灰关联技术

第二章 灰关联技术

灰关联理论不仅是灰色系统理论的重要成果之一，而且是灰预测、灰建模、灰决策和灰控制的基石。本章将对数据变换的类型及性质进行研究，建立区间关联度理论及赋范空间中的关联度理论，并对目前众多的关联度量化模型进行研究和评价。

2.1 数据变换技术

为保证建模的质量与系统分析的正确结果，对收集来的原始数据必须进行数据变换和处理，使其消除量纲和具有可比性。

定义2.1.1 设有序列

))(,),2(),1((n x x x x =

则称映射

n

k k y k x f y

x f ,,2,1 ),())((: ==→

为序列x 到序列y 的数据变换。

1）当

0)1( ),()

1()

())((≠==

x k y x k x k x f 称f 是初值化变换；

2）当

∑====

n

k k x n x k y x k x k x f 1

)(1 ),()())(( 称f 是均值化变换；

3）当

()

(())()max ()

k

x k f x k y k x k =

=

称f 是百分比变换；

4）当

()

(())(), min ()0min ()

k k

x k f x k y k x k x k =

=≠

称f 是倍数变换；

5）当

)()

())((0

k y x k x k x f ==

其中x 0为大于零的某个值，称f 是归一化变换；

6）当

)()

(max )

(min )())((k y k x k x k x k x f k

k

=-=

称f 是极差最大值化变换；

7）当

)()

(min )(max )

(min )())((k y k x k x k x k x k x f k

k

k

=--=

称f 是区间值化变换。

性质2.1.1 上述各变换满足

1）当0)(,,,2,1,0)(≥=>k y n k k x 时 ；

2）保序性：若)()(j x i x <则)()(j y i y <；若)()(j x i x >则)()(j y i y >； 3）保差异性：对任意i 、t 、l 、j 有

)

()()

()()()()()(j y l y t y i y j x l x t x i x --=--

证明 只对区间值变换进行证明，记

)(min )(max 0k x k x x k

k

-=

1）由于0,,,2,1,0)(0>=>x n k k x 且 故

0)(min )(≥-k x k x k

从而

n k x k x k x k y k

,,2,1 ,0)

(min )()(0

=≥-=

2）由于00>x ，如果)()(j x i x <，则

)

(min )()

(min )(x k x j x x k x i x k

k

-<

-

即

)()(j y i y <

同理，当)()(j x i x >时，)()(j y i y >。 3）因为

)

()()()()

(min )( )(min )()

(min )()

(min )()()()()(0

00

0j y l x t y i y x k x j x x k x l x x k x t x x k x i x j x l x t x i x k k k

k

--=

----

-=

-- 从而保差异性成立

定义2.1.2 设有多指标序列

))

(,),2(),1(( ))

(,),2(),1(())(,),2(),1((22221111n x x x x n x x x x n x x x x m m m m ===

则称映射

)

())((:k y k x f y x f i i i

i =→

为序列x i 到序列y i 的数据变换

多因素多指标的数据变换方法主要依赖于指标的属性类型，目前文献中见到的属性类型有效益型、成本型、固定型、区间型、偏离型和偏离区间型六种[162]。效益型属性是指指标值越大越好的属性，成本型属性是指指标值越小越好的属性，固定型属性是指指标值接近某固定值a (k )越好的属性，区间型属性是指指标值越接近某固定区间)](),([k b k b （包括落入该区间）越好的属性，偏离型属性是指指标值越偏离某固定值c (k ) 越好的属性，而偏离区间型属性是指指标值越偏离某区间)](),([k d k d 越好的属性。

记 },,2,1{m M =为因素集的下标集合 },,2,1{n N =为指标集的下标集合，

)6,5,4,3,2,1( =t N t 分别表示效益型、成本型、固定型、区间型、偏离型和偏离区间型指标

的下标集合，则有 6

1==t t N N

这六类指标的关系为：偏离区间型→偏离型→效益型 区间型→固定型→成本型

即 651N N N ??， 432N N N ??

关联分析中常用的一组数据变换可归纳为：

1, )

(min )(max )

(min )()(N k M i k x k x k x k x k y i i

i i

i i

i i ∈∈--=

2, )

(min )(max )

()(max )(N k M i k x k x k x k x k y i i

i i

i i i

i ∈∈--=

3, |

)()(|min |)()(|max |

)()(||)()(|max )(N k M i k a k x k a k x k a k x k a k x k y i i

i i

i i i

i ∈∈------=

4, )

(min )(max )

()(max )(N k M i k k k k k y i i

i i

i i i

i ∈∈?-??-?=

其中 )}()(),()(max{)(k x k b k b k x k i i i --=?

5, |

)()(|min |)()(|max |

)()(|min |)()(|)(N k M i k c k x k c k x k c k x k c k x k y i i

i i

i i

i i ∈∈------=

6, )

(min )(max )

(min )()(N k M i k k k k k y i i

i i

i i

i i ∈∈?-??-?=

其中 )}()(),()(max{)(k d k x k x k d k i i i --=?

2.2 点灰关联度与区间关联度

本节将对介绍传统的点关联度模型，并将其推广到区间序列的情形，建立区间关联度理论和模型。 2.2.1 点关联度

定义 2.2.1 设},,,{10n x x x X =为灰关联因子集,0x 为参考序列,i x 为比较序列,)(0k x , )(k x i 分别为0x 与i x 的第k 个点的数,即

))(,),2(),1((0200n x x x x = ))(,),2(),1((1111n x x x x =

2222((1),(2),,())x x x x n =

))(,),2(),1((n x x x x m m m m =

给定0((),())i r x k x k 为实数，k

ω

为k 点权重，满足

1,101

=≤≤∑=n

k k

k ω

ω

若实数

()001

(,)(,())n

i k i k r x x r x k x k ω==∑

满足

1) 规范性

00(,)1i r x x ≤≤

00(,)0,i i r x x x x =?∈?（空集）

00(,)1i i r x x x x =?=

2) 偶对对称性

,, (,)(,){,}x y X x y y x X x y γγ∈=?=

3) 整体性

often

,{|0,1,,}, 2(,)(,)

j i j i i j x x X x n n r x x r x x σσ∈==≥≠

4) 接近性

|)()(|0k x k x i -越小, 0((),())i r x k x k 越大

则称),(0i x x γ为0x 对i x 的灰关联度,亦称为灰关联映射.上述四个条件也称为灰关联四公理。

定理2.2.1 若

max

00max

((),())()i i r x k x k k ρρ?=

?+?

∑==n

k i k i k x k x r x x r 1

00))(),((),(ω

其中00()()()i i k x k x k ?=-为绝对差，min 0min min ()i i

k

k ?=?为两极最小差，

max 0max max ()i i

k

k ?=?为两极最大差，ρ为分辨系数，且(0,1)ρ∈，则0(,)i r x x 满足灰关联

四公理。 证明 略

上述定义的0((),())i r x k x k 称为k 点灰色关联系数，0(,)i r x x 称为灰色关联度。 注：上述关联度与文献[58]中所定义的灰色关联度（也称一般关联度）：

m i n m a

x 00m a

x ((),()()i i r x k x k

k ρρ?+?=?+?

001

1(,)((),())n

i i k r x x r x k x k n ==∑

略有差别。实际上当原始序列数据经过初值化变换或者区间值化变换处理后，总有min 0?=，此时一般关联度就变成了定理2.2.1中所定义的灰色关联度，即实际计算用的也是该关联度公式。

2.2.2 区间关联度

由于点关联度是序列几何距离的一种度量，是关于两点)(),(0k x k x i 之间距离

)()()(00k x k x k i i -=?的离散函数，因此当序列的指标值是区间数时，必须先定义区间数

之间的距离。

定义

2.2.2

设

],[],,[2121b b B a a A ==是两个区间数，其中

R b b a a b b a a ∈≤≤21212121,,,,,，称222211)()(2/2),(b a b a B A D -+-= 为区间

灰数间的距离。

定理2.2.2 设I 为所有区间数组成的集合，对任意,,A B C I ∈，有 （1）(,)0D A B ≥ （2）(,)(,)D A B D B A = （3）(,)0D A B A B =?=

（4）(,)(,)(,)D A B D A C D B C ≤+

（5）当,A B 为实数时，),(B A d 表示实数,A B 间的实距离，则有(,)(,)D A B d A B = 证明 只证（4）和（5）。记],[],,[],,[212121c c C b b B a a A ===，将,,A B C 分别看作平面上的三点，从而ABC ?构成三角形，由平面上两点间的距离公式得

<

222211)()(c a c a -+-+222211)()(c b c b -+-

故

2

< 222211)()(2/2c a c a -+-+

222211)()(2/2c b c b -+-

即 (,)(,)(,D A B D A C D B C

≤+ 令2121,b b a a ==，此时11,b B a A ==均为实数，则

222211)()(2/2),(b a b a B A D -+-=

=),(11B A d B A b a =-=-

由（1）~（4）知，I 关于D 构成距离空间，因此也称I 为区间灰距离空间。

定义 2.2.3 设X 为灰关联因子集，X x ∈0为参考序列，X x i ∈为比较序列，

m i ,,2,1 =

))(,),2(),1((0200n x x x x =，))(,),2(),1((1111n x x x x = ,)),(,),2(),1((2222 n x x x x =))(,),2(),1((n x x x x m m m m =

