三角函数的图像和变换以及经典习题和答案
【典型例题】 ［例1］(1)函数3sin()226
x y π
=
+的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ．
（１）
32； 14π；26x π+；6
π （2）函数2sin(2)3
y x π
=-
的对称中心是 ；对称轴方程是
；单调增区间是 ． （２）(
,0),26k k Z ππ+∈；5,212
k x k Z ππ=+∈； ()5,1212k k k z ππππ??
-++∈????
(3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量
,06a π??
=- ???
平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图
象所对应函数的解析式是（ ）
A ．sin()6y x π
=+ B ．sin()6
y x π
=- C ．sin(2)3y x π=+
D ．sin(2)3
y x π
=- （３）C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量
,06a π??
=- ???
平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，
73()1262
πππ
ω+=，所以2ω=． (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像
上所有的点 （ ）
（A ）向左平移
6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）
（B ）向右平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3
1
倍（纵坐标不变）
（C ）向左平移
6π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（４）C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移
6
π
个单位长度，得到函数2sin(),6
y x x R π
=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标
不变）得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像
［例2］已知函数2
()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3
x π=
为其一条
对称轴。（1）试求ω的值 （2）作出函数()f x 在区间[,]ππ-上的图象．
解：（1）2()2cos 21cos 22f x x x x x ωωωω==++
2s i n (2)1
6
x π
ω=++
3x π
=
是()y f x =的一条对称轴2s i n (
)1
36ωππ
∴+=± 2,362k k Z ωππππ∴+=+∈13
()22
k k Z ω∴=+∈
1
012
ωω<<∴=
［例4］设函数2
()sin cos f x x x x a ωωω=++
（其中0,a R ω>∈）。且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是
6
π
． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果()f x 在区间5[,]36
ππ
-
a 的值．
解：（I ）1()cos 2sin 2sin(2)22232
f x x x x a πωωαω=
+++=+++ 依题意得 1
26
3
2
2
π
π
π
ωω?
+
=
?=
．
（II ）由（I ）知，()sin()32f x x π
α=+
+
+．又当5[,]36
x ππ
∈-时， 7[0,
]3
6x π
π+
∈，故1sin()123x π-≤+≤，从而()f x 在区间π5π36??
-????
，
12a =-
，故a =
【课内练习】
1.若把一个函数的图象按a =（3
π-
，－2）平移后得到函数x y cos =的图象，则原图
象的函数解析式是 （ ）
（A ）2)3
cos(-+=πx y （B ）2)3
cos(--=πx y （C ）2)3
cos(++=πx y （D ）2)3
cos(+-=π
x y
１．D 提示：将函数x y cos =的图象按a -平移可得原图象的函数解析式
3．若函数f （x ）=sin （ωx +?）的图象（部分）如下图所示，则ω和?的取值是 （ ）
A.ω=1，?=
3π B.ω=1，?=－3π C.ω=21，?=6π D.ω=21，?=－6
π ３．C 提示：由图象知，T =4（3π2+3π）=4π=ωπ2，∴ω=2
1
.
又当x =3π2时，y =1，∴sin（21×3
π
2+?）=1，
3π+?=2k π+2π，k ∈Z ，当k =0时，?=6
π
. 4．函数sin 2y x =的图象向右平移?（0?>）个单位，得到的图象关于直线6
x π
=对称，
则?的最小值为 （ ）
()
A 512π ()
B 116π ()
C 1112
π
()D 以上都不对 ４．A 提示：平移后解析式为sin(22)y x ?=-，图象关于6
x π
=对称，
∴226
2
k π
π
?π?
-=+
（k Z ∈），∴2
12
k
π
?π=--
（k Z ∈），
∴当1k =-时，
?的最小值为
512
π
．
８．若函数()2sin cos (sin cos )f x a x x x x a b =-+++的定义域为[0,]2
π
，值域
为[5,1]-，求,a b 的值．
解：令sin cos x x t +=，则21sin cos 2t x x -
=，又[0,]2
x π
∈
，故t
∈
所以2
21
(22
y at b a t b a =-+=-
+-，由题意知：0a ≠ １．
当0,a t >∈得：(1)51
b b ?
