概率论与数理统计知识总结之第一章
第一章概率论的基本概念
确定性现象：在一定条件下必然发生的现象
随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象
随机试验：
具有下述三个特点的试验：
1.可以在相同的条件下重复地进行
2.每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果
3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现
样本空间：
将随机试验E的所有可能出现的结果组成的集合称为E的样本空间，记为S
样本点：
样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点
样本空间的元素是由试验的目的所确定的。
随机事件：
一般，我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件
在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。基本事件：
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
必然事件：
样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，
称为必然事件。 不可能事件：
空集Φ不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。
事件间的关系与运算：
设试验E 的样本空间为S ，而A,B,k A （k=1,2,…)是S 的子集。
1.若B A ?，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必然导致事件B 发生。
若B A ?且A B ?,即A=B ，则称事件A 与事件B 相等。
2.事件{x B A =?｜A x ∈或}B x ∈称为事件A 与事件B 的和事件。当且仅当A,B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生。
类似地，称n
k U 1
=k A 为事件,,21A A …n A ,的和事件；称k k A U ∞
=1
为可列个事件,,21A A …
的和事件。
3.事件B A ?=x {｜A x ∈且}B x ∈称为事件A 与事件B 的积事件。当且仅当A,B 同时发生时，事件B A ?发生。B A ?记作AB 。
类似地，称I n
k k A 1
=为n 个事件,,21A A …n A ,的积事件；称I ∞
=1
k k A 为可列个事件
,,21A A …的积事件。
4.事件x B A {=-｜A x ∈且}B x ?称为事件A 与事件B 的差事件。当且仅当A 发生、B 不发生时事件B A -发生。
5.若φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的。这指的是事件A 与事件B 不能同时发生。基本事件是两两互不相容的。
6.若S B A =?且φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件。又称事件A 与事件B 互为对立事件。这指的是对每次试验而言，事件A,B 中必有一个发生。A 的对立事件A .A .A S -=
设C B A ,,为事件，则有 交换律：
.;A B B A A B B A ?=??=?
结合律：
.)()(;)()(C B A C B A C B A C B A ??=????=??
分配律：
).
()()();
()()(C A B A C B A C A B A C B A ???=?????=??
德·摩根律：
.;B A B A B A B A ?=??=?
频率与概率 频率：
在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n ，称为事件A 发生的频数，比值A n /n 称为事件A 发生的频率，并记成()A f n 频率的基本性质： 1.0≦()A f n ≦1 2.()S f n =1
3.若,,21A A …k A ,是两两互不相容的事件，则 n f (??21A A …k A ?）=n f （1A )+…+n f （k A ） 概率：
设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A 的概率，如果集合函数P(·)满足下列条件： 1.非负性
2.规范性：对于必然事件S ，有P(S)=1
3.可列可加性：P(??21A A …）=P （1A ）+P(2A )+… 概率的性质： 1.P(Φ)=0
2.(有限可加性）若1A ，2A ，…n A ,是两两互不相容的事件，则有 P （??21A A …n A ?）=P(1A )+P(2A )+…+P(n A )
3.设A,B 是两个事件，若B A ?，则有 P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A)
4.对于任一事件A ，P(A)≤1
5.对于任一事件A ，有)(A P =1-P(A)
6.对于任意两事件A,B 有P(B A ?)=P(A)+P(B)-P(AB)
一般地，对于任意n 个事件,,21A A …n A ,，可以用归纳法得出 P(??21A A …n A ?）=)
(1
∑=n
i i
A P -
)
(1j
n
j i i
A A P ∑≤<≤+
k
j
n
k j i i
A
A A ∑≤<<≤1+…
+)^()1(211n n A A A P --
等可能概型（古典概型）
定义：
具有以下两个特点的试验称为等可能概型： 1.试验的样本空间只包含有限个元素 2.试验中每个基本事件发生的可能性相同 事件概率计算公式：
若事件A 包含k 个基本事件，即A {}{}
{}
j i i i e e e ???=^21
P(A)=)(1∑=k
j i j e P =n k =（A 包含的基本事件数）/（S 中基本事件的总数）
实际推断原理：
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的” 条件概率
事件A 已发生的条件下事件B 发生的概率
设A,B 是两个事件，且P(A)>0，称P(B ｜A)=P(AB)/P(A)为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.
条件概率P(·｜A)的性质： 1.非负性:P(B ｜A)≥0
2.规范性：对于必然事件S ，有P(S ｜A)=1
3.可列可加性：设,,21B B …是两两互不相容的事件，则有 i i B P ∞
=1
(U ｜∑∞
==1
()i i B P A ｜)A
对于任意事件B,C,有
P(B ∪C ｜A)=P(B ｜A)+P(C ｜A)-P(BC ｜A)
乘法定理：
设P(A)>0，则有P(AB)=P(B ｜A)P(A)
一般，设,,21A A …n A ,为n 个事件，n ≥2,且)^(121-n A A A P >0,则有
n n A P A A A P ()^(21=｜1121()^--n n A P A A A ｜2221()^^A P A A A n -｜)()11A P A
划分：
设S 为试验E 的样本空间，n B B B ^,,21为E 的一组事件，若 1.n j i j i B B j i ,^,2,1,,,=≠=φ 2.S B B B n =??^21,
则称n B B B ^,,21为样本空间S 的一个划分
全概率公式：
设试验E 的样本空间为S ，A 为E 的事件，n B B B ^,,21为S 的一个划分，且
),^,2,1(0)(n i B P i =>，则
A P A P ()(=｜A P
B P B ()()11+｜A P B P B (^)()22++｜)()n n B P B
贝叶斯公式：
设试验E 的样本空间为S ，A 为E 的事件，n B B B ^,,21为S 的一个划分，且P(A)>0，),^,2,1(0)(n i B P i =>,则
i B P (｜=)A A P (｜)()i i B P B /∑=n
j A P 1(｜)()j j B P B
先验概率：
根据以往数据分析得到的概率
后验概率：
在得到信息之后再重新加以修正的概率 独立性：
设A,B 是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B 相互独立，简称A,B 独立 定理一：
设A,B 是两事件，且P(A)>0，若A,B 相互独立，则P(B ｜A)=P(B),反之亦然。 定理二：
若事件A 与B 相互独立，则下列各对事件也相互独立：A 与B ,A 与B,A 与B
设A,B,C 是三个事件，如果满足等式：
)
()()()()
()()()
()()()()()(C P B P A P ABC P C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ====
则称事件A,B,C 相互独立。
一般，设,,21A A …n A ,是n(n ≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，……，任意n 个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件,,21A A …n A ,相互独立。 推论：
1.若事件,,21A A …n A ,(n ≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k ≤n)个事件也是相互独立；
2.若n 个事件,,21A A …n A ,(n ≥2)相互独立，则将,,21A A …n A ,中任意多个事件换
成它们的对立事件，所得的n各事件仍相互独立