翻折问题学案
立体几何的动态问题之二
———翻折问题
立体几何动态问题的基本类型：
点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等
一、面动问题（翻折问题）：
（一）学生用草稿纸演示翻折过程: （二）翻折问题的一线五结论
.DF AE ⊥一线：垂直于折痕的线即
五结论：
1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；
折线两侧的几何量和位置关系发生改变； 2--D HF D H F ''∠）是二面角的平面角；
3D DF '）在底面上的投影一定射线上； 二、翻折问题题目呈现：
（一）翻折过程中的范围与最值问题
1、（2016年联考试题）平面四边形ABCD 中，
，
CD=CB= 且AD AB ⊥，
现将△ABD 沿对角线BD 翻折成'A BD ?，则在'A BD ?折起至转到平面BCD 的过程中，直线'A C 与平面BCD 所成最大角的正切值为_______ .
解：由题意知点A 运动的轨迹是以E 为圆心,EA 为半径的圆，当点A
运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以tan 'A CB ∠=
【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误
1
2
进行分析，找出错误的原因。 2、2015年10月浙江省学业水平考试18）.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，线段AD ，BD 的中点分别为E ，F 。现将△ABD 沿对角线BD 翻折，则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是
D
A
B
E
C
D
A
B
C
4) ''D H DH
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；5AD'E AE .）面绕
翻折形成两个同底的圆锥C
A.(
,)63
ππ B. (,]62
ππ C. (
,]32
ππ D. 2(
,)3
3
ππ
分析：这是一道非常经典的学考试题，本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线角的求法。
方法一：特殊值法（可过F 作FH 平行BE,找两个极端情形） 方法二：定义法：利用余弦定理：
222254cos 243
FH FC CH FHC CH FH FC +-∠==-
，有344CH ≤≤
11cos ,22CFH ??
∴∠∈-????
异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是(,]
32ππ 方法三：向量基底法：
111
()()222BE FC BA BD FC BA FC BF FA FC
=+==+
111cos ,cos ,,222BE FC FC FA ??
<>=
<>∈-????
方法四：建系：
3、（2015年浙江·理8）如图，已知ABC ?，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ?折成
A CD '?，所成二面角A CD
B '--的平面角为α，则 （ B ）
A. A DB α'∠≤
B. A DB α'∠≥
C. A CB α'∠≥
D. A CB α'∠≤
方法一：特殊值
方法二：定义法作出二面角，在进行比较。
方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题。
4、
（14
年1月浙江省学业学考试题）如图在Rt △ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD
翻折，若在翻折过程
B
中存在某个位置，使得CB ⊥AD ，则x 的取值范围是( A )
A ．(0，3] B.
???
?22，2 C ．(3，2 3] D ．(2，4] 方法一：利用特殊确定极端值
方法二：在DAB ?中利用余弦定理转化为BDA ∠的函数求解。
方法三：取BC 的中点E,连接EA,ED 在DEA ?中利用两边之和大于第三边求解。
（二）翻折之后的求值问题
5、（2016届丽水一模13）已知正方形ABCD ，E 是边AB 的中点，将ADE △沿DE 折起至DE A '，如图所示，若A CD '为正三角形，则ED 与平面DC A '所成角的余弦值是
6、（2016届温州一模8）如图，在矩形ABCD 中，
2AB =，4AD =，点E 在线段AD 上且3AE =，现分别沿,BE CE 将,ABE DCE ??翻折，
使得点D 落在线段AE 上，则此时二面角D EC B --的余弦值为 ( D ) A ．45 B ．56 C ．67 D ．78
三、课后练习
1、（2012年浙江10）已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。将A B D ?沿矩形的对角线BD
所
?
B
在的直线进行翻折，在翻折过程中（ B ） A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直. B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直. C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.
D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直
2（2009年浙江17）如图，在长方形ABCD 中，AB=2,BC=1,E 为DC 的中点，F 为线段EC(端点除外)上一动点，现将AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC,在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB,K 为垂足，设AK=t,则t 的取值范围是__1
(,1)2
_____.
3、（16年浙江六校联考）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E
现将△ADE 所在平面沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的射 影H
在直线AE 上，当E 从点D 运动到C ，再从C 运动到B ， 则点
H 所形成轨迹的长度为___π___.
