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概率论第四章答案

习题4-1

1. 设随机变量X

求()E X ；E (2－3 X ); 2

()E X ；2

(35)E X

解由定义和数学期望的性质知

2.03.023.004.0)2()(-=?+?+?-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-?-=; 8.23.023.004.0)2()(2

=?+?+?-=X E ; 4.1358.235)(3)53(2

2=+?=+=+X E X

E .

2. 设随机变量X 的概率密度为

,0,

()0,0.x

e x

f x x -?>?=???

≤

求X

e Z X Y 22-==和的数学期望.

解 0

()(2)2()2

E Y E X E X x x ∞-====?

e d , 220

1()()3

E Z E e

dx ∞---==

3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第

55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60]

上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望.

解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为

,060,()60

0,.

x f x =??

???

≤≤其它

记Y 为游客等候电梯的时间,则

5,05,25,

525,()55,2555,65,

5560.

X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-

???≤≤≤≤

因此, 600

()[()]()()()60

E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞

()

52555600

(5)(25)(55)(65)

x dx x dx x dx x dx =

-+-??

=11.67(分钟)..

14. 某保险公司规定, 如果在一年内顾客的投保事件A 发生, 该公司就赔偿顾客a 元. 若一年内事件A 发生的概率为p , 为使该公司受益的期望值等于a 的10％, 该公司应该要求顾客交多少保险费？

解设保险公司要求顾客交保费c 元. 引入随机变量

???=.

A ,0,A 1不发生事件发生事件，X

则{1},{0}1P X p P X p ====-. 保险公司的受益值

1,,

0.c a X Y c X -=?=?=?，

于是 ()(){1}{0}E Y c a P X c P X ap c =-?=+?==-+.

据题意有10%ap c a -+=?, 因此应要求顾客角保费(0.1)c p a =+.

习题4-2

1. 选择题

(1) 已知(1,(3))E D X X =-= 则2

[3(2)]()E X -=.

(A) 9. (B) 6. (C) 30. (D) 36.

解 2

[3(2)]3(44)E X E X

X -=-+

3[()4()4]E X E X =-+

3{()[()]4()4}D X E X E X =+-+

3(3144)36=?+++=.

可见，应选(D).

(2) 设~(,),(6,( 3.6))B n p E D X X X ==, 则有( ).

(A) 10, 0.6n p ==. (B) 20, 0.3n p ==. (C) 15, 0.4n p ==. (D) 12, 0.5n p ==.

解因为~(,),B n p X 所以E (X )=n p,D (X )=np (1-p ), 得到np =6, np (1-p )=3.6 . 解之, n=15 , p =0.4 . 可见，应选(C).

(3) 设X 与Y 相互独立，且都服从2

(,)N μσ, 则有( ).

(A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=.

()2D X Y σ-=.

解注意到0)()()(=-=-Y E X E Y X E .由于X 与Y 相互独立,所以

2)()()(σ=+=-Y D X D Y X D . 选(D).

(4) 在下列结论中, 错误的是( ).

(A) 若~(,),().X B n p E X np =则

(B) 若()~1,1X U -，则()0D X =. (C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =. (D) 若2

~(,),X N μσ 则

~(0,1)X N μ

解 )1,1(~-U X , 则3

112

)()(2

a b X D . 选(B).

2. 已知X , Y 独立, E (X )= E (Y )=2, E (X 2

)= E (Y 2

)=5, 求E (3X -2Y ),D (3X -2Y ). 解由数学期望和方差的性质有

E (3X -2Y )= 3E (X )-2 E (Y )=3×2-2×2=2,

(32)9()4()

D X Y D X D Y -=+

})]([)({4})]([)({92

Y E Y E X E X E -?+-?=

13)45(4)45(9=-?+-?=.

3. 设随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1服从区间[0, 6]上的均匀分布, 2

2~0,2X N （）, 3~3X P （）, 记12323Y X X X =-+, 求E (Y )和D (Y ) .

解由题设知

1122(60)

()3,()3,()0,()4,

12E X D X E X D X -==

===3321111

(),()39

E X D X λλ====.

由期望的性质可得

123

123()(23)()2()3()

32034.

E Y E X X X E X E X E X =-+=-+=-?+?

又123,,X X X 相互独立, 所以

123123()(23)()4()9()

1344920.

9D Y D X X X D X D X D X =-+=++=+?+?

4. 设两个随机变量X 和Y 相互独立, 且都服从均值为0, 方差为

的正态分布, 求

||X Y -的的期望和方差.

解记U X Y =-. 由于1

1~(0,

),~(0,

)22

X N Y N , 所以

()()()0,E U E X E Y =-= ()()()1D U D X D Y =+=.

由此~(0,1)U N . 进而

222

0 (||)(||)||

x x x

E X Y E U x dx xe dx e

+∞

---

+∞+∞

-∞

-===-=

2222

(||)()()[()]101

E U E U D U E U

==+=+=.

故而

2 (||)(||)(||)[(||)]11

D X Y D U

E U E U

-==-=-=-.

5. 设随机变量]2,1

[

X, 随机变量

求期望()

E Y和方差)

解因为X的概率密度为

,12,

()3

0,.

f x

≤≤

其它

于是Y的分布率为

--1

{1}{0}

()d d

P Y P X f x x x

∞

=-=<==

??,

{0}{0}0

P Y P X

====,

{1}{0}

()d d

P Y P X f x x x

∞

==>==

??.

