高中数学学案：复数的概念及其运算
高中数学学案:复数的概念及其运算
1. 了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件.
2. 理解复数代数形式的四则运算法则,能进行复数代数形式的四则运算.
1. 阅读:选修 22 第109～117页.
2. 解悟:①数系的扩充；②复数的四则运算与共轭复数；③与加法一样,复数的乘法也是一种规定.课本114页例2还可以让学生先计算后两个复数的积,再与第一个复数相乘,从而验证复数乘法满足结合律；④根据复数相等的充要条件,应用待定系数法求复数,是常用的方法之一.
3. 践习:在教材空白处,完成第118～119页习题第2、3、6、12题.
基础诊断
1. 若复数z ＝(1＋m i )(2－i )(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数m 的值为 －2 .
解析:由题意得,z ＝(1＋m i )(2－i )＝2＋m ＋(2m －1)i .因为复数z 是纯虚数,所以2＋m ＝0,且2m －1≠0,解得m ＝－2.
2. 设复数z ＝m ＋3i 1＋m i (m>0,i 为虚数单位),若z ＝z,则m
解析:z ＝m ＋3i 1＋m i ＝（m ＋3i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝4m ＋（3－m 2）i 1＋m
2.因为z ＝z,所以3－m 2＝0,解得m ＝±
3.因为m>0,所以m ＝ 3.
3. 已知复数z ＝11＋i
,其中i 是虚数单位,则|z|＝ 2 . 解析:z ＝11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）
＝12－12i ,所以|z|＝? ????122＋? ??
??122＝22.
4. 设复数z 满足(1＋2i )·z ＝3(i 为虚数单位),则复数z 的实部为 35 .
解析:因为(1＋2i )·z ＝3,所以z ＝31＋2i ＝3（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝3－6i 5,所以复数z 的实数为35. 范例导航
考向? 复数的基本运算
例1 (1) （－1＋i ）（2＋i ）i 3
； (2) 1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2
； (3) (－1＋3i )3；
(4) ? ??
??1－i 1＋i 18. 解析:(1) 原式＝(－1＋i )(2＋i )i ＝(－3＋i )i ＝－1－3i .
(2) 原式＝1－i 2i ＋1＋i －2i
＝1－i －1－i 2i ＝－2i 2i ＝－1. (3) 原式＝(－1＋3i )2(－1＋3i )＝－2(1＋3i )·(－1＋3i )＝－2×(－4)＝8.
(4) 原式＝(－i )18＝[(－i )2]9＝－1.
1. 设1＋2i ＝2i (a ＋b i )(i 为虚数单位,a,b ∈R),则a ＋b 的值是 12 .
解析:因为1＋2i ＝2i(a ＋b i)＝－2b ＋2a i,所以???－2b ＝1，2a ＝2，解得?????b ＝－12，a ＝1，
所以a ＋b ＝1－12＝12.
2. 设1＋i 1－i
＝a ＋b i (i 为虚数单位,a,b ∈R),则ab 的值为 0 . 解析:因为1＋i 1－i
＝i,所以a ＋b i ＝i,所以a ＝0,b ＝1,所以ab ＝0. 3. 设复数z 满足(z ＋i )(2＋i )＝5(i 为虚数单位),则z ＝ 2－2i .
解析:因为(z ＋i )(2＋i )＝5,所以z ＝52＋i
－i ＝2－i －i ＝2－2i . 4. 设复数z i ＝1＋2i (i 为虚数单位),则z ＝ 2－i .
解析:因为z i ＝1＋2i ,所以z ＝1＋2i i ＝2－i .
考向? 复数的模与共轭复数
例2 (1) 若复数z ＝1＋2i 3－i
(i 为虚数单位),则z 的模为 2 ； 解析:z ＝1＋2i 3－i ＝（1＋2i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝110＋710i ,所以|z|＝? ????1102＋? ????7102＝22. (2) 复数z ＝a i 1＋2i
(a<0),其中i 为虚数单位,|z|＝5,则a 的值为 －5 ； 解析:z ＝a i 1＋2i ＝a i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2a 5＋a 5
i .因为|z|＝5,所以? ????2a 52＋? ????a 52＝5,解得a ＝±5.因为a<0,所以a ＝－5.
(3) 若x －1＋y i 与i －3x 是共轭复数(x,y 是实数),则x ＋y ＝ －34 ；
解析:由题意得???－3x ＝x －1，1＝－y ，解得?????x ＝14，y ＝－1，
所以x ＋y ＝14－1＝－34. (4) 记复数z ＝a ＋b i (i 为虚数单位)的共轭复数为z ＝a －b i (a,b ∈R),已知z ＝2＋i,则z 2＝ 3－4i .
解析:因为z ＝2＋i,所以z 2＝3＋4i,所以z 2＝3－4i.
考向? 复数的实部与虚部
例3 (1) 若复数z ＝(1－i )(m ＋2i )(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数m 的值为 －2 ；
解析:z ＝(1－i )(m ＋2i )＝m ＋2＋(2－m)i .因为复数z 是纯虚数,所以???m ＋2＝0，2－m ≠0，
解得???m ＝－2，m ≠2，
故实数m 的值为－2. (2) 已知复数z ＝(a －i )(1＋2i )(a ∈R,i 为虚数单位),若复数z 在复平面内对应的点在实轴上,则实数 a ＝ 12
； 解析:z ＝(a －i)(1＋2i)＝(a ＋2)＋(2a －1)i.因为复数z 在复平面内对应的点在实轴上,所以2a
－1＝0,即a ＝12.
(3) 已知i 是虚数单位,则1－i （1＋i ）2
的实部为 －12 .
解析:由题意得1－i （1＋i ）2＝1－i 2i
＝－12－12i,所以该复数的实部为－12. 自测反馈
1. 若复数z ＝i (3－2i )(i 是虚数单位),则z 的虚部为 3 .
解析:因为z ＝i (3－2i )＝2＋3i ,所以复数z 的虚部为3.
2. 已知复数z 满足i z ＝1＋3i (i 为虚数单位),则|z|＝ 2 .
解析:由题意得z ＝1＋3i i ＝3－i ,所以|z|＝（3）2＋（－1）2＝2.
3. 若复数m ＋2i 1－i
(m ∈R,i 是虚数单位)为实数,则m ＝ －2 . 解析:由题意得m ＋2i 1－i ＝（m ＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝m －22＋m ＋22i.因为复数m ＋2i 1－i
是实数,所以m ＋2
2＝0,解得m ＝－2,故m 的值为－2.
4. 设3＋i 1＋i
＝a ＋b i (i 为虚数单位,a,b ∈R),则a ＋b ＝ 1 . 解析:由题意得3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）
＝2－i ＝a ＋b i,所以a ＝2,b ＝－1,所以a ＋b ＝1.
1. 复数加减法的法则可以类比多项式合并同类项法则来理解和记忆.
2. 复数z ＝a ＋b i (a,b ∈R)为实数的充要条件是b ＝0；它为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0.
3. 你还有哪些体悟,写下来: