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山东省嘉祥一中2016届高三上学期阶段性检测数学(理)试题

山东省嘉祥一中2016届高三上学期阶段性检测试题

数学(理科)试题 第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知全集U=R ,则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}

2|0N x x x =+=关系的韦恩(Venn )图是( )

山东省嘉祥一中2016届高三上学期阶段性检测数学(理)试题

2.要得到函数cos(2)y x π=+的图象,只需将函数cos y x =的图象( ) A .向左平移π个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 B .向右平移π个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变

C .向左平移π个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的

21

倍,纵坐标不变

D .向右平移π个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的2

1

倍,纵坐标不变

3. 已知函数()f x 是定义在区间[,]a a -(0)a >上的奇函数,若()()2g x f x =+,则()g x 的最大值与最小值之和为 ( ) A .0

B .2

C .4

D .不能确定

4.给出下列四个命题:

1p :公差为0的等差数列是等比数列.

2p :公比为

2

1

的等比数列一定是递减数列. 3p :,,a b c 三数成等比数列的充要条件是2b ac =. 4p :,,a b c 三数成等差数列的充要条件是2b a c =+.

以上四个命题中,正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个

D .4个

5.已知25242sin =

α,20πα<<,则)4

cos(2απ

-的值为( ) A .51 B .51- C .57 D .5

6. ABC ?中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,设ABC ?的面积为S ,)(12

3222

b a

c S --=,则角C 等于 ( )

A .

6π B .56π C . 3π D .23

π 7.已知函数)0)(3

sin(31)(>+=

ωπ

ωx x f 的最小正周期为π,则)(x f 的图象( ) A .关于直线4

π

=x 对称 B .关于点)0,4

(

π

对称 C .关于直线3

π

=

x 对称

D .关于点)0,3

(

π

对称

8. 设函数)(x h ,)(x g 在[]b a ,上可导,且)()(x g x h '<',则当b x a <<时,有( )

A .)()(x g x h <

B .)()(x g x h >

C .)()()()(a h x g a g x h +>+

D .)()()()(b h x g b g x h +>+

9. 设函数ax x x f m +=)( (为常数a m ,)的导函数12)(+='x x f ,则数列(){

}2

n

f n n ?(*

N n ∈)的前n 项和是( ) A .332n n +- B .n n 223+- C .n

n 213-+ D .121

23++-

n n 10. 设()f x 与()g x 是定义在同一区间[]b a , 上的两个函数,若对任意x ∈[]b a ,,都有|()()|10

f x

g x -≤成立,则称()f x 和()g x 是[]b a ,上的“密切函数”,区间[]b a ,称为()f x 和()g x 的“密切区间”.若3()27f x x x =-+,()g x x m =+在 []3,2上是“密切函数”,则实数m 的取值范围是( ) A .[15,)+∞ B . (,19]-∞ C .(15,19) D .[15,19]

第Ⅱ卷(选择题 共100分)

二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.)

11.

22

(1cos )x dx π

π-+?= .

12.已知在等差数列}{n a 中,12017,a a 为方程210160x x -+=的两根,则210092016a a a ++的值

为 .

13.已知正实数,a b 满足

sin

cos

85

5tan 15cos sin 55

a b a b ππ

πππ+=-,则b a 的值等于 .

14.已知命题:1p x y tan ln =函数与x

x

y 2cos 12cos 1ln 21+-=是同一函数;:2p 已知0x 是函数

x x

x f 211

)(+-= 的一个零点,若2011x x x <<<,则)(0)(21x f x f <<. 则在以下命题:①

21p p ∨;②)()(21p p ?∧?;

③21)(p p ∧?;④)(21p p ?∨中,真命题是 (写出所有正确命题的序号).

15.已知函数 32()1

()32

x mx m n x f x +++=+ )(R x ∈,且)(x f 有两个极值点12,x x ,满足)1,0(1∈x , ),1(2+∞∈x . 设点),(n m P 在平面直角坐标系中表示的平面区域为D .若函数

log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点,则实数a 的取值范围是 .

三.解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.)

16.(本题满分12分)

在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且c b a ,,组成一个公差1d =-的等差数列,若

C A 2= ,试求ABC ?的三边c b a ,,的长.

17.(本题满分12分)

在等差数列{}n a 中,首项11-=a ,数列{}n b 满足1231

1().2

64

n a

n b b b b ==,且 (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;

(Ⅱ)n n

n a c )1(-=设,求数列{}n c 的前n 2项的和n T 2.

