数学期望及其应用修订稿

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本科生毕业论文

题目: 数学期望的计算方法与实际应用

专业代码: 070101

原创性声明

本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.

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目录

摘要

数学期望简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，它代表了随机变量总体取值的平均水平。数学期望的涉及面非常之大，广泛应用于实际生活中的各个领域。在实际生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决。其意义是运用对实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。

本文从数学期望的内涵出发，介绍了数学期望的定义、性质，介绍了数学期望的几种计算方法并举以实例，通过数学期望在医学疾病普查、体育比赛和经济问题中的应用的探讨。特别是在经济问题方面，本文又详细分为免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题、最佳进货量问题和求职决策问题，试图初步说明数学期望在实际生活中的重要作用，几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的应用。

关键词：概率论与数理统计；数学期望；性质；计算方法；应用

Abstract

Mathematical expectation or expectations, also known as average, is very important digital features in the theory of probability, and it represents the overall average value random variables. Mathematical expectation is very big, widely applied in all fields in actual

life. In real life, there are a lot of problems can be directly or indirectly solved by using the mathematical expectation. Its meaning is to use mathematical model to carry on the analysis of practice of abstracting method, so as to achieve the purpose of understanding the objective world rule, in order to provide accurate theoretical basis such as decision analysis.

Based on the connotation of mathematical expectation, this paper introduces the definition and properties of mathematical expectation,and introduces several calculation methods of mathematical expectation and with examples, through the mathematical expectation in the medical disease census, sports, and discussed the application of economic problems. Especially in terms of economy, this paper is divided into free sweepstakes problem, insurance company profits, decided to production batch problems, machine failure problem, best carried out and cover decision problem, and attempts to preliminarily illustrate the important role of mathematical expectation in the actual life,and a few examples combine mathematical expectation and actual problem, with specific example is given to illustrate the feasibility of solving practical problems with mathematical expectation method,and embodies the application of mathematical expectation in life.

Keywords：Probability and mathematical statistics; Mathematical expectation; Properties; Calculation method; application

数学期望的计算方法与实际应用

1.引言

知识来源于人类的实践活动，又反过来运用到改造世界的实践活动中去，其价值也就在于此.面对当今信息时代的要求，我们应当思维活跃，富于创新，既要学习数学知识，更应该重视对所学知识的应用.

在现实生活中，我们常常需要研究各种各样的随机变量.对于一个随机变量，如果掌握了它的概率分布，当然就可以对它进行全面的分析，但是在实际问题中要求出一个随机变量的概率分布往往不是一件容易事.有时甚至是不可能，而有些实际问题我们也不一定非要掌握一个随机变量的概率分布，而只要知道它的某些数字特征就够了，因此并不需要求出它的分布函数.这些特征就是随机变量的数字特征，是随机变量的分布所决定的常数，刻画了随机变量某一方面的性质。例如比较不同班级的某次统考的成绩，通常就是比较各班的平均分；考察某种大批量生产的元件的寿命往往只需知道元件的平均寿命；评定某地区粮食产量的水平时，经常考虑平均亩产量；对一射手进行技术评定时，经常考察射击命中环数的平均值；检查一批棉花的质量时，关心的是棉花纤维的平均长度等.这个重要的数字特征就是数学期望，它是现实生活中“平均值”概念的推广，在现实生活中有重要的作用.

盛骤等人在文献[1]中给我们系统地介绍了数学期望的定义、基本性质等，文献[2——5]中介绍了用特征函数、逐项微分、特殊积分等求解数学期望的方法，解法各具特色，张艳娥等在文献[6]中讨论了数学期望理论在疾病普查中的应用，杨先伟在文献[7]中对数学期望在体育比赛中的应用作了研究，文献[8—

—12]通过几个例子研究了数学期望在某些经济问题中的应用，内容包括免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题等.

本文介绍了数学期望的定义、性质及其计算方法与技巧，并从数学期望的内涵出发，通过几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的广泛应用.