4、（2010年浙江19改编）如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在
线段AB ，AD 上，432
====FD AF EB AE ．沿直线EF 将AEF ?翻折成EF A '?，使平面EF A '⊥平面BEF ．点N M ,分别在线段BC
FD ,上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，则线段FM 的长为________
5、（16届金华十校一模17）如图，在矩形ABCD 中，已知AB =2，AD =4，
点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE =1，BF =3，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上. (Ⅰ)求证: CD ⊥BE ;
A M F
E D C
B N
'
A
B B D
(Ⅱ)求线段BH 的长度；
(Ⅲ)求直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值.
17.解：（1）由于⊥BH 平面CDEF ，∴CD BH ⊥，又由于DE CD ⊥，H DE BH = ，
∴E B D CD 平面⊥，∴BE CD ⊥.
法一：（2）设h BH =，k EH =，过F 作FG 垂直ED 于点G ，因为线段BE ，BF 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理：
???-++=+=????++=+=+=2
2222222222222)
2(295k h k h GH FG BH FH BH BF EH BH BE ，可解得???==12
k h ， ∴线段BH 的长度为2.
（2）延长BA 交EF 于点M ，因为3:1::==MB MA BF AE ，∴点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的31
，∴点A 到平面EFCD 的距离为3
2，而13=AF ，直
线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值为
39
13
2. 法二：（2）如图，过点E 作DC ER ∥，过点E 作⊥ES 平面EFCD ，分别以ER 、ED 、
ES 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点)0,0)(,,0(>>z y z y B ，
由于)0,2,2(F ，5=BE ，3=BF ，
∴?
??=+-+=+9)2(4,52
222z y z y 解得???==,2,1z y 于是)2,1,0(B ，所以线段BH 的长度为2. （3）从而)2,1,2(--=FB ，
故)32,31,32(--==
EA ，)3
2
,37,38(--=+=EA FE FA ，
F
C
A
B
D
E
H
A E
F
C
D
B
设平面EFCD 的一个法向量为)1,0,0(=n ，设直线AF 与平面EFCD 所成角的大小为θ，
则39
13
2sin θ.
立体几何的动态问题之三
———最值、范围问题
1、（2006年浙江·理14）正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB ∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 .
A B
P
2、（2008年浙江·理10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是 （ ）
（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线
3、（15届高考模拟卷·文）如图，已知球O 是棱长为1 的正方体
1111ABCD A B C D 的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为
4
、（2014年金华高二十校联考·文10）圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，M 为正方形
ABCD 对角线的交点，动点P 在圆柱下底面内（包括圆周），若直线BM 与直线MP 所成角为45°，则点P
形成的轨迹为 ( ) A ．椭圆的一部分
B ．抛物线的一部分
C ．双曲线的一部分
D . 圆的一部分
5（2014·浙江卷理科17）某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射
击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)
6（2015·浙江卷8）如图11-10，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )
A ．直线
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．双曲线的一支
式题 （1）如图，平面α的斜线AB 交α于B 点，且与α所成的角为θ，平面α内有一动点C 满足∠BAC ＝π
6
，若动点C 的轨迹为椭圆，则θ的
取值范围为________．
(2)在正四面体ABCD 中，M 是AB 的中点，N 是棱CD 上的一个动点，若直线MN 与BD 所成的角为α，则cos α的取值范围是________．
7、(2014年7月浙江学考第25题)在棱长为1的正方体 1111ABCD-A B C D 中，E 、F 分别是棱1111A D C D 、的中 点，Ｎ为线段1B C 的中点，若Ｐ、M 分别为1D B 、EF 的动
O A
C D
A
B
C D
· B
C
点，则PM+PN 的最小值为
8、（16届嘉兴一模·文15）边长为1的正方体
1111D C B A ABCD -将其对角线1AC 与平面α垂直，则正方体1111D C B A ABCD -在平面
α上的投影面积为 ．
9、（16届高考模拟卷·理）正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，底面ABCD 的对角线BD
在平面α内，则正方体在平面α内的投影构成的图形面积的取值范围是 ．
10、（16届高考模拟卷·理）将一个棱长为a 的正方体嵌入到四个半径
为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，则a 的最大值为（ ） A ．
6622- B ．6632- C ．3
2
232- D ．33223-
11、（16届宁波一模·理14）在ABC ?中，10,30BAC ACB ∠=?∠=? ，将直线BC 绕AC 旋转得到1B C ，直线AC 绕AB 旋转得到1AC ，则在所有旋转过程中，直线1B C 与直线1AC 所成角的取值范围为____ ．
12、（16届金华十校一模·理14）在四面体ABCD 中，已知AD ⊥BC ，AD =6，BC =2，且
==2AB AC
BD CD ，则V 四面体ABCD 的最大值为
A . 6
B .