其中I k x k x k x i i i ∈=)](),([)(21为区间数，),()(,)(),(2121k x k x R k x k x i i i i ≤∈

n k m i ,,2,1;,,2,1,0 ==。定义实数),()),(),((00i i x x r k x k x r 为

max

00max

((),())()i i D r x k x k D k D ρρ=

+ （2-1）

∑==n

k i k i k x k x r x x r 1

00))(),((),(ω （2-2）

其中 ))(),(()(00k x k x D k D i i =为区间数)(),(0k x k x i 间的距离，

)(min min 0min k D D i k

i

=，)(max max 0max k D D i k

i

= （2-3）

ρ 为分辨系数，k ωρ),1,0(∈为k 点权重，满足

1,

101

=≤≤∑=n

k k

k ω

ω （2-4）

定理2.2.3 上述所定义的关联度),(0i x x r 满足下列灰区间关联四公理： 1）规范性

00(,)1i r x x ≤≤

00(,)0,i i r x x x x =?∈?（空集）

00(,)1i i r x x x x =?=

2）偶对对称性

{}i i i x x X x x r x x r ,),(),(000=?=

3）整体性

{}2,,,2,1,0,≥==∈m m s x X x x s j i ，),(),(i j j i x x r x x r ≠

4）接近性：))(),(()(00k x k x D k D i i =越小，则),(0i x x r 越大。 其中0,i x x 分别为区间参考序列和区间比较序列。 注：与一般关联度相对应的区间关联度公式如下：

min max

00max

((),())()i i D D r x k x k D k D ρρ+=

+

∑==n

k i k i k x k x r x x r 1

00))(),((),(ω

其中 )(min min 0min k D D i k

i

=

证明 略。

由公式（2-1）~（2-4）所确定的),(0i x x r 称为区间序列的灰色关联度，简称为区间关联度。特别当)()(21k x k x i i =，对任意n k m i ,,2,1;,,2,1,0 ==成立，即区间都退化为点时

)()))())(),(())(),(()(00000k k x k x k x k x d k x k x D k D i i i i i ?=-===

此时的区间关联度就变成了点关联度，因此区间关联度是点关联度的推广。

2.2.3 灰关联分析实例

应用灰色关联分析方法，一般包括下列的计算和分析步骤：

(1) 确定参考序列和比较序列；

(2) 作原始数据变换；

(3) 求绝对差序列；

(3) 计算关联系数；

(4) 计算关联度；

(5) 排关联序；

(6) 列关联矩阵进行优势分析。

在应用过程中，应根据实际情况和要求，上述步骤不一定全部进行。另外本书计算关联度仍采用一般关联度公式，后同。

例2.2.1以呼和浩特市1999—2003年大气污染监测数据为例,用灰色关联度方法分析影响呼和浩特市大气污染的各主要因素的污染水平。各因素的统计值见表2.1。

表2.1 1999-2003年城市大气污染监测数据

（1）将城市区域大气污染值作为参考序列

0(),1,,5

x k k ，其它各因素作为比较因素

序列(),1,

,8;1,i x k i k == ，对各因素初值化处理，得各标准化序列

(),1,,8;1,,5i y k i k == 得到无量纲序列表2.2

表2.2 各因素数据序列无量纲

（2）根据上表求出差00()()()i i k y k y k ?=-,得序列：

01(0,0.067,0.236,0.130,0.275);?= 02(0,0.007,0.015,0.006,0.616);?= 03(0,0.175,0.244,0.192,0.211);?= 04(0,0.248,0.446,0.770,1.162);?= 05(0,0.989,1.744,2.655,4.437);?= 06(0,0.014,0.136,0.359,0.427);?= 07(0,0.116,0.175,0.759,2.107);?= 08(0,0.417,0.431,0.717,0.757)?=

min 0?= max 4.437?=

（3）由此计算出关联系数如下： 令0.5ρ=，则有

0()000.5 4.437

0.5 4.437

j k i ξ+?=

?+?

01(1,0.971,0.904,0.945,0.890)ξ=；

02(1,0.997,0.993,0.997,0.783)ξ=；

03(1,0.927,0.901,0.920,0.913)ξ=； 04(1,0.899,0.833,0.742,0.656)ξ=；

05(1,0.692,0.560,0.455,0.333)ξ=； 06(1,0.994,0.942,0.861,0.839)ξ=； 07(1,0.950,0.927,0.861,0.839)ξ=； 08(1,0.842,0.837,0.756,0.746)ξ=

（4）计算关联度并进行优势因素分析 取123451

5

ωωωωω=====

，求得比较因素i x 和参考因素0x 的关联度如下： 5010111()0.9425k r k ξ===∑；5020211()0.9545k r k ξ===∑；5

030311()0.9325k r k ξ===∑；

5040411()0.8265k r k ξ===∑；5050511()0.6085k r k ξ===∑；5

060611()0.9275k r k ξ===∑；

5070711()0.8275k r k ξ===∑；5

08081

1()0.8365k r k ξ===∑

以上八个比较因素中，为比较方便，把这八个因素分为直接因素（前三个）和间接因素（后五个）。从上述关联度分析来看，直接因素中，各因素关联度大小排序：020103r r r >>，表明在城市大气环境的影响因素中，TSP 是影响呼和浩特市空气质量的主要因素；在间接因素中，各因素关联度大小排序：0608070405r r r r r >>>>，机动车数量为主要的间接影响因

例2.2.2 影响深圳市大气质量的主要因素分析 母序列，子序列及其主要数据见表2.3 所示.

表2.3 基本数据系列

解 先计算母序列

1y 对子序列i x )6,,2,1( -i 的关联度i r 1.

(1) 原始数据作初值化变换(变换后序列的记号不妨仍记为原来的符号):

)2,6.1,4.1,1(1=y )828.1,485.1,222.1,1(1=x )163.1,121.1,07.1,1(2=x

)882.1,361.1,14.1,1(3=x )188.1,167.1,983.0,1(4=x

)492.2,531.1,138.1,1(5=x )021.3,163.2,591.1,1(6=x

(2) 计算绝对差:

)()()(11k x k y k i i -=? )172.0,115.0,178.0,0(11=?

)637.0,479.0,33.0,0(12=?

)118.0,24.0,26.0,0(13=? )812.0,433.0,417.0,0(14=?

)492.0,069.0,262.0,0(15=? )021.1,563.0,191.0,0(16=?

显然

0min =? 021.1m a x =?

(3) 计算关联系数和关联度: 取

5.0=ρ 123414

ωωωω==== 827.0021.15.0)(021.15.0041411111=?+??+=∑=k k r

626.0021.15.0)(021.15.0041411212=?+??+=∑=k k r

79.0021.15.0)(021.15.0041411313=?+??+=∑=k k r 0

62.0021.15.0)(021.15.0041411414=?+??+=∑=k k r 0

763.0021.15.0)(021.15.0041411515=?+??+=∑=k k r

635.0021

.15.0)(021.15.0041411616=?+??+=∑=k k r

同理,可求出其它母序列对子序列的关联度, 将所有关联度排成关联度矩阵得

??????

??

?

?

?

?=585.0697.0882.0757.0866.0732.0586.0859.0714.0836.0738.0820.0568.0662.0826.0709.0826.0693.0616.0812.0698.0884.0714.0921.0582.0702.0927.0762.0918.0738.0635.0763.0620.0790.0626.0827.0R

（4）优势因素分析

1) 子因素对母因素影响优势分析。分析R 发现，单项子因素对单项母因素得影响, 以人口的变化对降尘量的影响最大, 其次是机动车辆的增长对氮氧化物的影响, 而工业总产值对总悬浮颗粒物的影响最小, 其次是这一子因素对降尘量、二氧化硫、大气含铅量的影响。

2）多因素综合分析。分析发现，除工业总产值的变化对大气质量影响的极弱外，其余因素均有明显影响，但以燃料的消耗量和车辆增长率的影响最突出。

3）城市发展对城市氮氧化物和降尘量的影响较明显，对硫酸盐化速率的影响最小，另外对总悬浮颗粒物的含量的影响也不明显。

2.3 灰关联扩展空间

为了更广泛的进行灰色关联分析,我们将灰关联映射的概念进行扩充,并讨论所形成的灰关联空间的一些性质。

定义2.3.1设},,,{21m x x x X =为灰关联因子集,如果映射

r :(,],(0)X X a b a b ?→<<

满足

1) 对于,,(,)i j i j x x X a r x x b ∈<≤,(,)i j i j r x x b x x =?= 2) 当},{y x X =时,(,)(,)r x y r y x =

3) 若},,,{21m x x x X =,3≥m ,则(,)(,)often

i j j i r x x r x x ≠ 4) 若|)()(|k x k x j i -越小,(,)i j r x x 越大

则称r 为X 上的灰关联扩展映射,(,)X r 为灰关联扩展空间。

定理2.3.1 对于+∞<<

0max

00max

()((),())()i i i a k b r x k x k k ρρ?+?=

?+?

