中考数学 第二编 中档题突破专项训练篇 中档题型训练(五)圆的有关计算、证明与探究试题

中档题型训练(五) 圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是河北中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系．

圆的切线性质与判定

【例1】(2016天水中考)如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.

(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．

【思路分析】(1)连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB＋∠DBA＝90°，从而得出∠CDA＋∠ADO＝90°，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC，由切线长定理得出DE＝EB，在Rt△CBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

【学生解答】解：(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切．理由是：连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠DBA＝90°.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB＋∠CDA＝90°.∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA ＋∠ADO＝90°，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切；

(2)∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4.∵CE切⊙O 于点D，EB切⊙O于点B，∴DE＝EB，∠CBE＝90°，设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE2＝BE2＋BC2，则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得x＝6，即BE＝6.

1．(2016毕节中考)如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A ，B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交B C 于点F ，AC ＝FC.

(1)求证：AC 是⊙O 的切线；

(2)已知圆的半径R ＝5，EF ＝3，求DF 的长．

解：(1)如图，连接AE ，AO.∵BE 为半圆，∴∠BAE ＝90°.∵BD ︵＝ED ︵，∴∠BAD ＝∠EAD＝45°，∴∠AFC ＝∠B＋

45°，∴∠CAF ＝∠EAC＋45°.∵AC ＝FC ，∴∠AF C ＝∠CAF，∴∠B ＋45°＝∠EAC＋45°，∴∠B ＝∠EAC.∵OA＝OB ，∴∠OAB ＝∠B，∴∠EAC ＝∠OAB，∴∠OAC ＝∠OAE＋∠EAC＝∠OAE＋∠OAB＝∠BAE＝90°，∴AC ⊥OA ，∴AC 为⊙O 为切线； (2)如图，连接OD.∵BD ︵＝DE ︵，∴∠BOD ＝∠DOE＝90°.在Rt △OFD 中 ，OF ＝5－3＝2，OD ＝5，∴DF ＝

OF 2＋OD 2＝29.

2．(2016承德二中一模)已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF.

(1)求证：EF 是⊙O 的切线；

(2)若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长．

解：(1)连接FO，易证OF∥AB.∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE.又∵OE＝OC，∴OF 是线段CE的垂直平分CE，∴FC＝FE，∴∠FEC＝∠FCE.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，即∠OCE＋∠FCE＝90°，∴∠OEC＋∠FEC＝90°，即∠FEO＝90°，∴EF为⊙O的切线；

(2)∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3.∵∠EAC＝60°，OA＝OE，∴∠EOA＝60°，∴∠COD＝∠EOA＝60°.∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，∴CD＝3 3.∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝33，AC＝6，∴AD＝37.

圆与相似

【例2】如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上的任意一点(不与点A ，B 重合)，连接CO 并延长CO 交⊙O 于点D ，连接AD.

(1)弦长AB ＝________；(结果保留根号)

(2)当∠D＝20°时，求∠BOD 的度数；

(3)当AC 的长度为多少时，以A ，C ，D 为顶点的三角形与以B ，C ，O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

【思路分析】(1)结合垂径定理过点O 作BC 的垂线，再由特殊直角三角形得12AB ＝32OB ＝3，则AB ＝23；(2)结合“三角形的外角定理”和“同圆或等圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半”即可解答；(3)首先分析要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时，∠BOC ＝60°，∠BOD ＝120°，∴∠DAC ＝

60°，∴△DAC ∽△BOC.∵∠BCO ＝90°，即OC⊥AB，∴AC ＝12AB ＝ 3. 【学生解答】解：(1)23；(2)连接OA.∵OA＝OB ＝OD ，∴∠BAO ＝∠B＝30°，∠D ＝∠DAO＝20°，∴∠DAB ＝∠BAO＋∠DAO＝50°，∴∠BOD ＝2∠DAB＝100°；(3)∵∠BCO＝∠DAC＋∠D，∴∠BCO>∠DAC ，∠BCO>∠D ，∴要使△DAC 与△BOC 相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，此时∠BOC＝60°，∠BOD ＝120°，∴∠DAC ＝

60°，∴△DAC ∽△BOC.∵∠BCO ＝90°，即OC⊥AB，∴AC ＝12AB ＝ 3.

3．(2016黄冈中考)已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点M ，交BC 于点

N ，连接AN ，过点C 的切线交AB 的延长线于点P .求证：(1)∠BCP＝∠BAN；(2)AM MN ＝CB BP .