C .
D .8
13、（15年上海高考题改编）在四面体ABCD 中，已知B C AD ⊥，2BC ,6AD ==， [)),7t (t CD AC BD AB +∞==+=+，则ABCD V 四面体最大值的取值范围是 A. [)
+∞,72 B.[)+∞,3 C. [)
+∞,22 D. [)+∞,2
【答案】B. 【解析】
试题分析：设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=，
在A CB '?中，2222222
112cos 22112
A D D
B AB t t A DB A D DB '+-+--'∠==='???，
在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ， 过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，
则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α'∠=，
在Rt A ND '?中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=， 同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==， 显然BP ⊥面A NP '，故BP A P '⊥，
在Rt A BP '?中，2
2
2
2
2
2
2
(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-，
在A NP '?中，
222cos cos 2A N NP A P A NP A N NP α''+-'=∠='?2222sin sin (4cos )
2sin sin t θθθθθ
+--=?
中考数学压轴专题翻折类
中考数学压轴专题 翻折类 1、如图10，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是_______ . 2、如图11，□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为_______ . 3、如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点A 1处，已知OA ＝， AB ＝1，则点A 1的坐标是（ ） A.（ 23，23） B.（23，3） C.（23，23） D.（2 1 ，23） 4、（06临汾）如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 点处．若AFD △的周长为9，ECF △的周长为3，则矩形ABCD 的周长为________． 5、（2010上海金山）如图2，在△ABC 中，AD 是BC 上的中线，BC=4，∠ADC=30°，把△ADC 沿AD 所在直线翻折后点C 落在点C ′的位置，那么点D 到直线BC ′的距离是 ． 4、（08十堰）如图，把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠，使 点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ． （1）求证：ΔABF ≌ΔEDF ； （2）若将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连 接DM ，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由． 解： ⑴证明：由折叠可知，C ．E ED ，CD ∠=∠= ……1分 在矩形ABCD 中，C ，A CD ，AB ∠=∠= ∴E ．A ED AB ∠=∠=, ∵∠AFB ＝∠EFD ， ∴△AFB ≌△EFD ． ……………………４分 ⑵四边形BMDF 是菱形． ………………………５分 F E D C B A 图10 D A B C E F 图11 A F C D B A M 第22题图 F E C / B D C A 图2
折叠问题专题复习.docx
折叠问题专题复习 日期：第页姓名： 1．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则∠ 1的度数等于（） （第 1 题）（第3题）（第4题） 2 ．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的 ∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150° 3 ．如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠， 使 C、D 点分别落在点C1，D1处．若∠C1 BA=50°，则∠ ABE的度数为（） A． 15°B． 20°C． 25°D． 30° 4．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF折叠后， 点 C， D 分别落在C′， D′上， EC′交AD于 点 G， 已知∠ EFG=58°，那么∠BEG=度． 5 ．如图，把一张长方形纸条ABCD 沿EF折叠，若 ∠ 1=58°，则∠ AEG=度．
（第 5 题）（第 6 题）（第 7 题） 6．将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠ 1=度． 7．如图，一张宽度相等的纸条，折叠后，若∠ABC=110°，则∠1的度数为． 8．如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=度． 9．生活中，将一个宽度相等的低条按图所示的方法折叠一下，如果∠ 1=140°，那么∠ 2=度． （第 8 题）（第 9 题）（第10 题） 10 ．如图，把长方形ABCD 沿 EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠ AEF=． 11 ．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B=度． 18 ．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点 D、 C分别落在 D′、 C′的位置．若∠EFB=65°，则∠ AED′等于度． （第 18 题）第19题第20题 19 ．动手操作：在矩形纸片 ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点 A 落在处，折痕为 PQ，当点 A′在 BC边上移动时，折痕的端点P、 Q也随之移动．若限定点 AB、 AD边上移动，则点A′在 BC边上可移动的最大距离为．BC边上的A′P、Q分别在 20．如图，等边△ ABC的边长为 1cm，D、E 分别是 AB、 AC上的点，将△ ADE沿直线 DE折叠，点 A 落在点A′处，且点A′在△ ABC外部，则阴影部分图形的周长为cm． 21 ．如图，将矩形ABCD 沿BE折叠，若 ∠ CBA′=30°，则∠ BEA′=度．
几何翻折变换(折叠问题)(答案参考)
专题：几何翻折变换（折叠问题） 1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t． （Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标； （Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）． 2、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合． （1）求证：△ABG≌△C′DG； （2）求tan∠ABG的值； （3）求EF的长．
