2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试卷
时间120分钟，满分120分
（2014年5月18日 上午：8：00——10：00） 一、填空题： 本大题共8小题，每小题8分，共64分.
(．请把答填于第．．．．．．2．页答题区）．．．．．
1.
已
知
α为锐角，且有
()0
52cos 3tan 2=+??
?
??+--βπαπ，
()()01sin 6tan =-+++βπαπ， 则αsin 的值是__________. 2. 函数x x y 2813-+-=的最大值是_________.
3. 函数||2x y =的图象与函数2x y =的图象围成的面积大小为_______(平方单位).
4. 从前2014个正整数构成的集{}1,2,,2014M =中取出一个k 元子集A ，使得A 中任两数之和不能被这两数之差整除，则k 的最大值为_______.
5. 三棱锥ABC P -中，顶点P 在平面ABC 的射影为O ，满足0=++OC OB OA ， A 点
在侧面PBC 上的射影H 是PBC ?的垂心，6=PA ，则此三棱锥体积的最大值为________.
6. 用红黄蓝三种颜色给如右图所示的六连圆涂色，若每种颜 色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案共有________种(用数字作答).
7. 如右图，1F 和2F 分别是双曲)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的两个焦点，
A 和
B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为________. 8. 已知对每一个实数x 和y 函数()f x 满足
()()()f x f y f x y xy +=++.若(1)f m =，则
满足2014)(=n f 的正整数对),(n m 共有_________个.
一、填空题答题区（每小题8分，满分64分）
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8. 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9. （本小题满分16分）
已知方程20x ax b -+=的两个不等实根1x 、2x 满足
332233
12
12121211122672()0333
x x x x x x x x a b +--+++=+≠ . 求223a b ab a +--的值.
如图，已知K L 、分别是ABC ?的边AC AB 、的中点，ABC ?的内切圆I 分别与边
CA BC 、切于点E D 、.求证：DE KL 、的交点在ABC ∠的角平分线上.
在数列{}n a 中，1111,30(2)n n n n a a a a a n --=+-=≥． （1）求数列{}n a 的通项； （2）若1
1
n n a a λλ++
≥对任意2n ≥的整数恒成立，求实数λ的取值范围； （3
）设数列n b ={}n b 的前n 项和为n T
，求证：2
1)3
n T >．
2014年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
参考解答及评分标准
一、填空题： 本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1.
10
10
3 . 解：由()052cos 3tan 2=+??
?
??+--βπαπ，()()01sin 6tan =-+++βπαπ，得3tan =α.
又α为锐角，故10
10
3sin =α. 2. 33.
解：函数的定义域为]4,1[，且0y ≥.根据柯西不等式有：
33)4()1()2(342132222=-+-?+≤-?+-?=x x x x y ，
上式当且仅当x x -?=-?4312时，等号成立， 即11
38
=x 时函数取最大值33. 3. )2
ln 9348(
2-. 解：由于函数||2x y =与函数2x y =都是偶函数，故有
)2
ln 9348(
2])2()2([24
2
22
2-=-+-=??dx x dx x S x x . 4. 672.
解：首先，我们可以取672元集，{}1,4,7,,2014A =,A 中任两数之和不能被3整除，而其差是3的倍数；其次，将M 中的数自小到大按每三数一段，共分为672段：
1,2,3,4,5,6,7,8,9,
,2008,2009,2010,2011,2012,2013
2014. 现从M 中任673个数，必有两数,x y 取自同一段，则1x y -=或2，注意x y -与x y +同奇偶，于是()()x y x y -+．因此k 的最大值为672. 5. 36 .
则33660sin 2131202x x V -?=33612364
x x -
=. 利用导数当26=x 时体积取最大值36. 6. 30.
解：从左到右将六个圆编号为1,2,3,4,5,6，满足条件的只有)46,25,13(、)36,25,14(、
)35,26,14(、)36,24,15(、)35,24,16(等组合，因此按要求用三种颜色给如图所示的六连圆
涂色，应有3053
3=A .
7. 31+ .
