一元二次方程应用
一元二次方程应用
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1.已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=. (1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两实数根为12,x x ，且22
12
127x x x x +-=，求m 的值. 2.已知关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x -++=有两个不相等的实数根12,x x . (1)求m 的取值范围; (2)若20x <,且
1
2
1x x >-,求整数m 的值. 3.已知关于x 的方程2(31)2(1)0kx k x k --+-=. (1)求证:无论k 为何实数,方程总有实数根;
(2)若此方程有两个实数根12,x x ,且122x x -=,求k 的值. 4.已知关于x 的一元二次方程()241210x m x m +++-=. (1)求证:不论m 为何实数,方程总有两个不等的实数根; (2)若方程的两根为12,x x ,且满足
12111
2
x x +=-,求m 的值. 5.关于x 的一元二次方程2210x x k +++=的两个实数根是1x 和2x ． (1)求k 的取值范围;
(2)若12121x x x x +-<-,且k 为整数,求k 的值．
6.已知12,x x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根. （1）求k 的取值范围； （2）是否存在实数k ，使得等式12
11
2k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值；如果不存在，请说明理由.
7.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)在这次活动中，平均每天能否获利1500元？若能，求出每件衬衫应降金额；若不能，请说明理由
8.某药店购进一批消毒液，计划每瓶标价100元，由于疫情得到有效控制，药店决定对这批消毒液全部降价销售，设每次降价的百分率相同，经过连续两次降价后，每瓶售价为81元.
（1）求每次降价的百分率.
（2）若按标价出售，每瓶能盈利100%，问第一次降价后销售消毒液100瓶，第二次降价后至少需要销售多少瓶，总利润才能超过5000元？
9.在某次商业足球比赛中，门票销售单位对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价100元，这样按原定票价需花费14 000元购买的门票张数，现在只花费了10 500元. (1)求每张门票的原定票价；
(2)根据实际情况，组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率. 10.观察下列方程及其解的特征：
解答下列问题：
解：原方程可化为2265x x -=-.（下面请你用配方法写出解此方程的详细过程） 11.已知关于x 的方程222(1)10k x k x -++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；
(2)当1k =时，设所给方程的两个根分别为12,x x ，求
21
12
x x x x +的值. 12.已知抛物线222(1)1y x m x m =+++-与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点. (1)求m 的取值范围；
(2)若12,x x 满足()2
121216x x x x -=-，求m 的值.
13.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后总共有81台电脑被感染.则每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，经过三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
14.如图，用一段长为48 m 的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD ，一面利用墙（墙的最大可用长度25 m ）.
（1）写出矩形ABCD 的面积y （单位：2m ）与边AB 的长x （单位：m ）之间的函数解析式，并求出x 的取值范围.
（2）能围成总面积为2180m 的长方形花圃吗？若能，请求此时AB 的长，若不能，请说明理由. 15.为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A
B ，两个玉米品种进行实验种植对比研究.去年A B ，两个品种各种植了10亩.收获后A
B ，两个品种的售价均为2.4元/kg ，且B 品种的平均亩产量比A 品种高100千克，A B ，两个品种全部售出后总收入为21600元.
(1)求A B ，两个品种去年平均亩产量分别是多少千克?
(2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A B ?两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加%a 和2%a .由于B 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨%a ，而A 品种的售价保持不变， A
B ，两个品种全部售出后总收人将增加20
%9
a ，求a 的值. 16.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店去年8、9月份营业额的月增长率. 17.已知关于x 的一元二次方程2()2()0a c x bx a c +++-=，其中a b c ,,分别为ABC 三边的长. （1）如果1x =-是方程的根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
18.某汽车租赁公司共有汽车50辆，市场调查表明，当租金为每辆每日200元时可全部租出，当租金每提高10元，租出去的车就减少2辆.
（1）当租金提高多少元时，公司的每日收益可达到10120元？
（2）公司领导希望日收益达到10200元，你认为能否实现？若能，求出此时的租金，若不能，请说明理由.
（3）汽车日常维护要一定费用，已知外租车辆每日维护费为100元，未租出的车辆维护费为50元，当租金为多少元时，公司的利润恰好为5500元？（利润=收益-维护费）.
19.已知：ABCD 的两边AB AD ，的长是关于x 的方程21
024
m x mx -+-=的两个实数根.
（1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB 的长为2，那么ABCD 的周长是多少？ 20.在一次数学活动课上，老师出了一道题： （1）解方程2230x x --=
（2）参照（1）解关于x 的方程2(3)30mx m x +--=（m 为常数，且0m ≠）.
