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9山东专升本高等数学第九章二重积分

第九章二重积分

【考试要求】

1．理解二重积分的概念、性质及其几何意义．

2．掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法．

【考试内容】

一、二重积分的相关概念

1．二重积分的定义

设

(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数．将闭区域D 任意分成n 个小闭区域

1σ?，2σ?，，n σ?，其中i σ?表示第i 个小区域，也表示它的面积．在每个i

σ?上任取一点

(,)i i ξη，作乘积(,)i i i f ξησ?

（

1,2,,i n

= ），并作和

(,)n

i f ξησ

=?∑．如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存

在，则称此极限为函数

(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分，记作(,)D

f x y d σ??，即

(,)lim (,)n

i D

f x y d f λσξησ

→==?∑??．

其中

(,)f x y 叫做被积函数，(,)f x y d σ叫做被积表达式，d σ叫做面积元素，x 与y

叫做积分变量，D 叫做积分区域，

(,)n

i f ξησ

=?∑叫做积分和．

说明：在直角坐标系中，有时也把面积元素

d σ

记作

dxdy ，而把二重积分记作

(,)D

f x y dxdy ??，其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素．

2．二重积分的几何意义

一般地，如果

(,)0f x y ≥，

被积函数(,)f x y 可解释为曲顶柱体的顶在点(,)x y 处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果

(,)f x y 是负的，柱体就

在xOy 面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果(,)f x y 在D 的若干部分区域上是正的，

而在其他的部分区域上是负的，那么(,)f x y 在D 上的二重积分就等于xOy 面上方的柱体体积减去xOy 面下方的柱体体积所得之差．

3．二重积分的性质（1）设α、β为常数，则

[(,)(,)](,)(,)D

f x y

g x y d f x y d g x y d αβσασβσ+=+??????．

（2）如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和．例如D 分为两个闭区域1D 和2D ，则

(,)(,)(,)D

D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+??????．

（3）如果在D 上，(,)1f x y =，σ为D 的面积，则

d d σσσ

=?=????．

（4）如果在D 上，(,)(,)f x y x y ?≤，则有

(,)(,)D

f x y d x y d σ?σ≤????．

特殊地，由于

(,)(,)(,)f x y f x y f x y -≤≤，故又有

(,)(,)D

f x y d f x y d σσ≤????

．

（5）设M 、m 分别是(,)f x y 在闭区域D 上的最大值和最小值，σ是D 的面积，则

有

(,)D

m f x y d M σσσ≤≤??．

（6）（二重积分的中值定理）设函数

(,)f x y 在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在

D 上至少存在一点(,)ξη，使得

(,)(,)D

f x y d f σξησ=???．

二、二重积分的计算

（一）利用直角坐标计算二重积分

1．X

-型积分区域

X -型积分区域是指积分区域D 可以用不等式a x b ≤≤，12()()x y x ??≤≤来

表示的闭区域，其中函数1()x ?、2()x ?在区间[,]a b 上连续．此时二重积分可化为如下二次积分的形式：

21()

()(,)(,)b

x a x D

f x y d f x y dy dx ??σ??=????

??，这个先对y 、后对x 的

二次积分也常记作如下形式：

21()

()

(,)(,)b

x a

x D

f x y d dx f x y dy ??σ=????

．

2．Y -型积分区域

Y -型积分区域是指积分区域D 可以用不等式c y d ≤≤，12()()y x y φφ≤≤来

表示的闭区域，其中函数1()y φ、2()y φ在区间[,]c d 上连续．此时二重积分可化为如下二次积分的形式：

21()()(,)(,)d

y c

y D

f x y d f x y dx dy φφσ??=????

???

?，这个先对x 、后对y

的二次积分也常记作如下形式：

21()

()

(,)(,)d y c

y D

f x y d dy f x y dx φφσ=???

．

（二）利用极坐标计算二重积分

要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x 、y 分别换成cos ρθ、sin ρθ，并把直角坐标系中的面积元素dxdy 换成极坐标系中的d d ρρθ．这样二重积分从直角坐标变换为极坐标的变换公式如下：

(,)(cos ,sin )D

f x y dxdy f d d ρθρθρρθ=????．

假设积分区域D 可以用不等式α

θβ≤≤，12()()?θρ?θ≤≤来表示，

其中1()?θ、2()?θ在区间[,]αβ上连续．此时极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为：

21()()(cos ,sin )(cos ,sin )D

f d d f d d β

?θα

?θρθρθρρθρθρθρρθ??=????

