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浙教版初中数学关于动点问题的总结

“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静

关键:动中求静.

数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系, 一、应用勾股定理建立函数解析式

例1(2000年·)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.

(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.

(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值围).

(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.

解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、

GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2

32?OP=2.

(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴

2362

21x OH MH -==

. 在Rt △MPH 中,

∴y =GP=

32MP=23363

1x + (0

,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意.

②GP=GH 时,

23363

2=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.

③PH=GH 时,2=x .

综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.

二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设

222223362

419x x x MH PH MP +=-

+=+=H

M N

G P

图1

BD=,x CE=y .

(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.

解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,

∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.

∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°

, ∴∠CAE=∠ADB,

∴△ADB ∽△EAC, ∴AC

BD CE AB =,

∴

11x y =, ∴x

y 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=2

90α

-?,且函数关系式成立,

∴2

90α

-?=αβ-, 整理得=-

αβ?90. 当=-

αβ?90时,函数解析式x

y 1

成立. 例3(2005年·)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.

(1)求证: △ADE ∽△AEP.

(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定

义域.

(3)当BF=1时,求线段AP 的长.

解:(1)连结OD. 根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.

又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.

(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC,

∴

53x OD =,5

AD =, ∴OD=

x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 5

. A

D C

B 图2

3(2)

3(1)

∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x y

x 5

85458=

. ∴x y 516= (8250≤

①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.

∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-

x 58=4,得8

=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-

x 58=2,得8

15=x . 可求得6=y ,即AP=6.

综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例4（2004年·）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为

y .

(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.

(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.

解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H. ∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=2

BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ?=

, ∴4+-=x y (40<

在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴2

)2(2)1(x x -+=+. 解得6

7=x . 此时,△AOC 的面积y =6

674=-. ②当⊙O 与⊙A 切时,

在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴2

)2(2)1(-+=-x x . 解得2

x . 此时,△AOC 的面积y =2

1274=-

. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为6

17或21. A

图8

B C

A ′

动态几何特点----问题背景是特殊图形，（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值一、以动态几何为主线的题（一）点动问题．

1．如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ．（1）当6=AE 时，求AF 的长；

（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，

求BE 的长；（3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． [题型背景和区分度测量点]

解：（1）证明CDF ?∽EBD ?∴BE

BD CF =

，代入数据得8=CF ，∴AF=2

（2）设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用（1）的方法x

CF 32=

，相切时分外切和切两种情况考虑：外切，

x 32

1010+

-=，24=x ；切，x

x 32

1010-

-=，17210±=x ．100<

20=

BE ．（二）线动问题

在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长； (2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝

AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值围；

②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 4

长为半径的圆与

直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．

(1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中心∴A ’B ＝AA ’＝2

∵AB ＝A ’B ，AB ＝3∴AC ＝6 33=BC

(2)①92

+=x AC ，9412+=x AO ，)9(12

+=x AF ，x x AE 492+=

∴AF 2

?=?AE S AEF

x x 96)9(22+=

，x x x S 96)9(322+-= x

x x S 9681

27024-+-= (333<

②若圆A 与直线l 相切，则941432+=-

x x ，01=x (舍去)，582=x ∵35

82<=x ∴不存在这样的x ，使圆A 与直线l 相切．（三）面动问题

如图，在ABC ?中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .

（1）试求ABC ?的面积；

（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；（3）设x AD =，ABC ?与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；

（4）当BDG ?是等腰三角形时，请直接写出AD 的长．解：（1）12=?ABC S .

（2）令此时正方形的边长为a ，则

446a a -=

，解得5

=a . （3）当20≤x 时， 22

253656x x y =??

??=，

当52 x 时， ()2

2452455456x x x x y -=-?=

. （4）7

,1125,73125=

AD . 已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30o，BC =6，点D 在边

BC 上，点E 在线段DC 上，DE =3，△DEF 是等边三角形，

边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ．（1）求证：△BDM ∽△CEN ；

（2）设BD =x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，求

y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．

（3）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的

F E

圆与直线EF 相切, 如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由．

例1：已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在⊙O 上变化（不与A 、B ）重合，求∠ACB 的大小 .

分析：点C 的变化是否影响∠ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点C 改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB 上，也可能在劣弧AB 上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C 在优弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO 、BO ，则由于AB=OA=OB ，即三角形ABC 为等边

三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=21

∠

AOB=300，

当点C 在劣弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是优弧AB ，它的大小为优弧AB 的一半，由∠AOB=600得，优弧AB 的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500，

因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.

点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.

1 以双动点为载体，探求函数图象问题

例1 (2007年市)在直角梯形ABCD 中，∠C=90°，高CD=6cm(如图1). 动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿BA ，AD ，DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，两点运动时的速度都是1cm/s. 而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C. 设P ，Q 同时从点B 出发，经过的时间为t(s)时，△BPQ 的面积为y(cm)2(如图2). 分别以t ，y 为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P 在AD 边上从A 到D 运动时，y 与t 的函数图象是图3中的线段MN.

(1)分别求出梯形中BA ，AD 的长度； (2)写出图3中M ，N 两点的坐标；

(3)分别写出点P 在BA 边上和DC 边上运动时，y 与t 的函数关系式(注明自变量的取值围)，并在图3中补全整个运动中y 关于x 的函数关系的大致图象. 2 以双动点为载体，探求结论开放性问题

例2 (2007年市)如图5，Rt △ABC 中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的顶点A 的坐标为(10，0)，顶点B 的坐标为(5，53)，AB=10，点P 从点A 出发，沿A→B→C 的方向匀速运动，同时点Q 从点D(0，2)出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒. (1)求∠BAO 的度数.

(2)当点P 在AB 上运动时，△OPQ 的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图象为抛物线的一部分，(如图6)，求点P 的运动速度.

(3)求(2)中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标.

(4)如果点P ，Q 保持(2)中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，∠OPQ 的大小随着时间t 的增大而减小，当点P

初中数学重要公式总结

乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．一、公式：设有n个数x1，x2，…，x n，那么： ①平均数为： 12 ...... n x x x x n； ②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值； ③方差：数据1x、2x……, n x的方差为2s，则 2 s= 222 12 1 ..... n x x x x x x n 标准差：方差的算术平方根. 数据1x、2x……, n x的标准差s，则 s= 222 ..... x x x x x x 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA ＝，∠A的正切：tanA＝．并且sin2A＋cos2A＝1． 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小余角公式：sin(90o－A)＝cosA，cos(90o－A)＝sinA．特殊角的三角函数值：sin30o＝cos60o＝，sin45o＝cos45o＝，

sin60o＝cos30o＝， tan30o＝，tan45o＝1，tan60o＝． ④斜坡的坡度：i ＝铅垂高度水平宽度＝．设坡角为α，则i ＝tan α＝二次函数的有关知识： 1.定义：一般地，如果 c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0