+=-?
?
=??解之得1),1
a b ==
２．
当0,a t <∈得：(1)1
5
b b ?
+=??=-??解之得1),5a b
=-=-（舍
去）
综上知：1),1a b ==
三角函数经典例题
经典例题透析 类型一：锐角三角函数 本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减性和特殊角三角函数值，都是中考中的热点．明确直角三角形中正弦、余弦、正切的意义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是基础，通过计算器计算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小． 1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知，BC=2，那 么( ) A．B．C．D． 思路点拨：由于∠ABC在Rt△ABC和Rt△BCD中，又已知AC和BC，故只要求出AB或CD即可． 解析： 解法1：利用三角形面积公式，先用勾股定理求出 ，∴． ∴． 解法2：直接利用勾股定理求出， 在Rt△ABC中，．答案：A 总结升华：求直角三角形中某一锐角三角函数值，利用定义，求出对应两边的比即可． 2．计算：(1)________； (2)锐角A满足，则∠A=________． 答案：(1)；(2)75°. 解析：(1)把角转化为值．(2)把值转化为角即可． (1)．
(2)由，得， ∴．∴A=75°． 总结升华： 已知角的三角函数，应先求出其值，把角的关系转化为数的关系，再按要求进行运算．已知一个三角函数值求角，先看看哪一个角的三角函数值为此值，在锐角范围内一个角只对应着一个函数值，从而求出此角． 3．已知为锐角，，求． 思路点拨：作一直角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾 股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用求出 ，再利用，使可求出． 解析： 解法1：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=，由，可设，． 则， ∴． 解法2：由，得 ， ∴． 总结升华：知道一锐角三角函数值，构造满足条件的直角三角形，根据比的性质用一不为0的数表示其两边，再根据勾股定理求出第三边，然后用定义求出要求的三角函数值．或 利用，来求．
三角函数典型例题
第9课时 三角函数的最值 典型例题 例1. 求下列函数的最值． ⑴ y ＝ x x x cos 1sin 2sin -?；⑵ y ＝2 cos( 3 π ＋x)＋2cosx ；⑶ x x y cos 3sin 1++= ． 解：(1) y ＝x x x x x x cos 2cos 2cos 1sin cos sin 22 +=-??＝2 1)21(cos 22-+ x ∴ 当cosx ＝2 1-时，y min =2 1-∵ cosx ≠1∴ 函数y 没有最大值。 (2) y ＝2cos(x +3 π )+2cosx=2cos x x x cos 2sin 3 sin 2cos 3 +-π π =3cosx － 3 sinx=2 3 cos(6 π + x ) ∴当cos(6 π +x )＝－1时，y min ＝－3 2 当cos(6 π + x )＝1时，y max ＝3 2 (3) 由x x y cos 3sin 1++= 得sinx －ycosx ＝3y －1∴ ) sin(12 ?++x y ＝3y －1 (tan ?＝－y) ∵|sin(x ＋?)|≤1 ∴|3y －1|≤ 1 2 +y 解得0≤y≤4 3 故x x y cos 3sin 1++= 的值域为[0，43 ] 注：此题也可用其几何意义在求值域． 变式训练1：求下列函数的值域： （1）y= x x x cos 1sin 2sin -;（2）y=sinx+cosx+sinxcosx;（3）y=2cos ) 3 ( x +π +2cosx. 