???

?．

这个先对ρ、后对θ的二次积分也常记作如下形式：

21()

()

(cos ,sin )(cos ,sin )D

f d d d f d β

?θα

?θρθρθρρθθρθρθρρ=???

．

【典型例题】

【例9-1】计算

xyd σ??，其中D 是由直线1y =、2x =及y x =所围成的闭区域．

解法1：积分区域D 可看作X -型区域，12x ≤≤，1y x ≤≤，故

111

()222x

y x x

xyd dx xydy x dx dx σ??==?=-???????

48x x ??=-=???? ．

解法2：积分区域D 可看作Y

-型区域，12y ≤≤，2y x ≤≤，故

11(2)22y

x y xyd dy xydx y dy y dy σ??==?=-???????

219

88y y ??=-=???

? ．

【例9-2

】求

σ??，其中D 是由直线y x =、1x =-及1y =所围成的闭区域．

解：将积分区域D 看作X

-型区域，11x -≤≤，1x y ≤≤，故

111(1)3x D

x dx x y dx σ--??==-+-?????????1

1001221(1)(1)33342

x x dx x dx x -??=-

-=--=--=?????? ．说明：此题若把积分区域D 看作Y

-型区域，11y -≤≤，1x y -≤≤，就有

dy σ--=????，其中关于x 的积分计算比较麻烦，所以此题把积分区域D 看作X -型区域求解．

【例9-3】求

xyd σ??

，其中D 是由抛物线2

y x =及直线2y x =-所围成的闭区域．解：将积分区域D 看作Y

-型区域，因抛物线2y x =和直线2y x =-的交点坐标为

(1,1)-和(4,2)，故12y -≤≤，22y x y ≤≤+，

2225

111(2)22y y y

y x xyd dy xydx y dy y y y dy σ++---????==?=+-?????????

???2

11445224368

y y y y -??=++-=???? ．

说明：此题若把积分区域D 看作X -型区域，则要用经过交点(1,1)-且平行于y 轴的直

线1x

=把区域D 分成1D 和2D 两部分，其中

{1(,)01,D x y x y =≤≤≤≤，

{2(,)14,2D x y x x y =≤≤-≤≤．

因此根据二重积分对积分区域的可加性，就有

D D xyd xyd xyd σσσ=+??????

140

x dx xydy dx xydy -=+??．

由此可见，此题把积分区域D 看作X -型区域来计算较为繁琐．

【例9-4】计算22D x dxdy y

??，其中D 是由直线y x =

、y =2

y x =所围成的闭区域．

解：将积分区域D 看作Y

型区域，1y ≤≤，2y x y ≤≤，故

22211

3y y y D y x

x x dxdy dx dy y

y y ??==???????

452

112

)333525

y y y y dy ?-=-=-=???? ．【例9-5】计算

y D

e dxdy --??，其中D 是由中心在原点、半径为a （0a >）的圆周

所围成的闭区域．

解：将积分区域D 表示为极坐标，0a ρ≤

≤，02θπ≤≤，故

22000

12a

e dxdy d e d e d π

ρρθρρθ----??

==-?????????

201(1)(1)2

a a e d e πθπ--=-=-? ．

【例9-6】计算

ln(1)D

x y d σ++??

，其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．

解：将积分区域D 表示为极坐标，01ρ≤

≤，02

θ≤≤

，故

222222

ln(1)ln(1)ln(1)()

x y d d d d d π

ρσθρρρθρ++=+=+?????? 122122

002ln(1)2221d πρρρρρρ??????=+-?????+??????

? 31

20ln 2421d π

ρρρ=-+? 21

20(1)ln 2421d π

ρρρρρ+-=-+? 1

20ln 2()421d ππ

ρρρρ

=--+? 1

220

1ln 2ln(1)4222ππρρ??=--+????

ln 2(ln 2)(2ln 21)4

2224

ππ

-=- ．

【例9-7

】计算

σ，其中D 是圆环形闭区域2214x y ≤+≤．

解：将积分区域D 表示为极坐标，12ρ≤≤，02θπ≤≤，故

d d d π

σθρρρπρρ=?=???