2. 数学期望的定义及其性质

数学期望的定义

掷一枚质地均匀的骰子N 次，观察每次出现点数.它是一个随机变量ξ

，

如果用1N 、2N 、3N 、4N 、5N 、6N 表示出现1、2、3、4、5、6点的次数，那么每次投掷骰子出现点数的平均值为

N

N i

表示事件投掷骰子出现i 点的频率，由于频率具有波动性，因此该平均值也具有波动性，并不能代表每次投掷骰子出现点数的平均值，当N 很大时，N

N

i 应稳

定于6

1

，故该平均值也应该稳定于

那么，这使得平均值是真正的每次投掷骰子出现点数的平均值，他是随机变量ξ的可能取值i x 与所对应的概率i p 乘积的总和，这是一个常数，可以用来描述随机变量ξ的数学特征，称之为ξ的数学期望，记作ξE .

定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为()??=,3,2,1i a i ，其分布列为

i p ()??=,3,2,1i ，则当i i i p a ∑∞

=1

<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为

∑∞==1

i i i p a E ξ，如果∞=∑∞

=i i i p a 1

，则数学期望不存在.

定义2 设连续型随机变量ξ的概率密度函数为()x P , 若积分?+∞

∞

-dx x xP )(是一

个有限值，则称积分?+∞

∞

-dx x xP )(为ξ的数学期望，记作ξE ，即=

ξE ?+∞

∞

-dx x xP )(.

数学期望的基本性质

设C 、a 、b 为常数，ξ为随机变量，则有如下性质： 性质1 常数C 的数学期望等于本身：C EC =.

证明：以离散随机变量为例来证明，对于连续随机变量可类似地证明.下同， 把常数C 视为概率1取本身值的离散随机变量，即得 C EC =.

性质2 ()C E C E +=+ξξ

证明：设随机变量ξ的概率分布为)(i x P =ξ=)(i x P ,（i =1,2,…）则

()C E x P C x P x x P C x C E i

i i

i i i i

i +=+=+=+∑∑∑ξξ)()()()(.

性质3 ξξCE C E =)(.

证明：∑∑===i

i i

i i i CE x P x C x P Cx C E ξξ)()()(.

性质4 ξξbE a b a E +=+)(.

证明：利用前三个性质得ξξξbE a Eb Ea b a E +=+=+)(.

数学期望的计算方法

方法一：利用数学期望的定义，即定义法

此法是计算数学期望最常用的一种方法.它是先通过数学手段将∑∞

=1k k k p x 转化

成组合数公式、二项式定理或特殊级数的形式，然后求和获解.该方法思路明确，但有时计算比较麻烦.

例1 设X~ U ( a, b) , 求E ( X). 解 X 的概率分布为

X 的数学期望为

方法二： 公式法

对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望. （1） 二点分布：(

)

011~

p

p X -，则()p X E =

（2） 二项分布：),(~p n B X ，01p <<，则np X E =)( （3） 几何分布：)(~p G X ,则有p

X E 1)(=

（4） 泊松分布：)(~λP X ，有λ=)(X E （5） 超几何分布：),,(~M N n h X ,有N

M n

X E =)( 方法三： 性质法

当一个随机变量的分布较为复杂时，若直接求它的数学期望会很困难，我们可以通过将它转化成比较常见的简单的随机变量之和来解决． 主要是利用数学

期望的性质()∑∑===??? ??n

i i n i i X E X E 1

1来使问题简单化．

例2 将n 个球随机地放入M 个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X 的期望．

解 记???=个盒子有球，第个盒子无球，第i 1i 0i X ，i=1,2,3，…，M,则∑==M

X X 1

i i 。 ()()n

n

n

i 1-110??

?

??=-==M M

M X P ，所以 因而 所以

方法四： 利用逐项微分法

这种方法是对于概率分布中含有参数的随机变量而言的，我们可以通过逐项求微分的方法求解出随机变量的数学期望，关键步骤是对分布列的性质1

1=∑∞

=i i p 两边关于参数进行求导，从而解出数学期望.

例3 设随机变量X 服从几何分布()p k g ,，求()X E . 解 ()()()n k p p p X P k

n ,...,2,1,0,101k =<<-==-

两边对p 求导数得 即

方法五： 利用条件数学期望公式法

条件分布的数学期望称为条件数学期望，它主要应用于二维随机变量()Y X ,.在()Y X ,为二维离散随机变量场合下，其计算公式为：

或()()()∑=====j

j j x X y Y P y x X Y E Y E

在连续型随机变量场合下，条件数学期望同样适用，其计算公式为 例4 设质量()kg m 与加速度()2/m N a 是两个相互独立的随机变量，其概率密

度分别为()()??