解 （1）y= x x x x cos 1sin cos sin 2-= x x x cos 1) cos 1(cos 22 --=2cos 2x+2cosx=22 ) 21(cos + x -2 1 . 于是当且仅当cosx=1时取得y max =4,但cosx≠1,∴y ＜4，且y min =-2 1,当且仅当cosx=-2 1 时取得. 故函数值域为? ? ? ???-4,21.（2）令t=sinx+cosx,则有t 2 =1+2sinxcosx,即sinxcosx= 2 12 -t . 有y=f(t)=t+2 12 -t = 1 )1(2 12 -+t .又t=sinx+cosx= 2 sin ) 4 (π + x ，∴- 2 ≤t≤ 2 . 故y=f(t)= 1 )1(2 12 -+t (- 2 ≤t≤2 ),从而知：f(-1)≤y≤f( 2 ),即-1≤y≤ 2 +2 1 .即函数的值域为?? ??? ?+ -212, 1. （3）y=2cos ) 3 ( x +π +2cosx=2cos 3 π cosx-2sin 3 π sinx+2cosx=3cosx- 3 sinx=23??? ? ??-x x sin 21cos 23=2 3 cos ) 6 (π + x . ∵ ) 6 cos(π +x ≤1∴该函数值域为［-2 3 ，2 3 ］. 例2. 试求函数y ＝sinx ＋cosx ＋2sinxcosx ＋2的最大值与最小值，又若] 2,0[π ∈x 呢？ 解： 令t ＝sinx ＋cosx 则t ∈[－ 2 ， 2 ]又2sinx ＋cosx ＝(sinx ＋cosx)2－1＝t 2－1 ∴y ＝t 2＋t ＋1＝(t ＋2 1 )2＋4 3，显然y max ＝3＋2 若x ∈[0， 2 π ] 则t ∈[1， 2 ] y ＝(t ＋2 1 )＋4 3 在[1， 2 ]单调递增．当t ＝1即x ＝0或x ＝ 2 π 时，y 取最小值3．当t ＝2 即x ＝ 4 π 时，y 取 最大值3＋ 2 ． 变式训练2：求函数3()co s (sin co s ) , 44f x x x x x x ππ?? =-+∈-???? 的最大值和最小值．
三角函数经典题目(带答案)
三角函数经典题目练习 1.已知α123 1、已知角 2、P (x ,5则sin 1、已知2、函数(f 3、已知 象限1. 已知π2 2.设0≤α是 . sin αtan x 若<0___. 5 3 sin +-= m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则 =θ________. 1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的 个实根，且παπ2 7 3<<，则ααsin cos +的值 . 0)13(22=++-m x x 的两根为 ()πθθθ2,0,cos ,sin ∈，求（1）m =_______ （2）θθθθtan 1cos cot 1sin -+-=________. α )4 15 tan(325cos ππ-+= . θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)·sin ?? ? ??-θπ23= α终边上P （－4，3）， ) 2 9sin()211cos() sin()2 cos(απαπαπαπ +---+= . 已知锐角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，α= . sin163°·sin223°+sin253°·sin313°= . =-+θ θtan 1tan 1_________ tan 20tan 4020tan 40?+????= α∈(0, 2π)，若sin α=5 3 ，则2cos(α+4π)= . 3 36 cos = ?? ? ??-απ，则?? ? ??+απ6 5cos =______，)6 5απ -- =_____．.