∑==n

k i k i k x k x r x x r 1

00))(),((),(ω

则r 为X 上的灰关联扩展映射.

证明 1）因为对任意{1,2,,},{1,2,,}i m k n ∈∈ ,有

0max 0()i k ≤?≤?

从而

max

0max

0()0i a b k b a ρρ?+??≤

=?+?

max max 0max max ()i a b a b k a a a ρρ

ρρ

?+?+?≥

=>?+?+

所以0()(,]i k a b ?∈

又0(,)i r x x b =?每个1,2,,k n = ，有0((),())i r x k x k b =?0()0i k ?=?

000()()0()()i i i x k x k x k x k x x -=?=?=

2）、3）、4）三个结论是显然的。

定理 2.3.2 设0(,)X r 为灰关联空间,其中0r 的值域为[0,1]的子集, 对

b a <≤0,1(,)X r 为灰关联扩展空间,其中1r 的值域为[,]a b 的子集,则有

10(,)()(,),,i j i j i j r x x b a r x x a x x X =-+∈

且对于X 中同一个参考序列0x 来说, 1r 与0r 确定X 的相同关联序。

证明 不妨取 0,i x x X ∈,则

00()((),())i b a r x k x k a -+

=max

0max

()()i a b a k ρρ?-?

+?+?

=

0max

0max

()()i i a k b k ρρ?+??+?

=10((),())i r x k x k

从而

1000(,)()(,)i i r x x b a r x x a =-+

又由00(,)1i j r x x <≤,得

1(,)i j a r x x b <≤

即1r 的值域在],(b a 中.由于0r 为灰关联映射,满足灰关联四公理,由1r 的表达式,易证1r 也满足灰关联四公理,因此, 1r 是X 上的灰关联扩展映射。对于X 中取定的参考元0x 来说,若

0000(,)(,)j i r x x r x x <

由1r 与0r 之间的关系得

1010(,)(,)j i r x x r x x <

所以, 1r 确定的关联序与0r 确定的关联序完全一致。

反之,对于取值在],(b a 内的任一灰关联扩展映射,也可以唯一确定一个值域在]1,0(内的灰关联扩展映射,即有

定理2.3.3为灰关联扩展空间,1(,)(,]i j r x x a b ∈,令

011

(,)[(,)]i j i j r x x r x x a b a

=

-- 则00(,)1i j r x x <≤,0r 满足灰关联四公理,且0r 与1r 确定X 的相同关联序。

证明 同定理2.3.2

就确定关联序这个功能来说,取值在]1,0(中的所有灰关联映射所起的作用与取值在

],(b a 中的所有灰关联扩展映射起的作用是一样的。因此,对关联度的其中范围可以不加限

制,同样可以进行关联分析,必要的时候通过适当的变换便可以化为取值在]1,0(中的灰关联映射。

定理2.3.4 设1r ,2r 都是X 上的灰关联扩展映射,0>c 为常数,则下面定义的映射都是灰关联扩展映射。

1) 12(,)(,)(,),,r x y r x y r x y x y X =+∈ 2) 1(,)(,)r x y c r x y =? 3) 12(,)(,)(,)r x y r x y r x y =? 4) 12(,)max{(,),(,)}r x y r x y r x y = 5) 12(,)min{(,),(,)}r x y r x y r x y =

证明 只证明结论4),结论5)与4)类似,其他结论的证明简单。

12(,)max{(,),(,)}r x y r x y r x y =的取值区间是],(b a ,其中

),max(),,min(2121b b b a a a ==

112212(,),(,)(,)max(,)x y r x y b r x y b r x y b b b

=?==?==

当},{y x X =时,

1122(,)(,),(,)(,)r x y r y x r x y r y x ==

所以(,)(,)r x y r y x =；由于

11(,)(,)often r x y r y x ≠,22(,)(,)often

r x y r y x ≠

便有

(,)(,)often

r x y r y x ≠

一旦|)()(|k y k x -减小,则有12(,),(,)r x y r x y 都要变大,所以(,)r x y 也要变大，于是(,)r x y 是],(b a 中取值的灰关联扩展映射。

2.4赋范空间中的灰色关联度

根据区间关联度的思路，实际上我们可以将灰关联度拓广到赋范空间。为此，我们引进一般距离空间，并在这种抽象的距离空间上定义灰关联系数和灰关联度。 2.4.1距离空间与赋范空间

设E 为距离空间，在E 上定义了如下双度量实值映射，即距离：

2:(,)d E R →=-∞+∞

满足：,,,E z y x ∈?有

1）(,)0d x y ≥，且(,)0d x y x y =?= 2）(,)(,)d x y d y x = 3）(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+ 1）～3）称为距离公理。

当E 为线性赋范空间，即,E x ∈?定义有范数x 满足：E y x ∈?,成立范数公理：

1） ,0≥x 且;00=?=x x 2） ;,x x R λλλ=

∈?

3） .y x y x +≤+

当0,,n i x x E ∈1,2,,i m = 时，令

)()()(00k x k x k i i -=?

即可得到在线性赋范空间框架下的一般灰关联系数与一般灰色关联度。

在距离空间框架下建立灰色关联度。在文献[56]中已现端倪，但未给出我们这里的一般形式的定义。

2.4.2几类具体距离空间下的灰色关联度

1） 向量关联度

在灰色关联度的定义中（定理2.2.1）,记X 为灰关联因子集（向量集合），0x 为参考向量序列，i x 为比较向量序列， (1)(2)()()((),(),,())p i i i i x k x k x k x k = 为p 维定向量，即

()p i x k R ∈，0,1,2,,i m =

))(),((0k x k x d i =)()(0k x k x i -=(

21

()

()

2

1

()())p

s s i s x

k x k =??-??∑

将上述0((),())i d x k x k 代替0()i k ?，则得到向量关联度。 2） 复数关联度

在灰色关联度的定义中（定理2.2.1）,记X 为灰关联因子集（复数序列集合），0x 为参考复数序列，i x 为比较比较序列， ()()()i i i x k y k jz k C =+∈为复数，0,1,2,,i m = ，

其中j (),()i i y k z k R ∈，

))(),((0k x k x d i =)()(0k x k x i -=221/200[(()())(()())]i i y k y k z k z k -+-

将上述0((),())i d x k x k 代替0()i k ?，则得到复数关联度。

向量关联度与复数关联度均由文献[332]中提出。 3）复向量序列的关联度

在灰色关联度的定义中（定理2.2.1）,记X 为灰关联因子集（复向量集合），0x 为参

考复向量序列，i x 为比较复向量序列， (1)(2)()()((),(),,())p i i i i x k x k x k x k = 为p 维定复向

量，即()p i x k C ∈，()()()()()()s s s i i i x k y k jz k C =+∈为复数，0,1,2,,i m = ，1,2,,s p = ，1,2,,k n =

其中j ，()()(),()s s i i y k z k R ∈，令

))(),((0k x k x d i =)()(0k x k x i -

=()()1

2

22()()()()

001()()()()p

s s s s i i s y k y k z k z k =????-+-?????

???∑

将上述0((),())i d x k x k 代替0()i k ?，则得到复数序列关联度。

4） 区间灰数向量序列的关联度

在灰色关联度的定义中（定理2.2.1）,记X 为灰关联因子集（区间灰数向量集合），

0x 为参考区间灰数向量序列，i x 为比较区间灰数向量序列，

(1)(2)()()((),(),,())p i i i i x k x k x k x k = 为p 维区间灰数向量，()()()1()[(),()]s s s i i i x k x k x k =为区

间数，()()()()

1212(),(),()()s s s s i i i i x k x k R x k x k ∈≤，n k m i ,,2,1;,,2,1,0 ==，1,2,,s p = ，

令

))(),((0k x k x d i =)()(0k x k x i -

=1

2

22()()()()

0110221()()()()2p

s s s s i i s x k x k x k x k =?????-+-???????

∑ 将上述0((),())i d x k x k 代替0()i k ?，则得到区间灰数向量序列的关联度。 5）矩阵序列在范数下的关联度

在灰色关联度的定义中（定理2.2.1）,记X 为灰关联因子集（矩阵序列集合），0x 为参考矩阵序列，i x 为比较矩阵序列，在定义2.2.1中，若()()i ik ikpq s t x k A a ?==，ik A 为s t ?阶矩阵，1,2,,;1,2,,p s q t == ， 令

00((),())(,)i k ik d x k x k d A A ==ik k A A -0

为矩阵0()k ik A A -的某一范数，则得到矩阵序列在该范数下的关联度。 s t ?阶矩阵()ij s t A a ?=的常用范数有

(1) ∑∑===

s i t

j ij

a

A 11

1

(2) 1,111

≥???