?

????≤≤=???≤≤=10,92,010,2,0X a a y x m m x 其他，其他，试求外力F=ma 的均值.

解 ()()()()a E m E ma E F E ==

例5 设ξ~[]1,0U ，当x =ξ时，η~[]x U ，0，求()ηE .

解 由题意{

}10,2

/<<==x x

x E ξη， 于是(){}()412/10====??+∞∞-dx x dx x x E E ?ξξηη

方法六： 特殊积分法

连续型随机变量X 的数学期望为()()dx x p x X E ?+∞

∞

-=，在计算连续型随机变

量X 的数学期望时，常常会用到一些特殊的求积分的性质和方法，如奇函数在对称区间的积分值为0，还有第一换元积分等，都会给我们的计算带来简便.

例6 设随机变量()2

,~σμN X ,证明()μ=X E .

证 在()X E 的积分表达式中做变换()dx dz x z σ

σ

μ1=-=

，，即dz dx ?=σ

上式右端第一个积分的被积函数为奇函数，故其积分为0，第二个积分恰为

π2.

方法七： 利用特征函数

特征函数的定义：设X 是一个随机变量，称()()

itX e E t =? , t -∞<<+∞，为

X 的特征函数，设连续随机变量X 有密度函数()x p ，则X 的特征函数为

根据上式，我们可以求出随机变量分布的特征函数，然后利用特征函数的性质：

()()()

k

k k

i

X

E 0?=

求出数学期望，即

()()

i

X E 0?'=

．

例7设随机变量()2

,~σμN X ,求()X E .

解 因为随机变量()2

,~σμN X ,则X 的特征函数为

()???

?

??-=2exp 22t t i t σμ?，

其一阶导数为

则()μ?i =0'，由特征函数的性质得

3 数学期望在实际生活中的应用

在医学疾病普查中的应用

医疗系统的检验人员在实际工作中经常遇到大量人群中普查某种疾病.如甲肝的普查就需要对某地区大量人进行血检.假设需要检查N个人的血，如果逐人

验血，则共需要检验N次，平均每人一次.若把这N个人大致分为N

k

组，每组k

个人，把这k个人的血样混合，首先检验混合血样，平均每人1

k

次，如果结果呈

阳性，则在逐个检验，即共需k+1次，平均每人需

1

k

k

+

次，当被普查人数众多

时，应用分组检验的方法能大大减少检验的次数.

例某地区的群众患有肝炎的概率为左右，假若要对该地区5000人进行肝炎感染的普查，问用分组检验方法是否比逐人检验减少检查次数.

解将这5000人分成5000

k

组，每组k个人，每人所需检验的次数为随机变量

X，则X的概率分布为：

每人的平均所需检验次数的期望为：

E（X）=1

k

(10.004)k

-+

1

k

k

+

1(10.004)k

??

--

??

=1

k

0.996k+1-

1

k

0.996k+

1

k

-0.996k

=1+

1

k

-0.996k

易见，当k=1，2，3，4,…时，()X

E，即每人平均所需次数小于1，这比逐人检查的次数要少.并且由数学分析的知识可知当k取16时，最小.即将5000人大致分为每组16人检验即可.

数学期望在体育比赛中应用

随着姚明和易建联在NBA 中取得成功，现在NBA 比赛越来越多地受到中国人的青睐.而由于体育比赛结果的偶然性，使得大家对比赛结果的预测越来越感兴趣.

以2008年爵士队和火箭队在NBA 季后赛的第一轮相遇为例.根据NBA 规则，比赛是七场四胜制.现在我们就可以提出这样一个问题，假设火箭队爵士每场比赛的获胜率都为50%，那么第一轮比赛结束时两队所需要比赛的场数是多少.

很容易想到，两个队比赛结束的前提就是其中一个对已经获得了4场比赛的胜利.所以上述问题可能的结果又4、5、6、7场四种结果.我们下面应用数学期望的知识进行预测.

首先，计算四种结果所对应的概率.由于每场比赛双方获胜概率一样，所以只需计算其中一对最后乘以二即可.

