知识点一 锐角三角函数的定义
1.在Rt △ABC 中,∠C=900
,直角三角形边角之间的关系:
(1)三边关系:__________或_________________(即_______定理)
(2)三角关系:_____________________(即_______________定理)
____________________(性质:直角三角形两锐角______)
(3)边角关系(即tanA ,sinA,cosA 与边的关系)
锐角∠A 的正弦: ∠A 的( )边 ( ) ( )
sinA= = =
( )边 ( ) ( )
锐角∠A 的余弦: ∠A 的( )边 ( ) ( )
cosA= = =
( )边 ( ) ( )
锐角∠A 的正切: ∠A 的( )边 ( ) ( )
tanA= = =
∠A 的( )边 ( ) ( )
注:① 锐角A 的______、______、______都是∠A 的三角函数....
。 ② 三角函数值是一个比值,没有单位.................
2.练习:
例1. 在Rt △ABC 中,∠C=900
,AC=3,BC=4,求tanA 、sinA 和cosA 的值。
例2. 在Rt △ABC 中,∠C=900
, cosA=13
12
,AC=10, 求AB 、BC 的值。
3. 在Rt △ABC 中,∠C=900
, cosA=0.6,BC=8, 求AB 、BC 的值。
。
例4. 在Rt △ABC 中,∠C=900
,sinA=
4
3
,求tanA 和cosA 的值。
例5.如图,△ABC 是等腰三角形,AB=AC=5,BC=8,求tanB 、sinB 和cosB 。
B C
例6. 在Rt △ABC 中,∠BCA=900
,CD 是AB 边上的中线,BC=6,CD=5, 求sin ∠ACD,cos ∠ACD, tan ∠ACD(注意书写格式)
B
D
A C
例6⑴梯子的倾斜程度与tanA 、sinA 、cosA 有什么关系?
⑵下图表示两个自动扶梯,米 6 8米
例7:坡度与坡角
⑴坡面与水平面的夹角叫做________,
⑵坡面的____________与____________的比称为坡度(或______)(.用字母...i .表示..). ⑶坡度与坡角有什么关系?
⑷正切在日常生活中的应用很广泛,例如建筑、工程技术等.正切经常用来描述山坡的_______、堤坝的_______.
例:如图,有一山坡在水平方向上每前进100m 就升高60m,那么山坡的坡度是: (
) ( ) i=_______α= =
( ) ( ) 60米
100米
知识点二 特殊角的锐角三角函数值
1.⑴在Rt △ABC 中,∠C=900
, 若∠A=300
,设BC=a,则AB=______ AC=________
⑵在Rt △DEF 中,∠F=900, 若∠D=450
,设DF=a,则EF=______ DE=________ B E
A C D F 2.利用上图,可求出下列特殊角的锐角三角函数值.
3.锐角三角函数的大小比较
(1) 正弦、正切的锐角三角函数值随角度的增大而_____,随角度的减小而_____. (2)余弦的锐角三角函数值随角度的增大而_____,随角度的减小而_____。 (3)锐角A 的取值范围__________
三个锐角三角函数值的取值范围__________、__________、__________ 4.练习:
⑴求一个锐角的三角函数值时,我们常利用的是( )三角形 A. 等腰 B. 等边 C. 直角 D. 不能确定
⑵将Rt △ABC 的各边长都扩大10倍,则sinA ( )
A.也扩大10倍
B.扩大100倍
C.缩小10倍
D. 不变
⑶等腰直角三角形一个锐角的余弦为( )
A .
12
2
B .
2
C D .l
⑷在下列不等式中,错误的是( )
A.sin450>sin300
B.cos600<cos300
C.tan450>tan300
D.cos300<cos600
⑸ 2sin60°-cos30°·tan45°的结果为( )
A 23 C.-2
3 D .0
⑹在 △ABC 中,已知∠C=90°,sinB=0.6,则cosA 的值是( )
3443
.