811422()3333ρπππ??==-=

???? ．

【例9-8】交换下列二重积分的积分次序． 1．

ln 1

(,)y

dy f x y dx ?

．

解：由题意，积分区域D 为Y -型区域，12y ≤≤，0ln x y ≤≤．将此积分区域看

成X

-区域，可得 0ln 2x ≤≤，2x e y ≤≤，故交换积分次序后

ln ln 2

(,)(,)x y

dy f x y dx dx f x y dy =?

? ．

2．

120

(,)x

dx f x y dy -??

．

解：由题意，积分区域D 为X -型区域，01x ≤≤，2x y x ≤≤-．将此积分区域

看成Y

-区域时，该区域需用直线1y =分成1D 和2D 两部分，其中

{}1(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤， {}2(,)12,02D x y y x y =≤≤≤≤-，

故交换积分次序后

(,)(,)(,)x

dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx --=+??

????

．

2(,)x

dx f x y dy -? ．

解：由题意，积分区域D 为X -型区域，12x ≤≤

，2x y -≤≤积分区域看成Y -型区域，可得 01y ≤≤

，21y x -≤≤+次序后

2(,)(,)x

dx f x y dy dy f x y dx --=???

．

4．

sin 0

sin

(,)x

dx f x y dy π

．

解：由题意，积分区域D 为X -型区域，0x π≤≤，sin

sin 2

y x -≤≤．将此积分区域看成Y

-区域时，该区域需用直线0y =（即x 轴）分成1D 和2D 两部分，其中

{}1(,)01,arcsin arcsin D x y y y x y π=≤≤≤≤-， {}2(,)10,2arcsin D x y y y x π=-≤≤-≤≤，

故交换积分次序后

sin 1arcsin 00

sin

arcsin 1

2arcsin 2

(,)(,)(,)x

x y

dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx π

ππ

----=+?

．

【历年真题】

一、选择题

1．（2008年，3分）设D ：2

21x

y +≤，则D

dxdy ??等于（）

（A ）33x C + （B ）3

y C + （C ）π （D ）2π 解：二重积分当被积函数为1时，其值就等于积分区域的面积，而积分区域D 为圆域

221x y +≤，故21D

dxdy ππ=?=??．选项（C ）正确．

2．（2006年，2

分）交换积分次序

(,)dx f x y dy =??

（）

（A

）

10(,)dy f x y dx -?

（B

）1

00(,)dy f x y dx ??

（C ）

0(,)dy f x y dx -?

? （D

）01

(,)f x y dx ?

解：原积分区域为X -型区域，01x ≤≤

，0y ≤≤，将其看作Y -型区

域，得10y -≤

≤

，0x ≤≤

100

010

(,)(,)

dx f x y dy dy f x y dx

???．选项（A）正确．3．（2005年，3分）设D：01

≤≤，02

≤≤，则

dxdy

??（）（A）ln2（B）2ln2

+（C）2（D）2ln2

解：由题意可知，积分区域为矩形区域，此时便可把原二重积分化成两个定积分的乘积的形式，故

1212

0000

111

y y

dxdy dx dy dx ydy

x x x

==?

+++

??????

ln(1ln22ln2

=+?=?=

．选项（D）正确．

二、计算题

1．（2010年，5分）求二重积分

dxdy

??，其中D是由1

y=，2

y x

=，2

x=所围成的闭区域．

解：画出积分区域，将其看成X-型区域，12

≤≤，2

1y x

≤≤，故二重积分

2222

2 11111

ln2ln ln()

x x

dxdy dx dy x y dx x xdx xd x y y

====

???????

ln4ln24ln2

x x xdx

=-=-=-

?．

2．（2009年，5分）计算

xydσ

??，其中D是由抛物线2y x=及直线2

y x

=-所围成的闭区域．

解：画出图形，抛物线2

y x

=与直线2

y x

=-的交点坐标为(1,1)

-和(4,2)，将积分区域看作Y-型区域，12

-≤≤，22

y x y

≤≤+，则二重积分

222

()

y y y

xyd dy xydx y dy

σ+

==-

?????

4362

3252

1111445(44)2224368

y y y y y y y dy y --??=++-=++-=?????．

3．（2007年，5分）计算2

cos D

y dxdy ??，其中D 是由直线1x =，2y =与1y x =-所围成的闭区域．

解：画出图形，根据被积函数的特点，只能将积分区域看作Y -型区域，02y ≤≤，

11x y ≤≤+，则二重积分 21

cos cos y D

y dxdy dy y dx +=????