以两队比赛结束时共赛5场为例，假设火箭最终胜利.即火箭第五场胜利，且前四场恰好胜3场，又火箭每场胜率为50%，应用二项式定律可知，前面四场

火箭恰好胜三场的概率为：()()25.05.015.01

3

3

4=-C ；应用概率论中的乘法公式，

可知赛五场而火箭获胜的概率为：5.025.0?；所以，第一轮比赛恰好赛五场结束的概率为：25.02125.0=?.

类似的方法，我们可以将另外三个结果对应的概率算出.结束时赛四场的概

率为4(0.5)=；赛六场的概率为：()()[]

3125.025.05.015.02

3

35=??-C ；赛七场的概

率为：()()[]

3125.025.05.015.03

3

36=??-C .

设随机变量X 为比赛场数，则可建立X 的分布律：

应用数学期望公式，计算X 的数学期望：

所以，火箭和爵士季后赛第一轮比赛结束估计要赛六场.

众所周知，乒乓球是我们得的国球，中国队在这项运动中具有绝对的优势.现就乒乓球比赛的安排提出一个问题：假设韩国队和中国队比赛，赛制有两种，一种是双方各出3人，三场两胜制，一种是双方各出5人，五场三胜制，哪一种赛制对中国队更有利？

由于中国队在这项比赛中的优势，我们不妨设中国队每一位队员对韩国队员的胜率都为60%.根据前面的分析，下面我们只需比较两队的数学期望即可.

在五场三胜制中，中国队要取得胜利，获胜的场数有3、4、5三种结果.我们计算三种结果所对应的概率、应用二项式定律可知，恰好获得三场胜利对应的

概率：()()3465.06.016.03

3

3

5=-C ；恰好获得四场对应的概率：

()()2592.06.016.01

4

4

5

=-C ；五场全胜得概率：()()07776.06.016.00

5

55=-C . 设随机变量X 为该赛制下中国队在比赛中获胜的场数，则可建立X 的分布律：

计算随机变量X 的数学期望：

在三场两胜制中，中国队取得胜利，获胜的场数有2、3两种结果.胜两场对

应的概率为()()432.06.016.01

2

23=-C ；三场全胜的概率为()()216.06.016.00

3

33=-C .

设随机变量Y 为该赛制下中国队在比赛中获胜的场数，则可建立Y 的分布律

E （Y ）=?+?=

比较两个期望值，E （X ）>E (Y ),所以我们可以得出结论，五场三胜制对中国队更有利.

数学期望在经济问题中的应用 免费抽奖问题

袋中装有大小相同的球20个，10个10分，10个5分，从中摸出10个球，摸出的10个球分数之和即为中奖分数，获奖如下：

一等奖：100分，家电一件，价值2500元 二等奖：50分，家电一件，价值1000元 三等奖：95分，洗发精8瓶，价值176元 四等奖：55分，洗发精2瓶，价值88元 五等奖：60分，洗发精2瓶，价值44元 六等奖：65分，牙膏一盒，价值8元 七等奖：70分，洗衣粉一袋，价值5元 八等奖：85分，香皂一块，价值3元 九等奖：90分，毛巾一条，价值2元

十等奖：75分与80分为优惠奖，仅收成本22元，你将得到洗发精一瓶. 在解答该问题时，表面上看整个活动对顾客有利，一等奖到9等奖是白得的，只有十等奖收费，但也仅收回成本.事实上，我们用概率只是来分析一下：摸出10个球的分值只有11种情况，用X 表示摸奖者获得的奖励金额数，一等奖即得分100分，对应事件（X =2500），该事件的概率服从超几何分布，

()10

20

1010

10102500C C C X P ==，X 取值分别为2500、1000、176、88、44、8、5、3、

2、-22，其概率可以类似求出如下表：用X 的平均值就可以看出获利者，求出数学期望即可.

()098.1010

1

-==∑=k i i D x X E ，表明商家在平均一次的抽奖中，获得元钱.而平均

每个抽奖者将花元钱来享受这种免费抽奖，却没有机会获得大奖.

保险公司获利问题

一年中一个家庭万元被盗的概率是，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需要缴纳保险费100元，若在一年内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿a 元（a <100），试问a 如何确定，才能使保险公司期望获利？

解 只考虑保险公司对任意一家参保家庭的获利情况，设ξ表示保险公司对任一参保家庭的收益，则ξ的取值为100或100-a ，其分布列为：

根据题意，

E （ξ）=?+（100-a ）?