【知二求多】 1、已知cos ??? ??-2βα= -54,sin ??? ? ? -2αβ=135,且 0<β<2π<α<π,则cos 2 βα+=____. 2已知tan α=43,cos(α+β)=-14 11 , α、β为锐角， 则cos β=______. 【方法套路】 1、设2 1sin sin =+βα，31 cos cos =+βα，则 )cos(βα-=___ . 2.已知ββαcos 5)2cos(8++=0，则 αβαtan )tan(+= . 3,41)sin(,31)sin(=-=+βαβα则___tan tan =βα 【给值求角】 1tan α=7 1 ,tan β=3 1,α,β均为锐角，则 α+2β= . 2、若sinA= 55,sinB=10 10,且A,B 均为钝角, 则A+B= . 【半角公式】 1α是第三象限，2524 sin - =α，则tan 2 α= . 2、已知01342 =+++a ax x （a >1）的两根为αtan ， βtan ，且α,∈β ??-2 π,?? ? 2π, 则2 tan βα+=______ 3若 cos 22π2sin 4αα=- ? ?- ? ? ?，则cos sin αα+= . 4、若??????∈27,25ππα，则 ααsin 1sin 1-++= 5x 是第三象限角 x x x x x x x x cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-++++ ++-+=______ 【公式链】 1=+++οοοοΛ89sin 3sin 2sin 1sin 2222_______ 2sin10o sin30o sin50o sin70o=_______ 3（1+tan1o ）（1+tan2o ）…（1+tan45o ）=_______ 六、给值求角 已知3 1 sin - =x ，写出满足下列关系x 取值集合 ] 3,5[)3()2(]2,0[)1(πππ--∈∈∈x R x x 七、函数性质 【定义域问题】 1. x x y sin 162+-=定义域为_________ 2、1)3 2tan(-- =π x y 定义域为_________ 【值域】 1、函数y ＝2sin ???? πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为__________ 2、若函数g (x )＝2a sin x ＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为________ 3、函数x x y sin 2sin 1+-= 的值域 4、函数x x y cos 1sin 21+-=的值域 5、函数x x y sin 2cos -=的值域 【解析式】 1、已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx 的图象关于直 线x ＝π 3 对称，其中ω∈????－12，52.函数f (x )的解析式为________． 2、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2 ) 的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x 0， 2)，??? ?x 0＋32，－2(x 0＞0)上f (x )分别取得最大值和最小值．则所得图像的函数解析式是________ 3.将函数sin y x =的图像上所有的点右移 10 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是___________ 4、()()sin f x A x h ω?=++(0,0,)2A π ω?>>< 的图象 如图所示，求函数)(x f 的解析式；
三角函数图像的平移、变换练习题
三角函数图像的平移、变换练习题 1、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6 y x π=+的图像（ ） （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4 π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2 π个长度单位 2、将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10 π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=- （B ）sin(2)5 y x π=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220 y x π=- 5y Asin x x R 66ππω???=∈???? 右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的（ ） (A)向左平移 3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3 π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 6 π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 4、若将函数()tan 04y x πωω? ?=+> ???的图像向右平移6 π个单位长度后，与函数tan 6y x πω??=+ ?? ?的图像重合，则ω的最小值为（ ） A ．16 B. 14 C. 13 D. 12 5、已知函数()sin()(,0)4f x x x R π ??=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D
三角函数的易错点以及典型例题与高考真题
三角函数的易错点以及典型例题与真题 1.三角公式记住了吗两角和与差的公式________________； 二倍角公式:_________________ 万能公式 ______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。 万能公式： (1) (sinα)2 +(cosα)2 =1 (2)1+(tanα)2=(secα)2 (3)1+(cotα)2=(cscα)2 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （证明：利用A+B=π-C ） 同理可得证,当x+y+z=n π(n ∈Z)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论： (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA ）2+(cosB ）2+(cosC ）2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA ）2+（sinB ）2+（sinC ）2=2+2cosAcosBcosC (9)设tan(A/2)=t sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z） cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z） 2.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗正切函数在整个定义域内是否为单调函数你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗 3.在三角中，你知道1等于什么吗（x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+=
三角函数图像的平移变换专项练习