证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ANC ＝90°，∴∠NAC ＋∠ACN＝90°，∵AB ＝AC ，∴∠BAN ＝∠CAN，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠ACP ＝90°，∴∠ACN ＋∠PCB＝90°，∴∠BCP ＝∠CAN，∴∠BCP ＝∠BAN；(2)连接MN ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB，又∵四边形AMNC 为⊙O 的内接四边形，∴∠ACB ＋∠AMN＝180°，又∵∠CBP＋

∠ABC＝180°，∴∠PBC ＝∠AMN，由(1)知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC ∽△MNA ，∴AM

MN ＝CB BP

. 4．(2016广东中考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，过点B 作⊙O 的切线BD ，与CA 的延长线交于点D ，与半径AO 的延长线交于点E ，过点A 作⊙O 的切线AF ，与直径BC 的延长线交于点F.

(1)求证：△ACF∽△DAE;

(2)若S △AOC ＝34，求DE 的长； (3)连接EF ，求证：EF 是⊙O 的切线．

解：(1)∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°，又OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°，∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，∴∠CAF＝∠AFC＝30°，∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°，∴∠D＝∠DEA＝30°，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC，∴△ACF∽△DAE；(2)∵△AOC

为等边三角形，∴S△AOC＝

3

4

OA2＝

3

4

，∴OA＝1，∴BC＝2，OB＝1，又∠D＝∠BEO＝30°，∴BD＝23，BE

＝3，∴DE＝33；(3)如图，过点O作OM⊥EF于点M，∵OA＝OB，∠O AF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF，∴△OAF≌△OBE，∴OE＝OF，∵∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°，∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即OE 平分∠BEF，又∠OBE＝∠OME＝90°，∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线．

圆与锐角三角函数

【例3】(2016菏泽中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E.

(1)求证：DE 是⊙O 的切线；

(2)若CE DE ＝23，求cos ∠ABC 的值． 【思路分析】 (1)连接OC.欲证DE 是⊙O 的切线，只需证得OC⊥DE；(2)由CE DE ＝23

，可设CE ＝2k(k>0)，则DE ＝3k ，在Rt △DAE 中，由勾股定理求得AE ＝

DE 2－AD 2＝22k ，则tan E ＝AD AE ＝24，所以在Rt △OCE 中，tan E ＝OC

CE ＝OC

2k ，求得OC ＝k

2.在Rt △AOD 中，由勾股定理得到OD ＝

AO 2＋AD 2＝3

2k ，从而求出cos ∠ABC 的值．

【学生解答】解：(1)如图，连接OC. ∵AD 是过点A 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥AB. ∴∠DAB ＝90°. ∵OD∥BC, ∴∠DOC ＝∠BCO，∠DOA ＝∠CBA.∵OC＝OB ，∴∠BCO ＝∠CBA，∴∠DOC ＝∠DOA.在△COD

和△AOD 中，?????OC ＝OA ，∠DOC ＝∠DOA，OD ＝OD ，

∴△COD ≌△AOD(SAS )，∴∠OCD ＝∠DAB＝90°.即OC⊥DE 于点C.∵OC 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；

(2)由CE DE ＝23，可设CE ＝2k(k>0)，则DE ＝3k ，∴AD ＝DC ＝k ，∴在Rt △DAE 中，AE ＝DE 2－AD 2＝22

k ，∴tan E ＝AD AE ＝24.∵在Rt △OCE 中，tan E ＝OC CE ＝OC 2k ，∴24＝OC 2k ，∴OC ＝OA ＝22

k ，∴在Rt △AOD 中，OD ＝AO 2＋AD 2＝6

2k ，∴cos ∠ABC ＝cos ∠AOD ＝OA OD ＝33.

5．(2016唐山九中一模)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF.

(1)求∠CDE 的度数；

(2)求证：DF 是⊙O 的切线；

(3)若AC ＝25DE ，求tan ∠ABD 的值．

解：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，∴∠EDC ＝90°；(2)连接DO ，∵∠EDC ＝90°，F 是EC 的中点，∴DF ＝FC ，∴∠FDC ＝∠FCD，∵OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠ODC，∴∠ODC ＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD，∴∠ODF ＝∠OCF，∵E C ⊥AC ，∴∠OCF ＝90°，∴∠ ODF ＝90°，∴DF 是⊙O 的切线；(3)在△ACD 与△ACE 中，∠ADC ＝

∠ACE＝90°，∠EAC ＝∠CAD，∴△ACD ∽△AEC ，∴AC AE ＝AD AC ，∴AC 2＝AD·AE.又∵AC＝25DE ，∴20DE 2＝(AE －DE)·AE，∴(AE －5DE)(AE ＋4DE)＝0，∴AE ＝5DE ，AD ＝4DE ，在Rt △ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2，∴CD ＝2DE.又在⊙O 中，∠ABD ＝∠ACD，∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝AD CD

＝2. 6．(2016自贡模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足CF FD ＝13

，连接AF 并延长⊙O 于点E ，连接AD ，DE ，若CF ＝2，AF ＝3.