18.(本题满分12分)

某工厂在2013年底投入100万元, 购入一套污水处理设备. 该设备每年的运转费用是1万元, 此外每年还都要花费一定的维护费. 已知第一年的维护费是2万元, 由于设备老化,以后每年的维护费都

比上一 年增加2万元. 设该工厂使用该设备x (*N x ∈)年的总费用为y (万元). (Ⅰ)将y 表示成x 的函数(总费用=购入费用+运转费用+维护费用); (Ⅱ)求该设备的最佳使用年限......(即使用该设备年平均费用最低的年限).

19.(本题满分12分)

已知函数2()2cos 23sin cos f x x x x =+,()e x

g x x -=. (Ⅰ)当R x ∈时,求函数()f x 的单调递减区间; (Ⅱ) 若对任意12[1,3],[0,]2

x x π

∈∈,

不等式12()3()g x a f x ++>恒成立,求实数a 的取值范围.

20.(本题满分13分)

已知数列{}n a 各项均为正数,且满足11a =,*121(N )n n a a n +=+∈ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ;

(Ⅱ)若点(,)n n n P a y (*N n ∈)是曲线)0(1

)

1(log )(2>++=

x x x x f 上的列点,且点(,)n n n P a y 在

x 轴上的射影为(,0)n n Q a (*N n ∈),设四边形11++n n n n P Q Q P 的面积是n S , 求证:

*N n ∈ 时,3

7

131211321<++++n nS S S S .

21.(本题满分14分)

设x a x

a x x f ln 1

)(---

= (R)a ∈. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点11

(,ln 2)22

+处的切线方程;

(Ⅱ)若1=x 是函数)(x f 的极大值点,求a 的取值范围;

(Ⅲ)当1a <时,在1[,]e e

上是否存在一点0x ,使1)(0->e x f 成立?说明理由.

数学(理科)参考答案

一.1-5 BCCAC ,6-10 BDDAD 二.11.

2π+; 12. 15; 13. 3; 14. ①③; 15. ()3,1

三.16.解:依题意,a , b , c 组成一个公差1d =-的等差数列, 即a = b +1,c = b -1(1>b )

由正弦定理,

A a sin =C c

sin 及A =2C ,得C

b C b sin 12sin 1-=+, ∴

C C C b b cos 2sin 2sin 11==-+, 即 )

1(21

cos -+=

b b C .

由余弦定理,ab c b a C 2

2cos 22-+=222

(1)(1)2(1)b b b b b

++--=

+ 得 )

1(24cos ++=

b b C .

由①②两式联立,消去cos C 得41

11

b b b b ++=

+-, 解之得5b =. 所以6,5,4a b c ===.

17.解:(Ⅰ)设等差数列}{n a 的公差为d , n a

n b a )2

1

(,11=-= , .)2

1

(,)21(,)21(2131211d d b b b +-+--===∴

由641321=b b b 得64

1

)21(33=+-d ,解得3=d .

.433)1(1-=?-+-=∴n n a n

(Ⅱ)由(Ⅰ)得).43()1(--=n c n n

[]3)46()76()423()1(4)12(3)1(212212=-+--=-?-+--?-=+∴--n n n n c c n n n n

n n n c c c c c c T 21243212++++++=∴-

)()()(2124321n n c c c c c c ++++++=- n 3=.

18.解:(Ⅰ)该工厂使用该设备x 年的运转费用是x 万元,且每年的维护费是首项为2,公差也是2的等

差数列. 所以该工厂使用该设备的总费用为:

)2642(100x x y ++++++= (22)

1002

x x x +=++

22100x x =++(*N x ∈) (Ⅱ)使用该设备年平均费用22100y x x x x ++= 100

2x x

=++.

)0(2100)(>++

=x x x x g 设,则2

2)

10)(10(1001)(x

x x x x g -+=-='. )(100)(负值舍去,得令=='x x g .

从而,当0)(100<'<'>x g x 时,.

所以,.),10()10,0()(上递增上递减,在在+∞x g 当)(10x g x 时,=有最小值. 即该设备使用年限是10年时,年平均费用最低 , 所以该设备的最佳使用年限是10年.

另法:使用该设备年平均费用

22100y x x x x ++= 100

2x x

=++≥1002222x x ?+=(万元)

当且仅当100

x x

=

,即10x =时取等号. 即该设备使用年限是10年时,年平均费用最低 , 所以该设备的最佳使用年限是10年. 19.解:(Ⅰ)()cos 213sin 22sin(2)16

f x x x x π

=++=++ .

当32222

6

2

k x k π

π

π

ππ+

≤+

≤+

, 即263

k x k π

π

ππ+

≤≤+

, k Z ∈时,函数()f x 单调递减,

所以函数()f x 的单调递减区间为2[,]63k k k Z ππ

ππ++∈.