三角函数图像的平移变换专项练习 1.为了得到函数)6 3sin(π +=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象 （ ） A 、向左平移 6π B 、向左平移18π C 、向右平移6π D 、向右平移18 π 6、将函数)(sin )(R x x x f y ∈?=的图象向右平移4 π 个单位后，再作关于x 轴的对 称变换，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 可以是＿＿＿＿＿＿＿。 1、要得到函数)4 2sin(3π +=x y 的图象，只需将函数x y 2sin 3=的图象（ ） （A ）向左平移 4π个单位 （B ）向右平移4π 个单位 （C ）向左平移8π个单位 （D ）向右平移8 π 个单位 2、将函数y=sin3x 的图象作下列平移可得y=sin(3x+ 6 π )的图象 （A) 向右平移 6π 个单位 (B) 向左平移6π 个单位 （C ）向右平移18π 个单位 （D ）向左平移18 π 个单位 3．将函数sin y x =的图象上每点的横坐标缩小为原来的1 2 （纵坐标不变），再把 所得图象向左平移6π 个单位，得到的函数解析式为（ ） ()sin 26A y x π?? =+ ?? ? ()sin 23B y x π? ?=+ ?? ? ()sin 26x C y π??=+ ??? ()s i n 212x D y π??=+ ??? 4、把函数x y cos =的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移4 π 个单位长度，得到新的函数图象，那么这个新函数的解析式为 （A ）??? ??+=42cos πx y （B ）??? ??+=42cos πx y （C ）x y 2sin = （D ）x y 2sin -= 5．要得到函数x y cos 2=的图象，需将函数)42sin(2π +=x y 的图象（ ） (A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π 个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的 21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4 π个单位长度
高中数学三角函数经典练习题专题训练(含答案)
高中数高中数学三角函数经典练习题专题训练 姓名班级学号得分 说明： １、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。 ２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题（每题3分，共60分） 1．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（） A．2，-B．2，-C．4，-D．4， 2．下列说法正确的个数是（） ①小于90°的角是锐角；
②钝角一定大于第一象限角； ③第二象限的角一定大于第一象限的角； ④始边与终边重合的角为0°． A．0B．1C．2D．3 3．若0＜y＜x＜，且tan2x=3tan（x-y），则x+y的可能取值是（）A．B．C．D． 4．已知函数y=tan（ωx）（ω＞0）的最小正周期为2π，则函数y=ωcosx的值域是（）A．[-2，2]B．[-1，1]C．[-，]D．[-，] 5．在△ABC中，sin2=（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（） A．正三角形B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰三角形 6．已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（） A．f（x）既是偶函数又是周期函数 B．f（x）最大值是1 C．f（x）的图象关于点（，0）对称 D．f（x）的图象关于直线x=π对称 7．sin55°sin65°-cos55°cos65°值为（） A．B．C．-D．- 8．若角α终边上一点的坐标为（1，-1），则角α为（） A．2kπ+B．2kπ-C．kπ+D．kπ-，其中k∈Z
初中三角函数知识点总结及典型习题(含答案)
初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 5、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 邻边 A
2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角 铅垂线 水平线 视线 视线 俯角 (2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即 h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5 i=等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α ==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。 例1：已知在Rt ABC △中， 3 90sin 5 C A ∠== °，，则tan B的值为（） A． 4 3 B． 4 5 C． 5 4 D． 3 4 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC中，∠C=90°，则sin a A c =，tan b B a = 和222 a b c +=；由 3 sin 5 A=知，如果设3 a x =，则5 c x =，结合222 a b c +=得4 b x =；∴ 44 tan 33 b x B a x ===，所以选A． 例2：10 4cos30sin60(2)(20092008) - ??+--=______． 【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算， 10 4cos30sin60(2)20092008) - ??+--= 3313 41 2222 ?? ??+--= ? ??， 故填 3 2． : i h l = h l α
三角函数图像变换顺序详解(全面).
《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？ 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移：
将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变 换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的. 故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响； 但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这
三角函数与三角恒等变换-经典测试题-附答案
三角函数与三角恒等变换(A) 一、填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上) 1. 半径是r，圆心角是α(弧度)的扇形的面积为________. 2. 若 ，则tan(π＋α)＝________. 3. 若α是第四象限的角，则π－α是第________象限的角. 4. 适合 的实数m的取值范围是_________. 5. 若tanα＝3，则cos2α＋3sin2α＝__________. 6. 函数 的图象的一个对称轴方程是___________.(答案不唯一) 7. 把函数 的图象向左平移 个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则 的最小正值为___________. 8. 若方程sin2x＋cosx＋k＝0有解，则常数k的取值范围是__________.