（3）已知关于x 的函数2(3)3y mx m x =+--（m 为常数）.求证：不论m 为何值，此函数的图象恒过x 轴、y 轴上的两个定点.（设x 轴上的定点为A y ，轴上的定点为C ）；
21.“解方程42650x x -+=”.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设
2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2650y y -+=……①，解这个方程得：121,5y y ==.当
1y =时，21,1x x =∴=±；当5y =时，25,x x =∴=.所以原方程有四个根：11x =，
21x =-，34x x ==（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到降次的目的，体现了转化_______的数学思想.
（2）解方程()()2
224120x x x x ----=.
22.国美商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元.调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台.
（1）如果设每台冰箱降价x 元，平均每天销售冰箱的数量为y ，请直接表示出y 与x 的函数关系式；
（2）如果商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？ 23.已知式子32(4)825M
a x x x 是关于x 的二次多项式，且二次项系数为
b ，数轴上,A B
两点所对应的数分别是a 和b .
(1)则a ____，b ____.,A B 两点之间的距离：____；
(2)有一动点P 从点A 出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动,当运动到2019次时，求点P 所对应的有理数.
(3)在(2)的条件下，点P 会不会在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P 到点B 的距零离是
点P 到点A 的距离的3倍?若可能请求出此时点P 的位置,若不可能请说明理由.
24.某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？ 25.已知关于x 的一元二次方程()26410x x m -++=有实数根. (1)求m 的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根为12,x x ,且12|4|x x -=,求m 的值.
26.某经销商3月份用18000元购进一批T 恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T 恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元. （1）4月份进了这批T 恤衫多少件？
（2）4月份，经销商将这批T 恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元.甲店按标价卖出a 件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a 件，然后将b 件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同. ①用含a 的代数式表示b .
②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值.
27.某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一个月进馆200人次，此后进馆人次逐月增加，到第三个月进馆达到288人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不得超过400人次，若进馆人次的月平均增长率不变，到第几个月时，进馆人数将超过学校图书馆的接纳能力，并说明理由．
二、填空题
28.如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）. ①方程220x x --=是“倍根方程”；
②若(2)()0x mx n -+=是“倍根方程”，则22450m mn n ++=；
③若,p q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是“倍根方程”； ④若方程20ax bx c ++=是“倍根方程”，则必有229b ac =.
参考答案
1.答案：(1)证明:
2[(3)]41()m m ?=---??-
2229(1)80m m m =-+=-+>,
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，得 123x x m +=-,12x x m =-.
22
12127x x x x --=，21212()37x x x x ∴+-=，2(3)3()7m m ∴--?-=，解得121,2m m ==.
m ∴的值为1或2.
解析：
2.答案：(1)由已知得: 0m ≠且222(2)4244(2)0m m m m m ?=+-?=-+=->,∴0m ≠,且2m ≠. (2)原方程的解为()()222m m x m
+±-=,
∴1x =或2
x m
=
. ∵20x <,∴11x =,22
0x m
=<,∴0m <. ∵
121x x >-,∴12
m
>-,∴2m >-. 又∵0m ≠且2m ≠,∴20m -<<, ∵m 是整数,∴1m =-. 解析：
3.答案：(1)证明:①当0k =时,方程是一元一次方程,有实数根; ②当0k ≠时,方程是一元二次方程, ∵()()()2
2
3142110k k k k ?=--?-=+≥, ∴无论k 为何实数,方程总有实数根. (2)∵此方程有两个实数根12,x x , ∴()
()12123121,k k x x x x k
k
--+=
=
.
∵122x x -=, ∴()2
124x x -=, ∴()
2121244x x x x +-=,即 2
312244k k k k --??
-?= ?
??
, 解得1k =或1
3
k =-.
解析：
4.答案：(1)证明:22(41)4(21)1650m m m ?=+--=+>恒成立, ∴不论m 为何实数,方程总有两个不等的实数根. (2)由韦达定理得
12(41)x x m +=-+,1221x x m =-,
∴
12121211(41)1212
x x m x x x x m +-++===--, 解得12
m =-.
解析：
5.答案：(1)由题意得,0?,即44(1)0k -+,解得0k ． (2)根据根与系数的关系得 12122,1x x x x k +=-=+,
12121x x x x ∴+-<-,即211,2k k ---<->-,
又由(1)知,0,20k k ∴-<, 又k 为整数,1k ∴=-或0． 解析：
6.答案：（1）一元一次方程有两个实数根， 2(2)4(2)0k ∴?=--+.
解得1k ≤-.