=100 - a > 0

解得a < 10000，又a > 100，所以a ∈（100，10000）时保险公司才能期望获利.

决定生产批量问题

决定生产批量问题是风险型经济决策问题.这种经济决策问题是物流企业进行生产决策经常遇到的.选择何种方案，多少产量直接关系到企业成本的控制，收益的高低，这些问题都是关系到企业管理和运营的重大问题，同时也困扰很多管理者.简易可行的解决方法就是利用期望收益最大的原则进行方案选择：即进行备选方案的收益(或损失)比较，选择收益(或损失)最大(最小)的方案.

例 某工厂决定今后5年内生产某电子产品的生产批量，以便及早做好生产前的各项准备工作，根据以往销售统计资料及市场调查和预测知：未来市场出现销路好、销路一般、销路差三种状态的概率分别为、和，若按大、中、小三种不同生产批量投产，今后5年不同销售状态下的益损值如下所示：

试做出分析，以确定最佳生产批量.

解 比较期望益损法是常用的决策方法之一，下面算出每一方案的期望益损：

()2ξE 比()1ξE 和()3ξE 均大，所以认为选择中批量生产方案为优.

机器故障问题

一部机器一天内发生故障的概率是，机器发生故障则全天停工，如果一周5个工作日均无故障，工厂可获利润10万元，发生一次故障可获利5万元，发生三次或三次以上的故障，则要亏损2万元，求这个工厂每周的期望利润.

解 以η表示一周内机器发生故障的天数，则η是n =5时的二项分布 b （5，），()k k k C k P -==558,02.0η（k =0，1，2，3，4，5），以ξ表示工厂一周内所获得利润，则

ξ的概率分布为：

故工厂一周的期望利润是万元. 最佳进货量问题

设某一超市经销的某种商品，每周的需求量X 在10至30范围内等可能取值，该商品的进货量也在10至30范围内等可能取值（每周只在周前进一次货）超市每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，可从外单位调拨，此时一单位商品可获利300元.试测算进货量多少时，超市可获得最佳利润？并求出最大利润的期望值.

分析：由于该商品的需求量（销售量）X 是一个随机变量，它在区间[]30,10上均匀分布，而销售该商品的利润值Y 也是随机变量，它是X 的函数，称为随机变量的函数.本问题涉及的最佳利润只能是利润的数学期望即平均利润的最大值.因此，本问题的解算过程是先确定Y 与X 的函数关系，再求出Y 的期望EY .最后利用极值法求出EY 的极大值点及最大值.

先假设每周的进货量为a ，则 利润Y 的数学期望为：

EY 的最大值3.933352503703503705.7max 2

≈+?+??

? ???-=EY 元

由计算结果可知，周最佳进货量为（单位），最大利润的期望值为元. 求职决策问题

有三家公司为大学毕业生甲提供应聘机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为A 、B 、C ，每家公司都可提供极好、好和一般三种职位.每家公司根据面试情况决定给求职者何种职位或拒绝提供职位.按规定，双方在面试后要立即做出决定提供，接受或拒绝某种职位，且不许毁约.咨询专家在为甲的学业成绩和综合素质进行评估后，认为甲获得极好、好和一般的可能性依次为、和.三家公司的工资承诺如表：

如果甲把工资作为首选条件，那么甲在各公司面试时，对该公司提供的各种职位应作何种选择？

分析：由于面试从A 公司开始，甲在选择A 公司三种职位是必须考虑后面

B 、

C 公司提供的工资待遇，同样在B 公司面试后，也必须考虑C 公司的待遇.

因此我们先从C 公司开始讨论.由于C 公司工资3X 期望值为：

再考虑B 公司，由于B 公司一般职位工资只有2500，低于C 公司的平均工资，因此甲在面对B 公司时，只接受极好和好两种职位，否则去C 公司.如此决策时加工资2X 的期望值为：

()30155.027003.029502.039002=?+?+?=X E 元

最后考虑A 公司，A 公司只有极好职位工资超过3015，因此甲只接受A 公司的极好职位.否则去

B

公司.