高三数学第一轮复习中档题训练(全套)

高三数学第一轮复习基础题训练

1．集合A=｛1，3，a ｝，B=｛1，a 2｝，问是否存在这样的实数a ，使得B ?A ，且A∩B=｛1，a ｝？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由．

2．在ABC ?中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。 （Ⅰ）求角A 的大小：（Ⅱ）若2

22sin 2sin 122

B C

+=，判断ABC ?的形状。

3．设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率2

3

=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,

求这个椭圆方程.

4．数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.（1）求,n n a b ；（2）求证12

11134

n S S S +++

<.

5．已知函数()11

6

-+=

x x f 的定义域为集合A ，函数()()m x x x g ++-=2lg 2的定义域为集合B. ⑴当m=3时，求()B C A R ；⑵若{}

41<<-=x x B A ，求实数m 的值.

6．设向量(cos ,sin )m θθ

=，(22sin cos )n θθ=+，),2

3

(ππθ--∈，若1m n ?=，求：（1）

)4

sin(π

θ+

的值； （2）)12

7

cos(πθ+

的值．

7．在几何体ABCDE 中，∠BAC=

2

π

，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1

（Ⅰ）求证：DC ∥平面ABE ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面BCDE ；

（Ⅲ）求证：平面AFD ⊥平面AFE ．

B

C

D

E

F

8. 已知ΔOFQ 的面积为2 6 ,且OF FQ m ?=.

(1)设 6 ＜m ＜4 6 ,求向量OF FQ 与的夹角θ正切值的取值范围； (2)设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图),OF c = , m=( 6 4

-1)c 2

,当OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程.

9．已知向量a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（

3π

2π2

，）

， 且a ⊥b ． （1）求tan α的值； （2）求cos(π

2

3

α

+

)的值．

10．某隧道长2150m ，通过隧道的车速不能超过20m/s 。一列有55辆车身长都为10m 的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为40m/s ），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s ，根据安全和车流的需要，当

100≤

)3

1

612x x +（m 的距离。自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为)(s y 。

（1）将y 表示为x 的函数。 （2）求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度。)

1.73≈

11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S ＝2,1,2,3,n a n -=…。 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式； （III ）设c n ＝n(3－b n )，求数列{c n }的前n 项和T n

12．设函数2()(1)2ln f x x k x =+-． （1）当k =2时，求函数f (x )的增区间；（2）当k ＜0时，求函数g (x )=()f x '在区间（0，2]上的最小值．

13．已知向量.)(),cos 2,1(),cos ,22sin 3(x f x x x ?==+=设函数 （1）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间。

（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,1,4)(==b A f

△ABC 的面积为2

3

，求a 的值.

14．已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，12312a a a ++=．

(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 令n a

n b 3=，求证：数列{}n b 是等比数列．

15．已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-．（Ⅰ）若'(1)3f =，求a 值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．

16．已知二次函数)()(2R x a ax x x f ∈+-=同时满足：①不等式0)(≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式)()(21x f x f >成立。设数列}{n a 的前n 项和)(n f S n =。（1）求)(x f 表达式；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）设5

)

3(+=n a n b ，1

126++-+=n n n

n n n b b b b b c ，}{n c 前n 项和为n T ，

对m n T n +>（)2*,≥∈n N n 恒成立，求m 范围

17．设12,F F 分别是椭圆22

22:1x y C a b

+=(0)a b >>的左、右焦点

（1）若椭圆C 上的点3(1,)2

A 到12,F F 两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设点P 是（1）中所得椭圆上的动点，1(0,)2

Q ，求PQ 的最大值；

18．设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，． （Ⅰ）当10

3

a =-

时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；

（Ⅲ）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围

19．在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观

测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距B ，经过40

分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中sin θ=

26

，090θ<<)且与点A 相距

1

A 位置C .

（I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

20．已知分别以1d 和2d 为公差的等差数列}{n a 和}{n b 满足181=a ，3614=b ．

（1）若1d =18，且存在正整数m ，使得45142

-=+m m b a ，求证：1082>d ；

（2）若0==k k b a ，且数列1a ，2a ，…，k a ，1+k b ，2+k b ，…，14b 的前n 项和n S 满足k S S 214=，

求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；

21．设函数f(x)=a ·b ，其中向量a =(2cos x ，1)，b =(cos x ， 3sin2x )，x ∈R. （Ⅰ）若f(x)=1－3且x ∈[－

3π，3

π

]，求x ； （Ⅱ）若函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)(|m|<

2

π

)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m 、n 的值

22．盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.

23．如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。

（1）求DP 与CC 1所成角的大小； （2）求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小。

24．设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．

25．甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是25, 12, 1

3.现3人各投篮1次,求:

(Ⅰ)3人都投进的概率;(Ⅱ)3人中恰有2人投进的概率.

A B C D E F

P Q H A ' B ' C ' D ' G

26．如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，AP=BQ=b （0

（Ⅰ）证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直； （Ⅱ）证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值， 并求出这个值；

（Ⅲ）若12b =，求D E '与平面PQEF 所成角的正弦值．

27．在ABC △中，已知内角A π

=

3

，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．

28．甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95． （Ⅰ）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）； （Ⅱ）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率.

29．如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点

E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．

30．在ABC △中，角A B C ，，

的对边分别为tan a b c C =，，， （1）求cos C ；（2）若5

2

CB CA ?=

，且9a b +=，求c ．

31．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.两甲，乙两袋中各任取2个球.

(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率； (Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为4

3

，求n.

32．如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ， 60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;

（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的

正切值为

2

E —A

F —C 的余弦值。 A

B C

D

E

A 1

B 1

C 1

D

1