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现代控制理论课后习题答案薛安克版

9-1．（1）选取状态变量)(),(x 21t y

x t y ==,则 ???+--=+--====u x x t u t y t y t y x x t y x

122

2145)()(4)(5)()( 故系统的状态空间表达式为：

[]?

? ??=???

? ??+?

??? ????????--=???? ??21212101105410x x y u x x x x

9-2．（1）选取状态变量6

x ,6x ,6x 321y

y y ===，则

1233322167416676416x y u x x x u y y y y x x x x x =???

???

+---=+---====

故系统的状态空间表达式为

[]????

? ??=????

??+????? ???????????

?---=????? ??32132132100

100641710

0010x x x y u x x x x x x

或:

选取状态变量y

y ==

=321x ,x ,y x ，则同样可得系统的状态空间表达式为

[]????

? ??=????

??+????? ????????????---=????

? ??32132132100

600641710

0010

x x x y u x x x x x x

（3）同理，系统的状态空间表达式为

[]????

? ??=????

??+????? ????????????-=????

? ??3213212332100

10033a 10

0010x x x y u x x x a a x x x

（5）微分方程含有输入的导数项，可采用212P 的情形二：

状态变量选择方法一：

7,6,5,0;4,,2a 3210321=======b b b b a z a

则??????

?-=---=-=--==-===z

a a a

b a a b a b b 515450

03122133021122011100ββββββββββ

故系统的状态空间表达式为：

[]????

? ??=????

??--+????? ???????????

?---=????? ??32132132100

515452410

0010x x x y u z x x x z x x x

方法二（可控标准型）：

[]????

? ??=????

? ??+????? ???????????

?---=????? ??32132132156

1002410

0010x x x y u x x x z x x x

9-3．（1）同9-2（3），可得

[]????

??=?????

??-+????? ???????????

?---=????? ??32132132100

1862611610001

0x x x y u x x x x x x

或（可控标准型）：

[]??

??=????

??+????? ???????????

?---=????? ??32132132121840100611610001

0x x x y u x x x x x x

或（特征值规范型）：

由32

212112611640182)()()(2

32+++-+-=+++++==s s s s s s s s s U s Y s G

（部分分式展开）

选取状态变量：

)(3

)(x ),(21)(x ),(11)(x 321s U s s s U s s s U s s +=+=-=

即：

21332211212123x

2x x x x x y u x u x u x +-=???

??+-=+-=+=

则系统的状态空间表达式为：

[]??

? ??-=????? ??+????? ???????????

?-=????? ??32132132121212u 11130002000

1x x x y x x x x x x （3）同（1）

[]??

? ??=????

? ??-+????? ????????????---=????? ??321321321001322452100010x x x y u x x x x x x

或：

[]????

??=?????

??+????? ???????????

?---=????? ??32132132126

510045210001

0x x x y u x x x x x x

或：

[]??

??=????

? ??+????? ????????????---=????? ??321321321111110200010011x x x y u x x x x x x

9-4．(2)221510

s s s s +-+-

（3）要求掌握由传递函数求状态空间表达式的公式：

9-5．掌握状态转移矩阵的算法：

法一：拉氏变换法

-1

211

)31s 35631

()()35

s SI A s s s G s C SI A B D s s +-??-=??+++??

+=-+=++（

??????-+++=-s s s A I 31232s 1

)s (2

???

??-+--+++----+-+++--++

++--+++++--=j j j j j j j

j j j j j j j j j

j j j 21s 2222121s 2222121s 22321s 22321s 221

21s 22121s 222121s 2221

])[(e 1

1---=A sI L At

????

???????--+=------)2sin(22)2cos()2sin(223)2sin(22)2sin(22)2cos(t e t e t e t e t e t e t t t t

t t

????--==---)2cos()2sin(2)2cos()0(e )(t e t e t e x t x t

t t

法二：先将A 变换成对角矩阵

由0=-A I λ可得系统的特征根为：i 212,1±-=λ

A 为友矩阵，则变换阵P 可选为：

??-

-+-=i P 21i 2111

???