（2）由一元二次方程根与系数关系，122x x +=，122x x k =+. 121212112
2,22
x x k k x x x x k ++=-
∴==-+. 即(2)(
2)2k k +-=，解得k =又由（1）知：1,k k -∴=解析：
7.答案：(1)每件衬衫降价20元；(2)在这次活动中，平均每天不能获利1500元
()()402021500x x -+=
即2303500x x -+=
22430413505000b ac -=-??=-<，
∴方程没有实数根
∴在这次活动中，平均每天不能获利1500元 解析：
8.答案：（1）10%；（2）33瓶 解析：（1）设每次降价的百分率为x ， 依题意得：()2
100181x -=， 解得：120.1, 1.9x x ==（舍） 答：每次降价的百分率为10%. （2）进价为：100(1100%)50÷+=元 第一次降价后售价为：100(110%)90?-=元 设第二次降价后需要销售m 瓶，则
()()905010081505000m -?+-＞
解得：1000
31
m ＞，
∵m 为整数，
∴第二次降价后至少需要销售33瓶，总利润才能超过5000元. 9.答案：（1）400；（2）10%
解析：（1）设每张门票的原定票价为x 元，则现在每张门票的票价为()100x -元，根据题意，得 1400010500
100
x x =- 解得400x =
经检验，400x =是原方程的根. 答：每张门票的原定票价为400元.
（2）平均每次降价的百分率为y ，根据题意，得 ()2
4001324y -=
解得120.1, 1.9y y ==（不合题意，舍去） 答：平均每次降价的百分率为10%.
10.
（3）二次项系数化为1，得226
15
x x -=-. 配方，得2222126131313144
25()1(),()555525x x x x x +=-+-=-+--=
. 开方，得131255
x -
=±.
解得121
5,5
x x ==.
经检验，121
5,5
x x ==，都是原方程的解
解析：解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题。解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得。而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数.
11.答案：（1）根据题意得，22[2(1)]40k k ?=-+-， 整理得，()
2242140k k k ++-， 所以4(21)0k +，解得12
k -. 因为方程有两个实数根，
所以应为一元二次方程，所以0k ≠. 故1
2
k -
且0k ≠. （2）原式()()2
2
22
12121212
121212
22x x x x x x x x x x x x x x +-++=
==-， 当1k =时，原方程为：2410x x -+=， 根据韦达定理可得，12124
4,11
x x x x -+=-
==， 将124x x +=和121x x =代入得：原式2
42162141
=-=-=.
解析：
12.答案：解：(1)根据题意得()
224(1)41880m m m =+--=+>，解得1m >-； (2)根据题意得()1221x x m +=-+，2121x x m =-，
21212()16x x x x -=-，
2121212()416x x x x x x ∴+-=-，即21212()316x x x x +-=，()
224(1)3116m m ∴+--=，整理得2890m m +-=，
解得129,1m m =-=， 而1m >-；m ∴的值为1.
解析：（1）根据题意得到0>，代入题目中的数据求解即可；
（2）根据根与系数的关系得到212122(1),1x x m x x m +=-+=-，再根据完全平方公式将
21212()16x x x x -=-转化为21212()316x x x x +-=，将代数式代入求解即可.
13.答案：解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x 台电脑，依题意得：()1181x x x +++=，整理2(1)81x +=，
解得128,10x x ==-（舍去），
2233(1)(1)(1)(18)729700x x x x ∴+++=+=+=>.
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台. 解析：根据题意可以列出相应方程，从而解答本题. 14.答案：解：（1）根据题意知，(483)m BC x =- 所以 (483)y x x =-
因为 04830483 25
x x x >??->??-≤?
所以 23
163x << (2) 由题意得：(483)180x x -=，解得126,10x x ==， 当6x =时，4833025x -=>，不符合题意，舍去； 当10x =时，4831825x -=＜，符合题意；
答：能围成总面积为2180m 的长方形花圃.此时AB 的长是10米时.
解析：（1）根据题息先表示BC ，即可求出y 与边AB 的长之间的函数解析式，注意边长>0以及墙的最大可用长度25 m ，求出x 的取值范围.
（2）解(483)180x x -=即可，注意求得的解需要注意验证是否满足实际要求.
15.答案：（1）设A 品种去年平均亩产量为x 千克，则B 品种去年平均亩产量为()100x +千克. 根据题意，得()102410021600x x ??++=. 解这个方程，得400x =.
当400x =时，400100500+=（千克）.
答：A B ,两个品种去年平均产量分别是400千克，500千克.
（2）根据题意，得()()()2010 2.44001%10 2.41%50012%216001%9a a a ??
??++?+?+=+ ???.
设%a m =，原方程可化为()()()2010 2.4400110 2.41500122160019m m m m ??
??++?+?+=+ ??
?.
化简，得2100m m -=.
