2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...
指定位置上. (1)曲线221
x x y x +=-的渐近线条数 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )
(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 设1230(1,2,3),
n n n a n S a a a a >==++++ ,则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的
( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要
(4) 设2
sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π
==?则有
( )
(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y )为可微函数,且对任意的,x y 都有
(,)(,)
0,0,x y x y x y
??>?则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是
( )
(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12
y x x y π
==±
=围成,则5(1)d d D
x y x y -=??
( )
(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π
(7) 设1100c ?? ?= ? ?
??
α,2201c ?? ?= ? ???α ,3311c ?? ?=- ? ???α ,4411c -??
?
= ? ???α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数,则下列向量
组线性相关的为 ( )
(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα
(8) 设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且1100010002P AP -?? ?
= ? ???
.若()123,,P =ααα,
()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -= ( )
(A) 100020001?? ? ? ??? (B) 100010002?? ? ? ??? (C) 200010002?? ? ? ??? (D)200020001??
? ? ???
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...
指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程2
1y
x y e -+=所确定的隐函数,则20
2
x d y dx
== .
(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞??
+++= ?+++?? . (11) 设1ln ,z f x y ??=+
???
其中函数()f u 可微,则
2z z x y x y ??+=?? . (12) 微分方程()
2
d 3d 0y x x y y +-=满足条件1
1x y
==的解为y = .
(13) 曲线()2
0y x x x =+<
. (14) 设A 为3阶矩阵,=3A ,*
A 为A 伴随矩阵,若交换A 的第1行与第2行得矩阵
B ,则
*BA = .
三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)
已知函数()11
sin x f x x x
+=
-,记()0lim x a f x →=,
(I)求a 的值;
(II)若0x →时,()f x a -与k
x 是同阶无穷小,求常数k 的值.
(16)(本题满分 10 分)
求函数()22
2
,x y f x y xe
+-=的极值.
(17)(本题满分12分)
过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
(18)(本题满分 10 分)
计算二重积分
d D
xy σ??,其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.
(19)(本题满分10分)
已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求()f x 的表达式;
(II) 求曲线2
20()()d x
y f x f t t =-?的拐点.
(20)(本题满分10分)
证明2
1ln cos 112
x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)
(I)证明方程1x x x ++= n n-1
+()
1n >的整数,在区间1,12??
???
内有且仅有一个实根; (II)记(I)中的实根为n x ,证明lim n n x →∞
存在,并求此极限.
(22)(本题满分11 分)
设1
0001000100
1a a A a a
?? ? ?= ?
???,1100β?? ?- ?= ? ???
(I) 计算行列式A ;
(II) 当实数a 为何值时,方程组Ax β=有无穷多解,并求其通解. (23)(本题满分11 分)
已知1010
11100
1A a a ??
?
?= ?
- ?-??
,二次型()()123,,T T
f x x x x A A x =的秩为2,
(I) 求实数a的值;
将f化为标准形.
(II) 求正交变换x Qy
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
2010年考研数学二真题一填空题(8×4=32分)
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)函数
()3
sin x x f x nx
-=的可去间断点的个数,则( )
()A 1.
()B 2. ()C 3.
()D 无穷多个.
(2)当0x
→时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则( )
()A 11,6
a b ==-
. ()B 11,6a b ==
. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6
a b =-=.
(3)设函数(),z
f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0( )
()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.
(4)设函数
(),f x y 连续,则()()22241
1
,,y
x
y
dx f x y dy dy f x y dx -+=????
( )
()A ()2
411
,x
dx f x y dy -??. ()B ()241,x
x
dx f x y dy -??.
()C ()241
1
,y
dy f x y dx -??
.
()D .()22
1
,y
dy f x y dx ??
(5)若
()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则()f x 在区间()1,2内
( )
()A 有极值点,无零点. ()B 无极值点,有零点.
()C 有极值点,有零点. ()D 无极值点,无零点.
(6)设函数
()y f x =在区间[]1,3-上的图形为:
则函数()()0x
F
x f t dt =?的图形为( )
()A .
()B .
()C .
()D .
(7)设A 、B 均为2阶矩阵,*
*A
B ,分别为A 、B 的伴随矩阵。若A =2B =3,,则分块矩阵0
0A B ??
???
的伴随矩阵为( )
()A .**0320B A ?? ???
()B .**
2B 3A 0??
???
()C .**03A 2B
0?? ???
()D .**
2A 3B 0??
???
(8)设A P ,均为3阶矩阵,T
P 为P 的转置矩阵,且T 100P AP=010002?? ? ? ???
,若
P=Q=+ααααααα1231223(,,),(,,)
,则Q AQ T
为( ) ()A .210110002??
?
? ???
()B .110120002??
?
? ??? ()C .200010002??
?
? ???
()D .100020002??
?
? ???
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)曲线2221-x=0
ln(2)u t e du
y t t -?
???=-?
?在(0,0)处的切线方程为 (10)已知+1k x
e dx ∞=-∞
?,则k =
(11)n 1lim
e sin 0
x
nxdx -→∞=?
(12)设()y y x =是由方程xy 1y
e x +=+确定的隐函数,则
2x=0
d y
=dx 2
(13)函数
2x y x =在区间(]01,上的最小值为
(14)设αβ,为3维列向量,T β为β的转置,若矩阵T αβ相似于200000000??
? ? ???
,则T
=βα
三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算
(15)(本题满分9分)求极限()[]40
1cos ln(1tan )lim
sin x x x x x
→--+
(16)(本题满分10 分)计算不定积分ln(1dx +
? (0)x >
(17)(本题满分10分)设(),,z f x y x y xy =+-,其中
f 具有2阶连续偏导数,求dz 与
2z
x y
???
(18)(本题满分10分) 设非负函数
()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=,当曲线()y y x = 过原点时,其与直线
1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2,求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积。
(19)(本题满分10分)求二重积分
()D x y dxdy -??,
其中()()()
{}
2
2
,112,D x y x y y x
=-+-≤≥
(20)(本题满分12分) 设
()y y x =是区间
-ππ(,)内过
(的光滑曲线,当-0x π<<时,曲线上任一点处的法线都过
原点,当0x π
≤<时,函数
()y x 满足0y y x ''++=。求()y x 的表达式
(21)(本题满分11分)
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数
()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得
()()()()f b f a f b a ξ'-=-(Ⅱ)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且
()0
lim x f x A +
→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=。
(22)(本题满分11分)设111111042A --??
?
=- ? ?--??,1112ξ-?? ?= ? ?-??
(Ⅰ)求满足
22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ
(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任一向量23,ξξ,证明:123,,ξξξ线性无关。
(23)(本题满分11分)设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-
(Ⅰ)求二次型
f 的矩阵的所有特征值;
(Ⅱ)若二次型f
的规范形为
22
12
y y +,求a 的值。
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)设
2()(1)(2)f x x x x =--,则'()f x 的零点个数为( )
()A 0
()B 1. ()C 2 ()D 3
(2)曲线方程为
()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数,则定积分0()a
t af x dx ?( )
()A 曲边梯形ABOD 面积.
()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.
()D 三角形ACD 面积.
(3)在下列微分方程中,以
123cos2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是( )
()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++= ()C ''''''440y y y y --+=
()D ''''''440y y y y -+-=
(5)设函数
()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是( )
()A 若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛.
()D 若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛.
(6)设函数
f
连续,若22(,)
uv
D F u v =,其中区域uv D 为图中阴影部分,则
F
u
?=? ()A 2()vf u ()
B 2()v
f u u ()C ()vf u
()D ()v
f u u