9. 1－sin10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝__________. 10. 角α的终边过点(4，3)，角β的终边过点(－7，1)，则sin(α＋β)＝__________. 11. 函数 的递减区间是___________. 12. 已知函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(－1)＝1，那么 __________. 13. 若函数y＝sin(x＋ )＋cos(x＋ )是偶函数，则满足条件的 为_______. 14. tan3、tan4、tan5的大小顺序是________. 二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)已知 ，求
的值. 16. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx). (1) 求函数f(x)的最小正周期和最大值； (2) 在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间 上的图象. 17. (本小题满分14分)求函数y＝4sin2x＋6cosx－6( )的值域. 18. (本小题满分16分)已知函数 的图象如图所示. (1) 求该函数的解析式； (2) 求该函数的单调递增区间. 19. (本小题满分16分)设函数
高中三角函数公式大全及经典习题解答
高中三角函数公式大全及经典习题解答 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
用心辅导中心 高二数学 三角函数 知识点梳理: ⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=2 1R 2 α=3602R n ?π ⒉正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿=2 1a a h ?=2 1ab C sin =2 1bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系：①θtg =x y =θ θ cos sin =θθsec sin ? ② θθθ θθcsc cos sin cos ?=== y x ctg ③θθθtg r y ?== cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ?== =tg x r ⑤θθθctg r x ?== sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ?== =ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++= +b a b a （其中辅助角?与点（a,b ） 在同一象限，且a b tg =?） ⒍函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质：（0,0>>A ω）
三角函数的图像与性质练习题
三角函数的图像与性质练习题 正弦函数、余弦函数的图象 A组 1.下列函数图象相同的是() =sin x与y=sin(x+π) =cos x与y=sin =sin x与y=sin(-x) =-sin(2π+x)与y=sin x 解析:由诱导公式易知y=sin=cos x,故选B. 答案:B =1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2交点的个数是() 解析:作出y=1+sin x在[0,2π]上的图象,可知只有一个交点. 答案:B 3.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是() 解析:y=sin(-x)=-sin x,x∈[0,2π]的图象可看作是由y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称得到的,故选B. 答案:B 4.已知cos x=-,且x∈[0,2π],则角x等于() A. B. C. D. 解析:如图:
由图象可知,x=. 答案:A 5.当x∈[0,2π]时,满足sin≥-的x的取值范围是() A. B. C. D. 解析:由sin≥-,得cos x≥-. 画出y=cos x,x∈[0,2π],y=-的图象,如图所示. ∵cos=cos=-,∴当x∈[0,2π]时,由cos x≥-,可得x∈. 答案:C 6.函数y=2sin x与函数y=x图象的交点有个.? 解析:在同一坐标系中作出函数y=2sin x与y=x的图象可见有3个交点. 答案:3 7.利用余弦曲线,写出满足cos x>0,x∈[0,2π]的x的区间是.? 解析:画出y=cos x,x∈[0,2π]上的图象如图所示. cos x>0的区间为 答案:
8.下列函数的图象:①y=sin x-1;②y=|sin x|;③y=-cos x;④y=;⑤y=.其中与函数y=sin x 图象形状完全相同的是.(填序号)? 解析:y=sin x-1的图象是将y=sin x的图象向下平移1个单位,没改变形状,y=-cos x的图象是作了对称变换,没改变形状,与y=sin x的图象形状相同,∴①③完全相同.而②y=|sin x|的图象,④y==|cos x|的图象和⑤y==|sin x|的图象与y=sin x的图象形状不相同. 答案:①③ 9.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,求这个封闭图形的面积.解:观察图可知:图形S1与S2,S3与S4是两个对称图形,有S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cos x的图象与直线y=2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积. 因为|OA|=2,|OC|=2π,所以S矩形OABC=2×2π=4π.故所求封闭图形的面积为4π. 10.作出函数y=-sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题. (1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间: ①y>0;②y<0. (2)直线y=与函数y=-sin x,x∈[-π,π]的图象有几个交点 解:列表: x-π-0π sin 0-1010 x -sin 010-10 x 描点作图: (1)根据图象可知,①当y>0时,x∈(-π,0); ②当y<0时,x∈(0,π). (2)在简图上作出直线y=,由图可知有两个交点. B组
三角函数图像的变换
1、函数y=sin(x+π)，x∈R和y=sin(x- 6- O 3 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联系？2 个单位所得的曲线是 2 sin x的图象，试求y=f(x)的解析式。 3 )y=sin2x 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 )，x∈R的简图。 π2 3 )，x∈R 6 )，x∈R 三角函数图像的变换 题型归纳： 系？ π 34 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联 - π-π 3 1y π5ππ 6 34x 2、函数y=3sin(2x+π (1)y=sin x(2)y=sin x y=sin(x+π 4、函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 π y=1 5、函数y＝Asin(ωx＋φA>0,ω>0，｜φ｜＜π） 的图象如图，求函数的表达式. y=sin(2x+π y=3sin(2x+π y=sin(2x+π y=3sin(2x+π ★☆作业：（A组） 1、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： 3、画出函数y=3sin(2x+π y 2x+ 3 x 3sin(2x+π) 3 （3）y=4sin(x- π （4）y=sin(2x+π 第1页共2页
6 ) ，x ∈R （2） y = 1 sin( 3 x - （1） y = 5 sin( 1 x + 4 ) ，x ∈R 6、把函数 y ＝cos(3x ＋ π A.向右平移 π 4 C.向右平移 12 （3） y = 3sin(2 x － ) ，x ∈R （4） y = 2 cos( x + π ) ，x ∈R 3 ，φ ＝－ 6 B.A ＝1，Ｔ＝ 2 3 ，φ ＝－ 4 D.A ＝1，Ｔ＝ 3 sin(2x + 3 sin(2x + （1） y = 8sin( － ) ，x ∈[0,＋∞） （2） y = 1 7 ) ，x ∈[0,＋∞） 2 的图象的一部分，求这个函数的解析式。 4、(1)y ＝sin(x ＋ π (2)y ＝sin(x － π (3)y ＝sin(x － π 4 )是由 y ＝sin(x ＋ 4 )向 5、若将某函数的图象向右平移 π 10、设函数 y = sin （x - π A.y ＝sin(x ＋ 3π B.y ＝sin( x ＋ π C.y ＝sin(x － π D.y ＝sin(x ＋ π 2、说明下列函数的图像由正弦函数或余弦函数经过了怎样的变换。 π 2 2 π 4 )的图象适当变动就可以得到 y ＝sin(－3x )的图象，这种变动 可以是( ) π π π 4 B.向左平移 D.向左平移 12 ★★☆☆作业( B 组)： 7、如图：是函数 y ＝A sin(ω x ＋φ ）＋2 的图象的一部分，它 的振幅、周期、初相各是 ( ) π 1 1 6 4 A.A ＝3，Ｔ＝ 4π π 4π 3π 3 ，φ ＝－ 4 C.A ＝1，Ｔ＝ 2π 3π 4π π 3 ，φ ＝－ 6 8、如左下图是函数 y ＝A sin （ω x ＋φ ）的图象的一段，它的 解析式为 ( ) A. y = 2 π 2 x 3 ) B. y = 3 sin( 2 + π 2 π 4 ) C. y = 3 sin(x - 3 ) D. y = 2 2π 3 ) 3、不画简图，直接 写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明这些 函数的图象可由正弦曲 线经过怎样的变化得出（注意定义域）： x π 4 8 3 cos(3x + π 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. π 平移 个单位得到的. 2 以后所得到的图象的函数式是 y ＝sin(x ＋ 表达式为( ) 4 ) 2 ) π 4 )－ 4 4 ) π 4 )，则原来的函数
人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题附答案
人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题附答案 一、选择题 1．如图，在矩形ABCD 中，4,AB DE AC =⊥，垂足为E ，设ADE α∠=，且 3 cos 5 α= ，则AC 的长为（ ） A ．3 B ． 163 C ． 203 D ． 165 【答案】C 【解析】 【分析】 根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD ，然后求出AC ． 【详解】 解：∵DE ⊥AC ， ∴∠ADE+∠CAD=90°， ∵∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠ACD=∠ADE=α， ∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ， ∴∠BAC=∠ACD ， ∵cos α=3 5，35 AB AC ∴ =， ∴AC= 520433?=． 故选：C ． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC 是解题的关键． 2．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A 、B 、C 都是格点，则tan ABC ∠=（ ）