解这个方程，得120.1,0m m ==（舍去）. 所以10a =. 答：a 的值为10. 解析：
16.答案：（1）由题意，得45045012%504+?=（万元）. 答：该商店“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元. （2）设该商店8、9月份营业额的月增长率为x . 由题意，得方程2350(1)504x +=. 解得12111
,55
x x ==-（不合题意，舍去）.
所以1
5
x =
，即20%x =. 答：该商店8、9月份营业额的月增长率为20%. 解析：
17.答案：(1) ABC 是等腰三角形；(2)ABC 是直角三角形；(3) 1201x x ==-，. 解析：（1）
1x =-是方程的根，
2()(1)2()0a c b a c ∴+?--+-=， 20a c b a c ∴+-+-=， 0a b ∴-=， a b ∴=，
ABC ∴是等腰三角形；
（2）方程有两个相等的实数根，
2(2)4()()0b a c a c ∴-+-=， 2224440b a c ∴-+=， 222a b c ∴=+， ABC ∴是直角三角形；
（3）当ABC 是等边三角形，2()2()0a c x bx a c ∴+++-=，可整理为： 2220ax ax +=， 20x x ∴+=，
解得：1201x x ==-，.
18.答案：（1）设租金提高x 元，则每日可租出25010x ?
?- ???辆，
依据题意，得：2x (200x)501012010?
?+-= ??
?，
整理，得：2506000x x +=-， 解得：122030x x ==，.
答：当租金提高20元或30元时，公司的每日收益可达到10120元.
（2）假设能实现，
依题意，得：2x (200x)501020010?
?+-= ??
?，
整理，得：25010000x x +=-，
()22
50411000150040b ac =-??=---＜，
∴该一元二次方程无解， ∴日收益不能达到10200元.
（3）依题意，得：2x 2x 2x (200x)5010050505500101010???
?+----?= ? ?????
，
整理，得：210025000x x +=-， 解得：1250x x ==， 200250x ∴+=.
答：当租金为250元时，公司的利润恰好为5500元. 解析：
19.答案：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB AD =， ∴22
144024m b ac m ???=-=--= ???
，解得1m =，
则原方程可化为2
1
02
x x -+
=，解得120.5x x == (2)把2AB =代入原方程得1
42024
m m -+
-=，解得 2.5m = 把 2.5m =代入原方程得2 2.510x x -+=，解得122,0.5x x == ∴ABCD 的周长2(20.5)5=?+=. 解析：
20.答案：（1）由2230x x -=-，得12130,()1,3()x x x x +-=∴=-= （2）由()2330mx m x +--=得3)10()(x mx +-= 0m ≠,11x ∴=-,23x m
=
（3）①当0m =时，函数()233y mx m x =+--为33y x =--，令0y =,得1x =- 令0x =,则3y =-.∴直线33y x =--过定点(1,0),(03)A C --， 当0m ≠时，函数()233y mx m x =+--为(1)(3)y x mx =+?- ∴抛物线(1)(3)y x mx =+?-恒过两定点(10),(03)A C --，，和3(0)B m
，.
解析：
21.答案：（1）换元，转化
（2）设2x x a -=，原方程可化为24120a a --=， 解得2a =-或6，当2a =-时，220x x -+=
2(1)870?=--=-<，此方程无实数根，当6a =时，即260x x --=， (3)(2)0x x -+=， 123,2x x ∴==-，
原方程有两个根123,2x x ==-. 解析：
22.答案：（1）28485025
x y x =+?=+ （2）2
(8)(29002500)500025
x x +
--= 解之得：12150x x == ∴定价为2900-150=2750元 答：每台冰箱的定价应为2750元 解析：
23.答案：(1)4；8；12.
(2)依题意得：4123456720182019，
410092019， 1014
答：点P 所对应的有理数的值为1014； (3)①当P 点在A 点的左边时， 3PB PA ， 2AB PA ，
6PA
P 点对应的数为10，
41234567891011
10，
可以；
②当P 点在AB 之间时， 3PB PA ， 4AB PA ， 3PA ，
P 点对应的数为141234561，
可以
点P 对应的数为10或1. 解析：
24.答案：（1）解：设平均每次下调的百分率为x ， 依题意，得26000(1)4860x -=
解得120.110%, 1.9x x ===（不合题意，舍去） 答：平均每次下调的百分率为10%.
（2）方案①可优惠：4860100(198%)9720??-=元 方案②可优惠：100808000?=元， 97208000>
∴方案①更划算.
解析：
25.答案：(1)∵关于x 的一元二次方程()26410x x m -++=有实数根,
()()2
641410m ∴?=--??+≥,
解得：2m ≤.