???+--=-i

i i P 2212

2121221

i 22121

???

?--+-=-i 21i 211

AP P

)21()21(e --

-+-???

????

?=?P e

e P t i t

i At

???

???????--+=------)2sin(22)2cos()2sin(223)2sin(22)2sin(22)2cos(t e t e t e t e t e t e t t t t

t t

????--==---)2cos()2sin(2)2cos()0(e )(t e t e t e x t x t

t t

9-6．同9-5

法一：拉氏变换法：

])[(e 11---=A sI L At

????

???

????

?????+-+-+--+--+--+-+-+-+-=---------------------------t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t

t t t t e e e e e e e e e e e e e e e e e e 323232323232323232294e 2122716e 25912e 3232e 215.48e 2536e 32

1e 21234e 253e 3

法二：化为对角阵

系统特征值为321

321-=-=-=λλλ，，变换阵：??????????---=941321111P ??????

????????

---=-21231143212531P

132e e ----?????

????

?=P

e e P t t

t At 9-7．状态转移矩阵：

))(()(1

---==ΦA sI L e t At

???+-+---=--------t t t t

t t t t e e e e e e e e 32323232326623

故状态方程的解为：

τττd Bu t x t t t )()()0()()(x 0-Φ?+Φ=

????-+-+-=----t t t

t e e e e 323234121 9-8．方法一：利用状态转移矩阵的性质 0

|)(t =Φ=t A 而 ????

??????+--+--=Φ-----t t t t t te e t e t e t e t 22224)21(0)84()44(000)( ???

?????---=?010440001A 方法二：利用

])[(e 1

1---=A sI L At

???????

??++++-++-++==?2

222

1-)2(221)2(1

0)2(4)2(2210001

)(A)-sI (s s s s s s s e L At

????

?????---=???????????-++=-?01044000110440001)(A s s s A sI 9-9．(1) 根据

)0()(x e t x At

=，可得 2212211t t At t t e e e e e ----????

=????----????

2212211t t

t t e e e e e -----?????=????----????2222222++2t t t t t t t t e e e e e e e e --------??--=??--??

求系统矩阵A ，同9-8可采用两种方法：

1) 220220022224()|1324t t t t t t t t t t e e e e A t e e e e ----=----=??-+-+??

=Φ==????----?

??? 2) 12

1223211212()()=11121(1)(2)+1212At

s s s s s sI A L e s s s s s s s -??--??+??++++-==????-++????--+

??++++?? 202()1313s sI A A s -????

?-=?=????+--????

(2)根据)0()(x e t x At

=，可得

???

???-=??

????++------111222At t t t t t t e te e e te e e ??????++??????-=?-------t t t t t t At

te e e te e e e 2211121

??????+--=----t t t t e t te

te e t )21(4)21( 求系统矩阵A ，同9-8可采用两种方法：

3) ??????--=??????-+--+-=Φ==----=1143)21()1()44()23(|)(00t t t t

t t e t e

t e t e t t A 4)

???

??????++++-++-+==--2

2221)1(211)1(1)1(4)2(211)()(s s s s s s e L A sI At

????--=???????+--+=-?11

1143)(A s s A sI (3) 根据)0()(x e t x At

=，可得

222220642211342t t t t At t t t t e e e e e e e e e --------??--??

=????-+-+????

22222064221

1342t t

t t

t t e e

e e e e e

e e ---------??--???=????-+-+????2222222++2t t t t t t t t e e e e e e e e --------??

--=??--??

求系统矩阵A ，同9-8可采用两种方法：

1)220220022224()|1324t t t t t t t t t t e e e e A t e e e e ----=----=??-+-+??

=Φ==????----?

??? 2)12

1223211212()()=11121(1)(2)+1212At

s s s s s sI A L e s s s s s s s -??--??+??++++-==????-++????--+

??++++??

202()1313s sI A A s -????

?-=?=????+--????

9-10．(2)先求状态转移矩阵

???

?????-=-==Φ----t

t At e e A sI L e t 2211021211))(()( 则离散化后的系统矩阵

???====1353.004324.01e

T t At G ??????=????