因此

121

()1001

333

E Y=-?+?+?=,

2222

()(1)0011

E Y=-?+?+?=.

故有22

()()[()]1

D Y

E Y E Y

=-=-=.

6. 设随机变量U在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量

1,1,

1,1.

若≤

若

1,1,

1,1.

若≤

若

求E(X+Y), D(X+Y).

解(1) 随机变量(X, Y)的可能取值为(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1).

{1,1}{P X Y P U =-=-=≤1,U -≤-1-2

11}{1}4

1d 4

P U x =-=

≤,

{1,1}{P X Y P U =-==≤1,U -1}0>=, {1,1}{1P X Y P U ==-=>-,U ≤11

11}2

1d 4

x -=

1{1,1}{1,1}4

1d 4

P X Y P U U x ===>->=

=??

于是得X 和Y 的联合密度分布为

(2) Y X +和2

)(Y X +的概率分布分别为

由此可见

22()044

E X Y +=-

+=;2

()[()]2D X Y E X Y +=+=.

习题4-3

1. 选择题

(1) 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件

(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.

解 X 与 Y 相互独立是随机变量X 与Y 不相关的充分条件,而非必要条件. 选(D).

(2) 设随机变量X 和Y 都服从正态分布, 且它们不相关, 则下列结论中不正确的是( ).

(A) X 与Y 一定独立. (B) (X , Y )服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X +Y 服从一维正态分布.

解对于正态分布不相关和独立是等价的. 选(A).

(3) 设(X , Y )服从二元正态分布, 则下列说法中错误的是( ).

(A) (X , Y )的边缘分布仍然是正态分布.

(B) X 与Y 相互独立等价于X 与Y 不相关. (C) (X , Y )是二维连续型随机变量.

(D)由(X , Y )的边缘分布可完全确定(X , Y )的联合分布. 解仅仅由(X , Y )的边缘分布不能完全确定(X , Y )的联合分布. 选(D)

2 设D (X )=4, D (Y )=6, ρXY =0.6, 求D (3X -2Y ) .

解 (32)9()4()12C ov(,)D X Y D X D Y X Y -=+- )()(126449Y D X D XY ?

-?+?=ρ

727.24626.0122436≈???-+=.

3. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 2

()()2E X E Y ==, 求2

[()]E X Y +.

解

222

[()]()2()()

42[C ov(,)()()]

E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++

42420.52

ρ=+=+??=

4. 设随机变量(X , Y )

若E (XY )=0.8, 求常数a ,b 解首先由

∑∑

∞

=∞

==1

1i j ij p 得4.0=+b a . 其次由

0.8()100.420110.2210.22E XY a b b ==??+??+??+??=+

得3.0=b . 进而1.0=a . 由此可得边缘分布律

于是 , .

故 C o v (,)()()()0.81.40

.X Y E

X Y E X E Y =-=-?=. 5. 已知随机变量(,)~(0.5,4;0.1,9;0)X Y N , Z =2X -Y , 试求方差D (Z ), 协方差

Cov(,)X Z , 相关系数ρXZ . 解由于X ,Y 的相关系数为零, 所以X 和Y 相互独立(因X 和Y 服从正态分布). 因此

25944)()(4)2()(=+?=+=-=Y D X D Y X D Z D ,

C ov(,)C ov(,2)

2C ov(,)C ov(,)2()08

X Z X X Y X X X Y D X =-=-=-=. 因此

0.825

XZ ρ=

=?.

6. 设随机变量(X , Y )服从二维正态分布: 2

~(1,3)X N , 2

~(0,4)Y N ; X 与Y 的相关系数1,232

XY X Y

Z ρ=-

+. 求: (1) E (Z ), D (Z )； (2) X 与Z 的相关系数ρXZ ; (3)问

X 与Z 是否相互独立?为什么?

解 (1) 由于)3,1(~2

N X , )4,0(~2

N Y , 所以

16)(,0)(,9)(,1)(====Y D Y E X D X E ,

而

1C o v (,))346

X Y X

Y ρ=?=-??=-. 因此 3

02113

)(21)(31)23

(

)(=

=Y E X E Y

X E Z E ,

11()()()()2C o v (,

)

3294

32X Y D Z D D X D Y X Y =+

=++ 111916C o v (,)9

X Y =

3)6(3

141=-?+

+=.

(2) 由于

1111C ov(,)C ov(,

)()C ov(,)9(6)0,3

X Y X Z X D X X Y =+

?-=

所以

0XZ ρ=

(3) 由0=XZ ρ知X 与Z 不相关, 又X 与Z 均服从正态分布, 故知X 与Z 相互独立. 7．证明: 对随机变量(X , Y ), E (XY )=E (X )E (Y )或者D (X ±Y )=D (X )+D (Y )的充要条件是X

与Y 不相关.

证首先我们来证明)()()(Y E X E XY E =和()()()D X Y D X D Y ±=+是等价的.

事实上, 注意到()()()2C ov(,)D X Y D X D Y X Y ±=+±. 因此

()()()D X Y D X D Y ±=+C ov(,)0()()()X Y E XY E X E Y ?=?=.

其次证明必要性. 假设E (XY )=E (X )E (Y ), 则

C ov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=.

进而0

XY ρ=

=, 即X 与Y 不相关.