3、如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线解析式及点D坐标； （2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标； （3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】 1、解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。 在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t。 ∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=23t2=－23（舍去）．∴点P的坐标为（23，6）。（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的， ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。 ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。 ∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。 又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。∴OB BP PC CQ =。 由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m． ∴ 6t 11t6m = -- 。∴2 111 m t t6 66 =-+（0＜t＜11）。 （Ⅲ）点P 1113 - ，6 11+13 ，6）。 2、（1）证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成， ∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE。 在△ABG≌△C′DG中，∵∠BAG=∠C，AB= C′D，∠ABG=∠AD C′，∴△ABG≌△C′DG（ASA）。（2）解：∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD。 设AG=x，则GB=8﹣x，在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=（8﹣x）2，解得x=7 4 。 ∴ 7 AG7 4 tan ABG AB624∠===。 （3）解：∵△AEF是△DEF翻折而成，∴EF垂直平分AD。∴HD=1 2 AD=4。 ∵tan∠ABG=tan∠ADE=7 24 。∴EH=HD× 7 24 =4× 77 = 246 。
专题训练矩形中的折叠问题
专题训练(一) 矩形中的折叠问题 (本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做) 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( ) A．12 B．10 C．8 D．6 2．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于________． 4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2. 5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm，求： (1)FC的长； (2)EF的长．
AD＝8 cm，DE＝6 cm. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)求BF的长； (3)求折痕AF长． 7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E. (1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上若能，请求出m的值；若不能，请说明理由． 8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10. (1)求矩形ABCD的周长； (2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处． ①求DE的长； ②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．
中考专题——旋转、翻折
翻折、旋转---- 光阴易逝，岂容我待2016.4.23 1、如图，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD 上的动点，则CQ+PQ的最小值是 2、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ=3，当CQ=_____ 时，四边形APQE的周长最小． 3、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点 A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是（） 4、如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若 AB=6，AD′=2，则折痕MN的长为 5、如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿 AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是 6、如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转 到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D= 7已知：在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内将△ABC绕A点旋转到△AB′C′位置，且CC′∥AB，则∠BAB′的度数是 8、如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为 _______ 9、如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，将△ABC绕点A顺时针旋转后得到△ADE（点B的对应 点是点D，点C的对应点是点E），当点E在BC边上时，连接BD，则∠BDE的大小为（） 10、如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB交 CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为
矩形翻折问答整编及答案解析
重庆南开中学初2015级九年级(下)半期考试 数 学 试 题 一、选择题(本大题12个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号 为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答卷上对应的方框涂黑． 1．2的相反数是( ) A ．2 B ． 21 C ．-2 D ．2 1- 2．计算3 2 2· x x -的结果是( ) A ．5 2x - B ．5 2x C ．6 2x - D ．6 2x 3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) 4．如图，点O 在直线AC 上，BO ⊥DO 于点O ，若?=∠1451，则3∠的度数为( ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65° 5．若a(a ≠0)是关于方程022 =-+a bx x 的一个根，则b a +的值为( ) A ．2 B ．-2 C ．0 D ．4 6．如图，已知DE ∥BC ，且=DB AD ：2:1，则△ADE 与△ABC 的面积比为( ) A ．1:4 B ．2:3 C ．4:6 D ．4:9
