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随机信号分析与处理答案(罗鹏飞,张文明编著)

作业一的参考答案

1. P28：1.10

解：利用 /(,)(/)()

XY X Y Y f x y f x y f y =

222()(,)Y X Y ax by a by f y f x y dx dx a b

a b

+∞-∞

++=

++?

所以 /2()/()2()(/)(2)/()

(2)

X Y ax by a b ax by f x y a by a b a by +++=

+++

//1/4

(/1/4)(/)

12()44

224

X Y X Y y f x y f x y ax b ax b a b

a b ===+

(/1/4)(/1/4)48326(2)

X Y E X Y xf x y dx

ax b a b x

dx a b

a b +∞-∞

===++=

++?

（2）同理利用 /0.5

0.5

(,)(/)

()

XY Y X x x X f x y f y x f x ===

可得到 /1

34(/)(/1/2)2

6()

Y X a b E Y X yf y x dy a b +∞-∞

+==

2. P29：1.15

解：由题意可得，1()1,E X = 4()1E X =，1()2D X =，4()2D X =， 1441(,)(,)0C ov X X C ov X X ==。

所以 (1) 均值矩阵'11??

=????m ，协方差矩阵'2

002??

???

Y 的分布为''14(,)(,)T Y X X N =m K (2) 1(2)2E X =,23()1E X X +=-,34()1E X X -=-

所以 Z 的均值矩阵''211??

=-??

??-??

m 1111(2,2)(2)4()428C ov X X D X D X ===?=，

123123123121312121313(2,)[(2)()](2)()(22)21(10)

2[(,)()()(,)()()]22[11(1)010]22

C ov X X X E X X X E X E X X E X X X X C ov X X E X E X C ov X X E X E X +=+-+=+-??-+=++++=+?-++?+=

同理可得 134341(2,)0(,2)C ov X X X C ov X X X -==-， 23()6

D X X +=，

23343423(,)(,)2C ov X X X X C ov X X X X +-=-+=，

34()2D X X -=

所以协方差矩阵''8

202620

2??

=??????

K ， Z 满足的分布为''''(,)Z N m K （3） Z 的特征函数''''

1()exp[()]2

T T

z w j Φ=-

m w w K w

其中 ''''

12328

201,262,[ ]10

2T w w w ????

????=-==????????-????

m K w

3. 随机变量,X Y 具有高斯分布特征，1,2,X Y m m ==，协方差矩阵为 44[

][

]

9X XY YX

C C C C C -==-，其中,X X Y Y C C σσ==，X Y C 和YX C 是X Y 的两

个协方差。

（1）计算随机变量X 与Y 的互相关系数；

（2）如果2,2,Z X Y W X Y =+=-求,Z W 的协方差ZW C （3）计算随机变量Z 的概率密度函数()p z 。

解：（1）互相关系数

XY γ=

(2) (2,2)

[(2)(2)](2)(2)2

ZW C C ov X Y X Y E X Y X Y E X Y E X Y =+-=+----=

(3) 因为 ,X Y 为高斯随机变量

所以 2Z X Y =+也为高斯分布

()4E Z =， 2

()(2)

[(2)][(2)]

D Z D X Y

E X Y E X Y =+=+-+=

的概率密度函数2

1(4)()]18

x P Z -=

4. 随机过程()2c o s (2),

X t t πθ=+其中θ满足(0)1/2

(/2)1/2P P θθπ==??

==?

的离散随机变量，即θ是以等概1/2，取值为0或/2π的随机变量。 (1) 当1t =时，求()X t 的均值{(1)};E X

(2) 求当0t =及1t =时的自相关，即{(0)(1)}(0,1)E X X R = 是多少？

解： (1)

{(1)}[2cos(2)]2(cos )

112[(cos 0)(cos

)]

121

2E X E E πθθπ=+==?

(2)

(0,1)[(0)(1)][2cos 2cos(2)]4[cos cos ]

114[(cos 0)(cos

)]

142

2R E X X E E θπθθθπ==+==??

5. P85：2.6 问题还需增加“求均值，自相关函数及验证平稳性”

解：因为A ，B 为独立的高斯随机变量所以 ()()()0E AB E A E B ==

[]()cos ()cos 0E X E A wt E B wt =+=

2222

()[(cos sin )][(cos sin )]

(cos 2cos sin sin )

D X

E A w t B w t E A w t B w t E A w t AB w t w t B w t σ

=+-+=++=

自相关函数2121212(,)[()()]cos[()]X R t t E X t X t w t t σ==-

由于均值为常数，自相关函数只与时间间隔12t t -有关，与时间起始点无关，所以随机过程()X t 为广义平稳过程。

取随机过程()X t 任意两时刻12,t t 处的随机变量为12,X X ，则 1()0E X =，2()0E X =，212()()D X D X σ==， 2122,112(,)()cos[()]Cov X X Cov X X w t t σ==- 二维均值矩阵00??

=????

m ①，

协方差矩阵2

122

12cos[()]cos[()]

w t t w t t σ

σσσ

-=??-??

K ②，随机过程()X t 的二维联合正态概率密度函数为()X f X 可表示为 1

1/2

11()exp[()()]2

2T X f π-=

--X x m K

x m K

其中12[ ]T x x =x ，m 的表达式见①式，K 的表达式见②式。

6. P85：2.7

证明：由许瓦兹不等式，得到

222[(()())][(())][(())]E X t X t E X t E X t ττ+≤+ 因为 ()[()()]X R E X t X t ττ=+, 2(0)[(())]X R E X t = 2(0)[(())]X R E X t τ=+

所以 2[()](0)(0)X X X R R R τ≤，即()(0)X X R R τ≤

获证。

作业二的参考答案

1. P89：

2.39

解：因为()X t 为与Θ无关的平稳随机过程所以设()X t 的自相关函数为()X R τ。

()Y t 的自相关函数为

00000000000(,)[()()][()cos()()cos(())][()()][cos()cos(())]()[cos()cos(())]1()[cos(22)cos()]

11()[cos()cos(222Y X X X R t t E Y t Y t E X t w t X t w t E X t X t E w t w t R E w t w t R E w t w w R w w τττττττττττττπ

+=+=+Θ+++Θ=++Θ++Θ=+Θ++Θ=?++Θ+=+200

02)]

1()cos()

X t w d R w πτττ++ΘΘ=?

功率谱密度

001()()[()()]4

jw Y Y X X G w R e

d G w w G w w τ

ττ+∞--∞

++-?

其中()X G w 为X 的功率谱密度

2. P88： 2.37

解：平稳随机过程()X t 的自相关函数为

1010

101010101010100

11()()[8()20(1)]2210

410

(1)104

(1)(cos sin )104

(1)cos 104

(1)cos 10

2(cos101)

jw jw X X jw w R G w e dw w e

w e

w w j w dw

w w dw

τδπ

ττπ

τπ

τππτ

+∞+-∞

-+-+-+-==

=+-=+-+=+-

=+--=

???