. . .4355A B C D
⑺在△ABC 中,∠A 为锐角,已知 cos(90°-A )=
2
,sin(90°-B )=
2
,
则△ABC 一定是( )
A .锐角三角形
B .直角三角形
C .钝角三角形
D .等腰三角形 ⑻已知∠A 为锐角,且cosA=0.6,那么( )
A .0°<∠A<30° B.30°<∠A<45° C .45°<∠A<60° D .60°<∠A<90°
⑼如图,在Rt △ABC 中,∠C =900,∠A =300,E为AB上一点且AE :EB=4:1, EF ⊥AC 于F ,连结FB ,则tan ∠CFB 的值等于( )
233
A 3
3 B、53 23A 3、 C、⑽如图,在平面直角坐标系中,已知A(3,0)点B(0,-4),则cos ∠OAB 等于__________
(第9题图) (第10题图)
⑾点M(tan60°,-cos60°)关于x 轴的对称点M′的坐标是(_____,_____) ⑿比较大小(在空格处填写“<”或“>”或“=”)
若α=450,则sin α________cos α;若α<450
,则sin α cos α;
若α>450
,则 sin α cos α.
⒀某人沿着山地从山脚到山顶共走1000米,他上升的高度为600米,则这个山坡的坡度为_______
⒁在正方形网格中,ABC △的位置如图所示,则co s ∠B 的值为( )
A .
12
B .
2
C .
2
D .
3
⒂如图,AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角,则图中cos ∠AOB 的值是 ,
A
O
(16题图)
B ⒃如图,AOB ∠
是放置在正方形网格中的一个角,则图中sin ∠AOB 的值是 .
(第15题图) ⒄ 计算:
①-sin300
(cos450
-sin600
) ②0
060cos 2330cos 45sin -+
③3-
1+(2π-1)0-
3
3
tan30°-tan45°④104cos30sin60(2)2008)-??+--
⑤??
? ??31-1-20100+|-43|-tan60? ⑥0
1)41.12(45tan 32)31(-++---
⑦(-1)2010
×(
12
)-34cos60°│⑧ 02045cos 1)145(sin -+-
⑨02060tan 60tan 21+--tan600
⒅如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=45°,点D 在AC 上, ∠BDC=60°,AD=l ,求BD 、DC 的长.
O
A
(17题图)
B
⒆如图所示,在菱形ABCD 中,AE ⊥BC 于 E 点,EC=1,∠B=30°,求菱形ABCD 的周长.
⒇如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8 ,CD⊥AB,
求:①sin∠ACD 的值;②tan∠BCD 的值
知识点三 解直角三角形
(一)定义: 叫解直角三角形 (一)解法分类:(1)已知一边和一个锐角解直角三角形;
(2)已知两边解直角三角形.
练习:(1)在Rt △ABC 中,∠C=900,AB=8,∠A=370
,解直角三角形。
(即:求出直角三角形其他的边和角)
B
(参考数据:tan370≈0.75,sin370≈0.6,cos370
≈0.8)
A C
(2)在Rt △ABC 中,∠C=900,b=4,∠A=350
,解直角三角形。
(参考数据:tan350≈0.7,sin350≈0.6,cos350
≈0.8)
(3)在Rt △ABC 中,∠C=900
, a=3,b=4,解直角三角形。
(参考数据:tan330≈0.6,sin370≈0.6,cos530
≈0.6)
(4)如图,四边形ABCD 中,∠A=600
,AB ⊥BC, AD ⊥DC,AB=200,
CD=100,求AD 的长。 A
D
B C
(5)如图,四边形ABCD中,∠D=1200,BA⊥DA, AC⊥DC,AB=503,
CD=303,求AD的长。 C
D
B A
(二)解直角三角形的应用:关键是把实际问题转化为数学问题来解决
例1. 一个小孩荡秋千,秋千的链子的长度为2米,当秋千两边摆动时,摆角恰好为60度,且两边的摆动角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。
(结果精确到0.01米,参考数据:2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236)
例2:如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=82m,坡底BC=30m,∠ADC=135°
(1)求∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么建筑这个大坝要多少土石料?