(2)∵方程()26410x x m -++=的两个实数根为12,x x , 12126,41x x x x m ∴+==+,
2221212124()4()x x x x x x ∴-=+-=,即321616m -=,
解得：1m =. 解析：
26.答案：（1）设3月份购进x 件T 恤衫， 1800039000
102x x
+=， 解得，150x =，
经检验，150x =是原分式方程的解， 则2300x =，
答：4月份进了这批T 恤衫300件；
（2）①每件T 恤衫的进价为：39000300130÷=（元）， (180130)(1800.8130)(150)a a -+?--
(180130)(1800.9130)(1800.7130)(150)a b a b =-+?-+?---
化简，得1502
a
b -=
； ②设乙店的利润为w 元，
(180130)(1800.9130)(1800.7130)(150)w a b a b =-+?-+?--- 150543660054366003621002
a
a b a a -=+-=+?
-=+， ∵乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量， a b ≤∴，
即1502
a
a -≤
， 解得，50a ≤，
∴当50a =时，w 取得最大值，此时3900w =， 答：乙店利润的最大值是3900元. 解析：
27.答案：解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x ， 根据题意，得：()2
2001288x +＝ 解得120.2 2.2x x ＝；＝﹣
（舍去）． 答：进馆人次的月平均增长率为20%．
（2）第四个月进馆人数为()28810.2345.6+＝（人次），第五个月进馆人数为()2
28810.2414.72+＝（人次），
由于400414.72＜
答：到第五个月时，进馆人数将超过学校图书馆的接纳能力． 解析： 28.答案：②③④
解析：①解方程220x x --=得，122,1x x ==-，得，122x x ≠， 方程220x x --=不是倍根方程，故①不正确. ②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，12x = 因此21x =或24x =， 当21x =时，0m n +=， 当24x =时，40m n +=，
2245()(4)0m mn n m n m n ∴++=++=，故②正确； ③
2pq =，则23(1)()0px x q px x q ++=++=，
1221
1
,2
2x x q p
x q x p ∴=-
=-∴=-=-=
因此是倍根方程， 故③正确.
④方程20ax bx c ++=的根为
12x x ==
若122x x =
2，
20=
0=
0b ∴+=
b ∴-
()2294b ac b ∴-=
229b ac ∴=.
若122x x =
2=
20-=
()2220
09429b b b b ac b ac
=∴-+=∴=∴=-∴=
故④正确，故答案为：②③④
(完整版)一元二次方程知识点及其应用
一、相关知识点 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02 =++c bx ax 才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 二．解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如n x =2 或)0()(2 ≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2 的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0
一元二次方程及其应用练习题
一元二次方程及其应用 一、选择题 1（2015?酒泉）今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（） A．2500x2=3500 B．2500（1+x）2=3500 C．2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500 2．（2015?安徽）我省2013年的快递业务量为亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．（1+x）= B．（1+2x）= C．（1+x）2= D．（1+x）+（1+x）2= 3．（2015?日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20% B．40% C．-220% D．30% ( 1. （2016·湖北随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．20（1+2x）= B．（1+x）2=20 C．20（1+x）2= D．20+20（1+x）+20（1+x）2= 2. （2016·江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（） A．2B．1C．﹣2D．﹣1 3. （2016·辽宁丹东）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为． 4.（2016·四川攀枝花）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4 5．（2016·广西桂林）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 ] 6.（2016·贵州安顺）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（） A．b=﹣3B．b=﹣2C．b=﹣1D．b=2 8. （2016·云南省昆明市）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．无法确定 9.(2016河北3分）a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0
最新一元二次方程应用题精选(含答案)
1：某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元， 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得：x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行·列数相同，增加了多少行多少列？ 解：设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60+2（70-65）＝70kg，那么获总利为1950*7000/70＝195000元,当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为（70-30）*7000-117*500＝221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.