??????-+-==---?4324.02838.021********

220)(T T T t T A e e T Bdt e H (3)先求状态转移矩阵

111cos 2sin 2()(())22sin 2cos 2At t t t e L sI A t t --??

??Φ==-=??-??

则离散化后的系统矩阵

10.420.45e 1.820.42At

t T G ==-??

==??--??

()0

1100.71cos 2()sin 2()(1cos 2)2

220.912sin 2()

cos 2()sin 2T T

A T t T t T t H e Bdt dt T t T t -?

???---????

??====?????

??????

---????

9-11．1时刻：)0()0()1(x Hu Gx +=

2时刻：)1()0()0()1()1()2(x 2

Hu GHu x G Hu Gx ++=+=

若使系统在第二个采样时刻转移到原点，即

????=??????+?

???????????+??????=00)1(4.03.0)0(4.03.01.005.01)0(x 1.005.01)2(x 2

u u 可求得

,282.3)0(-=u 3032.0)1(=u

即施加上述控制作用，可使系统在第二个采样时刻转移到原点。

9-12．由0=-A I λ可得

014

=-λ 即系统的特征根为：i -==-==4321,i ,11λλλλ，，

由于A 为友矩阵，可写出变换阵（范德蒙德矩阵）

????

???------=i i i P 111111i 111111 ?????????

???????????------=-i i P 2525i 25252525i 252525252525252525251 满足

),,,(diag 43211λλλλ=-AP P 9-13．(1)[]??

???==1-011AB B k Q

（2）法一：A 阵为特征值规范型，B 中特征值31-=λ对应的约当块最后

一行全为0，利用特征值规范型判据可知，系统不是状态完全可控的，状态2x 不可控。

法二：利用代数判据，系统的可控性矩阵

[]

?????----==0202020000009933112

k B A AB B Q

32)(<=k Q rank ，故系统不是状态完全可控的

(3)

[]

（4）同（2）

法一：B中各个约旦块对应的最后一行不全为0，状态完全可控

法二：可控性矩阵[]B A

125

rank

)

(，故系统状态完全可控。

(5)

[]

→

9-14．采用可观性代数判据：

现代控制理论习题解答..

《现代控制理论》第1章习题解答 1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？答：线性系统的状态空间模型为： x Ax Bu y Cx Du =+=+ 线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和 D 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。 1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下: 1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于n 阶传递函数 121210 1110 ()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++，分别有 ⑴ 能控标准型： []012 101 210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du ---????? ???????????? ???=+?? ???????? ? ?????----???? ? =+??

⑵ 能观标准型： []0011221100010 00 100010 1n n n b a b a x a x u b a b y x du ---?-?? ????? ??-????? ?????=-+???? ? ????? ??????-???? ?=+?? ⑶ 对角线标准型： []1212 001001001n n p p x x u p y c c c x du ????? ??????? ???=+?????? ????? ??????=+? 式中的12,, ,n p p p 和12,,,n c c c 可由下式给出， 12121012 1 11012 ()n n n n n n n n n b s b s b s b c c c G s d d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=+++ +++++--- 能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。 1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。 1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零，其参数如何确定？答: 当传递函数)(s G 的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零。转移项D 的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数 1110 111)(a s a s a s b s b s b s b s G n n n n n n n ++++++++=---- 可得： d a s a s a s c s c s c s G n n n n n ++++++++=----0 11 10 111)( 由此得到的d 就是状态空间实现中的直接转移项D 。 1.6 在例1. 2.2处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图1.12的串联分解，试问：若将图1.12中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？

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现代控制理论基础考试题西北工业大学考试题（A卷）（考试时间120分钟）学院：专业：姓名：学号：一．填空题（共27分，每空1.5分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T为周期进行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为__________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义能量， V(x, t)称为___________。 8.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函数的所有极点具有______。 9.控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的 _________、_________和较强的_________。 10.所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 11.实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r维控制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 12._________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的重要方法。二．判断题（共20分，每空2分） 1.一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。（×） 2.传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。（√） 3.状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。（×） 4.对于任意的初始状态) ( t x和输入向量)(t u，系统状态方程的解存在并且惟一。（√） 5.传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。（×） 6.BIBO 稳定的系统是平衡状态渐近稳定。（×） 7.一个系统能正常工作，稳定性是最基本的要求。（√） 8.如果系统的状态不能测得，只要系统能观测，可以采用状态观测器实现状