最后证明充分性. 假设X 与Y 不相关, 即0=XY ρ, 则C ov(,)0X Y =. 由此知

)()()(Y E X E XY E =.

总习题四

1. 设X 和Y 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量, 已知X 的分布律为1

{},1,2,33

P X i i ==

=. 又设max{,},min{,}U X Y V X Y ==.

(1) 写出二维随机变量(U , V )的分布律;

(2) 求()E U .

解 (1) 下面实际计算一下{1,3}P U V ==. 注意到max{,},min{,}U X Y V X Y ==, 因此

{1,3}{1,3}{3,1}P U V P X Y P X Y =====+==

{1}{3}{3}{1}P X P Y P X P Y ===+==

9231313131=?+?=.

(2) 由(,)U V 的分布律可得关于U 的边缘分布律

所以 135

22()123

E U =?

+?=.

2. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗. 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率是25

. 设X 为途中遇到红灯的次数, 求随机变量X 的分布律、分布函

数和数学期望.

解令X 表示途中遇到红灯的次数, 由题设知2~(3,

)

X B . 即X 的分布律为

从而3

27543686(){}0123125

125

k E X kP X k ==

==?

∑

3. 设随机变量),(Y X 的概率密度为

12,01,

(,)0,.y y x f x y ??=???

≤≤≤其它

求2

(),(),(),()E X E Y E XY E X Y +.

解 1

4()(,)1245

E X xf x y dxdy dx x y dy x dx ∞∞-∞-∞

=?==

???.

3()(,)1235

x E X yf x y dxdy dx y y dy x dx ∞

∞-∞-∞

==?==

31()(,)1236

E X Y xyf x y dxdy dx xy y dy x dx ∞

∞-∞-∞

=?==

???.

()()(,)()12x

E X

Y x y f x y dxdy dx x y y dy ∞∞-∞-∞

+=+???

12423216(4)5

x x dx =

4. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为

sin(),

0,0,2

2(,)0,.

≤≤

其它ππ

x y x y f x y ?+?=???

求E (X ),D (X ),E (Y ),D (Y ),E (XY )和 Cov(X ,Y ).

解 220

()(,)sin()2

E X xf x y dxdy x x y dxdy π

π+∞+∞-∞-∞

??.

()(,)1

sin() 2.

E X x f x y dxdy x x y dxdy π

π+∞+∞-∞

-∞

于是有

2216

)]([)()(2

-=ππ

X E X E X D .

利用对称性,有 22

)(,4

)(2

ππ

πY D Y E .

又 ()(,)E X Y x y f x y d x

d y +∞+∞-∞

-∞

220

1sin()2xy x y dxdy π

=+??

220

1sin()21

[sin cos cos sin ]2

xdx y x y dy

xdx y x y x y dy

=+=

+????

所以协方差 2

C o v (,)()()()1

216

X Y E

X Y E X E Y ππ

=-=--.

5. 设随机变量X 与Y 独立, 同服从正态分布1(0,)2N , 求

(1) ();()E X Y D X Y --； (2) (max{,});(min{,})E X Y E X Y . 解 (1) 记Y X -=ξ.由于)2

0(~),2

0(~N Y N X ,所以

,0)()()(=-=Y E X E E ξ 1)()()(=+=Y D X D D ξ.

由此)1,0(~N ξ. 所以

(||)(||)||x

E X Y E x dx xe

dx ξ+∞+∞-

-∞

-==

+∞

101)]([)()()|(|2

=+=+==ξξξξE D E E .

故而ππξξξ2121|)](|[)|(||)(||)(|2

2-=????

?-=-==-E E D Y X D . (2) 注意到

|)(),max(Y X Y X Y X -++=

, 2

|),min(Y X Y X Y X --+=

所以

ππ

212

21|]}[|)()({21)],[max(=

-++=

Y X E Y E X E Y X E ,

212

1|]}[|)()({2

1)],[min(-

=--+=Y X E Y E X E Y X E .

6. 设随机变量),(Y X 的联合概率密度为

,02,02,

8(,)0,

.x y

x y f x y +??=?

?≤≤≤≤其它求: E (X ), E (Y ), Cov(X ,Y ), ρXY , D (X+Y ).

解注意到),(y x f 只在区域2≤≤0,2≤≤0:y x G 上不为零, 所以

()(,)8

x y E X xf x y dxdy x

x y ∞

∞-∞

-∞

d d

7()(1)8

6dx x x y dy x x dx =

???,

()(,)E X x f x y dxdy ∞∞-∞-∞

5()()8

dx x x y dy x x dx =

???,

因而 36

116

5)]([)()(2

=-=X E X E X D .

又

()(,)E XY xyf x y dxdy ∞∞-∞

-∞

44()()8

dx xy x y dy x x dx =

???.

由对称性知

75()(),()()6

E Y E X E Y E X ==

, 36

11)()(=

=X D Y D .

这样，

4491C ov(,)()()()3

X Y E X Y E X E Y =-=

C ov(,)1

XY X Y ρ=

5()()()2C ov(,)9

D X Y D X D Y X Y +=++=

. 7. 设A , B 为随机事件, 且111(),(|),(|)4

P A P B A P A B =

, 令

10A X A =??

?，发生,，不发生,

10B Y B =??

?，发生,，不发生.

求: (1) 二维随机变量(X , Y )的概率分布; (2) X 与Y 的相关系数X Y ρ.