220

011

cos sin sin 422

y y dy y ??===?????．

4．（2006年，4分）求

e dxdy ??

，D 由0x =，1y =，2

x y =（0y >）围成．解：画出图形，将积分区域看作Y

-型区域，01y ≤≤，20x y ≤≤，则二重积分

000

()y x x x y y y

D e

dxdy dy e dx ye dy ye y dy ??===-????????

0000

11()222y

y y

y y yd e ydy ye e dy e e ??????=-=--=--=???????????． 5．（2005年，5分）计算二重积分22

x y dxdy ??

，D 为222x y x +≤与0y ≥两个区域的公共部分．

解：画出图形，积分区域为半圆域，故用极坐标，其中02

≤≤

，02cos ρθ≤≤，

故

2c o s

222

cos sin D

x y dxdy d d π

θθρθρθρρ=??????

2cos 6

22226220

sin cos (1cos )cos cos 63

d d θ

ππ

ρθθθθθθθ??

==-?

??????

810203232753197531(cos cos )()33864221086422

d πππθθθ=-=????-??????

327531173864221048

ππ

=??????=

．

山东省高等数学专升本考试最新大纲

附件5 山东省2018年普通高等教育专升本高等数学（公共课）考试要求一、总体要求考生应了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算的能力；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。二、内容范围和要求（一）函数、极限和连续 1.函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。（2）理解和掌握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。（4）掌握函数的四则运算与复合运算。 —1 —

（5）理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。（6）了解初等函数的概念。 2.极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则。（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。（4）掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。（6）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 3.连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分—2 —

二重积分学习总结

高等数学论文《二重积分学习总结》姓名：徐琛豪班级：安全工程02班学号：1201050221 完成时间：2013年6月2日

二重积分【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 1 二重积分的概念与性质 1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。

高等数学知识点总结 (1)

高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：（三）空间直线及其方程 1、一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-

高数下要点含微分方程自己的完整版

高数下要点含微分方程自己的 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

第六章微分方程一、一阶微分方程 1、一阶线性方程 )()(x Q y x P dx dy =+ 2、伯努利方程 )1,0()()(d d ≠=+n y x Q y x P x y n ).()(d d 1111x Q y x P x y n n n =+?---令.1n y z -= 二、可降阶的高阶方程 1．)() (x f y n = n 次积分 2．)',("y x f y = 不显含 y 令)('x p y =，化为一阶方程 ),('p x f p =。 3．)',("y y f y = 不显含自变量令)('y p y =，dy dp p dx y d =22，化为一阶方程。三、线性微分方程 )()()()(1)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- ， 0)(≡x f 时称为齐次的，0)(≡/x f 称为非齐次的。

1．二阶线性齐次线性方程 0)()(=+'+''y x Q y x P y （1）如果函数 )(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个解，则)()(2211x y C x y C y += 也是(1)的解,其中21,C C 是任意常数。如果 )(1x y 与)(2x y 是方程(1)的两个线性无关的特解, 则 )()(2211x y C x y C y += (21,C C 是任意常数)是(1)的通解. 两个函数 )(1x y 与)(2x y 线性无关的充要条件为 C x y x y ≡/) () (21（常数） 2．二阶线性非齐次线性方程设 )(*x y 是二阶线性非齐次线性方程 )()()(x f y x Q y x P y =+'+'' 的一个特解,)(x Y 是它对应的齐次方程(1)的通解,则 )()(*x y x Y y += 是该方程的通解. 设 )(* 1x y 与)(*2 x y 分别是二阶线性非齐次方程 )()()(1x f y x Q y x P y =+'+'' 与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+'' 的两个特解。则 +)(*1x y )(*2x y 是的特解。（叠加原理）

专升本高等数学公式全集

专升本高等数学公式（全）常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：n n n n q q q q q n n 1 312112 )1(3211111 2 +++++= ++++--= ++++- 级数审敛法：散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞ →+∞→∞ →+++=?? ? ??=><=?? ? ??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理： —的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞ →+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：

∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛１时发散ｐ级数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11 1 )1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n 幂级数： 01 0)3(lim )3(111 1111 221032=+∞=+∞=== ≠==><+++++≥-<++++++++∞ →R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散时，收敛于 ρρρ ρρ 函数展开成幂级数：

