-2= 3.设抛物线的顶点在原点，且其准线方程为：x=2，则抛物线的方程为（ ） A.x y 42= B.y x 82-= C.x y 82= D.x y 82-= 4.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，倾斜角为 60的直线L 过点F 且与抛物线的一个交点为A ，3=AF ，则抛物线的方程为（ ） A.x y 32= B.x y 292= C.x y 232=或x y 2 92= D.x y 32=或x y 92= 5.过点（-1,0）且与抛物线x y =2有且仅有一个公共点的直线有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 6.已知动圆圆心在抛物线x y 42=上，且动圆与直线x=-1相切，则动圆必过定点（ ） A.（2,0） B.（1,0） C.（0,1） D.（0,2） 7.已知过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且两点的横坐标之和为4，则线段AB 的长度为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 8.已知过抛物线x y 42=焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点（其中A 点在第一象限），3=，则直线L 的斜率为（ ） A.2 B.21 C.2 3 D.3 9. 抛物线C:x y 42=的准线L 与x 轴的交点为A ，焦点为F ，若P 点为抛物线上的任意一点，设PF PA t =， 则t 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.2 D.4 10.已知点P 为抛物线x y 42=上的一个动点，设点P 到y 轴的距离为d ，对于定点A （3,4），d PA +的最小值为（ ） A.52 B.152- C.152+ D.252- 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) ___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) 2 23x y -= 【编著】 黄勇权 【第一组题型】 1、已知二次函数y=x 2+bx+c 过点A （2,0），C （0, -8） （1）求此二次函数的解析式， （2）在抛物线上存在一点p 使△ABP 的面积为15，请直接写出p 点的坐标。 2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A （5，0），B （2，-6）． （1）求抛物线的表达式及对称轴 （2）设点B 关于原点的对称点为C ，写出过A 、C 两点直线的表达式。 初中数学 抛物线 经典试题集锦 3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。 （1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标 （2）求该抛物线的表达式 （3）写出抛物线与y轴交点P的坐标 4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C， （1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式 （2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式 【答案】 1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） （1）求此二次函数的解析式， （2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点 的坐标。 解： 【第一问】 因为函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8） 分别将x=2，y=0代入y=x2+bx+c，得0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x2+bx+c，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将②③代入y=x2+bx+c， 所以：二次函数的解析式y=x2+ 2x -8 【第二问】 △ABP的面积= 1 2 │AB│*│y p│----------------------④ 因为A、B两点在x轴上，令x2+ 2x -8=0 （x-2）（x+4）=0 解得：x1=2，x2= -4 所以：│AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥ 由④⑤⑥，得：1 2 *6*│y p│=15 │y p│=5 抛物线习题精选精讲 （1）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章. 【例1】P 为抛物线px y 22 =上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（ ） .A 相交 .B 相切.C 相离 .D 位置由P 确定 【解析】如图，抛物线的焦点为,02p F ?? ??? ，准线是 :2 p l x =- .作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF PH =， 且2p QH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的 中位线，()111 222MN OF PQ PH PF =+==.故以 PF 为直径的圆与y 轴相切，选B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的. （2）焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的. 【例2】过抛物线()022 p px y =的焦点F 作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，求证： （1）12AB x x p =++（2） p BF AF 211=+ 【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作 1AA l ⊥11111,2 p A B B l B AA x ⊥==+ 于，则AF ， 122 p BF BB x ==+ .两式相加即得： 12AB x x p =++ （2）当AB ⊥x 轴时，有 AF BF p ==， 112 AF BF p ∴+=成立； 当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为： 2p y k x ? ?=- ?? ?.代入抛物线方程： 2 2 22p k x px ??-= ?? ?.化简得：()()2222 22014p k x p k x k -++= l X Y F A(x,y)11 B(x,y) 22 A 1 B 1l 抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析 抛物线及其性质 【考纲说明】 1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。 【知识梳理】 1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质： 图形 参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开 口越阔. 开口方 向 右左上下 标准方 程 22(0) y px p =>22(0) y px p =->22(0) x py p =>22(0) x py p =-> 点的圆与焦点弦相切。 5．