7．下列说法正确的是( ) A ．调查重庆市空气质量情况应采用普查的方式 B ．若A 、B 两组数据的平均数相同，A 组数据的方差2 A S =0.03， B 组数据的方差2 B S =0.2，则8组数据比A 组数据稳定 C ．南开中学明年开运动会一定会下雨 D ．为了解初三年级24个班课间活动的使用情况。李老师采用普查的方式 8．如图， O 是正方ABCD 的外接圆，点E 是弧AB 上任意一点，则DEC ∠的度数为( ) A ．40° B ．45° C ．48° D ．50° 9．关于x 的方程 11 =+x a 的解是负数，则口的取值范围是( ) A ．a 中考数学专题复习16——矩形折叠问 来源：家学网【相信自己,掌握未来,家学网值得信赖!】2012年05月18日 思路分析：找到由折叠产生的所有等量关系，其中也需要用到方程思想（设未知数，并表示出 其他线段长度） 例2．在长方形ABCD 中，AB=4，BC=8，将图形沿着AC 对折，如 图所示：（1）请说明△ABF △CFF（2）求 思路分析： 在多问设置的证明题中，前几问往往是为后面的问题服务的；所以得到全等之后，也就是得 到了多组等量关系，此时我们再来设未知数，自然可以表示出其他线段了. 例3. 在长方形 ABCD 中，AB=3，BC=5，将图形沿着 EF 对折，使得 B 点与 D 点重合。 （1）说明 DE=DF （2）求 （3）求EF 的长度 思路分析：（1）要说明 DE=DF，有两种思路： ①可说明全等； ② 可说明△DEF 是等腰三角形，DE、DF 是两腰 所以这个题目既要有能力说明全等也要有能力说明等腰 例4 如图①，将边长为4cm 的正方形纸片 ABCD 沿EF 折叠(点 E、F 分别在边 AB、CD 上)， 使点B 落在AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与CD 交于点 P，连接 EP． (1)如图②，若M 为AD 边的中点，①,△AEM的周长= cm；②求证：EP=AE+DP； (2)随着落点 M 在AD 边上取遍所有的位置(点M 不与A、D 重合)，△PDM的周长是否发生变化? 请说明理由． 思路分析：（1）①设 AE=x，由折叠的性质可知 EM=BE=12-x，在Rt△AEM 中，运用勾股定理求AE；②过点 F 作FG⊥AB，垂足为 G，连接 BM，根据折叠的性质得点 B 和点M 关于EF 对称， 即BM⊥EF，又AB=FG，∠A=∠EGF=90°，可证△ABM≌△GFE，把求 EF 的问题转化为求 BM；（2）设AE=x，AM=y，则 BE=EM=12-x，MD=12-y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出 x、y 的关 系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长． 三.能力训练 1.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后 得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）. 翻折问题 翻折问题是近几年中考中常考的一个问题，解决此类问题的关键是找出隐藏的条件（翻折前后的线段相等，角相等） 1 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕， ∠BAE＝30°，AB＝3，折叠后，点C落在AD边上的C1 处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（） 2 A．3B．2 C．3 D．3 2.小许拿了一张正方形的纸片如图甲，沿虚线对折一次得图乙．?再对折一次得图丙．然后用剪刀沿图丙中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角．打开后的形状是（? ）． 3.如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是 ( ) C B A D 4．一张矩形纸片按如图甲或乙所示对折，然后沿着图丙中的虚线剪下，得到①，?②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）． （A ）三角形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）梯形 5 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是…（ ） 6如图，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，将梯形对折，使点D 、C 分别 落在AB 上的点D '、C '，折痕为EF ，若CD =3cm ，EF =4cm ，则 D A '+C B '为…………………………………………………（ ） A ．2m B ．3m C ．4m D ．5m 7．如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的 中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是…（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 8 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝6，则BC 的长为( ) A ．1 B ．2 2 C ．2 3 D ．12 9如图，两张宽为1cm 的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分 部分是四边形ABCD,已知∠BAD=30°则重叠部分的 面积是 cm 2 A ． B ． C ． D ． N M F E D C B A （第18题图） A C B 折叠问题 折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。 1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ． 48° C ．52° D ．58° 2、（2009湖北省荆门市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（ ） A ．40° B ．30° C ．20° D ．10° 3、（2009年日照市） 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ． 4、（2009年衢州）在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为 A ．9.5 B ．10.5 C ．11 D ．15.5 5、（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处， 若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为 ． 6、(2009年上海市)在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ． 7、(2009宁夏) 如图：在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，将ADC △沿AC 边所在的直线折叠，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE ． 