解由1()(|)3

()

P AB P B A P A ==得1111()()3

P A B P A =

=?=

, 进而由

1(|)2

P A B = ()()

P AB P B =得1()2()6

P B P A B ==. 在此基础上可以求得

(1) 1

{1,1}()12

P X Y

P AB ====,

111{0,1}()()()61212P X Y P AB P B P AB ====-=-

=, 111{1,0}()()()4

P X Y P A B P A P A B ====-=

{0,0}

()1()1[()()()]P X Y P A B P A

B P A P B P A

B ====-=-+- 111

123=-+

=. 故(X , Y )的概率分布为

(2) 由(1)

因此

11(),(),4

4E X E X =

113()()[()]4

16D X E X E X =-=

, 2

1115(),(),()()[()]6

E Y E Y D Y E Y E Y =

=-=

-=.

又由(X , Y )的分布律可得

21111()00

0110113

E X Y =?

?+??

+??

故

11()()()

XY E XY E X E Y ρ-?-=

中北大学概率统计习题册第四章完整答案(详解)资料

中北大学概率统计习题册第四章完整答案 (详解)

1. 填空 1）设~(,)X B n p ,则EX =np ，DX = npq 。 2）设~()X P λ,则EX =λ， DX =λ。 3）设~()X E λ,则EX = 1λ ，DX = 2 1 λ。 4）设[]~,X U a b ,则EX = 2 a b +，DX = () 2 12 b a -。 5)设2~(,)X N μσ,则EX =μ， DX =2σ。 6）设(,)~(1,1;2,9;0.5)X Y N ,则 EX =1，DX = 1 ，EY = 2，DY = 9 ，(,)Cov X Y = 1.5 。 7）已知螺钉的重量服从()250, 2.5N ，则100个螺钉总重量服从分布()5000, 625N 。 2. 已知在一定工序下，生产某种产品的次品率0.001。今在同一工序下，独立生产5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。解：设X 表示5000件产品中的次品数，则 ()~5000,0.001X B 。 50000.0015λ=?=，则 ()()()2100P X P X P X ≥=-=-= 5000499910.99950000.0010.999=--?? 0155 5510!1! e e --≈--10.006740.033690.95957=--= 注：实际上 5000499910.99950.9990.95964--?= 3. 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应至少进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。解：设进货数件数为N ，当月销售需求为X ，则由题意知()~7X P ，且 {}7 07e 0.999! k N k P X N k -=≤=≥∑ 查泊松分布的数值表，可得16N ≥. 4 . 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解：设旅客在地铁进站之前的X 时刻到达，即旅客候车时间也为X ；其数学期望和分别为()~[0,5]X U ， 52EX = ；2512 DX =。 5.设(){ }3.02010,,10~2=<

概率论与数理统计练习题第四章答案

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第四章随机变量的数字特征（一）一、选择题： 1 ．设随机变量 X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数（B ）确定常数（C ）随机变量（D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为 910()9 00 x e x f x x -?≥?=??

*5．设随机变量(,1,2,,)ij X i j n =L 独立且同分布,()2ij E X =，则行列式 11121212221 2n n n n nn X X X X X X Y X X X = L L M M M L 的数学期望() E Y = 0 (考研题 1999) 三、计算题： 1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编号，求().E X 2．设随机变量2 ~(,)X N μσ，求(||).E X μ - 3．设随机变量X 的密度函数为0()0 x e x f x x -?≥=?

概率论与数理统计第四章习题及答案

概率论与数理统计习题第四章随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）. 解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ P =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)] 查二项分布表 1－=. 因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=??? ? ??04×× =. P (X =1)=???? ??14××=, P (X =2)= ???? ??24××=. P (X =3)=???? ??34××=, P (X =4)= ??? ? ??44××=. 从而 E (X )=np =4×= 习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==???? ??-=+j j X P j j j ,说明X 的数学期望不存在. 解：由于 1 11 1133322(1) ((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞ ∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数1 12j j ∞ =∑发散，故级数1 11 33(1) ((1))j j j j j P X j j ∞ ++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X -2 0 2 k p 求)53(),(),(2 2 +X E X E X E . 解 E (X )=(-2)+0+2= 由关于随机变量函数的数学期望的定理，知 E (X 2)=(-2)2+02+22= E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[3 22 +5] = 如利用数学期望的性质，则有 E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=

概率论第4章习题参考解答

概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为 =??==733 103.07.0}3{C P ξ0.0090 至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为 =??-=<-=≥∑=-2 010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ0.9984 因np +p =10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为 =??=≤∑=-2 0101099.001.0}2{i i i i C P ξ0.9999 3. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此 2061.02.08.0}18{}15 270 {}27015{}270{20 18 2020=??==≥=≥ =≥=≥∑=-i i i i C P P P P ξξξη 4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此 ∑=-??=≤=≤=≤3 20209.01.0}3{}15.020 { }15.0{i i i i C P P P ξξ η=0.867 5. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这20 件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率 } 2{} 23{}2|3{≥≥?≥= ≥≥ξξξξξP P P 因事件}3{}2{≥?≥ξξ, 因此2}23{≥=≥?≥ξξξ 因此

概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明-第四章

第四章习题解答 1．设随机变量X ～B （30， 6 1），则E （X ）＝( D ). A.6 1 ； B. 65； C.6 25； D.5. 1 ()3056 E X np ==?= 2．已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E (XY )=（ A ）. A. 3； B. 6； C. 10； D. 12. ()1()3E X E Y == 因为随机变量X 和Y 相互独立所以()()()3E XY E X E Y == 3．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则X 2的数学期望E (X 2)＝____18.4______． (10,0.4)()4() 2.4X B E X D X ==: 22()(())()18.4E X E X D X =+= 4．某射手有3发子弹，射一次命中的概率为3 2，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽．设表示X 耗用的子弹数．求E （X ）. 解： X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/9 22113()233999 E X = +?+?= 5．设X 的概率密度函数为 , 01()2,120,x x f x x x ≤≤?? =-<≤??? 其它求2() ,().E X E X 解：12 20 1 ()()(2)1E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞ ==+-=? ??, 12 22320 1 7 ()()(2)6 E X x f x dx x dx x x dx +∞ -∞ ==+-= ? ??.