?

????=∑∑==p a A

p

p

s i t

j ij P

特别当p=2时，称为Frobenius 范数，或者叫做Euclid 范数。

（3） ∑=≤≤=t

j ij

s

i r a

A 1

1max

∑=≤≤=s

i ij

t

j c a

A 1

1max

其中r A 叫做行和范数，c A 叫做列和范数。

6）区间灰数矩阵的关联度

在灰色关联度的定义中（定理2.2.1）,记X 为灰关联因子集（区间灰数矩阵序列集合），

0x 为参考区间灰数矩阵序列，i x 为比较区间灰数矩阵序列，若()()i ik ikpq s t x k A a ?=?=?，

[,]ikpq ikpq ikpq a a a ?∈，ikpq ikpq a a ≤，1,2,,p s = ，1,2,,q t = ，令

))(),((0k x k x d i =),(0ik k A A d ??=0k ik A A ?-?

1

222

0011()()s

t

kpq ikpq kpq ikpq p q a a a a ==???-+-?????

∑∑ 将上述0((),())i d x k x k 代替0()i k ?，则得到区间灰数矩阵序列的关联度。

该关联度还可以通过下列方式来定义： 令

),(00ikpq kpq ikpq a a d ??=?

=

2

02

0)()(2

2ikpq kpq ikpq kpq a a a a -+-

ikpq q

p

k

i

0min min min min min ?=?

ikpq q

p

k

i

0max max max max max ?=?

q p k kpq γβαωρ=∈),1,0(为三重数重因子。

1

1

1

01,

1;01,1;01,1n

s t

k k

p p q q k p q αα

ββγγ===≤≤=≤≤=≤≤=∑∑∑

灰关联系数和灰关联度分别为：

灰色关联模型及其应用研究

重庆三峡学院 大学生创新性实验计划项目申报表 项目名称灰色关联模型及其应用研究 项目负责人 所在院系、专业 指导教师 联系电话 电子邮件 填表日期 教务处制

项目名称灰色关联模型及其应用研究 申请经费0.3万元计划起止时间2014年5月至2015年6月 申报团队学号姓名年级所在院系、专业联系电话E-mail 2012 导师 姓名院系职称/学历E-mail 电话 申请理由（包括项目背景及自身具备的知识条件） 一、项目背景： 灰色系统理论是中国学者邓聚龙教授于1982年提出来的一门新兴理论，该理论是一种运用特定的方法描述信息不完全的系统并进行预测、决策、控制的崭新的系统理论。灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定的幅值和一定时区变化的灰色量，并把随机过程看成灰色过程，其是控制论观点和方法的延伸，它从系统的角度出发来研究信息间的关系，即研究如何利用已知信息去揭示未知信息，也即系统的“白化”问题。灰色系统的实质为：部分信息已知部分信息未知的一类系统。灰色关联分析是灰色系统理论的主要内容之一，它是对运行机制与物理原型不清楚或者根本缺乏物理原型的灰关系序列化、模式化，进而建立灰关联分析模型，使灰关系量化、序化、显化，能为复杂系统的建模提供重要的技术分析手段。 灰色关联分析方法是一种多因素分析方法，其基本原理是通过对统计序列几何关系的比较，若序列几何形状越接近，则它们的灰关联度就越大。灰色关联分析的基本任务是基于行为因子序列的微观或宏观几何接近，以分析和确定因子之间的影响程度或对因子对主行为的贡献测度。关联分析的实质是整体比较，是有参考系的、有测度的比较。 目前，常见的灰色关联计算模型主要有以下几种：邓聚龙提出的邓氏关联度；王清印的灰色B型关联度和C型关联度；唐五湘的T型关联度；刘思峰的广义关联度；赵艳林的灰色欧几里德关联度等。

浅议灰色关联度分析方法及其应用

科技信息 SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION 2010年第17期 1关联度的概念 关联度是事物之间、因素之间关联性大小的量度。它定量地描述 了事物或因素之间相互变化的情况，即变化的大小、方向与速度等的 相对性。如果事物或因素变化的态势基本一致，则可以认为它们之间 的关联度较大，反之，关联度较小。对事物或因素之间的这种关联关 系，虽然用回归、相关等统计分析方法也可以做出一定程度的回答，但 往往要求数据量较大、数据的分布特征也要求比较明显。而且对于多 因素非典型分布特征的现象，回归相关分析的难度常常很大。相对来 说，灰色关联度分析所需数据较少，对数据的要求较低，原理简单，易 于理解和掌握，对上述不足有所克服和弥补。 2关联度的计算 灰色关联度分析的核心是计算关联度。一般说来，关联度的计算 首先要对原始数据进行处理，然后计算关联系数，由此就可计算出关 联度。 2.1原始数据的处理 由于各因素各有不同的计量单位，因而原始数据存在量纲和数量 级上的差异，不同的量纲和数量级不便于比较，或者比较时难以得出 正确结论。因此，在计算关联度之前，通常要对原始数据进行无量纲化 处理。其方法包括初值化、均值化等。 2.1.1初值化。即用同一数列的第一个数据去除后面的所有数据，得 到一个各个数据相对于第一个数据的倍数数列，即初值化数列。一般 地，初值化方法适用于较稳定的社会经济现象的无量纲化，因为这样 的数列多数呈稳定增长趋势，通过初值化处理，可使增长趋势更加明 显。比如，社会经济统计中常见的定基发展指数就属于初值化数列。 2.1.2均值化。先分别求出各个原始数列的平均数，再用数列的所有 数据除以该数列的平均数，就得到一个各个数据相对于其平均数的倍 数数列，即均值化数列。一般说来，均值化方法比较适合于没有明显升 降趋势现象的数据处理。 2.2计算关联系数 设经过数据处理后的参考数列为： {x0(t)}＝{x01，x02，…，x0n} 与参考数列作关联程度比较的p个数列(常称为比较数列)为： {x1(t)，x2(t)，…，x p(t)}＝ x11x12…x1n x21x22…x2n ………… x p1x p2…x pn 上式中，n为数列的数据长度，即数据的个数。 从几何角度看，关联程度实质上是参考数列与比较数列曲线形状的相似程度。凡比较数列与参考数列的曲线形状接近，则两者间的关联度较大；反之，如果曲线形状相差较大，则两者间的关联度较小。因此，可用曲线间的差值大小作为关联度的衡量标准。 将第k个比较数列(k＝1，2，…，p)各期的数值与参考数列对应期的差值的绝对值记为： Δok(t)=x0(t)-x k(t)t＝1，2，…，n 对于第k个比较数列，分别记n个Δok(t)中的最小数和最大数为Δok(min)和Δok(max)。对p个比较数列，又记p个Δok(min)中的最小者为Δ(min)，p个Δok(max)中的最大者为Δ(max)。这样Δ(min)和Δ(max)分别是所有p个比较数列在各期的绝对差值中的最小者和最大者。于是，第k个比较数列与参考数列在t时期的关联程度(常称为关联系数)可通过下式计算： ζok(t)=Δ(min)+ρΔ(max) ok 式中ρ为分辩系数，用来削弱Δ(max)过大而使关联系数失真的影响。人为引入这个系数是为了提高关联系数之间的差异显著性。0＜ρ＜1。 可见，关联系数反映了两个数列在某一时期的紧密程度。例如，在使Δok(t)＝Δ(min)的时期，ζok(t)＝1，关联系数最大；而在使Δok(t)＝Δ(max)的时期，关联系数最小。由此可知，关联系数变化范围为0＜ζok(t)≤1。 显然，当参考数列的长度为n时，由p个比较数列共可计算出n×p个关联系数。 2.3求关联度 由于每个比较数列与参考数列的关联程度是通过n个关联系数来反映的，关联信息分散，不便于从整体上进行比较。因此，有必要对关联信息作集中处理。而求平均值便是一种信息集中的方式。即用比较数列与参考数列各个时期的关联系数之平均值来定量反映这两个数列的关联程度，其计算公式为： r ok=1 n n i=1 Σζok(t) 式中，r ok为第k个比较数列与参考数列的关联度。 不难看出，关联度与比较数列、参考数列及其长度有关。而且，原始数据的无量纲化方法和分辩系数的选取不同，关联度也会有变化。 2.4排关联度 由上述分析可见，关联度只是因素间关联性比较的量度，只能衡量因素间密切程度的相对大小，其数值的绝对大小常常意义不大，关键是反映各个比较数列与同一参考数列的关联度哪个大哪个小。 当比较数列有p个时，相应的关联度就有p个。按其数值的大小顺序排列，便组成关联序。它反映了各比较数列对于同一参考数列的“主次”、“优劣”关系。 灰色关联度分析方法的运用之一，就是因素分析。在实际工作中，影响一个经济变量的因素很多。但由于客观事物很复杂，人们对事物的认识有信息不完全性和不确定性，各个因素对经济总量的影响作用不是一下子就能够看清楚的，需要进行深入的研究，这就是经济变量的因素分析。运用灰色关联度进行因素分析是非常有效的，而且特别适用于各个影响因素和总量之间不存在严格数学关系的情况。 例1：利用关联度分析方法研究某公路施工企业工资序列（表1）。 表1某公路施工企业工资序列表单位：千元 根据表1中数据，以工资总额为参考数列x0(t)，以计时工资x1(t)、档案工资x2(t)和承包工资x3(t)为比较数列，计算三种工资对于工资总额的关联度。 第一步，对各数列作均值化处理。 工资总额和三种工资的均值分别为： 浅议灰色关联度分析方法及其应用 孙芳芳 (濮阳市公路管理局河南濮阳457000) 【摘要】灰色关联度是灰色数学中的一种方法，用来研究事物相互关联、相互作用的复杂因素的影响作用，确定影响事物的本质因素，使各种影响因素之间的“灰色”关系清晰化。本文介绍了灰色关联度在实际工作中的分析方法和步骤，为定量描述事物或因素之间相互变化的情况提供了理论依据。 【关键词】灰色关联度；分析方法；综合评价；应用 年份工资总额计时工资档案工资承包工资 200313974.23831.06587.23556.0 200415997.64228.07278.04491.6 200517681.35017.07717.44946.9 200620188.35288.69102.25797.5 200724020.35744.011575.26701.0 x i軃18372.34821.78450.05098.6○公路与管理○ 880

