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考研数学二2003-2012十年真题

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...

指定位置上. (1)曲线221

x x y x +=-的渐近线条数 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )

(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 设1230(1,2,3),

n n n a n S a a a a >==++++ ,则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的

( )

(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要

(4) 设2

sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π

==?则有

( )

(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y )为可微函数,且对任意的,x y 都有

(,)(,)

0,0,x y x y x y

??>成立的一个充分条件是

( )

(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12

y x x y π

==±

=围成,则5(1)d d D

x y x y -=??

( )

(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π

(7) 设1100c ?? ?= ? ?

??

α,2201c ?? ?= ? ???α ,3311c ?? ?=- ? ???α ,4411c -??

?

= ? ???α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数,则下列向量

组线性相关的为 ( )

(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα

(8) 设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1100010002P AP -?? ?

= ? ???

.若()123,,P =ααα,

()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )

(A) 100020001?? ? ? ??? (B) 100010002?? ? ? ??? (C) 200010002?? ? ? ??? (D)200020001??

? ? ???

二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...

指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程2

1y

x y e -+=所确定的隐函数,则20

2

x d y dx

== .

(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞??

+++= ?+++?? . (11) 设1ln ,z f x y ??=+

???

其中函数()f u 可微,则

2z z x y x y ??+=?? . (12) 微分方程()

2

d 3d 0y x x y y +-=满足条件1

1x y

==的解为y = .

(13) 曲线()2

0y x x x =+<

考研数学二2003-2012十年真题

. (14) 设A 为3阶矩阵,=3A ,*

A 为A 伴随矩阵,若交换A 的第1行与第2行得矩阵

B ,则

*BA = .

三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分 10 分)

已知函数()11

sin x f x x x

+=

-,记()0lim x a f x →=,

(I)求a 的值;

(II)若0x →时,()f x a -与k

x 是同阶无穷小,求常数k 的值.

(16)(本题满分 10 分)

求函数()22

2

,x y f x y xe

+-=的极值.

(17)(本题满分12分)

过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

(18)(本题满分 10 分)

计算二重积分

d D

xy σ??,其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.

(19)(本题满分10分)

已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;

(II) 求曲线2

20()()d x

y f x f t t =-?的拐点.

(20)(本题满分10分)

证明2

1ln cos 112

x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)

(I)证明方程1x x x ++= n n-1

+()

1n >的整数,在区间1,12??

???

内有且仅有一个实根; (II)记(I)中的实根为n x ,证明lim n n x →∞

存在,并求此极限.

(22)(本题满分11 分)

设1

0001000100

1a a A a a

?? ? ?= ?

???,1100β?? ?- ?= ? ???

(I) 计算行列式A ;

(II) 当实数a 为何值时,方程组Ax β=有无穷多解,并求其通解. (23)(本题满分11 分)

已知1010

11100

1A a a ??

?

?= ?

- ?-??

,二次型()()123,,T T

f x x x x A A x =的秩为2,

(I) 求实数a的值;

将f化为标准形.

(II) 求正交变换x Qy

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

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2010年考研数学二真题一填空题(8×4=32分)

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2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.

(1)函数

()3

sin x x f x nx

-=的可去间断点的个数,则( )

()A 1.

()B 2. ()C 3.

()D 无穷多个.

(2)当0x

→时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则( )

()A 11,6

a b ==-

. ()B 11,6a b ==

. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6

a b =-=.

(3)设函数(),z

f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0( )

()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.

(4)设函数

(),f x y 连续,则()()22241

1

,,y

x

y

dx f x y dy dy f x y dx -+=????

( )

()A ()2

411

,x

dx f x y dy -??. ()B ()241,x

x

dx f x y dy -??.

()C ()241

1

,y

dy f x y dx -??

.

()D .()22

1

,y

dy f x y dx ??

(5)若

()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则()f x 在区间()1,2内

( )

()A 有极值点,无零点. ()B 无极值点,有零点.

()C 有极值点,有零点. ()D 无极值点,无零点.

(6)设函数

()y f x =在区间[]1,3-上的图形为:

考研数学二2003-2012十年真题

则函数()()0x

F

x f t dt =?的图形为( )

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()A .

()B .

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()C .

()D .

(7)设A 、B 均为2阶矩阵,*

*A

B ,分别为A 、B 的伴随矩阵。若A =2B =3,,则分块矩阵0

0A B ??

???

的伴随矩阵为( )

()A .**0320B A ?? ???

()B .**

2B 3A 0??

???

()C .**03A 2B

0?? ???

()D .**

2A 3B 0??

???

(8)设A P ,均为3阶矩阵,T

P 为P 的转置矩阵,且T 100P AP=010002?? ? ? ???

,若

P=Q=+ααααααα1231223(,,),(,,)

,则Q AQ T

为( ) ()A .210110002??

?

? ???

()B .110120002??

?

? ??? ()C .200010002??

?

? ???

()D .100020002??

?

? ???

二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.

(9)曲线2221-x=0

ln(2)u t e du

y t t -?

???=-?

?在(0,0)处的切线方程为 (10)已知+1k x

e dx ∞=-∞

?,则k =

(11)n 1lim

e sin 0

x

nxdx -→∞=?

(12)设()y y x =是由方程xy 1y

e x +=+确定的隐函数,则

2x=0

d y

=dx 2

(13)函数

2x y x =在区间(]01,上的最小值为

(14)设αβ,为3维列向量,T β为β的转置,若矩阵T αβ相似于200000000??

? ? ???

,则T

=βα

三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算

(15)(本题满分9分)求极限()[]40

1cos ln(1tan )lim

sin x x x x x

→--+

(16)(本题满分10 分)计算不定积分ln(1dx +

考研数学二2003-2012十年真题

? (0)x >

(17)(本题满分10分)设(),,z f x y x y xy =+-,其中

f 具有2阶连续偏导数,求dz 与

2z

x y

???

(18)(本题满分10分) 设非负函数

()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=,当曲线()y y x = 过原点时,其与直线

1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积。

(19)(本题满分10分)求二重积分

()D x y dxdy -??,

其中()()()

{}

2

2

,112,D x y x y y x

=-+-≤≥

(20)(本题满分12分) 设

()y y x =是区间

-ππ(,)内过

(的光滑曲线,当-0x π<<时,曲线上任一点处的法线都过

考研数学二2003-2012十年真题

考研数学二2003-2012十年真题

原点,当0x π

≤<时,函数

()y x 满足0y y x ''++=。求()y x 的表达式

(21)(本题满分11分)

(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数

()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得

()()()()f b f a f b a ξ'-=-(Ⅱ)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且

()0

lim x f x A +

→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=。

(22)(本题满分11分)设111111042A --??

?

=- ? ?--??,1112ξ-?? ?= ? ?-??

(Ⅰ)求满足

22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ

(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任一向量23,ξξ,证明:123,,ξξξ线性无关。

(23)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-

(Ⅰ)求二次型

f 的矩阵的所有特征值;

(Ⅱ)若二次型f

的规范形为

22

12

y y +,求a 的值。