求证：EC AB ∥． 8、（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和 C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合） ，过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 9、（2009恩施市）如图，在ABC △中，9010A BC ABC ∠==°，，△的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设DE x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ． （1）用x 表示ADE △的面积； （2）求出05x <≤时y 与x 的函数关系式； （3）求出510x <<时y 与x 的函数关系式； （4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ A 图3 B M C B C N M A 第2题图 A ' B D A C E C B A D 2021年最新 12 翻折变换（折叠问题） 一．选择题（共12小题） 1．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（） A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm 【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：由折叠的性质得：BE＝DE， 设DE长为xcm，则AE＝（9﹣x）cm，BE＝xcm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， 根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2， 即（9﹣x）2+32＝x2， 解得：x＝5， 即DE长为5cm， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 2．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点．将△ABC沿DE翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3．若BE＝16，则点F到BC边的距离是（） A．8B．12C ．D ． 【分析】作EM⊥AB于M，由等边三角形的性质和直角三角形的性质求出BM ＝BE＝8，ME ＝BM＝8，由折叠的性质得出FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，得出BF ＝（16+x），求出FM＝BF﹣BM ＝（16+x）﹣8＝+x，在Rt△EFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出BF＝21．作FN⊥BC于N，则∠BFN＝30°，由直角三角形的性质得出BN ＝BF ＝，得出FN ＝BN ＝即可． 【解答】解：作EM⊥AB于M，如图所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB，∠B＝60°， ∵EM⊥AB， ∴∠BEM＝30°， ∴BM ＝BE＝8，ME ＝BM＝8， 由折叠的性质得：FE＝CE，设FE＝CE＝x， 则AB＝BC＝16+x， ∵AF：BF＝2：3， ∴BF ＝（16+x）， ∴FM＝BF﹣BM ＝（16+x）﹣8＝+x， 在Rt△EFM中，由勾股定理得：（8）2+（+x）2＝x2， 解得：x＝19，或x＝﹣16（舍去）， ∴BF ＝（16+19）＝21， 学科教师辅导讲义讲义编号：09sh7csx000 P F E D C B A 9．在□ABCD中，AC与BD相交于点O，∠AOB=45°，BD=2，将△ABC沿直线AC翻折后，点B落在点B′处，那么DB′的长为． 10．如图，将正方形纸片ABCD分别沿AE、BF折叠（点E、F是边CD上两点），使点C与D在形内重合于点P处，则= ∠EPF______________度. 11．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F分别在AB、BC边上，将△BEF沿直线EF翻折后，点B落在对边AC的点为B＇，若△B＇FC与△ABC相似，那么BF＝. 12．矩形纸片ABCD中，AD=4cm ，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE= cm. 13．如图，P是等边△ABC内的一点，若将△PAC绕点A逆时针旋转到△P AB '，则PAP' ∠的度数为________．14. 对于13题追加条件222 PA PC PB +=，则APC ∠的度数为________． B A C P' P A E B C D F C1 15．如图，在ABC Rt ?中，ο90=∠ACB ，ο30=∠A ，cm BC 2=，C B A ''?是ABC Rt ?绕点C 按顺时针方向 旋转ο 30后得到的，设B A ''边交BC 边于点D ，则B CD '?的面积是 2 cm . 16． 如图，将直角边长为5cm 的等腰直角ΔABC 绕点A 逆时针旋转15°后,得到ΔA B’C ’，则图中阴影部分的面积是 cm 2 ． 17．上海将在2010年举办世博会。黄浦江边大幅宣传画上的“2010”如右图所示。从对岸看，它在水中倒影所显示的数是____________． 18.如图,边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30 °后得到正方形EFCG,EF 交AD 于点H,那么DH 的长为________. H G F E D C B A 19．如图，已知正方形ABCD 的边长为2.如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′点处， 那么tan BAD ∠′等于__________ A B ' A ' D B C C'B' C B A 专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问 题 1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图 2. (1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC; (2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值. 2. (2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点. (1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由; (2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值. 3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1. (1)求证:A1D∥平面BCC1B1; (2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由. 4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2. (1)证明:在图2中,平面ACG⊥平面BCG; (2)设M为图2中线段CG上一点,且CM=1,若直线AG∥平面BMD,求图2中的直线BM与平面AHB 所成角的正弦值. 