3. 已知随机过程()n t 的功率谱为()n S w ，试求()()()Y t n t n t T =--的自相关函

数，功率谱，画出该系统模型框图及其系统传递函数的平方幅频图(即

|()|

H f )。设()n t 的自相关函数与功率谱为()()n n R S w τ?

解：

(){[()()][()()]}2()()()

Y n n n R E n t n t T n t n t T R R T R T ττττττ=--+-+-=-+--

功率谱为

()2()()()()(2)

2(1cos )()4sin (

)()

jw T

Y n n n jw T jw T n n n S w S w S w e

S w e

S w e e T w T S w w S w --=--=--=-=

所以传递函数2

2()4sin ()2

H w w =

图略。提示：

画系统模型时，()n t 为输入，()Y t 为输出。带一个加法器和延时器T 传递函数幅频图，即2

()H f f 图(利用2w f π=，得到

()4s i n ()H f T f π=

)（注意图中要标出最大值及所对应的频率，且

()H f 为正数）

4. 信号()X t 为均值等于0，方差为2

X σ的遍历性平稳随机过程，进行双边带

调幅后，进入带宽为W 的窄带信道传输，在有窄带高斯噪声()n t 加性干扰后的

混合信号为

0()()cos()()()()z t X t w t n t s t n t θ=++=+ 式中w 为高频载波的角频率，载频002w f π

。

θ为载波(余弦)信号在(,)ππ-内均匀分布的相位随机变量，设()X t ，

θ，()n t 均统计独立。

(1) 试给出各种“统计均值”结果，即(),(),()E X E s E z

(2) 0()()cos()s t X t w t θ=+是否平稳且遍历？若将()X t 改为0A (常数)如

何？

(3) ()z t 是否遍历？是否平稳？

(4) 若将()z t 乘以0cos()w t θ+，再经低通滤波LPF ，得到()Y t ，情况如

何？

解：

(提一下：关于窄带高斯噪声的介绍见你们的通信原理书)

（1）0x m =（题设）

00[()cos()][()][cos()]0s m E X t w t E X t E w t =+Θ=+Θ= （利用了()X t 与

统计独立条件）

[()]0z m E z t ==

（2）计算自相关函数如下： 0()(,)[()()]cos 2

X s R R t t E s t s t w ττττ

+=+=

由0s m =(常数)及()s R τ只与时间间隔有关知，()s t 是广义平稳过程。

再证明0()()cos()s t X t w t =+Θ的遍历性。

由遍历性定义，求时间平均和时间相关函数分别为 01lim

()cos()2T s T

T m X t w t dt

-→∞

=+Θ?

001()lim

()(cos )()cos[()]2T s T

T R X t w t X t w t dt

τττ--→∞

=+Θ+++Θ?

由于()X t 没有确定的时间表达式，故上式相关运算无法得到结果，

不便于证明()s t 是否具有遍历性。

当00()cos()s t A w t =+Θ，即将()X t 换为常数0A ，则 01lim

cos()0

2T s T

T m A w t dt T

-→∞

=+Θ=?

0002

00002

00001()lim

cos()cos[()]21lim

[cos cos(22)]22

cos (cos(22)0)

T s T

T T T

T R A w t w t dt

T A w w t w dt

A w w t w ττττττ--→∞

-→∞

=+Θ++Θ=+++Θ=++Θ?

因为在整数个周期内积分为

由此可见，时间平均等于统计平均，时间相关函数等于统计相关函数。即当以0A 取代()X t 时()s t 才有遍历平稳性（3）由（2）中0()()cos()

X s R R w τττ=

，而()n t 与Θ和()X t 均独立，得

[()]0z s n m E z t m m ==+= 0()(,)cos()()2

X z n R R t t w R ττττ+=

所以，()z t 广义平稳。但由(2)知0()cos()X t w t +Θ不具有遍历性，所

以()z t 并不遍历。

（4）设0()()cos()()z t X t w t n t θ=++，其中，θ为Θ在瞬时为某随机相位

值，则

0000000()()cos()

()cos ()()cos()()[1cos(22)][()cos ()sin ]cos()2()() (LPF 2w )

LPF

I Q LPF

I Y t z t w t X t w t n t w t X t w t n t w t n t w t w t n t X t θθθθθ=+=+++=+++-+=+滤除含的高频信号

其中1()n t 为同相分量。

[()]0

()()(,)[()()]4

Y n X Y m E Y t R R R t t E Y t Y t ττττ==+=+=

+ Y t （）的均值为常数0，自相关函数只与时间间隔有关，所以Y t （）为广义

平稳。

1lim

[()()]4T Y I T

T m X t n t dt

-→∞

=+?

由于()X t 的具体表达式未知，所以遍历性无法确定。

作业三的参考答案

1. 设时间序列()x n 的自相关函数(),0,1,2,3k X R k k ρ==，白噪声方差为2δ，试利用Yule Walker 方程求解AR(3)模型参数和功率谱估计。

解：设(3)AR 模型为112233k k k k k X X X X w ???---=+++，其中123,,???为参数， k w 是方差为2δ的白噪声。由(),0,1,2,3k X R k k ρ==，得到

230123(0)1, R (1), R (2),(3)X X X X R R ρρρρρρρ======== ①

由112233k k k k ρ?ρ?ρ?ρ---=++和k k ρρ-=，得到

110213*********

122130ρ?ρ?ρ?ρρ?ρ?ρ?ρρ?ρ?ρ?ρ

=++??

=++??=++? ②

将①代入②，得到

123212332123ρ??ρ?ρρ?ρ??ρ

ρ?ρ?ρ?

?=++?

=++??=++?

③

解③，得到该模型的参数为

123

00?ρ

??=??

=??=?

功率谱估计为 2

()12cos 11X jw

jw k

k k P w w e

ρρ

ρ?--==

-+--∑

2. 一随机信号()x n 的功率谱为ω的有理式: 1.25cos () 1.06250.5cos w P w w

+, 若将

这一功率谱看作是被具有单位功率谱的白噪声所激励的线性因果，最小相位系统()H z 的输出的功率谱，求该线性系统()H z

解：由线性变换关系知， 2

()()()x n P w H w P w =，其中 ()x P w 为输出信

号()x n 的功率谱，()H w 为传递函数，()n P w 为白噪声()n t 的功率谱.由题意知()1n P w =。所以

1.25cos ()

() 1.06250.5cos 1.25()/2

52()

1.0625()/4

4.25x jw

w H w P w w

e e e

e e

----+==

+++++=

++++

令 jw z e =，得到 1

52()(0.5)(2)()2

()()4.25(4)(0.25)

z z z z H z H z H z z z

z z --++++=

==++++

又 *1()()H z H z -= 所以 1(0.5)(2)()()2

(4)(0.25)

z z H z H z z z -++=++

由于该系统为最小相位系统，必为因果稳定系统，零极点都在左半平面单

位圆内,且系统函数的分子和分母同阶，所以设0.5()0.25

z H z A

z +=+，则

10.5()10.25z

H z A

---+=+，

0.510.5(0.5)(2)()()2

0.2510.25(4)(0.25)

z z

z z H z H z A

z z

z z ---++++==++++

得到 1A = 所以线性系统0.5()0.25

z H z z +=

3. 离散时间的二阶AR 过程由差分方程12()(1)(2)()x n a x n a x n w n =-+-+描

述，式中()w n 是一零均值，方差为2

w δ的白噪声。证明()x n 的功率谱为

221

122()12(1)cos(2)2cos(4)