现代控制理论课后习题答案

绪论为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！

这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日

现代控制理论基础考试题A卷及答案

即 112442k g k f M L M ML θθθ??=-+++ ??? && 212 44k k g M M L θθθ??=-+ ??? && （2）定义状态变量 11x θ=，21x θ=&，32 x θ=，42x θ=& 则一．（本题满分10分）如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。（1）写出系统的运动微分方程；（2）写出系统的状态方程。【解】（1）对左边的质量块，有 ()2111211 cos sin sin cos sin 222 L L L ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?-&& 对右边的质量块，有 ()221222 sin sin cos sin 22 L L ML k MgL θθθθθ=?-?-&& 在位移足够小的条件下，近似写成： ()1121 24f kL ML Mg θθθθ=---&& ()2122 4kL ML Mg θθθθ=--&&

2 / 7 1221 334413 44244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =?? ???=-+++ ???? ? =????=-+? ????? &&&& 或写成 11 223 34401 000014420001000044x x k g k x x M L M f ML x x x x k k g M M L ? ? ?? ?????????? ??-+???? ???????????=+???? ????? ??????????????????? ????-+?? ? ? ?????? ? &&&& 二．（本题满分10分）设一个线性定常系统的状态方程为=x Ax &，其中22R ?∈A 。若1(0)1?? =??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-?? x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为 2()t t e t e --?? =??-?? x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有 221()1t t t e t e e --????==????--???? A x 22()1t t t e t e e --????==????--???? A x 合并得 2212211t t t t t e e e e e ----????=????----?? ??A 求得状态转移矩阵为 1 22221212221111t t t t t t t t t e e e e e e e e e -----------?????? ?? ==????????------???? ????A 22222222t t t t t t t t e e e e e e e e --------?? -+-+=??--??

(完整版)现代控制理论考试卷及答案

西北工业大学考试试题（卷）2008 －2009 学年第2 学期

2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分）（1）对（2）错（3）对（4）错（5）对（6）对（7）对（8）对（9）对（10）错第二题（15分）（1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+- +-+- ++-+=??????-+++=-??? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 21221112112 213)2)(1(1 )(321 （2）状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ 第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果）（1）系统动态方程（3分） []x y u x x 0010 1003201 00010=???? ??????+??????????--=&

现代控制理论课后习题答案

前言本书是为了与张嗣瀛院士等编写的教材《现代控制理论》相配套而编写的习题解答。本书对该教材中的习题给予了详细解答，可帮助同学学习和理解教材的内容。由于习题数量较多，难易程度不同，虽然主要对象是研究型大学自动化专业本科学生，但同时也可以作使用其它教材的专科、本科、以及研究生的学习参考书。书中第5、6、8章习题由高立群教授组织编选和解答；第4、7 章由井元伟教授组织编选和解答，第1、2章由郑艳副教授组织编选和解答。由于时间比较仓促，可能存在错误，请读者批评、指正。另外有些题目解法和答案并不唯一，这里一般只给出一种解法和答案。编者 2005年5月第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。图P2.1 解此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则 2 12221c c c du u C R u u dt ++= (1) 1121 21c c c du u du C C dt R dt += (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：

1121121121212111 c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222 111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为： 1211 1211212121 212 1222222 21111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +?=--+?? ? =--+?? ?==-?? && 即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +???? -???? ????????=+????????????--??????? ? && []11210x y u x ?? =-+???? 2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。 1 图P2.2 解这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量，选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1 dy dt ，24dy x dt =。根据牛顿定律对1M 有： 211311 () d x x M x Kx B dt -=--&