高等数学二重积分总结

第九章二重积分【本章逻辑框架】【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质【学习方法导引】 1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。

高等数学微积分总结

积分整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式: ()b a f x dx ? 2.定义域:一维区间,例如[,]a b 3.性质:见课本P 229-P 232 特殊:若 1f =,则()b a f x dx b a =-?,即区间长度. 4.积分技巧:奇偶对称性. 注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()b b a a f x dx f y dy =? ?,而不定积分不具有这种性质. 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义: ()b a f x dx ? 表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负); 其他应用:如 ()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长 (b a f x ? 等. 三、二重积分 1.定义式: (,)xy D f x y d σ ?? 2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P 77 特殊: 若 1f =,则(,)xy D f x y dxdy S =?? ,即S 为xy D 的面积. 4.坐标系: ①直角坐标系: X 型区域,Y 型区域 ②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用: 二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xy D f x y dxdy ?? 表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积; 其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xy D ?? 四、三重积分 1.定义式 (,,)f x y z dv Ω??? 2.定义域:三维空间区域; 3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若 1f =,则(,,)f x y z dv V Ω =???,其中V 表示Ω的体积. 4.坐标系: ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面积易求时采用) ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用; ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后?,最后 r . 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: (,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω ???为物体质量.(不考虑几何意义) 五、第一类曲线积分

高数下第6讲：二重积分

高数下第6讲：二重积分围成；是由圆周其中积分区域与围成；轴与直线轴，是由其中积分区域与的大小：根据性质比较下列积分2)1()2(,)()()2(1,)()()1(.1223232=-+-++=+++????????y x D d y x d y x y x y x D d y x d y x D D D D σσσσ ; 4,)10()3(; 4,)43()2(; 20,10,)1()1(.2222222≤+++=≤+++=≤≤≤≤++=??????y x D d y x I y x D d y x I y x D d y x I D D D 是圆域其中积分区域是圆域其中积分区域是矩形域其中积分区域的值：根据性质估计下列积分σσσ 使，求证必存在一点且上连续在有界闭区域与设),,(0),(,),(),(.3ηξ≥y x g D y x g y x f ????=D D dxdy y x g f dxdy y x g y x f ),(),(),(),(ηξ

??????????????????-----+-++103130204024411100sin 0012 2102 2 01 0110 ),(),()7(),()6(),()5(),()4(),(),()3(),()2(;),()1(.422y y y y x x x x x x y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx dy y x f dx dy y x f dx dy y x f dx dx y x f dy π；交换积分次序：所围成的区域。及是由其中为圆域其中分根据对称性计算二重积12,,)()2(; ,)1(: .522222===+=≤+-????y x y x y D d y x I R y x D d y R x D D σσ

山东省高等数学专升本考试最新大纲

WORD 附件5 省2018年普通高等教育专升本高等数学（公共课）考试要求一、总体要求考生应了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方确地推理证明，准确地计算的能力；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。二、容围和要求（一）函数、极限和连续 1.函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。（2）理解和掌握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。（4）掌握函数的四则运算与复合运算。专业资料.

高等数学习题详解-第8章二重积分

习题8-1 1. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)D m x y d μσ=??. 2. 试比较下列二重积分的大小： (1) 2()D x y d σ+??与3()D x y d σ+??，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1 围成； (2) ln()D x y d σ+??与2 ln()D x y d σ+??????，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)， C (2，0）为顶点的三角形闭区域. 解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()D D x y d x y d σσ+≥+????. (2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2 ln()[ln()]D D x y d x y d σσ+≥+???? 习题8-2 1. 画出积分区域，并计算下列二重积分： (1) ()D x y d σ+??，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤； (2) (32)D x y d σ+??，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭

区域； (3) 22()D x y x d σ+-??,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域； (4) 2 D x y d σ??,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0； (5) ln D x y d σ??,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ； (6) 22D x d σy ??其中D 是由曲线11,,2 xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111 111()()20.D x y d dx x y dy xdx σ---+=+==????? (2) 222 200 (32)(32)[3(2)(2)]x D x y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-????? 2232022 20[224]4.33 0x x dx x x x =-++=-++=? (3) 32 2 2 2 2 2 2 002193()()()248y y D y x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-????? 43219113 .9686 0y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.D x yd σ=?? (5) 44 201041ln ln (ln ln )2(1)2110 e D e e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-?????.