X P f a a a a f a f δππ=++---

解：设输入为()n δ，则系统输出为 12()(1)(2)()h n a h n a h n n δ=-+-+ 从而有 212()()()1jw jw H w a H w e a H w e --=++ 2121

()1jw

H w a e

a e

--=

2122

122

12122

121212()()()11(cos sin )(cos 2sin 2)(1cos cos 2)(sin sin 2)

(1cos cos 2)(sin sin 2)

12cos 2cos 22cos cos w

X w jw

w w

P w H w P w a e

a e

a w j w a w j w a w a w j a w a w a w a w a w a w a a a w a w a a w δδδδδ--==

--=

----=

--++=

++--+122

1212122

1212222sin sin 212cos 2cos 22cos 12(1)cos 2cos 2w

w a a w w

a a a w a w a a w

a a a a w a w

δδ+=

++--+=

++---

所以 2

12122()12(1)cos(2)2cos(4)

X P f a a a a f a f δππ=

++---

获证。

4. 这题考察用最小二乘法求解模型的参数。由于沈老师只要大家掌握用Yule-Walker 方程求解就可以，而且题目有点问题，所以该题不用复习。

5. 假定ARMA(1,1)模型为()0.7(1)()0.4(1)x n x n w n w n +-=--，求其近似等价的 AR(3)模型。

解：由题意知，ARMA 模型的系统函数为

10.4()10.7z H z z

---=+

得到与

ARMA(1,1)等价的

过程的系统函数为

()(10.7)/(10.4)

H z z z --=

再利用根除法，得到 1

()1 1.10.440.176...

H z z

---=

++++

由此可知，1231.1, 0.44, 0.176a a a =-=-=- 所以近似等价的AR(3)模型为

() 1.1(1)0.44(2)0.176(3)()x n x n x n x n w n =------+

作业四的参考答案

(说明：这里所有公式中用到的‘ ’要用书上P235的8.1.1

式中的大小于符号来替换)

1. P258 8.2

解：

由题意可知，2

01())2

i z f H ==-

∏

z ，

(1)

1()]2

i i z f H =-=-

∏

所以似然比：110()1()exp()()

i i f H z N f H =Λ=

∑z z z

判决表达式为 01()()()

P H P H Λz

，

由于01()()P H P H =，两边取对数，∴1

()

i i N z =-

∑ ，令

i z z N

∑

，得到最终的判决表达式为1

判决的虚警概率为

1001/2

1(){}/(2/)]22

F P P D H P z H z N dz Q +∞

==>

-=?

其中

()/2)

Q x u du

+∞

漏警概率为

1/2

011

()()(1)/(2/)]

22 M

P P D H P z H z N dz Q

-∞

==<=--=

检测概率为

()11/2)

D M

P P D H P Q

==-=-

2. P276 9.14

4. P274 9.6

这两题考察最佳接收机，不用掌握。

3. P259 8.10

z s v

∴

()()()()()

s v s v

f z H f z f z f u f z u du

+∞

-∞

=*=-

由于仅当0

u≥时，()0

f u≠；仅当0

z u

-≥时，()0

f z u

-≠。

所以0u z

≤≤

()

u z u z

f z H abe e du abze

ααα

----

() (0)

f z H be z

=≥

从而得到似然比1

()

f z H

z az

f z H

Λ==，判决门限为0

()

P H

判决表达式为

()zη

Λ ，即0

，令0

η=，则zη

（2）根据贝叶斯准则可知，判决门限η与代价因子和先验概率的函数关

系为

01000

10111

()()

P H C C

（3）根据纽曼皮尔逊准则，有

()z

P f z H dz be dz e

ααη

ηηα

+∞+∞

===

解：（1）由题意知

())

k n

f x H

∏

()

()]

k n

x A

f x H

∏

似然比0

()1

()exp[()]

()2

f x H N A A

x x

f x H N

Λ==-

∑

对数似然比

ln()()

N A

x x A

Λ=-

∑

判决表达式为01000

110111

()()

()ln

2()()

P H C C

N A A

N P H C C

∑

0011

C C

，10011

C C

==，01

()()

P H P H

且令

x x

=∑，则

()0

N A A

由于2

0,0,0

N Aσ

>>>

所以得到最小平均错误概率准则的判决表达式为2

（2）虚警概率为

())(

22/2 F

n n

A x

P P x dx Q

σσ

+∞

=>=-=

同理可得到漏警概率为

P Q

，其中

()]

Q x du

+∞

或则用11(1[1

222 M D

n n n P P Q Q Q

σσσ=-=--=--=所以总的最小平均错误概率为

()()(

e F M

P P H P P H P Q

=+=

（3）

由(

2e n

P Q σ=，可知观测次数N 越大时，e P 越小。

所以观测次数越多，检测性能越好，误码率越小。（4）

当0A < 且绝对值不变时，此时

'122e n

P Q Q σσ==-

所以当N 越大时，'e P 越小，检测性能越差，误码率越大。

作业二的参考答案

3. P89： 2.39

解：因为()X t 为与Θ无关的平稳随机过程所以设()X t 的自相关函数为()X R τ。

()Y t 的自相关函数为

00000000000(,)[()()][()cos()()cos(())][()()][cos()cos(())]()[cos()cos(())]1()[cos(22)cos()]

11()[cos()cos(222Y X X X R t t E Y t Y t E X t w t X t w t E X t X t E w t w t R E w t w t R E w t w w R w w τττττττττττττπ

+=+=+Θ+++Θ=++Θ++Θ=+Θ++Θ=?++Θ+=+200

02)]

1()cos()

X t w d R w πτττ++ΘΘ=?

功率谱密度

001()()[()()]4

jw Y Y X X G w R e

d G w w G w w τ

ττ+∞--∞

++-?

其中()X G w 为X 的功率谱密度

4. P88： 2.37

解：平稳随机过程()X t 的自相关函数为

1010

101010101010100

11()()[8()20(1)]2210

410

(1)104

(1)(cos sin )104

(1)cos 104

(1)cos 10

2(cos101)

jw jw X X jw w R G w e dw w e

w e

w w j w dw

w w dw

τδπ

ττπ

τπ

τππτ

+∞+-∞

-+-+-+-==

=+-=+-+=+-

=+--=

???

3. 已知随机过程()n t 的功率谱为()n S w ，试求()()()Y t n t n t T =--的自相关函

数，功率谱，画出该系统模型框图及其系统传递函数的平方幅频图(即

|()|

H f )。设()n t 的自相关函数与功率谱为()()n n R S w τ?