哈尔滨工业大学2010《现代控制理论基础》考试题A卷及答案

哈工大2010年春季学期现代控制理论基础试题A 答案一．（本题满分10分）如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。（1）写出系统的运动微分方程；（2）写出系统的状态方程。【解】（1）对左边的质量块，有 ()2111211cos sin sin cos sin 222 L L L ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?- 对右边的质量块，有 ()221222sin sin cos sin 22 L L ML k MgL θθθθθ=?-?- 在位移足够小的条件下，近似写成： ()112124f kL ML Mg θθθθ=--- ()21224kL ML Mg θθθθ=--

即 112442k g k f M L M ML θθθ??=-+++ ??? 21244k k g M M L θθθ??=-+ ??? （2）定义状态变量 11x θ=，21x θ=，32x θ=，42x θ= 则 12 2133441344244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =?? ???=-+++ ???? ? =????=-+? ????? 或写成 11 22334401 000014420001000044x x k g k x x M L M f ML x x x x k k g M M L ? ? ?? ?????????? ??-+???? ? ??????????=+??? ? ????? ?????????????????? ?????-+?? ? ? ?????? ? 二．（本题满分10分）设一个线性定常系统的状态方程为= x Ax ，其中22R ?∈A 。若1(0)1?? =??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-?? x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为 2()t t e t e --?? =??-?? x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有 221()1t t t e t e e --????==????--???? A x 22()1t t t e t e e --????==????--???? A x 合并得

《现代控制理论》第3版课后习题答案

《现代控制理论参考答案》第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - + + - +- ) (s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ? ? ?1 1J ? 2 J K b ? ?- 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下：

u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 1611166 13153 46 1 51 41 31 33 222 11+ - - =+-==+ + - - == =? ? ? ? ? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????????? ???????????=??????? ? ?????????? ????+?? ???????? ?????????????????????? ? ??? ? ???????? ?---- -=??????????????????????????????6543211654321111111126543 2100 0001 000000 00 0000 0001 00100000 000 000 10 x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1 L1 R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图

现代控制理论基础考试题B卷及答案

-----好资料学习分）一．（本题满分10请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状L态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感的电流强度。2

【解答】根据基尔霍夫定律得：uLx?Rx?x??3111 ?x?Lx?Rx?3222 ?xx?Cx??213 1R1?ux?x??x?? 311LLL ?1111R?x??x?x?232x?y，输出方程为改写为LL ?222?11x?x?x? 123CC? 写成矩阵形式为更多精品文档．学习-----好资料 ?R1??1??0?????LL?????11Lxx??????111 ?1R??????u?x?0?x0?????????22LL ?????22????0xx???????33??11

???0????? ?CC???x???1?????x1y?00???2???x???3 10分）二．（本题满分单输入单输出离散时间系统的差分方程为)k2r(r?3y(k)?(k?1)??y(k2)?5y(k?1) 回答下列问题：）求系统的脉冲传递函数；（1 ）分析系统的稳定性；（2)y?(kx(k))r(kx(k)?x(k?1)?，，（3）取状态变量为求系统的状态空间表达式；112（4）分析系统的状态能观性。【解答】z变换有：1（）在零初始条件下进行????2 )z?2)?zRz(?5z?3zY(2?(Yz)z?系统的脉冲传递函数： 23R(z)z?5z?（2）系统的特征方程为20?5?z?3zD(z)? 1z?0.7?z?4.3??z，，所以离散系统不稳定。，特征根为211)(k1)?rx)?y(k)x(k)?(k?(xk 3）由，，可以得到（1211)(k??(k?1)y(k?2)?r?kx(?1)?x(k2)?r12由已知得)?1)?3x(kk(?2rk)?5x()k3?1)?y(k?r??(yk?2)r(k1)?2(k)5y(11??)x(k?5)x(k?r(k)3?)2?r(k)(x ?5(k)?3rkk3??x()2112于是有：)k3(?(?1)?3xk)5xk)?r(?(xk221又因为)?k(??(xk1)x)r(k21所以状态空间表达式为更多精品文档．学习-----好资料 ?x(k?1)x(k)101????????11??r(k)?????????x?3?3?5(x(k)k?1)?????????22 ?x(k)?????101y(k)????x(k)???2（4）系统矩阵为0101??????????，输出矩阵为0c?110?0G?cG?1，?????3?5?3?5????c10????能观性矩阵为，，系统完全能观。2Q?rank??Q????oo cG01???? 三．（本题满分10分）回答下列问题：（1）简述线性系统的对偶原理；（2）简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系； r?2rr阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统？输出（3）输入【解答】（1）若线性系统1与线性系统2互为对偶，则系统1的能控性等价于系统2的能观性，系统1的能观性等价于系统2的能控性。（2）若线性定常系统的状态稳定，则输出必稳定，反之，若线性定常系统的输出稳定，则状态未必稳定。当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时，其状态稳定性和输出稳定性才是等价的。 r?2rrr个独立的单输入单输出系统。输入）输出阶线性解耦系统等效于（3 四．（本题满分10分） x?x?x cos x?2211?，判