山东省高等数学专升本考试最新大纲

精选附件5 山东省2018年普通高等教育专升本高等数学（公共课）考试要求一、总体要求考生应了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算的能力；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。二、内容范围和要求（一）函数、极限和连续 1.函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。（2）理解和掌握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。（4）掌握函数的四则运算与复合运算。欢迎下载

大学高等数学下考试题库(及答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

山东省2017年普通高等教育专升本统一考试高等数学真题+答案

山东省 2017 年专升本真题试卷高等数学(一) 一、单项选择题（本大题共五小题，每小题3分共15分。在每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求） 1. 函数y =√2?x 2+arcsin x?23 的定义域是 A. (?1,√2) B.[?1,√2] C.(?1,√2] D. [?1,√2) 2.已知y {?2 x 1在(?∞,+∞)内连续，则a = A.0 B.1 2 C.1 D.2 3.曲线y =(x +6)e 1x 的单调递减区间的个数为 A.0 B.1 C.3 D.2 4.若连续函数f(x)满足∫f (t )dt =x x 3?1 ，则f(7)= A.1 B.2 C. 112 D. 12 5.微分方程xy ′+y = 11+x 2 满足y |x=√3=√3 9 π的解在x =1处的值为 A.π4 B.π3 C.π2 D.π 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 6.函数f(x)=ln sin (cos 2x )的图像关于_______________对称. 7.lim n→∞( n?2n+1 )n =_______________________. 8.f(x)= 1x ?1x+11x?1?1x 的第一类间断点__________________. 9.设a ? ={1,2,3}， b ? ={0,1,?2}，则a ? ×b ? =_____________________. 10.直线{x +2y ?3z ?4=0 ?2x +6y ?3=0 与平面2x ?y ?3z +7=0的位置关系

山东省高等数学专升本考试大纲

附件 5 山东省2018年普通高等教育专升本高等数学（公共课）考试要求一、总体要求考生应了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算的能力；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。二、内容范围和要求（一）函数、极限和连续 1.函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。（2）理解和掌握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。（4）掌握函数的四则运算与复合运算。

2017年专升本高等数学真题试卷

高等数学请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。一、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数1 x ()e f x =，则x=0是函数f(x)的（）．（A ）可去间断点（B ）连续点（C ）跳跃间断点（D ）第二类间断点 2. 设函数f(x)在[a,b]上连续，则下列说法正确的是（A ）b a ()()()f x dx f b a ζζ∈=-?必存在（a,b ）,使得（B ）'()()f b a ζζ∈-必存在（a,b ）,使得f(b)-f(a)= （C ）()0f ζξ∈=必存在（a,b ）,使得（D ）'()0f ζζ∈=必存在（a,b ）,使得 3 下列等式中，正确的是（A ）'()()f x dx f x =? （B ）()()df x f x =?（C ）()()d f x dx f x dx =? （D ）()()d f x dx f x =? 4. 下列广义积分发散的是（A ）+2011+dx x ∞ ? （B ）12 011dx x -? （C ）+0ln x dx x ∞? （D ）+0x e dx ∞-? 5． y -32sin ,x y y e x '''+=微分方程则其特解形式为（A ）sin x ae x （B ）(cos sin )x xe a x b x +

2020年山东省专升本高等数学公共课大纲

2020年山东省普通高等教育专升本高等数学考试要求 2020 年起，山东省专升本考试设 4 门公共基础课考试科目，包括英语（公共外语课为其他小语种的考政治）、计算机、大学语文、高等数学（分为高等数学Ⅰ、高等数学Ⅱ、高等数学Ⅲ）。由省教育招生考试院统一命题，统一组织考试，统一组织评卷。每门满分 100 分，共 400 分。每门考试时间 120 分钟。一、总体要求考生应了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算的能力；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。二、内容范围和要求（一）函数、极限和连续 1.函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函 —1 —

数。（2）理解和掌握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。（4）掌握函数的四则运算与复合运算。（5）理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。（6）了解初等函数的概念。 2.极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则。（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。（4）掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个—2 —

高等数学(二重积分与微分练习)