解：

(){[()()][()()]}2()()()

Y n n n R E n t n t T n t n t T R R T R T ττττττ=--+-+-=-+--

功率谱为

()2()()()()(2)

2(1cos )()4sin (

)()

jw T

Y n n n jw T jw T n n n S w S w S w e

S w e

S w e e T w T S w w S w --=--=--=-=

所以传递函数2

2()4sin ()2

H w w =

图略。提示：

画系统模型时，()n t 为输入，()Y t 为输出。带一个加法器和延时器T 传递函数幅频图，即2

()H f f 图(利用2w f π=，得到

()4s i n ()H f T f π=

)（注意图中要标出最大值及所对应的频率，且

()H f 为正数）

4. 信号()X t 为均值等于0，方差为2

X σ的遍历性平稳随机过程，进行双边带

调幅后，进入带宽为W 的窄带信道传输，在有窄带高斯噪声()n t 加性干扰后的

混合信号为

0()()cos()()()()z t X t w t n t s t n t θ=++=+ 式中w 为高频载波的角频率，载频002w f π

。

θ为载波(余弦)信号在(,)ππ-内均匀分布的相位随机变量，设()X t ，

θ，()n t 均统计独立。

(5) 试给出各种“统计均值”结果，即(),(),()E X E s E z

(6) 0()()cos()s t X t w t θ=+是否平稳且遍历？若将()X t 改为0A (常数)如

何？

(7) ()z t 是否遍历？是否平稳？

(8) 若将()z t 乘以0cos()w t θ+，再经低通滤波LPF ，得到()Y t ，情况如

何？

解：

(提一下：关于窄带高斯噪声的介绍见你们的通信原理书)

（1）0x m =（题设）

00[()cos()][()][cos()]0s m E X t w t E X t E w t =+Θ=+Θ= （利用了()X t 与

统计独立条件）

[()]0z m E z t ==

（2）计算自相关函数如下： 0()(,)[()()]cos 2

X s R R t t E s t s t w ττττ

+=+=

由0s m =(常数)及()s R τ只与时间间隔有关知，()s t 是广义平稳过程。

再证明0()()cos()s t X t w t =+Θ的遍历性。

由遍历性定义，求时间平均和时间相关函数分别为 01lim

()cos()2T s T

T m X t w t dt

-→∞

=+Θ?

001()lim

()(cos )()cos[()]2T s T

T R X t w t X t w t dt

τττ--→∞

=+Θ+++Θ?

由于()X t 没有确定的时间表达式，故上式相关运算无法得到结果，

不便于证明()s t 是否具有遍历性。

当00()cos()s t A w t =+Θ，即将()X t 换为常数0A ，则 01lim

cos()0

2T s T

T m A w t dt T

-→∞

=+Θ=?

0002

00002

00001()lim

cos()cos[()]21lim

[cos cos(22)]22

cos (cos(22)0)

T s T

T T T

T R A w t w t dt

T A w w t w dt

A w w t w ττττττ--→∞

-→∞

=+Θ++Θ=+++Θ=++Θ?

因为在整数个周期内积分为

由此可见，时间平均等于统计平均，时间相关函数等于统计相关函数。即当以0A 取代()X t 时()s t 才有遍历平稳性（3）由（2）中0()()cos()

X s R R w τττ=

，而()n t 与Θ和()X t 均独立，得

[()]0z s n m E z t m m ==+= 0()(,)cos()()2

X z n R R t t w R ττττ+=

所以，()z t 广义平稳。但由(2)知0()cos()X t w t +Θ不具有遍历性，所

以()z t 并不遍历。

（5）设0()()cos()()z t X t w t n t θ=++，其中，θ为Θ在瞬时为某随机相位

值，则

0000000()()cos()

()cos ()()cos()()[1cos(22)][()cos ()sin ]cos()2()() (LPF 2w )

LPF

I Q LPF

I Y t z t w t X t w t n t w t X t w t n t w t n t w t w t n t X t θθθθθ=+=+++=+++-+=+滤除含的高频信号

其中1()n t 为同相分量。

[()]0

()()(,)[()()]4

Y n X Y m E Y t R R R t t E Y t Y t ττττ==+=+=

+ Y t （）的均值为常数0，自相关函数只与时间间隔有关，所以Y t （）为广义

平稳。

1lim

[()()]4T Y I T

T m X t n t dt

-→∞

=+?

由于()X t 的具体表达式未知，所以遍历性无法确定。

作业三的参考答案

2. 设时间序列()x n 的自相关函数(),0,1,2,3k X R k k ρ==，白噪声方差为2δ，试利用Yule Walker 方程求解AR(3)模型参数和功率谱估计。

解：设(3)AR 模型为112233k k k k k X X X X w ???---=+++，其中123,,???为参数， k w 是方差为2δ的白噪声。由(),0,1,2,3k X R k k ρ==，得到

230123(0)1, R (1), R (2),(3)X X X X R R ρρρρρρρ======== ①

由112233k k k k ρ?ρ?ρ?ρ---=++和k k ρρ-=，得到

110213*********

122130ρ?ρ?ρ?ρρ?ρ?ρ?ρρ?ρ?ρ?ρ

=++??

=++??=++? ②

将①代入②，得到

123212332123ρ??ρ?ρρ?ρ??ρ

ρ?ρ?ρ?

?=++?

=++??=++?

③

解③，得到该模型的参数为

123

00?ρ

??=??

=??=?

功率谱估计为 2

()12cos 11X jw

jw k

k k P w w e

ρρ

ρ?--==

-+--∑

2. 一随机信号()x n 的功率谱为ω的有理式: 1.25cos () 1.06250.5cos w P w w

+, 若将

这一功率谱看作是被具有单位功率谱的白噪声所激励的线性因果，最小相位系统()H z 的输出的功率谱，求该线性系统()H z

解：由线性变换关系知， 2

()()()x n P w H w P w =，其中 ()x P w 为输出信

号()x n 的功率谱，()H w 为传递函数，()n P w 为白噪声()n t 的功率谱.由题意知()1n P w =。所以

1.25cos ()

() 1.06250.5cos 1.25()/2

52()

1.0625()/4

4.25x jw

w H w P w w

e e e

e e

----+==

+++++=

++++

令 jw z e =，得到 1

52()(0.5)(2)()2

()()4.25(4)(0.25)

z z z z H z H z H z z z

z z --++++=

==++++

又 *1()()H z H z -= 所以 1(0.5)(2)()()2

(4)(0.25)

z z H z H z z z -++=++

由于该系统为最小相位系统，必为因果稳定系统，零极点都在左半平面单

位圆内,且系统函数的分子和分母同阶，所以设0.5()0.25

z H z A

z +=+，则

10.5()10.25z

H z A

---+=+，

0.510.5(0.5)(2)()()2

0.2510.25(4)(0.25)

z z

z z H z H z A

z z

z z ---++++==++++

得到 1A = 所以线性系统0.5()0.25

z H z z +=

6. 离散时间的二阶AR 过程由差分方程12()(1)(2)()x n a x n a x n w n =-+-+描

述，式中()w n 是一零均值，方差为2

w δ的白噪声。证明()x n 的功率谱为

122()12(1)cos(2)2cos(4)

X P f a a a a f a f δππ=

++---

智慧树知道网课《数字信号处理》课后章节测试满分答案

绪论单元测试 1 【单选题】(2分) 确定性信号和随机信号的区别是什么？ A. 能否用计算机处理 B. 能否用有限个参量进行唯一描述 2 【单选题】(3分) 如何由连续时间信号获得离散时间信号？ A. 在信号幅度上进行量化 B. 在时域上对连续时间信号进行采样第一章测试 1 【单选题】(2分) 以下那个说法是正确的？ A.