一元二次方程应用题——分类
增长率问题：1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子） 5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为 商品定价：1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a 元，则可卖出（350－10a ）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。 3、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少? 4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾 风景区旅游，推出了如图1对话中收 费标准.某单位组织员工去天水湾风景区 旅游，共支付给春秋旅行社旅游费 用27000元. 水湾风景区旅游？ 图 1
一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用 ◆课前热身文档设计者： 设计时间 ： 文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word 精品文档，可以编辑修改，放心下载 1．如果2是一元二次方程x 2 ＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x = B ．2x =- C ．1222x x ==-， D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.2 16(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断， 注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接
1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2 ≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二 次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2 ()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解. （3）公式法：一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 221,2 4(40)2b b ac x b ac a -±-=-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. ◆典例精析 例1（湖南长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程， 原方程成立，即06332 =--k 成立，解得k=1。故选A 。 例2（湖北仙桃）解方程：2 420x x ++= 【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解. 【答案】2 42x x +=-
(完整版)一元二次方程的应用练习题及答案
一元二次方程的应用 1．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元． （1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元． 2．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷． （1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率； （2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？ 3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？ 4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件； （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 6．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中： 销售单价（元）x 销售量y（件） 销售玩具获得利润w（元） （2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元． 7．利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．
一元二次方程的起源和应用
一元二次方程的起源与应用 一年七班 唐梦雷 一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 二、 起源 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。 三、一元二次方程的广泛应用 例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？ （1）35 22=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+ x x ；（8）522=+y x 注意点： ①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数． 例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
一元二次方程应用题经典题型汇总
一元二次方程应用题经典题型汇总 （一）传播问题 1. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续 两次降价后，由每盒200 元下调至128 元，则这种药品平均每次降价的百分率为 2. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，每轮传染中平均一个 人传染了个人。 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主 干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。 4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45 场比赛，共有 个队参加比赛。 5. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共 互赠了182 件，这个小组共有多少名同学？ 6. 一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72 张，这个小组共有多 少人？ 7. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑？若病毒得不到有效控制， 3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过700 台？
（二）平均增长率问题 变化前数量×（1x）n＝变化后数量 1. 青山村种的水稻2001 年平均每公顷产7200 公斤，2003 年平均每公顷产8450 公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2. 某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90 元降到了40 元，求平均每 次降价率是。 3. 某种商品，原价50 元，受金融危机影响， 1 月份降价10％，从2 月份开始涨价， 3 月份的售价为64.8 元，求2、3 月份价格的平均增长率。 4. 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求 每次降价的百分率？ 5. 为了绿化校园，某中学在2007 年植树400 棵，计划到2009 年底使这三年的植 树总数达到1324 棵，求该校植树平均每年增长的百分数。
一元二次方程的应用 (含答案)
23.4 一元二次方程的应用 情境切入 学海导航 完全解读 知能点1、列一元二次方程解实际应用题的一般步骤 列方程解实际应用问题历来是初中学生的难点，究其原因是理论指导不充分，必须熟练掌握解应用题的一般步骤才能准确解答各种类型的应用题，具体的步骤一般是：（1）审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系； （2）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程； （4）解：求出所列方程的解； （5）检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；
（6）答：写出答案． 友情提醒：列方程解应用题应该注意的一些问题 （1）要注意各类应用题中常用的等量关系．例如面积问题中有关的面积公式，还要注 意挖掘题目中隐含的等量关系； （2）注意语言与代数表达式的互化．题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转 化成代数式才能为列方程服务；注意从语言叙述中写出等量关系； （3）注意单位问题：一是在设元时必须写清单位，用对单位，例如不要把速度单位写 成路程单位．二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致． 例1、某种商品原价50元。因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售 价为64.8元,则4、5月份两个月平均涨价率为 . 思维点击：由题意，3月份的售价可以用50×（1—10%）表示，若设4、5月份两个月 平均涨价率为x ，则4月份的售价是50×（1—10%）×（1+x ），5月份的售价是50×（1—10%）×（1+x ）（1+x ）即50×（1—10%）×（1+x ）2 ，由于5月份的售价已知，所以可列出一个方程，进而解决本题。 解：设4、5月份两个月平均涨价率为x ，由题意，得 50×（1—10%）×（1+x ）2=64.8。整理，得（1+x ）2=1.44. 解得：120.220%, 2.2x x ===-（不合题意，舍去）。 所以4、5月份两个月平均涨价率为20%。 解后反思：列方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意。 例2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四 个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长. 思维点击：设截去正方形的边长x 厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和 宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式. 解：设截去正方形的边长为x 厘米，根据题意，得
