第二十六章 二次函数
[本章知识要点]
1. 探索具体问题中的数量关系和变化规律.
2. 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念. 3. 会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质. 4. 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴. 5. 会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.
6. 会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决
简单的实际问题.
26.1 二次函数
[本课知识要点]
通过具体问题引入二次函数的概念,在解决问题的过程中体会二次函数的意义. [MM 及创新思维]
(1)正方形边长为a (cm ),它的面积s (cm 2)是多少?
(2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长与宽都增加x 厘米,则面积增加y 平方厘米,试写出y 与x 的关系式.
请观察上面列出的两个式子,它们是不是函数?为什么?如果是函数,请你结合学习一次函数概念的经验,给它下个定义. [实践与探索]
例1. m 取哪些值时,函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数? 分析 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数,须满足的条件是:
02≠-m m .
解 若函数)1()(2
2+++-=m mx x m m y 是二次函数,则 02
≠-m m . 解得 0≠m ,且1≠m .
因此,当0≠m ,且1≠m 时,函数)1()(2
2+++-=m mx x m m y 是二次函数. 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2
的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数.
探索 若函数)1()(2
2+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数,则m 取哪些
值?
例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.
(1)写出正方体的表面积S (cm 2)与正方体棱长a (cm )之间的函数关系; (2)写出圆的面积y (cm 2)与它的周长x (cm )之间的函数关系;
(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y (元)与所存年数x 之间的函数关系;
(4)菱形的两条对角线的和为26cm ,求菱形的面积S (cm 2)与一对角线长x (cm )之间的函数关系. 解 (1)由题意,得 )0(62>=a a S ,其中S 是a 的二次函数;
(2)由题意,得 )0(42
>=x x y π,其中y 是x 的二次函数; (3)由题意,得 10000%98.110000?+=x y (
x ≥0且是正整数), 其中y 是x 的一次函数; (4)由题意,得 )260(132
1
)26(212<<+-=-=
x x x x x S ,其中S 是x 的二次函数. 例3.正方形铁片边长为15cm ,在四个角上各剪去一个边长为x (cm )的小正方形,用余
下的部分做成一个无盖的盒子.
(1)求盒子的表面积S (cm 2)与小正方形边长x (cm )之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为3cm 时,求盒子的表面积. 解 (1))2
150(42254152
2
2
<
<-=-=x x x S ; (2)当x=3cm 时,189342252
=?-=S (cm 2). [当堂课内练习]
1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)02
=-x y (2)2
)1()2)(2(---+=x x x y
(3)x
x y 1
2
+
= (4)322-+=x x y 2.当k 为何值时,函数1)1(2
+-=+k
k
x k y 为二次函数?
3.已知正方形的面积为)(2
cm y ,周长为x (cm ). (1)请写出y 与x 的函数关系式; (2)判断y 是否为x 的二次函数. [本课课外作业]
A 组
1. 已知函数7
2)3(--=m x
m y 是二次函数,求m 的值.
2. 已知二次函数2ax y =,当x=3时,y= -5,当x= -5时,求y 的值.
3. 已知一个圆柱的高为27,底面半径为x ,求圆柱的体积y 与x 的函数关系式.若圆柱
的底面半径x 为3,求此时的y .
4. 用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形,求扇形的面积y 与它的半径x 之
间的函数关系式.这个函数是二次函数吗?请写出半径r 的取值范围.
B 组
5.对于任意实数m ,下列函数一定是二次函数的是 ( ) A .22)1(x m y -= B .22)1(x m y += C .22)1(x m y += D .22)1(x m y -= 6.下列函数关系中,可以看作二次函数c bx ax y ++=2(0≠a )模型的是 ( ) A . 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B . 我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系
C . 竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计
空气阻力)
D . 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]
26.2 二次函数的图象与性质(1)
[本课知识要点]
会用描点法画出二次函数2
ax y =的图象,概括出图象的特点及函数的性质. [MM 及创新思维]
我们已经知道,一次函数12+=x y ,反比例函数x
y 3
=的图象分别是 、 ,那么二次函数2x y =的图象是什么呢?
(1)描点法画函数2
x y =的图象前,想一想,列表时如何合理选值?以什么数为中心?当x 取互为相反数的值时,y 的值如何?
(2)观察函数2
x y =的图象,你能得出什么结论?
[实践与探索]
例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点?有何不同点?