在对连续时间信号进行采样得到离散时间信号的过程中，只要实现了等间隔采样，采样间隔T怎样选择都不会影响采样后离散时间信号的频谱特征。 B. 在对连续时间信号进行采样得到离散时间信号的过程中，采样间隔T的选择非常关键，如果选择不当，采样后的离散时间信号将存在频域混叠失真现象。 2 【单选题】(2分) A. B. C. D.

3 【判断题】(2分) A. 错 B. 对 4 【单选题】(2分) 下面哪段语句不会报错？ A. x=ones(1,5); n h=0:2; h=(nh+1).*ones(1,3); n=0:6; y=conv(x,h); stem(n,y); B. x=[123]; h=ones(1,5); n=0:7; y=conv(x,h); stem(n,y); C.

x=ones(1,4); n h=0:2; h=(nh+1)*ones(1,3); n=0:5; y=conv(x,h); stem(n,y); 5 【单选题】(2分) A. B. C. D.

6 【单选题】(2分) 请问以下哪个说法是正确的？ A. 连续时间正弦信号采样后不一定为周期序列。 B. 连续时间正弦信号采样后一定为周期序列。 7 【单选题】(2分) A. B. C.

随机信号分析(常建平-李海林版)课后习题答案

由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求（1）证明X(t)是平稳过程。（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。（3）画出该随机过程的一个样本函数。（1）（2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程

()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω =

数字信号处理期末实验语音信号分析与处理

山东建筑大学信电学院课程设计说明书语音信号分析与处理摘要用MATLAB对语音信号进行分析与处理，采集语音信号后，在MATLAB软件平台进行频谱分析;并对所采集的语音信号加入干扰噪声，对加入噪声的信号进行频谱分析，设计合适的滤波器滤除噪声，恢复原信号。数字滤波器是数字信号处理的基础，用来对信号进行过滤、检测和参数估计等处理。IIR数字滤波器最大的优点是给定一组指标时，它的阶数要比相同组的FIR 滤波器的低的多。信号处理中和频谱分析最为密切的理论基础是傅立叶变换（FT）。离散傅立叶变换（DFT）和数字滤波是数字信号处理的最基本内容。关键词：MATLAB;语音信号；加入噪声；滤波器；滤波 1. 设计目的与要求（1）待处理的语音信号是一个在20Hz~20kHz频段的低频信号。（2）要求MATLAB对语音信号进行分析和处理，采集语音信号后，在MATLAB平台进行频谱分析；并对所采集的语音信号加入干扰噪声，对加入噪声的信号进行频谱分析，设计合适的滤波器进行滤除噪声，恢复原信号。 1 山东建筑大学信电学院课程设计说明书

2. 设计步骤（1）选择一个语音信号或者自己录制一段语音文件作为分析对象；（2）对语音信号进行采样，并对语音信号进行FFT频谱分析，画出信号的时域波形图和频谱图；（3）利用MATLAB自带的随机函数产生噪声加入到语音信号中，对语音信号进行回放，对其进行FFT频谱分析；（4）设计合适滤波器，对带有噪声的语音信号进行滤波，画出滤波前后的时域波形图和频谱图，比较加噪前后的语音信号，分析发生的变化；（5）对语音信号进行回放，感觉声音变化。 3. 设计原理及内容 3.1 理论依据（1）采样频率：采样频率（也称采样速度或者采样率）定义了每秒从连续信号中提取并组成离散信号的采样个数，它用赫兹（Hz）来表示。采样频率只能用于周期性采样的采样器，对于非周期采样的采样器没有规则限制。通俗的讲，采样频率是指计算机每秒钟采集多少个声音样本，是描述声音文件的音质、音调，衡量声卡、声音文件的质量标准。采样频率越高，即采样的间隔时间越短，则在单位之间内计算机得到的声音样本数据就越多，对声音波形的表示也越精确。（2）采样位数：即采样值或取样值，用来衡量声音波动变化的参数。（3）采样定理：在进行模拟/数字信号的的转换过程中，当采样频率f大于信s.max 号中，最高频率f的2倍时，即：f>=2f，则采样之后的数字信号完整的maxmaxs.max 保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的 5~10倍；采样频率又称乃奎斯特定理。（4）时域信号的FFT分析：信号的频谱分析就是计算信号的傅立叶变换。连续信号与系统的傅立叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制。而FFT是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值计算，成为用计算机分析离2 山东建筑大学信电学院课程设计说明书散信号和系统的的有力工具。对连续信号和系统，可以通过时域采样，应用DFT 进行近似谱分析。

信号分析与处理习题

2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中 ?? ???≥Ω<Ω=Ωππ 3032 1 )(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。试问输出信号y 1(t )，y 2(t )有无失真？为什么？分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率ππ π32621=< =Ωh ，所以y 1(t )无失真；因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。 3.2 设x (n )的傅里叶变换为X (e j ω)，试利用X (e j ω )表示下列序列的傅里叶变换：（1） )1()1()(1n x n x n x --+-= （2） )]()([2 1 )(2n x n x n x -+= * 分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即 )()(ωj e X n x ?，)()(ωj e X n x -?- )()(ωωj m j e X e n m x --?- 解：（1）由于)()]([ω j e X n x DTFT =，)()]([ωj e X n x DTFT -=-，则 )()]1([ωωj j e X e n x DTFT --=- )()]1([ωωj j e X e n x DTFT -=-- 故ωωωωω cos )(2])[()]([1j j j j e X e e e X n x DTFT ---=+= （2）由于)()]([ω j e X n x DTFT * * =- 故)](Re[2 ) ()()]([2ωωωj j j e X e X e X n x DTFT =+= * 3.7 试求下列有限长序列的N 点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）：