对灰色关联度计算方法的改进(精)

对灰色关联度计算方法的改进 ■曹明霞 党耀国 张 蓉 陆建峰 计算方法 记折线 ０ ０ 一、引言 在系统分析中，为了研究系统的结构和功能，就要建立适当的数学模型去描述系统。而这样做时，首要的工作就是要分析各种因素间的关系，找出系统的主要特征及主要关系，为分析研究提供必要的基础。灰色系统理论提出了灰色关联分析方法，自提出以来，众多学者就自己对灰色关联度的实质的理解而提出了不同的量化模型。就目前的情况来看，主要有以下的几种计算模型：邓氏关联度、Ｔ型关联度、斜率关联度、Ｂ型关联度、广义灰色关联度、灰色Ｃ型关联度、欧几里德关联度等。灰色关联分析方法是灰色系统理论中一个重要的组成部分，其基本思想是根据数据序列曲线的相似程度来判别因素间的关联程度，即曲线形状越相似，其关联度越大，否则越小。所以关联度的合理计算显得非常重要，然而目前有关关联度的各种计算方法中存在如下的欠缺。 （１）不具有规范性。这里的规范性是指：０＜γ≤１且γｉ＝１当且仅当Ｘｉ（ｋ）＝Ｘ０（ｋ） 轻的程度。 （６）当Ｘｉ围绕Ｘ０摆动时，且Ｘｉ位于 ０ ０ （ｘｉ（１）－ｘｉ（１），ｘｉ（２）－ｘｉ（１），…，ｘｉ（ｎ）－ｘｉ（１））为Ｘｉ。令 ｓｉ＝

Ｘ０之上部分的面积与位于之下的面积相 等时，ε０ｉ＝１。这样，就不能正确地反映曲线相似的实质。 二、改进的灰色绝对关联度的计算以及灰关联空间的定义 目前提出的几种主要的灰关联度计算模型中存在着某种欠缺，主要是因为灰色关联理论体系不是很完备，因此有必要重新定义曲线的相似性及灰色关联空间。既然灰关联度是通过数据序列的几何关系的相似程度来度量的，我们首先要准确地给出曲线相似的定义，并且要充分地利用曲线相似这一点来给定一个比较合理的灰色关联度的计算公式，计算灰色关联度的前提条件是我们定义的灰关联映射应满足对称性。 设系统行为数据序列为 ０ #Ｘｄｔ ｎ ０ｉｌ （ｉ＝０，１，２，…，ｍ），则 （１）当Ｘｉ为增长序列时，ｓｉ≥０；（２）当Ｘｉ为衰减序列时，ｓｉ≤０；（３）当Ｘｉ为振荡序列时，ｓｉ符号不定。命题２设系统行为数据序列 Ｘｉ＝（ｘｉ（１），ｘｉ（２），…，ｘｉ（ｎ））Ｘｊ＝（ｘｊ（１），ｘｊ（２），…，ｘｊ（ｎ）） 的始点零化像为： Ｘｉ＝（ｘｉ（１）－ｘｉ（１），ｘｉ（２）－ｘｉ（１），…，ｘｉ（ｎ）－ｘｉ（１）），记Ｘｊ＝（ｘｊ（１）－ｘｊ（１），ｘｊ（２）－ｘｊ（１），…，ｘｊ（ｎ）－ｘｊ（１））｜ｓｉ－ｓｊ｜＝｜ ０ ０ #（Ｘ（ｔ）－Ｘ（ｔ））ｄｔ｜ ０ｉ ０ｊ 设两个始点零化像曲线除了始点 ｔ０，终点ｔｎ以外还有ｌ个交点，交点记为ｔｋ （ｋ＝１，２，…，ｌ），其中ｌ为有限整数，则｜ｓｉ－ｓｊ｜＝＋…＋＝% ｋ＝０ｌ－１ Ｘｉ＝（ｘｉ（１），ｘｉ（２），…，ｘｉ（ｎ））（ｉ＝０，１，２，…，ｍ） 记折线

灰色关联分析(算法步骤)

灰色关联分析 灰色关联分析是指对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的方法，其基本思想是通过确定参考数据列和若干个比较数据列的几何形状相似程度来判断其联系是否紧密，它反映了曲线间的关联程度[1]。 灰色系统理论是由著名学者邓聚龙教授首创的一种系统科学理论(Grey Theory)，其中的灰色关联分析是根据各因素变化曲线几何形状的相似程度，来判断因素之间关联程度的方法。此方法通过对动态过程发展态势的量化分析，完成对系统内时间序列有关统计数据几何关系的比较，求出参考数列与各比较数列之间的灰色关联度。与参考数列关联度越大的比较数列，其发展方向和速率与参考数列越接近，与参考数列的关系越紧密。灰色关联分析方法要求样本容量可以少到4个，对数据无规律同样适用，不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。其基本思想是将评价指标原始观测数进行无量纲化处理，计算关联系数、关联度以及根据关联度的大小对待评指标进行排序。灰色关联度的应用涉及社会科学和自然科学的各个领域，尤其在社会经济领域，如国民经济各部门投资收益、区域经济优势分析、产业结构调整等方面，都取得较好的应用效果。 [2] 关联度有绝对关联度和相对关联度之分，绝对关联度采用初始点零化法进行初值化处理，当分析的因素差异较大时，由于变量间的量纲不一致，往往影响分析，难以得出合理的结果。而相对关联度用相对量进行分析，计算结果仅与序列相对于初始点的变化速率有关，与各观测数据大小无关，这在一定程度上弥补了绝对关联度的缺陷。[2] 灰色关联分析的步骤[2] 灰色关联分析的具体计算步骤如下： 第一步：确定分析数列。 确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。 设参考数列（又称母序列）为Y={Y(k) | k= 1,2,Λ,n}；比较数列（又称子序列）X i={X i(k) | k = 1,2,Λ,n},i= 1,2,Λ,m。 第二步，变量的无量纲化 由于系统中各因素列中的数据可能因量纲不同，不便于比较或在比较时难以得到正确的结论。因此在进行灰色关联度分析时，一般都要进行数据的无量纲化处理。