A ． 39 B ． 36 C ． 33 D ． 32 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用 EC tan ABC BE ∠= 得出答案． 【详解】 解:连接DC ，交AB 于点E ． 由题意可得:∠AFC=30°, DC ⊥AF, 设EC=x,则EF= x =3x tan 30? , ∴BF AF 2EF 23x === EC 3 tan ABC BE 23x 3x 33= === +∠, 故选:A 【点睛】 此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键． 3．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点 B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ， C ，E 成一直线，那么开挖 点E 离点D 的距离是（ ）
三角函数经典习题
三角函数经典练习题 1．在直角三角形中，两锐角为A 、B ，则B A sin sin （B ） A ．有最大值 2 1 和最小值0 B ．有最大值 2 1 ，但无最小值 C ．既无最大值也无最小值 D ．有最大值1，但无最小值 提示：A A A B A 2sin 2 1 cos sin sin sin = =，注意到角度的取值范围，所以选B ． 2．已知集合{|cos sin 02}E θθθθπ=<≤≤，，}sin tan |{θθθ<=F ，则F E I 是区间（A ） A ．)2 (ππ ， B ．)4 34(π π， C ．)2 3(π π， D ．)4 543( ππ， 提示：即}sin tan |{}4 54 | {θθθπ θπ θ<< 三角函数图像变换专题练习试卷及解析
三角函数图像变换专题练习试卷及解析 1.2013年安徽省安庆一中高三第三次模拟考试数学文科试题第8题 将函数2 ()1cos 22sin ()6 f x x x π =+-- 的图象向左平移(0)m m > 个单位后所得的图象 关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ） A. 6π B. 12π C. 3π D. 2 π 2.2014年湖北稳派教育高三上学期强化训练（三）理科数学试题第6题 将函数cos 2y x =的图象向右平移 6 π 个单位长后与直线()10y m m =-≠相交，记图象在y 轴右侧的第()*n n N ∈个交点的横坐标为n a ，若数列{}n a 为等差数列，则所有m 的可能 值为（ ） A. 1± B. 2± C. 1或2 D. 1-或2 3.2013年广西贵港市平南县六陈高级中学高三5月模拟考试数学理试题第10题 函数2 cos ()4 y x π =+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >，所得图象关于y 轴对称，则 a 的最小值为（ ） A. π B. 34π C. 2π D. 4 π 4.2013年甘肃省兰州市高三第一次（3月）诊断考试理科数学试卷第10题
将函数()2sin()(0)3 f x x π ωω=->的图象向左平移 3π ω 个单位，得到函数()y g x = 的图象．若 ()y g x =在[0,]4 π 上为增函数，则ω 的最大值为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5.2013年江苏省淮安市涟水县涟西中学高二下期末考试数学试题第5题 下面四个命题： ①把函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象向右平移 3 π 个单位，得到3sin 2y x =的图象; ②函数2 ()ln f x ax x =-的图象在1x =处的切线平行于直线y x =，则()2 +∞是()f x 的单调递增区间; ③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1:3; ④“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的充分不必要条件； 其中所有正确命题的序号为________ 6.2014年福建省三明市高三5月质量检查理科数学试题第19题 若函数()sin cos (,)f x a x b x a b R =+∈，非零向量(,)m a b =，我们称m 为函数()f x 的“相伴向量”，()f x 为向量m 的“相伴函数”. (1)已知函数22()(sin cos )2cos 2(0)f x x x x ωωωω=++->的最小正周期为2π，求函 数()f x 的“相伴向量”； (2)记向量n =的“相伴函数”为()g x ，将()g x 图象上所有点的横坐标伸长到原来 的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象上所有点向左平移23 π 个单位长度，得到函数()h x ，若6(2),(0,)352 h π π αα+ =∈，求sin α的值； (3)对于函数()sin cos 2x x x ?=，是否存在“相伴向量”？若存在，求出()x ?“相伴向量”； 若不存在，请说明理由.