一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用 ◆课前热身 1．如果2是一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x = B ．2x =- C ．1222x x ==-， D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.216(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型:
考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后 再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接 1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程， 就可用直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方
一元二次方程的起源和应用
一元二次方程的起源与应用一年七班唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。二、起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数
学家们为了解三次方程而开始应用复数根。韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解 外，还给出根与系数的关系。我国《九章算术．勾 股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。三、 一元二次方程的广泛应用x例1：下列关于的方程， 哪些是一元二次方程？；（1）（2）； （3）；（4）；22222（5）； （6）；（7）（8）； x注意点：① 二次项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③是整 式方程；④只含有一个未知数．22例1:当k 时，关于x的方程是一元二次方程。 m例2：方程是关于x的一元二次方程，则m的 值为。2例3：若方程是关 于x的一元二次方程，则m的取值范围 是。mn2例4：若方程nx+x-2x=0是一元二次方程， 则下列不可能的是（） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 2（一）、一元二次方程的一般 形式：，它的特征是：等式左2边是一 个关于未知数的二次多项式，等式右边是零，其中 叫做二次项，叫ax xa做二次项系数；叫做一次项，叫
一元二次方程应用题归纳集锦
《一元二次方程》应用题的几种类型 一．传播问题：公式：(a+x)n =M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后 得病总人数 1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传 染中平均一个人传染了几个人？ 2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目 的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多 少小分支？ 二、循环问题又可分为单循环问题1/2n(n-1)， 双循环问题n(n-1)和复杂循环问题1/2n(n-3) 3．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比 赛，共有多少个队参加比赛？ 4.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少 人参加聚会? 5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比 赛，共有多少个队参加比赛？ 6.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少 人? 7.一个正多边形，它共有20条对角线，问是几边形？ 三、平均率问题 M=a(1±x)n， n为增长或降 低次数 , M为最后产量，a为基数，x为 平均增长率或降低率
8.某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为 600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总 收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营 总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万 元？ 存n年的本息和=本金×（1+年利率）n，即本 金×（1+a%）n 四、商品销售问题常用关系式：售价—进价 =利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额利润率= 利润 ÷进价 9. 某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的 销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售 量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每 件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 10. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可 售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 11. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元， 为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
一元二次方程应用题总结归类及典型例题库
一元二次方程应用题总结分类及经典例题 1、列一元二次方程解应用题的特点 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等． 2、列一元二次方程解应用题的一般步骤 和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是： “审、设、列、解、答”． (1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解 决问题的基础； (2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设 元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易； (3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个 相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键； (4)“解”就是求出所列方程的解； (5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度 不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、数与数字的关系 两位数=(十位数字)×10＋个位数字 三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字 4、翻一番 翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍． 5、增长率问题 (1)增长率问题的有关公式：
10一元二次方程及其应用
10 一元二次方程及其应用 一、选择题 1. （2011湖北鄂州）下列说法中 ①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等 ②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2 ③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形 ④Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边a ，b 分别是方程x 2 －7x ＋7=0的两个根，则AB 正确命题有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】C 2. （2011湖北荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根 1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是 A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ． 2 【答案】B 3. （2011福建福州）一元二次方程(2)0x x -=根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【答案】A 4. （2011山东滨州）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( ) A. ()2 2891256x -= B. ()2 2561289x -= C. 289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289 【答案】A 5. （2011山东威海）关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ） A ．0 B ．8 C ．4 D ．0或8 【答案】D