信号分析与处理试题

河南科技学院2006-2007学年第二学期期终考试信号分析与处理试题适用班级：注意事项：1 在试卷的标封处填写院（系）、专业、班级、姓名和准考证号。 2 考试时间共100分。一、单项选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分） 1．下列单元属于动态系统的是（） A. 电容器 B.电阻器 C.数乘器 D.加法器 2．单位阶跃函数()u t 和单位冲激函数()t δ的关系是（） A.()/()d t dt u t δ= B.()/()du t dt t δ= C.()()u t t δ= D.()2()u t t δ= 3．()()f t t dt δ∞-∞=?（） A.()f t B.()t δ C.(0)f D.(0)δ 4．单位冲激函数()t δ的()F j ω=（） A .0 B.-1 C.1 D.2 5．设()f t 的频谱为()F j ω，则利用傅里叶变换的频移性质，0()j t f t e ω的频谱为（） A.0()F j ω B.()F j ω C.0[()]F j ωω+ D.0[()]F j ωω- 6．设1()f t 的频谱为1()F j ω，2()f t 的频谱为2()F j ω，利用傅里叶变换卷积定理，12()()f t f t *的频谱为（） A.1()F j ω B.2()F j ω C.11()()F j F j ωω* D.11()()F j F j ωω 7．序列()n m δ-的Z 变换为（） A.m z B.m z - C.m D.m - 8．单边指数序列()n a u n ，当（）时序列收敛 A.1a < B.1a ≤ C.1a > D.1a ≥ 9．取样函数()/Sa t sint t =，则(0)Sa =（） A.0 B.1 C.2 D.3 10．设实函数()f t 的频谱()()()F j R jX ωωω=+，下列叙述正确的是（）

随机信号分析课后习题答案

1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。解：875.087 813812411210)(][4 1 ==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=21 201)](2π Αsin[0.500 )(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<--= a a x u x u a x x F （4）0)()()(>--- =a a x u a x a x u a x x F

数字信号处理期末试卷及答案

A 一、选择题（每题3分，共5题） 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是。 A.非周期序列 B.周期6 π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、对)70() (≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20 点 DFT ，得 )(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足。 A.16>N B.16=N C.16

信号分析与处理课后习题答案

信号分析与处理课后习题答案第五章快速傅里叶变换 1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需要50us ，每次复加需要10us ，用来就散N=1024点的DFT ，问：（1）直接计算需要多少时间？用FFT 计算呢？（2）照这样计算，用FFT 计算快速卷积对信号进行处理是，估计可实现实时处理的信号最高频率？解：分析：直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2，复加次数为N(N-1)；利用FFT 计算：复乘次数为20.5log N N ，复加次数为2log N N ；（1）直接DFT 计算：复乘所需时间2215010245052.4288T N us us s =?=?= 复加所需时间2(1)101024(10241)1010.47552T N N us us s =-?=-?= 所以总时间1262.90432DFT T T T s =+= FFT 计算：复乘所需时间3220.5log 500.51024log 1024500.256T N N us us s =?=???= 复加所需时间422log 101024log 1024100.1024T N N us us s =?=??= 所以总时间为340.3584FFT T T T s =+= （2）假设计算两个N 长序列1()x n 和2()x n 的卷积计算过程为如下：第一步：求1()X k ，2()X k ；所需时间为2FFT T ? 第二步：计算12()()()X k X k X k =?，共需要N 次复乘运算所需时间为501024500.0512To N us us s =?=?= 第三步：计算(())IFFT X k ，所需时间为FFT T 所以总时间为230.35840.0512 1.1264FFT T T To s s s =?+=?+= 容许计算信号频率为N/T=911.3Hz 2.设x(n)是长度为2N 的有限长实序列，()X k 为x(n)的2N 点得DFT 。

随机信号处理考题答案.doc

填空： 1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（ x）则 F（ -∞） =0, F（ +∞） =1 2.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合 3.如果随机过程 X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称 X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程 X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称 X(t)为广义平稳随机过程 4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声 ,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关 5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布 ,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布 ,而相位服从均匀分布 6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法 7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ） =25+4/ （1+6τ），则其均值为 5 或 -5,方差为 4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。 1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号 2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声 ,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声 ,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声 3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程 4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望 5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定 1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。 3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。 4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________ 。 5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。 6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。 1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。 2.如果平稳随机过程均值和相关函数具有遍历性 ,则称该随机过程为各态历经过称。 3.如果均匀分布白的噪声通过线性系统，输出服从正态分布分布。 4.正态随机过程的任意 n 维分布，只有由一、二阶矩确定。 5.窄带正态随机过程的相位服从均匀分布，幅度服从瑞利分布。 6.随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越长，过程的取值变化越慢 ,随机过程相关时间反应了随机过程变化的快慢程度，相关时间越短，过程的取值变化越快 , 7.平稳随机过程信号通过线性系统分析，输入，输出过程的自相关函数可表示为，输出与输入过程中功率谱之间的关系可表示为。 8.平稳随机过程信号通过非线性系统分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。 9.典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程。 10.对于无偏估计而言均方误差总是大于等于某个量，这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下

信号分析与处理模拟试卷

1．具有跳变的信号在其跳变处的导数是一个 a 。 a ）强度等于跳变幅度的冲激函数 b) 幅度为无限大的冲激函数 c) 强度为无限大的冲号 d) 理想阶跃信号 2．设 x (n ) 是一个绝对可求和的信号，其有理 z 变换为 X ( z ) 。若已知 X ( z ) 在 z =0.5有一个极点，则 x (n ) 是 c 。 a ）有限长信号 b ）左边信号 c ）右边信号 d ）区间信号 3. z (t ) = 4t 2δ (2t ? 4) = b 。 a ）8δ (t ? 2) b ）16δ (t ? 2) c ）8 d ）16 4. 设两个有限长序列 x (n ) 和 h (n ) 的卷积为 y (n ) = x (n ) ? h (n ) ， y (n ) 的长度 L y 与 x (n ) 的长度L x 和 h (n ) 的长度 L h 的关系是 b 。 a ） L y = L x + L h + 1 b ） L y = L x + L h ? 1 c ） L y = L x ? L h + 1 d ） L y = L x ? L h ? 1 5. 已知 x (n ) 的 Z 变换 X ( z ) =?2.5z /(z 2 ? 1.5z ? 1), 则 X ( z ) 可能存在的收敛域是 a a )|Z|<0.5, 0.5<|Z|< 2, |Z|> 2 b) |Z|<0.5, 0.5<|Z|< 2 c) 0.5<|Z|< 2, |Z|> 2 d) |Z|> 2 二．填空题（20分，每空1分）（1）按照信号幅度和时间取值方式的不同，信号可以分为以下几种类型：连续时间信号、离散时间信号、数字信号。（2）若一个离散时间系统满足__线性__和__时不变性则称为线性时不变系统，线性移不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位抽样响应满足下式：__h(n)=0 (当n<0时)___。（3）快速傅里叶变换（FFT ）并不是一种新的变换形式，但它应用了系数kn N W 的_对称性__周期性__可约性__，不断地将长序列的DFT 分解成几个短序列的DFT,并减少DFT 的运算次数。其运算量是DFT 的__N 2 /[(N/2)log 2N]__倍。（4）求积分 dt )t ()t (212-+? ∞ ∞ -δ的值为 5 。 (5)线性系统是同时具有齐次性和叠加性的系统。 (6)系统的完全响应也可以分为暂态响应和稳态响应。随着时间t 的增大而衰减为零的部分称为系统的暂态响应，其余部分为系统的稳态响应。（7）周期信号频谱3个典型特点：离散性、谐波性、收敛性. (8)模拟滤波器设计IIR 数字滤波器的方法有冲激响应不变法和双线性变换法。一、判断下列说法的正误，正确请在括号里打“√”，错误请打“×”。（10分，每小题2分） 1.单位冲激函数总是满足)()(t t -=δδ （ √ ） 2.满足绝对可积条件 ∞