5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD为菱形,且∠A=60°,取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG,使得∠AEG=90°,如图2. (1)求证:AE⊥平面EBHG; (2)求二面角A-GH-B的余弦值; (3)若点F满足=λ,当EF∥平面AGH时,求λ的值. 初二图形的翻折专题 1.如图，在矩形ABCD中，AD＝15，点E在边DC上，连结AE， △ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．如果AD＝3GD，那么DE＝_____． 2.如图1，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形， 点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE 最小，则这个最小值为_________． 3.如图，将正方形ABCD沿MN折叠，使点D落在AB边上， 对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折 痕MN的长为_________． 4.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P为AD边上一点， 将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD， 则AP的长为_______． 5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，把矩形ABCD沿直线 MN翻折，点B落在边AD上的E点处，若AE＝2AM，那么EN 的长等于． 6. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＜BC ，点M 、N 分别在 AD 、BC 上，沿直线MN 将四边形DMNC 翻折，点C 恰好与 点A 重合．如果此时在原图中△CDM 与△MNC 的面积比是 1∶3，那么MN DM 的值等于___________． 7. 如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且 OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上， 则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________． 8. 如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠C ＝90°，点D 是BC 的 中点，将△ABC 沿着直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，折 痕交AB 于点E ，交AC 于点F ，那么DE CF 的值为____________． 9. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，点D 在边BC 上，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C ′处， 连结AC ′．直线AC ′与CB 的延长线相交于点F ． 如果∠DAB ＝∠BAF ，那么BF ＝______________． 思想方法专题：矩形中的折叠问题 ——体会折叠中的方程思想及数形结合思想 ◆类型一 折叠中求角度 1．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF .若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为( ) A ．15° B ．20° C ．25° D ．30° 第1题图 第2题图 2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD ，使AD 和BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN .观察探究可以得到∠ABM 的度数是( ) A ．25° B ．30° C ．36° D ．45° ◆类型二 折叠中求线段长 3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在 E 处，AE 交DC 于点O ，若AO ＝5cm ，则AB 的长为( ) A ．6cm B ．7cm C ．8cm D ．9cm 第3题图 第4题图 4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( ) A ．3 B.245 C ．5 D.89 16 5．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将 △ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为________． ◆类型三折叠中求面积 6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E. (1)求证：△AFE≌△CDE； (2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积． 7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM. (1)当AN平分∠MAB时，求DM的长； (2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积． 全等三角形专题——三角形的旋转、翻折与线段的截长补短 经典例题透析 类型一：由角平分线想到构造全等 不管轴对称图形还是两个图形轴对称，我们不难发现对应点与轴上一点（此点作为顶点）组成的角被轴平分，根据这一特点，在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把角、线段转移达到解题目的． 1．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8．求BE的长． 图 1 图 2 解析：由题意得 △BFE≌△DFE，∴ BE=DE， 在△BDE中，ED=BE，∠DBE=45°， ∴∠BDE=∠DBE=45°， ∴∠DEB=90°，即DE⊥BC，在等腰梯形中，AD=2，BC=8， 过A作AG⊥BC，交BC于G，如图2，四边形AGED是矩形∴ GE=AD=2， 在Rt△ABG和Rt△DCE中，AB=DC，AG=DE， ∴ Rt△ABG≌Rt△DCE，∴ BG=CE，∴，∴ BE=5．2．如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A 求证： 图 3 图 4 解析：如图4，作∠B的平分线交AC于D， 则∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A=∠C ∴ AD=BD=BC 作BM⊥AC于M，则CM=DM． 3．如图5，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＞BC，求证：AC＞BD 图 5 图 6 解析：如图6，作DE∥AC，DF∥BC，交BA或延长线于点E、F，四边形ACDE和四边形BCDF都是平行四边形． ∴ DE=AC，DF=BC，AE=CD=BF 作DH⊥AB于H，根据勾股定理 ，， ∵ AD＞BC，AD＞DF ∴ AH＞FH，EH＞BH ， ∴ DE＞BD， 即AC＞BD. 4．如图7，已知△ABC中，AD⊥BC，AB+CD=AC+BD．求证：AB=AC． 图 7 解析：设AB、AC、BD、，CD分别为b、c、m、n， 则c+n=b+m，c-b=m-n，∵ AD⊥BC，根据勾股定理，得 ， ∴， A B C D M N P Q 折叠问题 1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为_____ 2．