6. （2011四川南充市） 方程(x +1)(x －2)=x +1的解是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）－1，2 （D ）－1，3 【答案】D 7. （2011浙江省嘉兴）一元二次方程0)1(=-x x 的解是（ ） （A ）0=x （B ）1=x （C ）0=x 或1=x （D ）0=x 或1-=x 【答案】C 8.（2011台湾台北）若一元二次方程式)2)(1()1(＋＋＋＋x x x ax bx ＋ 2)2(＝＋x 的两根为 0、2，则 b a 43＋之值为何？ A ．2 B ．5 C ．7 D ． 8 【答案】B 9.（2011台湾台北）如图(十三)，将长方形ABCD 分割成1个灰色长方形与148个面积相等 的小正方形。 根据右图，若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD ：AB ＝？ A ．5：3 B ．7：5 C ．23：14 D ．47：29 【答案】D 10．（2011台湾全区）关于方程式95)2(882=-x 的两根，下列判断何者正确？ A ．一根小于1，另一根大于3 B ．一根小于－2，另一根大于2 C ．两根都小于0 D ．两根都大于2 【答案】A 11. （2011江西）已知x =1是方程x 2+bx -2=0的一个根，则方程的另一个根是（ ） A.1 B.2 C.-2 D.-1 【答案】C 12. （2011福建泉州）已知一元二次方程x 2－4x +3=0两根为x 1、x 2, 则x 1·x 2=（ ）. A. 4 B. 3 C. －4 D. －3
初中数学一元二次方程解法及应用中考试题含答案
初中数学 一元二次方程解法及应用 中考试题（含答案） 一、 填空题 1.（2009重庆綦江）一元二次方程x 2=16的解是 ． 2.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 3．（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程 是 ． 4.（2009年江苏省）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程 ． 5．（2009年甘肃庆阳）若关于x 的方程2210x x k ++-=的一个根是0，则k = ． 6.某果农2006年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2008年年收入增加到 7.2万元，则平均每年的增长率是__________. 7.（2009年包头）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值 是 cm 2． 8.（2009年莆田）已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根，且122O O =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是 ． 9.（2009年莆田）出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出()6x -个， 则当x = 元时，一天出售该种文具盒的总利润y 10.(2009年本溪)11．由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 11．(2009年温州)方程(x-1)2=4的解是 12．（2009临沂）某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元，．则这种药品的成本的年平均下降率为______________． 13．（2009年哈尔滨）如果2是一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 14、（2009年兰州）阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两 根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a .根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程 x 2+6x +3＝0的两实数根，则21x x +12 x x 的值为 ． 15．(2009年宁德市)方程042=-x x 的解是______________． 16．（2009年赤峰市）已知关于x 的方程x 2-3x+2k=0的一个根是1，则k= 17、（2009年崇左）分解因式：2242x x -+= ． 18．（2009年崇左）一元二次方程230x mx ++=的一个根为1-，则另一个根为 ． 19．（2009年湖北十堰市）方程(x ＋2)(x －1)=0的解为 ． 20．（2009年山东青岛市）某公司2006年的产值为500万元，2008年的产值为720万元，则该公司产值的年平均增长率为 ． 21．（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ． 22．（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．
专题06 一元二次方程及其应用(解析版)
专题06 一元二次方程及其应用 命题点1配方法 1. 一元二次方程x 2 －6x －5＝0配方后可变形为( ) A . (x －3)2＝14 B . (x －3)2＝4 C . (x ＋3)2＝14 D . (x ＋3)2＝4 【答案】A 【解析】x 2 －6x －5＝0，x 2 －6x ＝5，x 2 －6x ＋9＝5＋9，(x －3)2 ＝14，故选A. 命题点2跟与系数之间的关系 2.方程x 2＋x －12＝0的两个根为( ) A ．x 1＝－2，x 2＝6 B ．x 1＝－6，x 2＝2 C ．x 1＝－3，x 2＝4 D ．x 1＝－4，x 2＝3 【答案】D 【解析】∵x 2 ＋x －12＝0，∴(x ＋4)(x －3)＝0，解得x 1＝－4，x 2＝3. 命题点3根的个数 3. 下列方程中，没有．． 实数根的是( ) A ．2x ＋3＝0 B ．x 2－1＝0 C . 2x ＋1 ＝1 D ．x 2 ＋x ＋1＝0 【答案】D 【解析】 选项 逐项分析 正 误 A 由2x ＋3＝0，得2x ＝－3，解得x ＝－3 2
4. 关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实根，则k的值为( ) A. k＝－4 B. k＝4 C. k≥－4 D. k≥4 【答案】B 【解析】因为方程有两个相等的实数根，所以b2－4ac＝42－4k＝0，解得k＝4. 5. 若关于x的方程x2－2x＋c＝0有一根为－1，则方程的另一根为( ) A. －1 B. －3 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】设方程的另一个根为x2，则根据根与系数关系有－1＋x2＝2，解得x2＝3. 6. 一元二次方程x2－3x－2＝0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是( ) A. x1＝－1，x2＝2 B. x1＝1，x2＝－2 C. x1＋x2＝3 D. x1x2＝2 【答案】C 【解析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1x2＝－2，排除A、B、D 选项，故选C. 命题点4一元二次方程应用 7.随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆．设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意列方程得( ) A. 10(1＋x)2＝16.9 B. 10(1＋2x)＝16.9
一元二次方程应用题复习
一元二次方程应用复习 (08年西宁市) 1．“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（ ） A ．12012045x x -=+ B ．12012045x x -=+ C ．12012045x x -=- D ．12012045x x -=- （08年南京市）2．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2:1．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是2288m ？ 3.李叔叔家房子前面有一块长方形荒地，准备把它建成一座花园.但中央修两条互相垂直的等宽小路，正好将荒地分成四个面积相等的小长方形.如图3-8-7，已知原长方形的长为30米，宽 20米，要使每个小长方形面积不少于126m 2.则每条小路宽至少为多少米? 4.如图3-9-13，所示一个农户用24m 长的篱笆围成一排 一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍.要使三个鸡舍的总 面积为36m 2,求每个鸡舍的长和宽. 5.如图3-9-5，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度. （第2题） 蔬菜种植区域 前 侧 空 地
6.某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？ (08年安徽省)7.某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%。求这个月的石油价格相对上个月的增长率。 8．某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 9.某商店进了一批服装，进价为每件50元.按每件60元出售时，可销售800件；若单价每提高 1元，则其销售量就减少20件.今商店计划获利12000元，问销售单价应定为多少元？此时应进多少件服装？ 10.将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？