基于模糊灰色关联分析的故障样本集评估方法

第２９卷第ｌＯ期２００８年１０月仪器仪表学报 ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆ蜘ｉｅｎｔｉｆｉｃＩｎｓｔｒｕｍｅｎｔ Ｖ０１．２９Ｎｏ．１０ ０ｃＬ．２００８ 基于模糊灰色关联分析的故障样本集评估方法 李天梅，邱静，刘冠军，沈亲沐 （同防科技大学机电工程与自动化学院长沙４１００７３） 摘要：为了在测试性验证试验之前获得理想的故障样本集．提ｆ｛｛了一种基丁模糊厌色关联分析的故障样本评估方法。首先确定ｒ用于坪估故障样本的指标，该指标有效地将样本量、样本结构和故障注入等多个特性指标综合考虑。利用模糊层次分析法确定各个指标的权重，然后通过灰色关联分析建立厂故障样本集与故障模式集的距离模型，通过该距离模型来描述故障样本集对故障模式集的代表性，，应肘表明．该方法可以有效评ｆｌｔｉ故障样本集，并玎『指导故障样本的选取。 关键词：测试性验ｉＪＥ；故障样本集评估；厌色父联；距离模型；模糊层次分析法 中图分类号：ＴＰ３９‘ＦＨｌ２２文献标识码：Ａ国家标准学科分类代码：４６０．９９ Ｅｖａｌｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｆａｉｌｕｒｅｓａｍｐｌｅｓｅｔｂａｓｅｄｏｎｆｕｚｚｙｇｒｅｙｒｅｌａｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓ ＬｉＴｉａｎｍｅｉ，ＱｉｕＪｉｎｇ，ＬｉｕＧｕａｎｊｕｎ，ＳｈｅｎＱｉｎｍｕ （ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭｅｃｈａｔｒｏｎｉｃｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｕｔｏｍａｔｉｏｎ，ＮａｔｉｏｎａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＤｅｆｅｎｓｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｃｈａｎｇｓｈａ４１００７３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎｅｖａｌｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｆａｉｌｕｒｅｓａｍｐｌｅｓｅｔｂａｓｅｄｏｎｆｕｚｚｙｇｒｅｙｒｅｌａｔｉｏｎａｎａｌｙｓｉｓｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｉｎｏｒｄｅｒｔｏｏｂｔａｉｎｐｅｒｆｅｃｔｆａｉｌｕｒｅｓａｍｐｌｅｓｅｔｂｅｆｏｒｅｔｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ．Ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙｆｕｓｅｓｍｕｌｔｉｐｌｅｆａｃｔｏｒｓｓｕｃｈａｓｓａｍｐｌｅｑｕａｎｔｉｔｙ，ｓａｍｐｌｅｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｆａｕｌｔｉｎｊｅｃｔｉｏｎａｎｄｅｔｃ．，ａｎｄｇｉｖｅｓｔｈｅｅｖａｌｕａｔｉｏｎｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｉｎ—ｄｅｘ．Ｔｈｅｗｅｉｇｈｔｏｆｅａｃｈｆａｃｔｏｒｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｂａｓｅｄｏｎｆｕｚｚｙａｎａｌｙｔｉｃｈｉｅｒａｒｃｈｙｐｒｏｃｅｓｓ（ＦＡＨＰ）．Ｔｈｅｎ，ｔｈｅｄｉｓｔａｎｃｅｍｏｄｅｌｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｆａｉｌｕｒｅｓａｍｐｌｅｓｅｔａｎｄｔｈｅｆａｉｌｕｒｅｍｏｄｅｓｅｔｉｓｆｏｕｎｄｅｄ，ａｎｄｔｈｅｄｉｓｔａｎｃｅｍｏｄｅｌｃａｎｂｅｕｓｅｄｔｏｄｅ?ｐｉｔｔｔｈｅｄｉｓｔａｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｆａｉｌｕｒｅｓａｍｐｌｅｓｅｔａｎｄｔｈｅｆａｉｌｕｒｅｍｏｄｅｓｅｔ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａｎａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｅｘａｍｐｌｅｐｒｏｖｅｓｔｈａｔｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｃａｎｂｅｕｓｅｄｔｏｅｖａｌｕａｔｅｔｈｅｆａｉｌｕｒｅｓａｍｐｌｅｓｅｔｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙａｎｄｄｉｒｅｃｔｔｈｅｓｅｌｅｃｔｉｏｎｏｆｆａｉｌｕｒｅｓａｍｐｌｅｓｅｔ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｔｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎ；ｅｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆｆａｉｌｕｒｅｓａｍｐｌｅｓｅｔ；ｇｒｅｙｒｅｌａｔｉｏｎ；ｄｉｓｔａｎｃｅｍｏｄｅｌ；ＦＡＨＰ １引言 确定故障模式样本集足测试性验证试验中的～项重要内容¨引，为ｒ在试验前获得理想的故障样本集，需要研究故障样本集的评估方法。 测试对象的若干个特性之间存在着复杂和不确定性关系，单靠一个或几个特性指标对所选的故障样本进行评估不能获得满意的结果；并且由于特性评价指标有可能是不可比的，甚至是非量化的定性指标，各个指标对评估结果的影响程度不一样，这就增加了评估的难度¨Ｊ。 模糊灰色关联分析法通过对灰色凶素Ｊ’日Ｊ关联程度的分析，研究所选故障样本集的特性与测试对象故障模式 收稿日期：２００７－０８ＲｅｃｅｉｖｅｄＤａｔｅ：２００７－０８集特性问的相关性。从而确定故障样本集与故障模式集的关联程度，通过分析关联程度建口故障样本集和故障模式集的距离模型，用以指导故障模式样本集的选取。 ２灰色关联分析原理 灰色芙联分析认为，若干个统计数列所构成的曲线几何形状越接近，那么其变化趋势就越接近，即关联度越大ｐ１。 定义１对于参考序列ｘ＝［ｚ，，工：，…，ｘ。］。Ｙ＝［Ｙ。，ｙ２，…，Ｙ。］作为被比较的序列。关联系数的定义如下：靠：譬粤（１）５‘一△＾＋ｔｒａｍ 、１７

灰色关联分析法原理及解题步骤

灰色关联分析法原理及解题步骤 ---------------研究两个因素或两个系统的关联度（即两因素变化大小,方向与速度的相对性） 关联程度——曲线间几何形状的差别程度 灰色关联分析是通过灰色关联度来分析和确定系统因素间的影响程度或因素对系统主行为的贡献测度的一种方法。 灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密 1>曲线越接近,相应序列之间的关联度就越大,反之就越小 2>灰色关联度越大，两因素变化态势越一致 分析法优点 它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。 灰色系统关联分析的具体计算步骤如下 1》参考数列和比较数列的确定 参考数列——反映系统行为特征的数据序列 比较数列——影响系统行为的因素组成的数据序列 2》无量纲化处理参考数列和比较数列 （1）初值化——矩阵中的每个数均除以第一个数得到的新矩阵

（2）均值化——矩阵中的每个数均除以用矩阵所有元素的平均值得到的新矩阵 （3）区间相对值化 3》求参考数列与比较数列的灰色关联系数ξ（Xi） 参考数列X0 比较数列X1、X2、X3…………… 比较数列相对于参考数列在曲线各点的关联系数ξ（i） 称为关联系数，其中ρ称为分辨系数，ρ∈（0，1），常取0.5.实数第二级最小差，记为Δmin。两级最大差，记为Δmax。为各比较数列Xi曲线上的每一个点与参考数列X0曲线上的每一个点的绝对差值。记为Δoi(k)。所以关联系数ξ（Xi）也可简化如下列公式： 4》求关联度ri 关联系数——比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻（即曲线

灰色关联分析法原理及解题步骤教学提纲

灰色关联分析法原理及解题步骤

灰色关联分析法原理及解题步骤 ---------------研究两个因素或两个系统的关联度（即两因素变化大小,方向与速度的相对性） 关联程度——曲线间几何形状的差别程度 灰色关联分析是通过灰色关联度来分析和确定系统因素间的影响程度或因素对系统主行为的贡献测度的一种方法。 灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密 1>曲线越接近,相应序列之间的关联度就越大,反之就越小 2>灰色关联度越大，两因素变化态势越一致 分析法优点 它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。 灰色系统关联分析的具体计算步骤如下 1》参考数列和比较数列的确定 参考数列——反映系统行为特征的数据序列 比较数列——影响系统行为的因素组成的数据序列 2》无量纲化处理参考数列和比较数列 （1）初值化——矩阵中的每个数均除以第一个数得到的新矩阵

（2）均值化——矩阵中的每个数均除以用矩阵所有元素的平均值得到的新矩阵 （3）区间相对值化 3》求参考数列与比较数列的灰色关联系数ξ（Xi） 参考数列X0 比较数列X1、X2、X3…………… 比较数列相对于参考数列在曲线各点的关联系数ξ（i） 称为关联系数，其中ρ称为分辨系数，ρ∈（0，1），常取0.5.实数第二级最小差，记为Δmin。两级最大差，记为Δmax。为各比较数列Xi曲线上的每一个点与参考数列X0曲线上的每一个点的绝对差值。记为Δoi(k)。所以关联系数ξ（Xi）也可简化如下列公式： 4》求关联度ri 关联系数——比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻

基于改进灰色关联度的指标体系构建方法

基于改进灰色关联度的指标体系构建方法摘要：评价指标体系建立的是否合理决定着人们能否对评价对象有个正确的认识。本文提出一种基于改进灰色关联度的评价指标体系构建方法，该方法首先计算出各因素与系统的关联度，采用德尔菲法对专家打分进行处理，打分结果作为各因素重要性的得分；然后将因素的关联度与重要性得分相结合，排序后筛选出初始指标；最后通过对初选指标之间的相关性分析，求解出有效的指标体系。比较实验是在真实的数据集上进行的，实验结果证明改进的灰色关联度分析法明显优于主成分分析法。因此可以认为改进后的方法能够有效的实现指标筛选。 abstract： whether evaluation objects can be understood comprehensively or not depends on a reasonable evaluation index system. in this paper， a novel evaluation index system construction method based on improved grey correlative degree analysis has been proposed. firstly， the correlation between various factors and the system has been calculated， dealing with expert scores based on the delphi method and assigning the results to the importance score of each factor. secondly，the correlative degree has been combined with the importance score and the initial indicators have been screened after sorting. finally， an effective index system has been drawn out through analyzing the correlations of primary indexes.