《信号分析与处理》(第二版)-徐科军、黄云志-课后标准答案

《信号分析与处理》(第二版)-徐科军、黄云志-课后答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

Chap1. 1.4 ()()()()()()()()()()()() ()()()()()()()121 2 122 12112 2 121 2 2 2y 11102 y 0.5111 y 0.5 1.513y 0 13 013 y 0.5111 0.5 1.513t t t t t x t x t x x t d x x t x x t d t d t t t x x t d t d t t t t t or t t or t t t t t t t τττ ττττ τττττττττττ+∞ -∞ ----=*=-=-≤≤???=≤≤??=-= -=+-<≤=-= -=-++<<=≤-≥≤-≥??=+-<≤??-++<

()()[] ()()()[]()()()∑∞ =? ? ? ???Ω-Ω-+=- =-= =??? ??<≤<≤-=1002212 2 01cos cos cos 1cos 141cos 1cos 1 5 .0202 20 (a)n n n t n n n t n n n t x n n b n n a a T t t T t T t x πππππ πππ 代入公式得： ()() ()()() ()[] ()()[]()()∑∞ =Ω-? ? ? ???Ω-Ω-+=- =-= ==Ω=Ω-=1002222 2 012 212cos 1cos cos 11411cos 11 5.0cos 2 (b)n n n T jn t n n t n n n t x n b n n a a n n X e n X T t x t x πππππππ得到：根据时移性质： ()() ()()()[]()()[]() ∑?∑∞ =-∞ =Ω-+=-=Ω==Ω+=102232 20 2 0201 00 3cos cos 12 21cos 12cos 41 cos 2 (c)n T n n n t n n n t x n n dt t n t x T a a t n a a t x ππ ππ偶对称， 1.12 ()()dt e t x j X t j ?+∞ ∞ -Ω-=Ω频谱密度函数：

2020年整理信号分析与处理期末试卷A.doc

学年第二学期期末考试信号分析与处理试卷(A) 使用班级答题时间120分钟一、判断题（本大题共10小题，每题2分，共20分） 1、单位冲激函数总是满足)t ( )t(- =δ δ。（） 2、满足绝对可积条件∞ < ?∞∞-dt)t(f的信号一定存在傅立叶变换，不满足这一条件的信号一定不存在傅立叶变换。（） 3、非周期信号的脉冲宽度越小，其频带宽度越宽。（） 4、所有周期信号的频谱都是离散谱，并且随频率的增高，幅度谱总是渐小的。（） 5、离散时间信号的频谱都是周期的。（） 6、信号()()2 7/ 8 cos+ =n n xπ是周期信号。（） 7、信号0 )4 (2= - ?∞∞-dt t δ。（） 8、因果系统时指系统在 t时刻的响应只与 t t=时刻的输入有关（） 9、线性系统是指系统同时满足叠加性和齐次性（） 10、过渡带即为通带与阻带之间的频率范围。（）二、填空题（本大题共9小题10个空，每空2分，共20分） 1、我们把声、光、电等运载消息的物理量称为。 2、幅度有限的周期信号是信号。 3、已知}1 ,3,2{ ) ( 1 - = k f，}2,0,0,1,3{ ) ( 2 = k f，则卷积和f1(k)*f2(k)= 。 4、若信号f(t)的最高频率是2kHz，则t) f(2的乃奎斯特抽样频率为。 5、若一个离散时间系统满足_____________和____________,则称为线性时不变系统。 6、实现滤波功能的系统称为_____________。 7、 () 12 1 4 t dt δ - -= ? 8、 sin 22 t t ππ δ ???? -*+= ? ? ???? 9、周期信号频谱3个典型特点：离散性、谐波性、。三、选择题（本大题共10小题，每题2分，共20分）

信号分析与处理课后习题答案

随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第四章习题讲解

4-4设有限时间积分器的单位冲激响应 h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数 ()() ()()() 2 222 1:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωω πτττ∞ -∞??==????=-==??=*?思路 ()()()10()() 10()10[()(0.5)] ()()10[()(0.5)] XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数 000 2 0.0 25 ()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)() 10()()()10()()10101100.55 [()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλ λλλλ μ∞ ∞ ∞∞ ==?====**-=*-=+=+=-=-=?=?==????? 时域法平均功是白噪声，，，率面积法： 22 5 [()][()]5 Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率 ()h t 白噪声 () Y R τ

()()()2 14 12 24 2 22Y 2 (P1313711()2415()()()102 42411 5112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτ ττωωωωωωωωωωωπ π ωωπ - --∞ ∞ ∞ -∞ ∞--∞??--?? ??? ?? -???= ? ?? ???? === ? ? ???? ?? = = =??= ? ? ?? ??? ??P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法）频()()22 20000 [()][()][()]5 Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =?=??=-===P 交直流分量为平均功率：流

信号分析及处理期末考试Word版

2014-2015学年第一学期期末考试《信号分析与处理中的数学方法》学号：姓名：注意事项： 1.严禁相互抄袭，如有雷同，直接按照不及格处理； 2.试卷开卷； 3.本考试提交时间为2014年12月31日24时，逾期邮件无效； 4.考试答案以PDF 和word 形式发送到sp_exam@https://www.wendangku.net/doc/ca14684219.html, 。 1、叙述卡享南—洛厄维变换，为什么该变换被称为最佳变换，何为其实用时的困难所在，举例说明其应用。解：形为λφ(s ) = ∫C(t,s)φ(t)dt T (1-1) 的方程称为齐次佛莱德霍姆积分方程，其中φ（t ）为未知函数，λ是参数，C （t,s ）为已知的“核函数”，它定义在[0，T]×[0，T]上，我们假定它是连续的，且是对称的： (t,s)=s (s,t) (1-2) 使积分方程(1-1)有解的参数λ称为该方程的特征值，相应的解φ(t)称为该方程的特征函数。又核函数可表示为： C(t,s)=∑λn φn (t)φn (s)∞ n=1 （1-3）固定一个变量（例如t ），则式（1-3）表示以s 为变量的函数C(t,s)关于正交系{φn (s)} 的傅里叶级数展开，而傅里叶级数正好是λn φn (t)。设x （t ）为一随机信号，则其协方差函数 s（t,s ）=s {[x(t)-E{x(t)}][x(s)-E{x(s)}]}是一个非随机