一、微分学计算题 1、设二元函数)ln(y x x z +=，则y x z ???2=_________. 2、函数y x z =在点(2, 1)处的全微分d z =____________________. 3、三元函数zx yz xy u ++=的全微分为。 4、设),(t s f 可微，),(2322y x y x f u -=，求x u ??、y u ??。 5、设),(y x f z =由方程y z z x ln =所确定,求偏导数.,y z x z ???? 6、设)(22xy x y z ?+=，?为可微的函数，求证02322=+??-??y y z xy x z x 7、求函数x y x y x z 9332233-++-=的极值。 8、已知 2242(3),x y Z Z Z x y x y +??=+??设求和二、积分学计算题 1、交换二次积分??x x dy y x f dx 2),(10的顺序，??x x dy y x f dx 2 ),(10= 2、二次积分的顺序，??-=x dy y x f dx 1010),( 3、计算二重积分dxdy y x D ??22，其中D 是曲线x y =、1=xy 及2=x 围成。 4、计算2d d D xy x y ??，其中D 是由直线y =x , x =1及y =0围成的区域． 5、求由曲线轴轴和及 3,4,2y x x y x y ===围成的平面图形的面积. 6、求抛物线y x 22=与直线4-=y x 所围成的平面图形的面积。 7、已知生产某产品x 单位的边际收入为x x R 2100)(-='（元/单位），求生产40单位时的总收入及平均收入，并求再多生产10单位时所增加的总收入。三、1、求方程2/5)1(12+=+-x x y dx dy 的通解及满足条件00==x y 的特解.

高等数学重积分总结

第九章二重积分【本章逻辑框架】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质【学习方法导引】 1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点 (,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。

(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分 (,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。【主要概念梳理】 1.二重积分的定义设二元函数f(x,y)在闭区域D 上有定义且有界. 分割用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12,,,n σσσ???，同时用i σ?表示它们的面积，1,2,,.i n =其中任意两小块i σ?和()j i j σ?≠除边界外无公共点。 i σ?既表示第i 小块,又表示第i 小块的面积. 近似、求和对任意点(,)i i i ξησ∈? ,作和式1 (,).n i i i i f ξησ=?∑ 取极限若i λ为i σ?的直径，记12max{,,,}n λλλλ=,若极限0 1 lim (,)n i i i i f λξησ→=?∑ 存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i ξη的取法，称此极限为f (x,y )在D 上的二重积分. 记为

山东省高等数学专升本考试最新大纲

《高等数学(专升本)》三个阶段测试卷参考答案(全套)

江南大学现代远程教育2011年下半年第一阶段测试卷考试科目:《高等数学》专升本第一章至第三章（总分100分）时间：90分钟 __________学习中心（教学点）批次：层次：专业：学号：身份证号：姓名：得分：一．选择题 (每题4分) 1. 函数 y = 的定义域是 ( a ). (a) (2,6)- (b) (2,6] (c) [2,6) (d)[2,6]- 2. 110 lim(1) x x x +→+ （ a ） (a) e (b) 1 (c) 3e (d) ∞ 3. 要使函数sin 3()x f x x = 在 0x = 处连续, 应给(0)f 补充定义的数值是 ( c ). (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 4. 设 23 (21)y x =+, 则 y ' 等于 ( b ). (a) 2212(21)x x -+ (b) 2212(21)x x + (c) 222(21)x x + (d) 22 6(21)x x + 5. 设函数 ()f x 在点 0x 处可导, 则 000 ()(3) lim h f x f x h h →-+ 等于 ( ). (a) 03()f x '- (b) 03()f x ' (c) 02()f x '- (d) 02()f x ' 二.填空题(每题4分) 6. 设 (4)3f x x =+, 则 ()f x =___________.

7. 2sin[2(2)] lim 2 x x x →-++ =___2__. 8. 设 12,0, ()5,0,34,0x x f x x x x -? , 则 0lim ()x f x + → =___3__. 9. 设 2,0 (),4,0 x e x f x a x x -?≤=?+>? 在点 0x = 处极限存在, 则常数 a = ______ 10. 曲线 1 y x -= 在点 (1,1) 处的法线方程为 _____y=x__________ 11. 由方程 2 50y xy e -+=确定隐函数 ()y y x =, 则 y '= ________ 12. 设函数 ()ln cos f x x =, 则 (0)f ''=___－1 _____ 三. 解答题(满分52分) 13. 求 78lim( )79 x x x x →∞ -- . 14. 求 301 lim sin 3x x e x →-.