概率论第四章课后习题解答

概率论第四章习题解答 1（1）在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词所饮食的字母个数，写出X 的分布律并求数学期望()E X 。 “THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT ” （2）在上述句子的30个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求()E Y （3）一人掷骰子，如得6点则掷第二次，此时得分为6加第二次得到的点数；否则得分为第一次得到的点数，且不能再掷，求得分X 的分布律。解（1）在所给的句子中任取一个单词，则其所包含的字母数，即随机变量X 的取值为：2,3,4，9，其分布律为所以 151115()234988884 E X =?+?+?+?=。（2）因为Y 的取值为2,3，4，9 当2Y =时，包含的字母为“O ”，“N ”，故 1 21 {2}3015 C P Y == =；当3Y =时，包含的3个字母的单词共有5个，故当4Y =时，包含的4个字母的单词只有1个，故当9Y =时，包含的9个字母的单词只有1个，故

112314673 ()234915215103015 E Y =? +?+?+?== 。（3）若第一次得到6点，则可以掷第二次，那么他的得分为：X ＝7,8，9,10，11,12；若第一次得到的不是6点，则他的得分为1,2，3,4，5。由此得X 的取值为： 1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12。 2 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如果发现其中的次品多于1，就去调整设备。以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。（设诸产品是否为次品是相互独立的。）解（1）求每次检验时产品出现次品的概率因为每次抽取0件产品进行检验，且产品是否为次品是相互独立的，因而可以看作是进行10次独立的贝努利试验，而该产品的次品率为，设出现次品的件数为 Y ，则(10,0.1)Y B :，于是有 1010{}(0.1)(0.9)k k k P Y k C -== （2 ）一次检验中不需要调整设备的概率则需要调整设备的概率 {1}1{}10.73610.2639P Y P Y >=-≤=-= （3）求一天中调整设备的次数X 的分布律

(完整版)概率论第四章答案

习题4-1 1. 设随机变量X 求()E X ；E (2－3 X ); 2()E X ；2(35)E X +. 解由定义和数学期望的性质知 2.03.023.004.0)2()(-=?+?+?-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-?-=; 8.23.023.004.0)2()(2222=?+?+?-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+?=+=+X E X E . 2. 设随机变量X 的概率密度为 ,0,()0, 0.x e x f x x -?>?=???≤ 求X e Z X Y 22-==和的数学期望. 解 ()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞ -====?e d , 220 1 ()()3 X x x E Z E e e e dx ∞ ---==?= ?. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第 55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60] 上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为 1 ,060,()600, .x f x =?????≤≤其它记Y 为游客等候电梯的时间,则 5,05,25,525,()55,2555,65, 5560. X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-

概率论习题第四章答案

第四章大数定律与中心极限定理 4.1 设D(x)为退化分布： D(x)=?? ?≤>, 0,00 ,1x x 讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？ (1){D(x+n)}; （2）{D(x+ n 1)}; (3){D(x-n 1 )}，其中n=1,2,…。解：（1）（2）不是；（3）是。 4.2 设分布函数列Fn(x)如下定义： Fn(x)=?? ?????>≤<-+-≤n x n x n n n x n x ,1 ,2 ,0 问F(x)=∞ →n lim Fn(x)是分布函数吗？解：不是。 4.3 设分布函数列{ Fn(x)}弱收敛于分布函数F(x)，且F(x)为连续函数，则{Fn(x)}在(∞∞-,)上一致收敛于F(x)。证：对任意的ε>0,取M 充分大，使有 1-F(x)<ε，；M x ≥? F(x)<ε, ；M x ≤? 对上述取定的M ，因为F(x)在[-M ，M]上一致连续，故可取它的k 分点：x 1=MN 时有 <-)()(i i n x F x F ε，0≤i ≤k+1 （2）成立，对任意的x ∈(∞∞-,)，必存在某个i （0≤i ≤k ）,使得],(1+∈i i x x x ,由(2)知当n>N 时有 +<≤++)()()(11i i n n x F x F x F ε, (3) ->≥)()()(i i n n x F x F x F ε, (4) 有(1)，(3)，(4)可得 +-<-+)()()()(1x F x F x F x F i n ε)()(1i i x F x F -≤++ε<2ε, )()(x F x F n ->--)()(x F x F i εε2)()(1->--≥+δi i x F x F , 即有<-)()(x F x F n 2ε成立，结论得证。

概率论习题解答(第4章)