(1)22x y = (2)22x y -=
分别描点、连线,画出这两个函数的图象,这两个函数的图象都是抛物线,如图26.2.1.
共同点:都以y 轴为对称轴,顶点都在坐标原点.
不同点:22x y =的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对
称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升.
22x y -=的图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,在对
称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降.
回顾与反思 在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线,因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接. 例2.已知4
2
)2(-++=k k
x k y 是二次函数,且当0>x 时,y 随x 的增大而增大.
(1)求k 的值;
(2)求顶点坐标和对称轴.
解 (1)由题意,得???>+=-+0
22
42k k k , 解得k=2.
(2)二次函数为2
4x y =,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y 轴.
例3.已知正方形周长为Ccm ,面积为S cm 2. (1)求S 和C 之间的函数关系式,并画出图象; (2)根据图象,求出S=1 cm 2时,正方形的周长; (3)根据图象,求出C 取何值时,S ≥4 cm 2. 分析 此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C 的取值应在取值范围内.
解 (1)由题意,得)0(16
12
>=C C S .
描点、连线,图象如图26.2.2.
(2)根据图象得S=1 cm 2时,正方形的周长是4cm . (3)根据图象得,当C ≥8cm 时,S ≥4 cm 2. 回顾与反思
(1)此图象原点处为空心点.
(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ,不要习惯地写成x 、y . (3)在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分. [当堂课内练习]
1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)23x y = (2)23x y -= (3)23
1x y = 2.(1)函数2
32x y =
的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ; (2)函数2
4
1x y -=的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .
3.已知等边三角形的边长为2x ,请将此三角形的面积S 表示成x 的函数,并画出图象的草图.
[本课课外作业]
A 组
1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.
(1)2
4x y -= (2)24
1x y =
2.填空:
(1)抛物线2
5x y -=,当x= 时,y 有最 值,是 . (2)当m= 时,抛物线m
m x m y --=2
)1(开口向下.
(3)已知函数1
222
)(--+=k k x k k y 是二次函数,它的图象开口 ,当x 时,y
随x 的增大而增大. 3.已知抛物线10
2
-+=k k
kx y 中,当0>x 时,y 随x 的增大而增大.
(1)求k 的值; (2)作出函数的图象(草图).
4.已知抛物线2ax y =经过点(1,3),求当y=9时,x 的值.
B 组
5.底面是边长为x 的正方形,高为0.5cm 的长方体的体积为ycm 3.(1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)画出函数的图象;(3)根据图象,求出y=8 cm 3时底面边长x 的值;(4)根据图象,求出x 取何值时,y ≥4.5 cm 3.
6.二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P (1,b ).
(1)求a 、b 的值;
(2)写出二次函数的关系式,并指出x 取何值时,该函数的y 随x 的增大而减小. 7. 一个函数的图象是以原点为顶点,y 轴为对称轴的抛物线,且过M (-2,2). (1)求出这个函数的关系式并画出函数图象;
(2)写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标,并求出⊿MON 的面积. [本课学习体会]
26.2 二次函数的图象与性质(2)
[本课知识要点]
会画出k ax y +=2这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. [MM 及创新思维]
同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗? ,你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗? ,那么2
x y =与22
-=x y 的图象之间又有何关系? . [实践与探索]
例1.在同一直角坐标系中,画出函数2
2x y =与222
+=x y 的图象.
描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.3所示.
回顾与反思 当自变量x 取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?
探索 观察这两个函数,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的?又有哪些不同?你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗?
例2.在同一直角坐标系中,画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象,并说明,通过怎样的平移,可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y .
描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.4所示.
可以看出,抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的. 回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的.
探索 如果要得到抛物线42+-=x y ,应将抛物线12--=x y 作怎样的平移? 例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与2
2
1x y =
相同,顶点纵坐标是-2,且抛物线经过点(1,1),求这条抛物线的函数关系式.
解 由题意可得,所求函数开口向上,对称轴是y 轴,顶点坐标为(0,-2), 因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y , 又抛物线经过点(1,1),
所以,2112
-?=a , 解得3=a .
故所求函数关系式为232-=x y .
回顾与反思 k ax y +=2(a 、k 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标
[当堂课内练习]
1. 在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:
221x y =
, 2212+=x y , 22
1
2-=x y . 观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.你能说
出抛物线k x y +=
2
21的开口方向及对称轴、顶点的位置吗? 2.抛物线94
12
-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它可
以看作是由抛物线2
4
1x y =向 平移 个单位得到的.