灰色关联分析及其应用

题目灰色关联分析及其应用 学生姓名魏婧学号 1109014115 所在学院数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学数教1101班 指导教师马引弟 完成地点陕西理工学院 2015年06月08日

灰色关联分析及其应用 魏婧 （陕西理工学院数计学院数学与应用数学（师范类)专业数教1101班,陕西汉中 723000） 指导教师：马引弟 [摘要] 本文对灰色关联分析相关理论进行研究和总结,通过建立教师教育教学的评价指标体系,用灰色关联度模型进行决策,将定性与定量方法有机结合,使决策简单清晰,计算简单,便于实用. [关键词] 灰色关联分析;教育教学;评价;决策 1 引言 灰色系统理论是20世纪80年代,由中国华中理工大学邓聚龙教授首次在“含未知数系统的控制问题”的学术报告中提出“灰色系统”一词,它是以数学理论为基础的系统工程学科,为灰色系统理论鉴定基础[1].自灰色系统理论诞生以来,灰色关联分析理论作为其中最重要 的一部分就受到学术界的广泛关注.它不仅是灰色系统理论的重要组成部分,也是灰色系统、预测和决策的基石. 随着灰色系统在各个方面的推广、应用,对灰色关联分析的关注也越来越多,同时也存在一些不足.因此,为了更好的将灰色关联应用到实际生活中,对灰色关联分析理论探讨及实际应用进行研究是十分必要的. 党的十八大明确提出深化教育领域综合改革,努力办好人民满意的教育,要坚持教育优先发展,全面贯彻党的教育方针,对教师进行教育教学评价是十分有必要的.由于影响教师教育教学评价的因素很多,如何建立灰色关联模型进行合理的评价,是灰色关联分析应用实际教育教学评价体系的重点. 2 灰色关联分析概述 灰色关联分析理论的基本思想就是根据描述所研究系统指标序列曲线的几何形状与所选的标准系统指标序列曲线的相似程度来判断它们的关联程度是否紧密[1].曲线形状越接近,说明相对应的指标序列关联程度越大;曲线形状差异越大,说明相对应的指标序列的关联程度越小. 由此可以看出,对于如何定义关联度以及关联度的计算方法是灰色关联分析理论的重要组成部分[2].同时在进行关联分析时,必须先确定参考序列,然后比较其他序列的接近程度, 这样才能对其他序列进行比较,进而做出判断. 2.1灰色关联主要基本概念 X为表征系统特征行为的量,其在序号k上的观测数据为定义1[1]:设

灰色关联度分析解法及详细例题解答

1.地梭梭生长量与气候因子的关联分析 下表为1995年3年梭梭逐月生长量（X0）、月平均气温（X1）、月降水量（X2）、月日照（X3）时数和月平均相对湿度（X4）的原始数据，试排出影响梭梭生长的关联序，并找出主要的影响因子。 灰色系统理论提出了灰色关联度的概念，它是提系统中两个因素关联性大小的量度，关联度的大小直接反映系统中的各因素对目标值的影响程度。运用灰色关联分析法进行因素分析的一般步骤为： 第一步：确定分析数列。 确定反映系统行为特征的参考数列和影响系统行为的比较数列。反映系统行为特征的数据序列，称为参考数列。（Y）设参考数列（又称母序列）为Y = {Y （k）| k = 1，2，Λ，n}；影响系统行为的因素组成的数据序列，称比较数列。（X）比较数列（又称子序列）Xi = {Xi（k）| k = 1,2,Λ,n}，i = 1，2，Λ，m。 第二步，变量的无量纲化 由于系统中各因素列中的数据可能因量纲不同，不便于比较或在比较时难以得到正确的结论。因此为了保证结果的可靠性，在进行灰色关联度分析时，一般都要进行数据的无量纲化处理。 第三步，计算关联系数。X 0（k）与x i （k）的关联系数 记，则 ，称为分辨系数。ρ越小，分辨力越大，一般ρ的取值区间为(0,1),具体

取值可视情况而定。当时，分辨力最好，通常取ρ = 。 ξi（k）继比较数列xi的第k个元素与参考数列xo的第k个元素之间的关联系数。 第四步，计算关联度 因为关联系数是比较数列与参考数列在各个时刻（即曲线中的各点）的关联程度值，所以它的数不止一个，而信息过于分散不便于进行整体性比较。因此有必要将各个时刻（即曲线中的各点）的关联系数集中为一个值，即求其平均值，作为比较数列与参考数列间关联程度的数量表示，关联度ri公式如下： 第五步，关联度排序 关联度按大小排序，如果r1 < r2，则参考数列y与比较数列x2更相似。 在算出Xi（k）序列与Y（k）序列的关联系数后，计算各类关联系数的平均值，平均值ri就称为Y（k）与Xi（k）的关联度。 本题解答过程： 第一步：数据处理 X 0（k）= {，，，，13，，18，，，，8，1 } X 1（k）= {，，10，，，，，，22，18，， } X 2（k）= {17，，，，，，，，，，， } X 3（k）= {，，，137，，，，，，84，， } X 4（k）= {81，79，75，75，77，79，83，86，83，82，81，82}

数学建模灰色关联度分析英文版

4.1 Grey Relational Analysis First,select a reference sequence as shown below : (){}()()()()00000|1,2,1,x 2,x x x k k n x n === And the other group of sequence is, (){}()()()()|1,2,1,2,,1,2,i i i i i x x k k n x x x n i m ==== Then the correlation degree of i x to 0x is, ()1 1n i i k r k n ξ==∑ In which, ()()()()() ()()()() 0000min min max max max max s s s t s t i s s s t x t x t x t x t k x t x t x t x t ρξρ-+-= -+- Then, we use i r to describe the correlation degree between i x and 0x ,namely to describe the influence on 0x caused by the change of i x . In general,Practical problems often have different numbers of different dimension,but when we calculate the correlation degree, it requires the same numbers of same dimension.So we want to carry out a variety of data processing dimensionless.in addition ,For comparison easily, all the sequseces are required to have a common point.In order to solve these two problems, we transform the given sequences.The given sequence ()()()() 1,x 2,,x ,x x n = we name ()()()()()()231,,,,111x x x n x x x x ??= ? ??? as initialization sequence of Original sequence ()()()() 1,x 2,,x x x n = 4.2 Water resources carrying capacity evaluation indexes and classification indexes The establishment of evaluation index system of water resources carrying capacity is a key issue in the study of water resources carrying capacity. Regional water resources carrying capacity is influenced by many factors, Should be selected according to the requirements of the specific regional social development backlog of social - economic index system response - natural

灰色预测灰色关联分析报告

灰色关联分析法 根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，来衡量因素间关联程度。灰色关联分析法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。 根据评价目的确定评价指标体系， 为了评价×××我们选取下列评价指标： 收集评价数据（此步骤一般为题目中原数据，便省略） 将m 个指标的n 组数据序列排成m*n 阶矩阵： '' ' 12''' '''1212''' 1 2(1)(1)(1)(2)(2)(2)(,,,)()() ()n n n n x x x x x x X X X x m x m x m ?? ? ? = ? ? ??? 对指标数据进行无量纲化 为了消除量纲的影响，增强不同量纲的因素之间的可比性，在进行关联度计 算之前，我们首先对各要素的原始数据作...变换。无量纲化后的数据序列形成如下矩阵： 01010101(1)(2) (1)(2)(2)(2)(,,,)()()()n n n n x x x x x x X X X x n x n x n ?? ? ?= ? ??? 确定参考数据列 为了比较...【评价目的】，我们选取...作为参考数据列，记作 ''''0000((1),(2),,())T X x x x n = 计算0()()i x k x k -，得到绝对差值矩阵 求两级最小差和两级最大差 01 1min min ()()min(*,*,*,*,*,*)*n m i i k x k x k ==-== 01 1 max max ()()max(*,*,*,*,*,*)*n m i i k x k x k ==-== 求关联系数 由关联系数计算公式0000min min ()()max max ()() ()()()max max ()() i i i k i k i i i i k x k x k x k x k k x k x k x k x k ρζρ-+?-= -+?-，取 0.5ρ＝，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数，得关联系数如 下：