第4章习题答案三、解答题 1. 设随机变量X 的分布律为求)(X E ，)(2 X E ，)53(+X E ．解：E (X ) = ∑∞ =1 i i xp = ()2-4.0?+03.0?+23.0?= -0.2 E (X 2 ) = ∑∞ =1 2 i i p x = 44.0?+ 03.0?+ 43.0?= 2.8 E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0-?+5 = 4.4 2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望．解：记掷1颗骰子所掷出的点数为X i ，则X i 的分布律为 6 ,,2,1,6/1}{Λ===i i X P 记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (X i ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=28 3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p 1，借阅乙种图书的概率为p 2，设每人借阅甲乙

{}k X == λ λ-e k k ! ，k = 1,2,... 又P {}5=X =P {}6=X , 所以 λ λ λλ--= e e ! 6!56 5 解得 6=λ，所以 E (X ) = 6. 6. 设随机变量 X 的分布律为 ,,4,3,2,1,6 }{2 2Λ--== =k k k X P π问X 的数学期望是否存在？解：因为级数∑∑∑∞ =+∞ =+∞ =+-=-=?-1 1 2 1 211 221 1 )1(6)6)1(()6) 1((k k k k k k k k k k πππ，而 ∑∞ =11k k 发散，所以X 的数学期望不存在. 7. 某城市一天的用电量X （十万度计）是一个随机变量，其概率密度为 ?????>=-.0 ,0,9 1)(3 /其它x xe x f x 求一天的平均耗电量．解：E (X ) =??? ∞ -∞ -∞∞ -==0 3/20 3/9191)(dx e x dx xe x dx x f x x x =6. 8. 设某种家电的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为 ?????>-=.0 , 5,25 1)(2 其它x x x F 求这种家电的平均寿命E (X )．

《概率论与数理统计》习题及答案第四章

《概率论与数理统计》习题及答案第四章 1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解(,)X Y 的分布列为其中(1,1)(1)(1|1)0P X Y P X P Y X ======= 余者类推。 2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故 1~(3, ).2X B 331 ()(),0,1,2,32 k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为 01013818i p ? 其中(0,1)(0)(1|0)0P X Y P X P Y X =======， 13 313(1,1)(1)(1|1)()128 P X Y P X P Y X C =======?=，

余者类推。 3．设(,)X Y 的概率密度为又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<。求{(,)}P X Y D ∈ 解（1）1 3 21 {(,)}(6)8P x y D x y dxdxy ∈ = --? =32 1 (6)8 x x y dxdy --- = )落在圆222 ()x y r r R +≤<内的概率. 解（1）222 23 20 1(R x y R C R dxdy C R C r drd ππθ+≤==-??? ? 33 3233R R C R C πππ??=-=??? ?， ∴3 3 C R π=. （2）设2 2 2 {(,)|}D x y x y r =+≤，所求概率为 322 3 23232133r r r Rr R R R πππ???? =-=-?????? ?? . 5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为求X 和Y 的联合分布函数. 解1设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则解2由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则 6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:0D x <<求边缘概率密度。解(,)X Y 的概率密度为关于X 和Y 的密度为

改后第四章概率论习题-奇数答案

第四章概率论习题__奇数.doc 1 某批产品共有M 件，其中正品N 件（0N M ≤≤）。从整批产品中随机的进行有放回抽样，每次抽取一件，记录产品是正品还是次品后放回，抽取了n 次（1n ≥）。试求这n 次中抽到正品的平均次数。解每次抽到正品的概率为： N M ，放回抽取，抽取n 次，抽到正品的平均次数为：N n M 3设随机变量X 的概率密度为()() 21,1f x x R x π=∈+ ，这时称X 服从标准柯西分布。试证X 的数学期望不存在。解由于： 202 1()2ln(1)|(1)x x f x dx dx x x ππ +∞ +∞ +∞ -∞ ==+=+∞+? ? 所以X 的数学期望不存在。 5 直线上一质点在时刻0从原点出发每经过一个单位时间向左或者向右移动一个单位，若每次移动是相互独立的，并且向右移动的概率为p （01p <<）。n η表示到时刻n 为止质点向右移动的次数，n S 表示在时刻n 时质点的位置，1n ≥。求n η与n S 的期望。解每次向右移动的概率为p ，到时刻n 为止质点向右移动的平均次数，即n η的期望为： ()n E np η= 时刻n 质点的位置n S 的期望为：()(1)(21)n E S np n p n p =--=- 7 某信号时间长短T （以秒计）满足：{}()112 t t P T t e e -->= +，0t ≥。用两种方法求出()E T 。解方法 1：由于(0)1P T ≥=，所以T 为非负随机变量。于是有： 13()(1())()(1)24 t t E T F t dt P T t dt e e dt +∞+∞ +∞ --=-=>=+=?? ? 方法二：由于(0)1P T ≥=，所以，可以求出T 的概率函数： 0,0 ()1(12),02 t t t f t e e t --

李贤平_《概率论与数理统计_第四章》答案

概率论数字特征与特征函数 2、袋中有k 号的球k 只，n k ,,2,1 =，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。 3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为!/n AB p n n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。 7、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望及方差。 9、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞ =≥= 1 }{k k P E ξξ。 11、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(| |∞<<∞-=--x e x p x λ μλ 0>λ。试求 ξE ，ξD 。 13、若21,ξξ相互独立，均服从),(2 σa N ，试证π σξξ+ =a E ),max (21。 17、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。 20、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求 n S 。 21、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理。 24、若ξ的密度函数是偶函数，且2 E ξ<∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。 25、若,ξη的密度函数为22 221,1 (,)0,1 x y p x y x y π?+≤?=??+>?，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。 27、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 26、若,U aX b V cY d =+=+，试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。 28、若123,,ξξξ是三个随机变量，试讨论（1）123,,ξξξ两两不相关；