弦长公式：),(1 1 y x A ,),(2 2 y x B 是抛物线上两点，则 AB =||1 1||12 12 2 12 y y k x x k -+=-+= 【经典例题】 （1）抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章. 【例1】P 为抛物线px y 22 =上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（ ） . A 相交 . B 相切 . C 相离 . D 位置由P 确定 ,02 p F ?? ?? ? ，【解析】如图，抛物线的焦 准线是 :2 p l x =- .作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么 PF PH =， l 且2p QH OF ==.作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的 中位线，()111222 MN OF PQ PH PF =+==.故以 PF 为直径的圆与y 轴相切，选B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的. （2）焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的. 【例2】 过抛物线() 022 p px y =的焦点F 作直线交抛物线于 ()() 1122,,,A x y B x y 两点，求证： （1）1 2AB x x p =++ （2）p BF AF 2 11 =+ 【证明】（1）如图设抛物线的 准线为 l ，作 1AA l ⊥11111,2 p A B B l B AA x ⊥==+ 于，则AF ， 122 p BF BB x ==+ .两式相加即得： 12AB x x p =++ （2）当AB ⊥x 轴时，有 AF BF p ==， 112AF BF p ∴+=成立； X Y F A(x,y)11 B(x,y) 22 A 1 B 1l 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。 解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3. 所以椭圆的标准方程是y 24＋x 2 3＝1. 2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52 －1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 2 24 ＝1. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 解：因为c 2 ＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9 a 2＋ 4a 2 －5 ＝1，所以a 2 ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2 10 ＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为12 22=+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 41 12===a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。 例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 典型例题 例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程. 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 P ，再写 出焦点坐标和准线方程. （2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 p 及焦点坐标与准线方程. 解：（1）二- ?，二焦点坐标是（0, 1）,准线方程是：1 （2）原抛物线方程为: 里二_丄 ②当-；」I 时，1 上，抛物线开口向左, ???焦点坐标是」，，准线方程是: 2 （— 0） 综合上述，当?时，抛物线的焦点坐标为 J ，准线方程 1 X =-— 4a 例2若直线 与抛物线z "交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐 标为2，求此直线方程. 分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解.另由于已知与 直 线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求 k . P = J_ ①当一I 时，1 " ＜： ,抛物线开口向右, ???焦点坐标是-」， 准线方程是: 是: y = h - 2 < 解法一：设虫（21）、B 临仍），则由：0二8兀可得: -- -- 2 分析：可设抛物线方程为 2 如图所示，只须证明 ???直线与抛物线相交, ?.八 I 且L ■.，则1 ??? AB 中点横坐标为: 可+可-4上+8 -令 解得：：「一或7--1 （舍去） 故所求直线方程为:：- :. 尸^ 2 j 解法二：设「二；r 、，则有 1 一-.门, 戸 -乃_ 8 两式作差解'一，即■. - I ■ < ?.埼 + 阳=4 .. y Y +y 2 ~用-2+徧-2二i （坷+咼）?4二4上-4 ■-.< -故t -或一 （舍去）. 例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切. ,则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切. 1. 一个动圆经过点F （-1,0）,又与直线L:x=1相切，贝U 动圆圆心的轨迹方程是（ A. y 2 4x B.y 2 2x C.y 2 4x D.y 2 8x 2. 顶点在原点，且过点P （ -4,4）的抛物线标准方程是（ ） A. y 2 4x B.x 2 4y C.y 2 4x 或 x 2 4y D.y 2 4x 或x 2 -4y 3. 设抛物线的顶点在原点，且 其准线方程为：x=2,则抛物线的方程为（ ） 2 2 2 2 A. y 4x B.x 8y C.y 8x D.y 8x 4. 抛物线y 2 2px （p 0）的焦点为F,倾斜角为60的直线L 过点F 且与抛物线的一个交点为A ，AF 3， 则抛物线的方程为（ ） A. y 2 3x B. y 2 9x C.y 2 — x 或 y 2 9 x 2 2 2 5. 过点（-1,0）且与抛物线y 2 x 有且仅有一个公共点的直线有（ A.1条 B.2条 C.3条 A.（2,0） B.（ 1,0） C.（0,1） D.（ 0,2） 直线L 的斜率为（） 9. 抛物线C:y 2 4x 的准线L 与x 轴的交点为A ，焦点为F ，若P 点为抛物线上的任意一点, 10. 已知点P 为抛物线y 2 4x 上的一个动点，设点P 到y 轴的距离为d ,对于定点A （3,4）, | PA d 的最 小值为（） D.y 2 3x 或 y 2 9x ） D.4条 6.已知动圆圆心在抛物线y 2 4x 上，且动圆与直线x 二1相切，则动圆必过定点（ 7.已知过抛物线y 2 4x 焦点F 的直线与抛物线交于 长度为（） A.4 B.5 C.6 A ， B 两点，且两点的横坐标之和为4,则线段AB 的 D.8 4x 焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点（其中A 点在第一象限），AF 3FB ，则 A.2 B.- 2 则t 的最大值为（ ） A.1 B. 2 C.2 D.4 8.已知过抛物线y 2 《抛物线》典型例题例(含标准答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高考数学抛物线大题专练30题(含详解)经典收藏版
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