如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°， 则∠AED′等于______ 3、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=°，则AEF ∠=（ ） A ．110° B．115° C．120° D．130° 4、如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A′处，若∠A′BC＝20°，则∠A′BD 的度数为（ ） A ．15° B．20° C．25° D．30° 5、如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A 的大小等于____________度． 6 、点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60°，则∠DEA ＝____________． 7．如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ ＝ 度. 1 A E D C B F 8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点 D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为 MN，则∠AMF等于_____________。 9.如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C’，D’处，C’E 交AF于点G.若∠CEF=70°，则∠GFD’= _____。 10、将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为_________。 11．如图，将矩形纸片ABCD（图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上A1，折痕EF交AD边于点F（如图③）；（3）将纸片收展平，则∠AFE＝____________． 12．如图，一张长方形纸沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD ＝____________． A B A B O O C D 翻折专题训练 1．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC 沿OB 对折，使点A 落在点A 1处，已知OA ＝， AB ＝1，则点A 1的坐标是（ ） A.（ 2 3， 2 3） B.（ 2 3，3） C.（ 2 3， 2 3） D.（ 2 1， 2 3） 2．如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm 3．如图，菱形纸片ABCD 中，60A ? ∠=， 将纸片折叠，点A 、D 分别落在A’、D’处，且A’D’经过B ，EF 为折痕，当D’F ⊥CD 时， C F F D 的值为（ ） A. 12 B. 6 C. 16 D. 18 4．如图，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（5，0），点E 是BC C 点恰好落在x 轴上点F 处． （1）求点F 的坐标； （2）求线段AF 所在直线的解析式． 5．如图，四边形ABCD 为一梯形纸片，AB ∥CD ，AD ＝BC ．翻折纸片ABCD ，使点A 与点C 重合，折痕为EF ．已知CE ⊥AB ． （1）求证：EF ∥BD ； （2）若AB ＝7，CD ＝3，求线段EF 的长． N E D C F E D' A' D C B A 6．如图，矩形纸片A B C D 中，8A B =，将纸片折叠，使顶点B 落在边A D 的E 点上，折痕的一端G 点在边B C 上，10B G =． （1）当折痕的另一端F 在A B 边上时，如图（1），求E F G △的面积； （2）当折痕的另一端F 在A D 边上时，如图（2），证明四边形B G E F 为菱形，并求出折痕G F 的长． 7．（1）观察与发现 小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为 AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸 片后得到A E F △（如图②）．小明认为A E F △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用 将矩形纸片A B C D 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小． A B F E (B ) D C G 图（1） 图（2） G C D F A B E (B ) H (A ) 专题16 第7章《平面图形的认识（二）》中翻折问题尖 子生培优训练 班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、解答题（本大题共7小题，共70分） 1.(1)如图①，在△ABC中，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，得到△AED， AE与BC交于点F.已知∠B=50°，∠BAD=15°，求∠AFC的度数． (2)如图②，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位 置，∠1、∠2与∠A之间存在一定的数量关系，请判断它们之间的关系，并说明理由． (3)如图③，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位 置，此时∠1、∠2与∠A之间也存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的关系，无需说明理由． 2.在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED， 边AE交射线BC于点F． (1)如(图1)，当AE⊥BC时，求证：DE//AC (2)若∠C=2∠B，∠BAD=x°(0 一点A，B，使得∠ABM=α． 如图2，将纸条作第一次折叠，使BM′与BA在同一条直线上，折痕记为BR1． 解决下面的问题： (1)聪明的小白想计算当α=90°时，∠BR1N′的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解： 如图3，PN//QM，A，B分别在PN，QM上，且∠ABM=90°，由折叠：BR1平分______，BM′//R1N′，求∠BR1N′的度数． (2)聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条(如图4)，是否有可能使AM′′⊥BR1？如果能，请直接写出此时α的度数；如果不能，请说明理由． (3)笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<α≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使BM′与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2(如图5)；将纸条展开，作第三次折叠，使BM′与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推．中考数学专题复习16矩形折叠问题(最新整理)
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