哈尔滨工业大学《现代控制理论基础》考试题B卷及答案

哈工大2010 年春季学期现代控制理论基础试题B 答案题号一二三四五六七八卷面分作业分实验分总分满分值 10 10 10 10 10 10 10 10 80 10 10 100 得分值第 1 页（共 8 页）班号姓名一．（本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。【解答】根据基尔霍夫定律得： 1113222332 1L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=? 改写为1 13111 22 322 31 211111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ?=-+???=-?? ，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为

[]11 111222 2 331231011000110010R L L x x L R x x u L L x x C C x y x x ??? --???????????????? ???????=-+???? ??????? ??????????????? ? ???-?????? ? ? ??? ?? ?=??? ?????? 二．（本题满分10分）单输入单输出离散时间系统的差分方程为 (2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++ 回答下列问题：（1）求系统的脉冲传递函数；（2）分析系统的稳定性；（3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式；（4）分析系统的状态能观性。【解答】（1）在零初始条件下进行z 变换有： ()()253()2()z z Y z z R z ++=+ 系统的脉冲传递函数： 2()2 ()53 Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为 2()530D z z z =++= 特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。（3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到 21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得 (2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+- []212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有： 212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为 12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为

东北大学现代控制理论试题及答案

2008 现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ????=+=????-???? &能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。（4分） 2试从高阶微分方程385y y y u ++=&&&&&求得系统的状态方程和输出方程（4分）解： 1．能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．解：选取状态变量1 x y =，2x y =&，3x y =&&，可得 …..….…….（1分） 12 23 3131 835x x x x x x x u y x ===--+=&&& …..….…….（1分）写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? & …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(), ()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。（3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ????==?? ??-?? &，判定该系统是否完全能观？(5分) 解： 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-L ，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=???? ??????-=CA ………..……….（1分）

《现代控制理论基础》考试题B卷及答案

一．（本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。【解答】根据基尔霍夫定律得： 1113222332 1L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=? 改写为1 13111 22 322 312 11111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ?=-+???=-?? ，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为

现代控制理论试题及答案研究生现代控制工程试卷

现代控制理论试题及答案一、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。解 f ma =……………………………….……1分令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有 122u kx kx mx --=&………………………………2分于是有 12x x =&………………………………..……………1分 2121 k h x x x u m m m =- -+&……….….……………….2分再令位移为系统的输出y ，有 1y x =…………………………….……….1分写成状态空间表达式，即矩阵形式，有 11 220101x x u k h x x m m m ???? ????????=+???? ????--?? ?????? &&………..……………..2分 []1210x y x ?? =???? ……………………..……….……….2分二、（8分）矩阵A 是22?的常数矩阵，关于系统的状态方程式=&x Ax ，有 1(0)1??=??-??x 时，22t t e e --??=??-??x ；2(0)1?? =??-??x 时，2t t e e --??=??-?? x 。试确定状态转移矩阵(,0)t Φ和矩阵A 。解因为系统的零输入响应是 ()(,0)(0)t t =x x Φ……………..……….……….2分所以