解：连AF 1，则△AF 1F 2为直角三角形，且斜边F 1F 2之长为2c.令1122,.
AF r AF r ==
由直角三角形性质知：211
221221222
r r a
r c r a c r c r r -=?=??
???=+?=???. ∵()2
22222222124,24220220r r c a c c c a ac c e e +=∴++=?+-=?--=，得31±=e . ∵e ﹥1
，∴取1e =. 8. 8 .
解：令y=1,得()(1)(1),(1)(),f x f f x x f x f x m x +=++∴+-=-
()(1)(1),f x f x m x ∴--=--
()[()(1)][(1)(2)][(2)(1)](1)f x f x f x f x f x f f f =--+---++-+
=1(1)2
mx x x --，而2014)(=n f ，设)1(21
2014--=n n mn
53194)12(??=-+?n m n ，又(21)21n m n m ++-=+为奇数，
所以(21)n m n +-与为一奇一偶.
当n 为偶数时，(21)m n +-取得奇数的个数为4)11)(11(=++个（5319?的约数），即有4个解；同理，n 为奇数时，也有4个解，故共有8个.
二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9. （本小题满分16分）
解：由韦达定理得 12x x a +=，12x x b =. 于是，有
332233
1212121211122333x x x x x x x x +--+++
=3231212121212121211
[()2()]()22()()33x x x x x x x x x x x x x x +-+-+++++…………6分
=32311(3)2233a ab a a b b ---++
=3321
()2()3a b ab a a b +--++
=221
()()()(2)3
a b a b ab a b a ++--+-
=221
()[()2]3
a b a b ab a ++--+. ………………………………………………11分
由已知，得221
()[()2]672()3a b a b ab a a b ++--+=+.
而0a b +≠，所以 221
()26723
a b ab a +--+=.
因此，22336702010a b ab a +--=?=. ……………………………………………16分 10. （本小题满分20分）
证明：假设AB BC ≠，否则结论显然成立（此时E 、K 重合）.
设KL 与ABC ∠的角平分线交于点S ，BC //KL ，LBS CBS LSB ∠=∠=∠∴， 于是LB LS =，又因为LB LA =S ∴在以AB 为直径的圆上，故090=∠ASB .……5分 设DE 与ABC ∠的角平分线交于点T ，则ABC ?的内心I 在点T B 、之间.又因为
BC AB ≠，则有E T ≠，且2
9029000C
AIB ,C DEC ∠+=∠∠-
=∠.…………10分 如果T 在线段DE 的内部，有0180=∠+∠AET AIT ，所以E T I A 、、、四点共圆. 如果E I 、在AT 的同侧，有AET C
AIT ∠=∠-
=∠2
900，也有E T I A 、、、四点共圆. ………………………………………………………………………………15分 因为090=∠AEI ，所以，090=∠ATI .
由于ATB ASB ∠=∠，则T S 、重合，即DE ,KL 和ABC ∠的角平分线交于一点. ………………………………………………………20分
11. （本小题满分20分）
解：（1）将1130(2)n n n n a a a a n --+-=≥整理得：
1
11
3(2)n n n a a --=≥， 所以
1
13(1)32n
n n a =+-=-，即132n a n =
-，当1n =时，上式也成立， 所以，1
32
n a n =
-. ………………………………………………5分 （2）若1
1
n n a a λλ++
≥恒成立，即3132n n λλ++≥-恒成立， 整理得：
(31
)
(
3
2
)
3(
1
)n n n λ+-
≤
-.
令(31)(32)3(1)n n n c n +-=
-,则
1(34)(31)(31)(32)(31)(34)
33(1)3(1)n n n n n n n n c c n n n n ++++-+--=-=--.
因为2n ≥，所以上式0>，即{}n c 为单调递增数列，所以2c 最小，228
3
c =， 所以λ的取值范围为28
(,]3
-∞.…………………………10分 （3
）由n b =
2
3
n b ===>=，……15分 所以
12n n T b b b =+
+???+2
3
>???+
2
1)= . …………………………20分