灰色理论灰色预测模型和灰色关联度分析matlab通用代码

%该程序用于灰色关联分析，其中原始数据的第一行为参考序列，1至15行为正相关序列，16至17为负相关序列 clc,clear load x.txt %把原始数据存放在纯文本文件x.txt 中 %如果全为正相关序列，则将两个循环替换为下列代码 %for i=1:size(x,1) %x(i,=x(i,/x(i,1); %end for i=1:15 x(i,=x(i,:)/x(i,1); %标准化数据 end for i=16:17 x(i,:)=x(i,1)./x(i,:); %标准化数据 end data=x; n=size(data,1); ck=data(1,:);%分离参考序列 bj=data(2:n,:);m1=size(bj,1); for j=1:m1 t(j,:)=bj(j,:)-ck; end jc1=min(min(abs(t')));jc2=max(max(abs(t'))); rho=0.5;%灰色关联度为0.5 ksi=(jc1+rho*jc2)./(abs(t)+rho*jc2); r=sum(ksi')/size(ksi,2); r %灰色关联度向量 [rs,rind]=sort(r,'descend') %对关联度进行降序排序 %该函数用于灰色预测模型，其中x0为列向量，alpha一般取0.5，将第一个数据视为序号为0,k从0开始的序号矩阵 function y=huiseyuce(x0,alpha,k) n=length(x0); x1=cumsum(x0); for i=2:n z1(i)=alpha*x1(i)+(1-alpha)*x1(i-1); end z1=z1'; B=[-z1(2:n),ones(n-1,1)]; Y=x0(2:n); ab=B\Y; y1=(x0(1)-ab(2)/ab(1))*exp(-ab(1)*k)+ab(2)/ab(1);%产生预测累加生成序列 y=[x0(1) diff(y1)]%产生灰色预测数据 1 / 1

灰色关联分析实现及与其他方法相比的特点

一、灰色关联度的简介和应用 灰色关联的用处 灰色关联度，指的是两个系统或两个因素之间关联性大小的量度。目的，是在于寻求系统中各因素之间的主要关系，找出影响目标值的重要因素，从而掌握事物的主要特征，促进和引导系统迅速有效地发展。——这是比较“官方”的解释。我再来一个“野路子”的解释：用两种试验方法，得出两组数据A和B；用理论方法，得到理论解答C。那么，现在来比较试验方法A好还是B好？自然是看其结果，哪一个与C最吻合，哪个就最好呗，灰关联就是用来解决“谁和谁的关联程度更高”这样的问题的。 灰色关联的重要步骤 步骤不多，核心的，首先是数据的归一化处理，这是因为有时一个试验结果矩阵中的每个元素会有不同的量纲；接下来是计算灰色关联矩阵，计算关联度，这也就是得到了最终结果。下面来看看那个复杂的公式：(Pi为关联度矩阵中的元素) 计算方法 关于关联矩阵中各个元素的计算，我起初被严重误导，认为用Excel是无法完成的，结果还绕了一段弯路，很是丢人~当然，有高手通过MATLAB计算的经验，而且还给出了实例，有兴趣的可以参考“仿真百科”里的内容。但我最终还是根据1992年出版的一本老书《灰色理论与方法——提要·题解·程序·应用》中的一个简单实例，用最简单的方法搞定了计算问题。鉴于我不知道如何把Excel公式按照步骤，类似APDL那样摆出来，那就把那个例子与大家分享，说说计算原理步骤吧。 首先看下面四数列 A=[2,3,4,3.7] B=[60,73,84,58] C=[1204,801,1228,1270] D=[303,298,247,251] 以A为目标，检验B、C、D与A的关联度。 步骤1.归一化，将数列中的每个元素，除以相同的一个数值，比如A的归一化过程为[2/2, 3/2 ,4/2, 3.7/2]或者更常用的均值化处理，都可以搞定。只需要这几个数列用同一种方法归一即可了。 步骤2.求差序列.经过归一化的A、B、C、D，用A分别减去B/C/D；即 E=A-B; F=A-C; G=A-D 步骤3.求两级最大和最小差值。这是一个容易让人糊涂的地方，但实际操作很简单： 设E中最大值为Emax，最小值为Emin，其余类推；这样一共就有六个数，分别是Emax；Emin；Fmax；Fmin；Gmax和Gmin。从这六个数中，再选出一个最大值和一个最小值，假设为M和N——而这就是上述公式当中双重最值的部分啦。 步骤4.带入公式，得到三组关联系数(单行)矩阵。 步骤5.计算关联度，实际上就是步骤4中，每组矩阵各个元素求和除以元素个数(求均值)。

灰色关联度计算步骤

灰色关联度分析解法及详细例题解 答 一、灰色关联模型 1. 求各序列的初值象。 令i X ' =( )1i i x X =))(,),2(),1((n x x x i i i ''' ，（m i ,,2,1,0 =）。 2.求差序列。记=?)(k i )()(0 k x k x i '-'， ())(,),2(),1(n i i i i ???=? ，（m i ,,2,1, =）。 3.求两极最大差和最小差。记 )(max max k M i k i ?=， ) (min min k m i k i ?= 4.求关联系数M k M m k i i ξξγ+?+= )()(0， ()1,0∈ξ，n k ,,2,1 =；m i ,,2,1, =

5.计算灰色关联度 ∑==n k i i k n 1 00) (1 γγ；m i ,,2,1, =

1. 求0X 与i X ，（m i ,,2,1 =）的始点零化 象0i X ，（m i ,,2,1,0 =）。具体公式为 0i X =（)1()(,),1()2(),1()1(i i i i i i x n x x x x x --- ） ≡))(,),2(),1((000n x x x i i i ， （m i ,,2,1,0 =）。 2.求 0s ， i s 和 0s s i -。具体公式为： ) (21)(001 2 00n x k x s n k +=∑-=， ) (21)(0 1 2 n x k x s i n k i i +=∑-=， )) ()((21))()((0 001 2 00 0n x n x k x k x s s i n k i i -+-=-∑-= 3.求各灰色绝对关联度i 0ε，（m i ,,2,1 =）。具体公式为： 00011s s s s s s i i i i -+++++= ε

基于层次分析法的灰色关联度综合评价模型

第1章基于层次分析法的灰色关联度综合评价模型 灵活型公共交通系统是一个复杂的综合性系统，单一的常规评价方法不能够准确对系统进行全面评价【39】，这就要求在进行灵活型公共交通系统评价时，结合系统固有特点，根据各种评价方法的优缺点，构建适合该系统的综合评价模型。本章以灵活型公共交通系统评价指标体系为基础，参考常规型公共交通系统评价方法，建立了基于层次分析法的灰色关联度综合评价模型。 1.1评价方法适应性分析 灰色关联度分析法基于灰色系统理论，是一种多指标、多因素分析方法，通过对系统的动态发展情况进行定量化分析，考察系统各个要素之间的差异性和关联性，当比较序列与参考序列曲线相似时，认为两者有较高关联度，反之则认为它们之间关联度较低，从而给出各因素之间关系的强弱和排序【50】。与传统的其它多因素分析法相比【80】【81】【82】，灰色关联度分析法对数据量要求较低，样本量要求较少，计算量较小，可以利用各指标相对最优值作为参考序列，为最终综合评价等级的确定提供依据，而不必对大量实践数据有过高要求，能够较好解决灵活型公共交通系统作为新型辅助式公系统没有足够的经验数据支撑其模型参数的问题。此外，灵活型公共交通系统评价体系是基于乘客、公交企业、政府三方主体的综合评价体系，涉及因素较多，指标较为复杂，部分指标之间存在关联性和重复性，信息相对不完全，而灰色系统的差异信息原理以及解的非唯一性原理，可以很好的解决这一问题【79】。综上所述，认为灰色关联度分析法比较适合于灵活型公共交通系统的综合评价。然而灰色关联度分析法将所有指标对于总目标的影响因素大小视作等同，没有考虑指标权重的影响，评价值可信度较低，应当通过科学的方法，确定指标权重，将其与关联度系数相结合，增加评价结果的科学性和有效性【83】。 常见的权重确定方法包括，专家打分法、等权重法、统计试验法、熵值法等。等权重法不能很好的体现不同指标影响程度的差异性，并且在综合评价值相差不大时不利于方案的选择【84】；专家打分法、统计试验法评价的主观性较高，并且不适用于指标较多的情况【85】；行和正规化法、列和求逆法等指对判断矩阵的一部分数据进行利用，结果可信度不高【86】；最小偏差法、对数回归法等，利用同一指标不同方案值，认为变化程度较大的指标传递更多信息，应具有较高权重，然而对于灵活型公共交通系统单方案综合水平等级评价的情况，并不适用。本文应用层次分析法确定系统各指标权重，层次分析法【51】【52】（Analytic Hierarchy Process—AHP）是一种典型的系统工程分析方法，它将人们复杂的系统思维过程数学化、层次、条理化，把复杂问题的各种因素整合为相互联系的有序层次【53】，有助于保持决策者思维的一致性，适用于各种类型的复杂综合评价系统，能够有效的将定性分析和定量分析进行综合集成，具有的可置换性、互容性、对称性等较优性质，是目前确定指标权重的一种常用方法。 鉴于此，本文引入了基于层次分析法的灰色关联度综合评价模型【54】【55】【56】，在建立基于三方主体的综合评价体系同时量化评价指标的基础上，进一步对各指标进行无量纲化处理，通过层次分析法确定各指标权重，进而建立灰色关联度评价矩阵，与各指标权重相结合，确定灵活型公共交通系统综合评价结果。考虑到灵活型公共交通系统综合评价体系评价指标较多，本文采用了基于灰色关联度的二级指标评价矩阵，由低层向高层逐步进行评价，避免