概率论答案 - 李贤平版 - 第四章

第四章数字特征与特征函数 1、设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中p A P =)(，再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD 。 2、袋中有k 号的球k 只，n k ,,2,1 =，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。 3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为 !/n AB p n n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。 4、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望及方差。 5、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞ =≥=1 }{k k P E ξξ 。 6、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(| |∞<<∞-=--x e x p x λμλ 0>λ。试求 ξE ，ξD 。 7、若21,ξξ相互独立，均服从),(2σa N ，试证π σξξ+ =a E ),max(21。 8、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。 9、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求 n S 。 10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理。 11、若ξ的密度函数是偶函数，且2 E ξ <∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。 12、若,ξη的密度函数为22 221,1 (,)0,1x y p x y x y π?+≤?=??+>? ，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。 13、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 14、若,U aX b V cY d =+=+，试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。

概率论与数理统计(经管类)第四章课后习题答案word档

习题4.1 1. 设随机变量X 的概率密度为 (1)f(x)={2x,0≤x ≤1,0,其他; (2) f(x)=1 2e ?|x |, ?∞0,0,x ≤0. 求E(X). 解: E (X )= ∫xf (x )dx =+∞ ?∞1 σ ∫x ? e ? x 2 2σ2dx =+∞ 01 4. 设X 1, X 2,….. X n 独立同分布,均值为μ,且设Y = 1n ∑X i n i=1,求E(Y). 解: E (Y )=E (1 n ∑X i n i=1)=1 n E (∑X i n i=1)=1n ?n μ=μ 5. 设(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={ e ?y , 0≤x ≤1,y >0,0, 其他. 求E(X+Y).

中北大学概率统计习题册第四章完整答案

1. 填空 1）设~(,)X B n p ,则EX =np ，DX = npq 。 2）设~()X P λ,则EX =λ，DX =λ。 3）设~()X E λ,则EX = 1 λ，DX =21λ。 4）设[]~,X U a b ,则EX = 2 a b +，DX = () 2 12 b a -。 5)设2 ~(,)X N μσ,则EX = μ，DX =2σ。 6）设(,)~(1,1;2,9;0.5)X Y N ,则EX =1， DX = 1 ，EY = 2，DY = 9 ， (,)Cov X Y = 。 7）已知螺钉的重量服从()250, 2.5N ，则100个螺钉总重量服从分布()5000, 625N 。 2. 已知在一定工序下，生产某种产品的次品率。今在同一工序下，独立生产5000件这种产品，求至少有2件次品的概率。解：设X 表示5000件产品中的次品数，则 ()~5000,0.001X B 。50000.0015λ=?=，则 ()()()2100P X P X P X ≥=-=-= 50004999 10.99950000.0010.999=--?? 01 55 5510!1! e e --≈- -10.006740.033690.95957=--= 注：实际上 5000499910.99950.9990.95964--?= 3. 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应至少进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为。解：设进货数件数为N ，当月销售需求为X ，则由题意知()~7X P ，且 {}7 07e 0.999! k N k P X N k -=≤=≥∑ 查泊松分布的数值表，可得16N ≥. 4 . 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解：设旅客在地铁进站之前的X 时刻到达，即旅客候车时间也为X ；其数学期望和分别为()~[0,5]X U ，52EX = ；25 12 DX =。 5.设( ){}3.02010,,10~2 =<

概率论与数理统计课后答案北邮版(第四章)

习题四求 E (X ), E (X ), E (2X+3). 1 1 1 1 1 【解】(1) E(X)=(-1) 1 2 ; 8 2 8 4 2 2 2 1 2 1 2 1 2〔5 (2) E(X 2) =(-1) 2 - 02 — 12 - 22 ; 8 2 8 4 4 1 (3) E(2X 3) =2E(X) 3 = 2 — 3 = 4 2 2?已知100个产品中有10个次品，求任意取出的 5个产品中的次品数的数学期望、方差【解】设任取出的5个产品中的次品数为 X ，则X 的分布律为故 E(X)= 0.583 0 0. 34 0 1 0.070 2 0. 007 3 -0.501, 5 2 D(X)八[X i -E(X)] P i=Q =(0 -0.501)2 0.583 (1-0.501)2 0.340 ：：；■…川(5 - 0.501)2 0 = 0.432. 3?设随机变量X 的分布律为且已知 E (X )=0.1,E(X )=0.9,求 P 1, P 2, P 3. 【解】因R +P 2+F 3=1……①，又 E(X)=(—1)R +0畀十1^ = P 3 —P =0.1 ……②， E(X 2) =(—1)2 勒 +02电+12匪=只+巳=0.9…… 由①②③联立解得 P =O.4,P 2 =0.1,P 3=0.5. 4.袋中有N 只球，其中的白球数 X 为一随机变量，已知 E (X ) =n ,问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A=｛从袋中任取1球为白球｝，则