3.函数332
+-=x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小.当x 时,函数取得最 值,最 值y= . [本课课外作业]
A 组
1.已知函数231x y =
, 3312+=x y , 23
1
2-=x y . (1)分别画出它们的图象;
(2)说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标;
(3)试说出函数53
12
+=
x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标. 2. 不画图象,说出函数34
12
+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标,并说明它是由函
数2
4
1x y -=通过怎样的平移得到的.
3.若二次函数22+=ax y 的图象经过点(-2,10),求a 的值.这个函数有最大还是最小值?是多少?
B 组
4.在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )
5.已知二次函数7)1(82
-+--=k x k x y ,当k 为何值时,此二次函数以y 轴为对称轴?写出其函数关系式. [本课学习体会]
26.2 二次函数的图象与性质(3)
[本课知识要点]
会画出2
)(h x a y -=这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. [MM 及创新思维]
我们已经了解到,函数k ax y +=2
的图象,可以由函数2
ax y =的图象上下平移所
得,那么函数2)2(21-=
x y 的图象,是否也可以由函数22
1
x y =平移而得呢?画图试一试,你能从中发现什么规律吗?
[实践与探索]
例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.
221x y =
,2)2(21+=x y ,2)2(2
1
-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26.2.5所示.
它们的开口方向都向上;对称轴分别是y 轴、直线x= -2和直线x=2;顶点坐标分别是 (0,0),(-2,0),(2,0). 回顾与反思 对于抛物线2)2(2
1
+=
x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小;当x 时,函数值y 随x 的增大而增大;当x 时,函数取得最 值,最 值y= .
探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(2
1-=x y 分别是由抛物线221
x y =向左、向右平移两个单位得到的.如果要得到抛物线2
)4(21-=x y ,应将抛物线22
1x y =作怎样的
平移?
例2.不画出图象,你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?
解 抛物线23x y -=的顶点坐标为(0,0);抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为(-2,0).
因此,抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同,开口方向都向下,对称轴分别是y
轴和直线2-=x .抛物线2)2(3+-=x y 是由2
3x y -=向左平移2个单位而得的.
回顾与反思 2
)(h x a y -=(a 、h 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐
[当堂课内练习]
1.画图填空:抛物线2
)1(-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,它可以看作是由抛物线2
x y =向 平移 个单位得到的.
2.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.
22x y -=,2)3(2--=x y ,2)3(2+-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点
坐标.
[本课课外作业]
A 组
1.已知函数221x y -
=,2)1(21+-=x y , 2)1(2
1
--=x y . (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象;
(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标; (3)分别讨论各个函数的性质.
2.根据上题的结果,试说明:分别通过怎样的平移,可以由抛物线2
2
1x y -=得到抛物线2)1(21+-
=x y 和2)1(2
1
--=x y ? 3.函数2)1(3+-=x y ,当x 时,函数值y 随x 的增大而减小.当x 时,函数取得最 值,最 值y= .
4.不画出图象,请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系.
B 组
5.将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2,且新抛物线经过点 (1,3),求a 的值.
[本课学习体会]
26.2 二次函数的图象与性质(4)
[本课知识要点]
1.掌握把抛物线2
ax y =平移至2
)(h x a y -=+k 的规律;
2.会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质. [MM 及创新思维]
由前面的知识,我们知道,函数2
2x y =的图象,向上平移2个单位,可以得到函数
222+=x y 的图象;
函数22x y =的图象,向右平移3个单位,可以得到函数2
)3(2-=x y
的图象,那么函数22x y =的图象,如何平移,才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢? [实践与探索]
例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.
221x y =
,2)1(21-=x y ,2)1(2
1
2--=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.
描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26.2.6所示.
它们的开口方向都向 ,对称轴分别为 、 、 ,顶点坐标分别为 、 、 .请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系.
回顾与反思 二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数2
)(h x a y -=+k 中k 的值;左右平移,只影响h 的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外,图象的平移与平移的顺序无关. 探索 你能说出函数2
)(h x a y -=+k (a 、h 、k 是常数,a ≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?试填写下表.
例2.把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线
2x y =,求b 、c 的值.
分析 抛物线2x y =的顶点为(0,0),只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点,根据顶点坐标的改变,确定平移后的函数关系式,从而求出b 、c 的值.
解 c bx x y ++=2
c b b bx x +-++=44222
4
)2(2
2b c b x -++=. 向上平移2个单位,得到24)2(2
2+-
++=b c b x y , 再向左平移4个单位,得到24
)42(22
+-
+++=b c b x y , 其顶点坐标是)24
,42(2
+-
--b c b ,而抛物线2x y =的顶点为(0,0),则 ???
????=+-=--024042
2
b c b
解得 ?
??=-=148
c b
探索 把抛物线c bx x y ++=2
向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到抛物线
2x y =,也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到抛
物线c bx x y ++=2
.那么,本题还可以用更简洁的方法来解,请你试一试. [当堂课内练习]
1.将抛物线1)4(22
--=x y 如何平移可得到抛物线2
2x y = ( )
A .向左平移4个单位,再向上平移1个单位
B .向左平移4个单位,再向下平移1个单位
C .向右平移4个单位,再向上平移1个单位
D .向右平移4个单位,再向下平移1个单位 2.把抛物线2
2
3x y -
=向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得的抛物线的函数关系式为 . 3.抛物线22121x x y -
+=可由抛物线22
1
x y -=向 平移 个单位,再向 平移 个单位而得到.
[本课课外作业]
A 组
1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.
23x y -=,2)2(3+-=x y ,1)2(32-+-=x y ,并指出它们的开口方向、对称轴和顶
点坐标.
2.将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位,再向左平移4个单位,求平移后的抛物线的函数关系式. 3.将抛物线23212++-
=x x y 如何平移,可得到抛物线322
1
2++-=x x y ? B 组
4.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线532+-=x x y ,则有 ( ) A .b =3,c=7 B .b= -9,c= -15 C .b=3,c=3 D .b= -9,c=21
5.抛物线c bx x y ++-=2
3是由抛物线132
+--=bx x y 向上平移3个单位,再向左平移2个单位得到的,求b 、c 的值.
6.将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位,再向上平移k 个单位,其中h >0,k <0,求所得的抛物线的函数关系式.
[本课学习体会]
26.2 二次函数的图象与性质(5)
[本课知识要点]
1.能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式,从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标;
2.会利用对称性画出二次函数的图象. [MM 及创新思维]
我们已经发现,二次函数1)3(22+-=x y 的图象,可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位,再向 平移 个单位得到,因此,可以直接得出:函数1)3(22+-=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 .那么,对于任意一个二次函数,如232-+-=x x y ,你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗? [实践与探索]
例1.通过配方,确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标,再描点画图.
解 6422++-=x x y
[
]
8
)1(261)1(26)112(26)2(222
22+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x
因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,8).
描点、连线,如图26.2.7所示.
回顾与反思 (1)列表时选值,应以对称轴x=1为中心,函数值可由对称性得到,. (2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描点,最后用平滑曲线顺次连结各点.
探索 对于二次函数c bx ax y ++=2
,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗?请你完成填空:对称轴 ,顶点坐标 .
例2.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上,求a 的值.
分析 顶点在坐标轴上有两种可能:(1)顶点在x 轴上,则顶点的纵坐标等于0;(2)顶点在y 轴上,则顶点的横坐标等于0.
解 9)2(2
++-=x a x y 4
)2(9)22(2
2+-++-=a a x , 则抛物线的顶点坐标是???
???+-+4)2(9,2
22a a .
当顶点在x 轴上时,有 02
2
=+-
a , 解得 2-=a .
当顶点在y 轴上时,有 04
)2(92
=+-
a , 解得 4=a 或8-=a .
所以,当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时,a 有三个值,分别是 –2,4,8.
[当堂课内练习]
1.(1)二次函数x x y 22--=的对称轴是 .
(2)二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小.
(3)抛物线642
--=x ax y 的顶点横坐标是-2,则a = .
2.抛物线c x ax y ++=22
的顶点是)1,3
1(-,则a 、c 的值是多少?
[本课课外作业]
A 组
1.已知抛物线2
5
3212+-=
x x y ,求出它的对称轴和顶点坐标,并画出函数的图象. 2.利用配方法,把下列函数写成2
)(h x a y -=+k 的形式,并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1)162
++-=x x y
(2)4322
+-=x x y
(3)nx x y +-=2 (4)q px x y ++=2 3.已知6
22
)2(-++=k k
x k y 是二次函数,且当0>x 时,y 随x 的增大而增大.
(1)求k 的值;(2)求开口方向、顶点坐标和对称轴.
B 组