(Ⅱ)对任意12[1,3],[0,

]2

x x π

∈∈,要使不等式12()3()g x a f x ++>恒成立,

只需1()3g x a ++在[1,3]上的最小值大于2()f x 在区间[0,]2

π

上的最大值.

当??

?

??

?

∈2,

0πx 时,有 ??

????∈+

67,662πππ

x , ∴ 当2

6

π

=

+

x 即6

π

=

x 时,)6

2sin(π

+

x 有最大值1,)(x f 有最大值3.

所以 当 2[0,

]2

x π

∈时,2()f x 的最大值为3.

又由()e x g x x -=得 '()e e (1)e x x x g x x x ---=-=-,当31≤≤x 时,0)(≤'x g . ∴()g x 在区间[1,3]上是减函数,当1[1,3]x ∈时,1()g x 有最小值33(3)e

g =

. 所以1()3g x a ++的最小值为

33

3e

a ++. 令333e a ++>3得 33e a >-, 所以实数a 的取值范围是33

(,)e

-+∞. 20.解:(Ⅰ)由*121()n n a a n N +=+∈得 112(1)n n a a ++=+ .

∵11a = , 211=+∴a , ∴10n a +≠ ,

故{1}n a +是首项为2,公比为2的等比数列,1

221-?=+n n a .

∴*

21()n

n a n N =-∈.

(Ⅱ)∵2log (211)()2112n n n n n n y f a -+===-+ ,∴n

n n n n

y Q P 2

||== , 又∵n

n n n n Q Q 2)12()12(||11=---=++, ∴四边形11++n n n n P Q Q P 的面积为:

41

32)2

21(21|||)||(|211111+=

?++=?+=++++n n n Q Q Q P Q P S n n n n n n n n n n . 当1n =时,117

13S =< .

当1n >时,=-<+=)33(4)13(41n n n n

nS n 2141244411

()(31)3(31)33(1)31n nS n n n n n n n n n ==<<=-++--,

??

?

???--++??? ??-+??? ??-+<++++)

(n n S nS S S S n 11131212113411312111321 411(1)3n =+-747333

n =-< .

所以有*N n ∈时,3

7

131211321<++++n nS S S S .

21.解:(Ⅰ)当1a =时,()ln f x x x =-,'1

()1f x x

=-,

所以曲线()y f x =在点11

(,ln 2)22+处的切线的斜率为'11()1112

2

f =-=-.

所求切线方程为11

(ln 2)()22

y x -+=--, 即ln 210x y +--=.

(Ⅱ)2222

1(1)(1)[(1)]

'()1(0)a a x ax a x x a f x x x x x x --+----=+-==>,

令'()0f x =得,11x =,21x a =-,

①当10a -≤即1a ≤时, '(),()f x f x 随x 的变化情况如下表:

由表知1=x 是函数)(x f 的极小值点,不合题意;

②当011a <-<即12a <<时,'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表:

由表知1=x 是函数)(x f 的极小值点,不合题意;

③当11a -=即2a =时,'

(),()f x f x 随x 的变化情况如下表:

x

(0,1)

1

(1,)+∞

'()f x

-

+

()f x

递减

极小值

递增

x

(0,1)a -

1a - (1,1)a -

1

(1,)+∞

'()f x +

-

+

()f x

递增

极大值

递减

极小值

递增

x

(0,1)

1

(1,)+∞

由表知1=x 不是函数)(x f 的极值点,不合题意;

④当11a ->即2a >时, '(),()f x f x 随x 的变化情况如下表:

由表知1=x 是函数)(x f 的极大值点,适合题意;

综上所述,当2a >时,1=x 是函数)(x f 的极大值点. 即所求取值范围是()+∞,2. (Ⅲ)假设当1a <时,在1[,e]e

存在一点0x ,使0()e 1f x >-成立, 则只需证明1[,e]e

x ∈时, max ()e 1f x >-即可.

由(Ⅱ)知,当1a <时,

函数)(x f 在1[,1]e

上递减,在[1,e]上递增,

max 1

()max{(),(e)}e

f x f f ∴=.

所以只需证明(e)e 1f >-或1

()e 1e

f >-即可。

∵1

(e)(e 1)e (e 1)e

a f a ---=----

(e 1)(1)

e a +-=

由1a <知,(e 1)(1)

0e

a +->

∴(e)(e 1)0f --> 即(e)e 1f >-成立

所以假设正确,即当1a <时,在1[,e]e

x ∈上至少存在一点0x ,使0()e 1f x >-成立.

'()f x +

+

()f x

递增

非极值

递增

x

(0,1)

1

(1,1)a -

1a - (1,)a -+∞

'()f x

+

-

+

()f x

递增

极大值

递减

极小值

递增