221(,0)1t t e t e --????=????--???? Φ，22(,0)1t t e t e --???? =????--????Φ 将它们综合起来，得 22122(,0)11t t t t e e t e e ----???? =????---?? ??Φ……………….……….2分 1 22222222122(,0)11122112222t t t t t t t t t t t t t t t t e e t e e e e e e e e e e e e e e -----------------???? =????----?? ??--????=????--??????--=??--?? Φ …………….……….2分而状态转移矩阵的性质可知，状态转移矩阵0(,)t t Φ满足微分方程 ()()00,,d t t t t dt =A ΦΦ 和初始条件 ()00,t t =I Φ 因此代入初始时间00t =可得矩阵A 为： 01000 22220 (,)(,) 222424t t t t t t t t t t t d t t t t dt e e e e e e e e -==--------=?? =??????-+-+=??-+-+??A ΦΦ…………….……….1分 0213?? =?? --?? …………………………………….……….1分三、（10分）（1）设系统为 ()()()011, (0)011a t t u t x b -?????? =+=?????? -?????? &x x 试求出在输入为(0)u t t =≥时系统的状态响应（7分）。 (2)已知系统[]011, 11341u y ???? =+=-?? ??-???? &x x x ，写出其对偶系统（3分）。解（1）

《现代控制理论》课后习题全部答案(最打印版)

第一章习题答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下： u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =??? ?? ? 阿令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

[]????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ?????????????????????????? ????????????? ?-----=????????????????????????????? ?654321165432111111112654321000001000000 0000000100 10000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 L1L2 U 图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为：

现代控制理论试卷答案与解析

现代控制理论试卷作业一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流 11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ????????????=+????????-????+++???????? 和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）。解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：从上述两式可解出1x ?，2x ? ，即可得到状态空间表达式如下： ??????21y y =????????++-211212110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ????????+2120 二、考虑下列系统：（a ）给出这个系统状态变量的实现；（b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。解：（a ）模拟结构图如下：则可得系统的状态空间表达式：（b ）因为 3023A -??=??? 0013 k k a -??-??-? 110b ????=?????? 所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。又因为：[2C = 1 ]0 所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。三、已知系统. Ax x =?的状态转移矩阵为：（1）试确定矩阵A ，并验证At e 确为上式。

现代控制理论试题(详细答案)

现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? 能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++= 求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1．能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y = ，3x y = ，可得 …..….…….（1分） 12233131 835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。（3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? ，判定该系统是否完全能观？(5分)

解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++- ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ???? ? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….……. （2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分）解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分）最小实现为

现代控制理论期末试卷

一、（10分，每小题1分） 1、任一线性连续定常系统的系统矩阵均可对角形化。(×) 2、对SISO 线性连续定常系统，传递函数存在零极点对消，则系统一定不能观且不能控制。(×) 3、对线性连续定常系统，非奇异变换后的系统特征值不变。(√) 4、对于线性连续定常系统的最小实现是唯一的。(×) 5、稳定性问题是相对于某个平衡状态而言的。(√) 6、Lyapunov 第二法只给出了判定稳定性的充分条件。(√) 7、对于SISO 线性连续定常系统，状态反馈后形成的闭环系统零点与原系统一样。(√) 8、对于一个系统，只能选取一组状态变量。(×) 9、对于一个n 维的线性定常连续系统，若其完全能观，则利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统是2n 维的。(√) 10、对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵特征值都具有负实部是一致的。(√) 二（10分，每小题5分）（1）简述平衡状态及平衡点的定义。（2）简述状态方程解的意义。解：（1）状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点。由平衡状态在状态空间中所确定的点称之为平衡点。（2）线性连续定常系统状态方程的解由两部分组成，一部分是由初始状态所引起的自由运动即零输入响应，第二部分是由输入所引起的系统强迫运动，与输入有关称为零状态响应。三、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。解： f ma =……………………………….……1分令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有 122u kx kx mx --=………………………………2分于是有 12x x =………………………………..……………1分 2121k h x x x u m m m =--+……….….……………….2分再令位移为系统的输出y ，有

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