N P(A)全概率公式' P{A|X 二 k}_P{X =k} 7 N k 1 N P{X =k} kP{X = k} 7 N N k 」 1 n = N ￡(X ^N 5?设随机变量X 的概率密度为 x, 0 乞 x ：： 1, f (x )=」2 —x,1 兰x 兰2, 0,其他. 求 E (X ), D (X ). -be 1 2 2 xf (x)dx = ° x dx 亠 I x(2「x)dx 2 - - 2 1 3 2 2 E(X ) x f (x)dx x dx 亠 I x (2-x)dx = 0 1 D (X)=E(X 2) — [E(X)]2 T X ，Y , Z 相互独立，且 E (X )=5，E ( Y ) =11，E (Z )=8，求下列随机变量 (1) U=2X+3Y+1 ； (2) V=YZ -4X. 【解】(1) E[U ] = E(2X +3Y+1) = 2E(X)+3E(Y)+1 =2 5 3 11 1 = 44. (2) E[V] =E[YZ _4X] =E[YZ] _4E(X) 因Y,Z 独立E(Y) _E(Z) -4E(X) =11 8-4 5 = 68. 7?设随机变量 X ，Y 相互独立，且 E( X )=E ( Y )=3 ,D ( X )=12，D ( Y )=16,求 E ( 3X - 2Y )， D (2X -3Y ). 【解】(1) E(3X -2Y) =3E(X)-2E(Y) =3 3-2 3 =3. 2 2 (2) D(2X -3Y) =2 D(X) (-3) DY = 4 12 9 16=192. 8?设随机变量(X ，Y )的概率密度为【解】E(X) 故 6?设随机变量的数学期望?

概率论第4章习题参考解答

概率论第4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮, 命中3炮的概率, 至少命中3炮的概率, 最可能命中几炮. 解: 设ξ为射击10炮命中的炮数, 则ξ~B (10,0.7), 命中3炮的概率为 =??==733 103.07.0}3{C P ξ0.0090 至少命中3炮的概率, 为1减去命中不到3炮的概率, 为 =??-=<-=≥∑=-2 010103.07.01}3{1}3{i i i i C P P ξξ0.9984 因np +p =10×0.7+0.7=7.7不是整数, 因此最可能命中[7.7]=7炮. 2. 在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01, 求生产10件产品中废品数不超过2个的概率. 解: 设ξ为10件产品中的废品数, 则ξ~B (10,0.01), 则废品数不超过2个的概率为 =??=≤∑=-2 0101099.001.0}2{i i i i C P ξ0.9999 3. 某车间有20部同型号机床, 每部机床开动的概率为0.8, 若假定各机床是否开动彼此独立, 每部机床开动时所消耗的电能为15个单位, 求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率. 解: 设每时刻机床开动的数目为ξ, 则ξ~B (20,0.8), 假设这个车间消耗的电能为η个单位, 则η=15ξ, 因此 2061.02.08.0}18{}15 270 {}27015{}270{20 18 2020=??==≥=≥ =≥=≥∑=-i i i i C P P P P ξξξη 4. 从一批废品率为0.1的产品中, 重复抽取20个进行检查, 求这20个产品中废品率不大于0.15的概率. 解: 设这20个产品中的废品数为ξ, 则ξ~B (20,0.1), 假设这20个产品中的废品率为η, 则η=ξ/20. 因此 ∑=-??=≤=≤=≤3 20209.01.0}3{}15.020 { }15.0{i i i i C P P P ξξ η=0.867 5. 生产某种产品的废品率为0.1, 抽取20件产品, 初步检查已发现有2件废品, 问这 20件中, 废品不少于3件的概率. 解: 设ξ为这20件产品中的废品数, 则ξ~B (20,0.1), 又通过检查已经知道ξ定不少于2件的条件, 则要求的是条件概率 } 2{} 23{}2|3{≥≥?≥= ≥≥ξξξξξP P P 因事件}3{}2{≥?≥ξξ, 因此2}23{≥=≥?≥ξξξ 因此

概率论与数理统计第四章答案

第四章习题解答解：P(X=1)=5*9!/10!=0.5; P(X=2)=5*5*8!/10!= 0.2778; P(X=3)=5*4*5*7!/10!= 0.1389; P(X=4)=5*4*3*5*6!/10!= 0.0595; P(X=5)=5*4*3*2*5/5!/10!= 0.0198; P(X=6)=5!*5!/10!=0.004 P(X=7)=P(X=8)=P(X=9)=P(X=10)=0. 验算：总和为1. 解：(a) (b)=1-P(X<=1/2)=1-F(1/2)=1-1/4=0.75; (c)=F(4)-F(2)=1-11/12=1/12; (d)=F(3-)=11/12; (e)=F(1)-F(1-)=2/3-1/2=1/6.

解：由得到解得c=2. 解： P(N1=1, N2=0)=P(次、次)=3/5*2/4=3/10; P(N1=1, N2=1)= P(次、正、次)=3/5*2/4*2/3=1/5; P(N1=1,N2=2)= P(次、正、正)=3/5*2/4*1/3=1/10; P(N1=2.N2=0)=P(正、次、次)=2/5*3/4*2/3=1/5; P(N1=2.N2=1)=P(正、次、正)=2/5*3/4*1/3=1/10; 验算：总和为1. 解：(a) 可以验证 (b) 当0

解：根据独立性当x<0, 时F M为0; x>1时, F M为1。求导得到密度函数对其他x, f M=0. 验算：积分为1。解：(a) （b）。 (c)因为 X与Y不独立。验算：积分为1。解：(I, R)的联合密度函数 W的分布函数

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