对称函数，而且是非负定的。为了能方便地应用式(1-3)，假定C(t,s)是正定的，在多数情况下，这是符合实际的。当然，还假定C(t,s)在[0，T]×[0，T]上连续。现在用特征函数系{φn (t)}作为基来表示x （t ）： x(t)=∑αn φn (t)∞ n=1 (1-4) 其中 αn =∫x （t ）φn （t ）dt T 因为{φn （t ）}是归一化正交系，所以展开式（1-4）类似于傅里叶级数展开。但是因为x （t ）是随机的，从而系数x n 也是随机的，因此这个展开式实际上并不是通常的傅里叶展开。式(1-4)称为随机信号的卡享南-洛厄维展开。因为这种变换能使变换后的分量互不相关，而且这种展开的截断既能使均方差误差最小，又能使统计影响最小，故具有最优性。卡享南-洛厄维变换没有固定的变换矩阵，它依赖于给定的随机向量的协方差阵。正是这种变换的特点，也是它在实际使用时的困难所在，因为它需要依照不固定的矩阵求特征值和特征向量。卡享南-洛厄维变换应用在数据压缩技术中。按照最优化原则的数据压缩技术可以解决通讯和数据传输系统的信道容量不足和计算机存储容量不足的问题。通过对信号作正交变换，根据失真最小的原则在变换域进行压缩。卡享南-洛厄维变换被选用并不是偶然的，因为这种变换消除了原始信号x 的诸分量间的相关性，从而使数据压缩能遵循均方误差最小的准则实施。 2、最小二乘法的三种表现形式是什么？以傅里叶级数展开为例说明其各自的优缺点。解：希尔伯特空间中线性逼近问题的求解方法称为最小二乘法。通常它有三种不同的表现形式：投影法、求导法和配方法。我们以傅里叶级数展开为例来说明。投影法：设X 为希尔伯特空间，{e 1,e 2,e 3……}为X 中的一组归一化正交元素，x 为X 中的某一元素。在子空间M=span{e1,e2,e3……}中求一元素m ，使得 ‖x-m0‖=min‖x?m‖m∈M (2-1) 由于M 中的元素可表示为e 1,e 2,e 3……的线性组合，那么问题就转化为求系数 α 1 ,α2……使得 ‖x-∑a k e k ‖∞ k=1=min 2-2 投影定理指出了最优系数α1,α2……应满足

信号分析与处理杨西侠第2章习题答案

2-1 画出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别 1）x 1(t) = sin Ω t ·u(t ) 2）x 2(t) = sin[ Ω ( t – t 0 ) ]·u(t ) 3）x 3(t) = sin Ω t ·u ( t – t 0 ) -1

4）x2(t) = sin[ ( t – t0) ]·u( t – t0) 2-2 已知波形图如图2-76所示，试画出经下列各种运算后的波形图（1）x ( t-2 ) （2）x ( t+2 )

（3）x (2t) （4）x ( t/2 ) （5）x (-t) （6）x (-t-2)

（7）x ( -t/2-2 ) （8）dx/dt 2-3 应用脉冲函数的抽样特性，求下列表达式的函数值 (1)?+∞ ∞--)(0t t x δ(t) dt = x(-t 0) (2)?+∞ ∞--)(0t t x δ(t) dt = x(t 0) (3)?+∞∞ --)(0t t δ u(t - 20t ) dt = u(2 t ) (4)?+∞ ∞--)(0t t δ u(t – 2t 0) dt = u(-t 0) (5)() ?+∞∞ --+t e t δ(t+2) dt = e 2-2 (6)()?+∞ ∞-+t t sin δ(t-6π ) dt = 6 π + 2 1

(7) ()()[]?+∞ ∞-Ω---dt t t t e t j 0δδ =()?+∞ ∞ -Ω-dt t e t j δ–?+∞∞ -Ω--dt t t e t j )(0δ = 1-0 t j e Ω- = 1 – cos Ωt 0 + jsin Ωt 0 2-4 求下列各函数x 1(t)与x 2(t) 之卷积，x 1(t)* x 2(t) (1) x 1(t) = u(t), x 2(t) = e -at · u(t) ( a>0 ) x 1(t)* x 2(t) =?+∞ ∞---ττττ d t u e u a )()( = ?-t a d e 0 ττ = )1(1at e a -- x 1(t)* x 2(t) =ττδτδτπ d t t u t )]1()1([)]()4 [cos(---+-+Ω?+∞ ∞- = cos[Ω(t+1)+ 4 π ]u(t+1) – cos[Ω(t-1)+ 4 π ]u(t-1) (3) x 1(t) = u(t) – u(t-1) , x 2(t) = u(t) – u(t-2) x 1(t)* x 2(t) = ? +∞ ∞ -+-----τττττd t u t u u u )]1()()][2()([ 当 t <0时，x 1(t)* x 2(t) = 0 当 0

随机信号处理作业南理工(有程序)

精心整理《随机信号处理》上机实验仿真报告学院：电子工程与光电技术学院指导老师：顾红日期：2014年11月10日 B=543e6;%带宽（这里设置带宽为学号后三位），程序段①从这行开始 fs=10*B;%采样频率 ts=1/fs; T=10e-6;%脉宽10μs N=T/ts;%采样点数 t=linspace(-T/2,T/2,N); K=B/T; a=1;%这里调频信号幅值假设为1 %%线性调频信号

si=a*exp(j*pi*K*t.^2); figure(1) plot(t*1e6,si); xlabel('t/μs');ylabel('si');title('线性调频信号时域波形图');gridon; sfft=fft(si); f=(0:length(sfft)-1)*fs/length(sfft)-fs/2;%f=linspace(-fs/2,fs/2,N); figure(2) plot(f*1e-6,fftshift(abs(sfft))); xlabel('f/MHz');ylabel('sfft');title('线性调频信号频域波形图');gridon; axis([-300,300,-inf,inf]);%程序段①到这行结束 %%叠加高斯白噪声 disp(' %% %% n2=conv(ht,ni);%噪声 n22=abs(n2); s2=conv(ht,si);%信号 s22=abs(s2); SNRo=(max(s22)^2)/(var(n2))/2; disp('输出信噪比为：'); SNRo=10*log10(SNRo) disp('信噪比增益为：');disp(SNRo-SNRi) %%匹配滤波器的幅频特性 hw=fft(ht);

信号处理习题与解答

数字信号处理习题解答第二章数据采集技术基础 2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中 ?? ???≥Ω<Ω=Ωππ 3032 1 )(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。试问输出信号y 1(t )，y 2(t )有无失真？为什么？分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率ππ π32621=< =Ωh ，所以y 1(t )无失真；因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率ππ π32 652=>=Ωh ，所以y 2(t )失真。 2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求：（1）该信号的最小采样频率；（2）若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号；分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。 ○ 1采样定理采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频率f m 的两倍，即 f s ≥2f m ○ 2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s === 解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是 f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz ∴信号的最高频率f m =6000Hz 由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号 ? ?? ? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??+???? ????? ??-???? ????? ??=? ??? ????? ??++???? ????? ??-+???? ????? ??=? ?? ? ????? ??+???? ????? ??+???? ????? ??=??? ? ??====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT t s 522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ

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