(参考数据:tan280≈0.5,sin300=0.5,cos600=0.5)
A D
B C
例3:如图,小明用一块有一个锐角为30 的直角三角板测量树高,已知小明离树的距离为4米,DE为1.7米,那么这棵树大约有多高?(精确到0.1米)
例4.某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时,开展测量物体高度的实践活动,他们要测量学校一幢教学楼的高度.如图,他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°,然后向教学楼前进60米到达点D ,又测得点A 的仰角为45°。请你根据这些数据,求出这幢教学楼的高度.(计算过程和结果均不取近似值)
练习:
1.如图所示,小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°,则广告牌的高度BC 为多少米(精确到0.1米). (sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7;
sin52°≈0.8,cos52°≈0.6,tan52°≈1.3)
2.在学习实践科学发展观的活动中,某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ,张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°,测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离 多远的地方进行测量?(精确到整数米)
(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64, tan50°≈1.20, sin30°=0.50,cos30°≈0.87, tan30°≈0.58)
3.又到了一年中的春游季节,某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”.下面是两位同学的一段对话: 甲:我站在此处看塔顶仰角为60
乙:我站在此处看塔顶仰角为30
甲:我们的身高都是1.5m 乙:我们相距20m 请你根据两位同学的对话,计算白塔的高度(精确到1米).
B
C D
6米
A
B
C D
4.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°,在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°,两栋楼之间的距离为30m ,则电梯楼的高BC 为多少米.
(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)
5.如图,在小山的西侧A 处有一热气球,以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空,40分钟后到达C 处,这时热气球上的人发现,在A 处的正东方向有一处着火点B ,十分钟后,在D 处测得着火点B 的俯角为15°,求热气球升空点A 与着火点B 的距离。(结果保留根号) (参考数据:42615sin -=?,4
2
615cos +=?,3215tan -=?)。
6.汶川地震后,抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险,飞机在距地面450米上空的P 点,测得A 村的俯角为30?,B 村的俯角为60?(.如图7).求A 、B 两个村庄间的距离.(结果精确到米,参考数据2≈1.414,3≈1.732)
7.如图,小明同学在东西方向的环海路A 处,测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上,在A 处东500米的B 处,测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上,则灯塔P 到环海路的
距离PC 为多少米(用根号表示).
Q
B C
P A
450
60?
30?
A
B C
例5:我市准备在相距2千米的A 、B 两工厂间修一条笔直的公路,但在B 地北偏东60°方
向、A 地北偏西45°方向的C 处,有一个半径为0.6千米的住宅小区(见下图),问修
筑公路时,这个小区是否有居民需要搬迁?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)
练习:
1.某月松花江哈尔滨段水位不断下降,一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行,在A 处测得航标C 在北偏东60°方向上,前进100m 到达B 处,又测得航标C 在北偏东45°方向,如图,以航标C 为圆心,120m 长为半径的圆形区域内有浅滩,如果这条船继续前进,是否有被浅滩阻碍的危险?
★2.在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN (如图),在码头西端M 的正西
19.5 km 处有一观察站A .某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西 30°,且与A 相距40km 的B 处;经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A 的北偏
东60°,且与A
相距的C 处.
(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果);
(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸?
请说明理由.
东
l
例6:如图,某货船以20海里/时的速度将一批货物由A处运往正西方向的B处,经16小时到达,到达后必须立即卸货。此时接气象部门通知,一台风正以40海里/时的速度由A向北偏西60°的方向移动,距台风中心200海里的圆形范围内(包括边界)均会被影响。问:(1)B处是否会受到影响?说明理由。
(2)为避免台风影响,该船应在多少小时内卸完货?北
(3)求这次台风影响B市的时间
(供选用数据2≈1.4,3≈1.7)
西B A
练习
1.某校的教室A位于工地O的正西方向、,且 OA=200米,一部拖拉机从O点出发,以每
秒6米的速度沿北偏西53°方向行驶,设拖拉机的噪声污染半径为130米,试问教室A 是否在拖拉机噪声污染范围内?若不在,请说明理由;若在,求出教室A受污染的时间有几秒?(已知:sin53°≈0.80,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)
★2. 气象台发布的卫星云图显示,代号为W的台风在某海岛(设为点O)的南偏东45°方向的B点生成,测得OB=1006km.台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动,
经5h后到达海面上的C处。因受气旋影响,台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动。以O为原点建立直角坐标系。
(1)台风中心生成点B的坐标为___________,台风中心转折点C的坐标为___________ (结果保留根号)
(2)已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭。如果某城市(设为点A)位于O的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初侵袭该城
要经过多长时间?
★3. 如图,在某气象站M 附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于气象站M 的东偏
南方向100千米的海面P 处,并以20千米/小时的速度向西偏北45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为20千米,并以10千米/小时的速度不断增大,已知cos θ=
10
2
,问: (1)台风中心几小时移到气象站M 正南N 处,此时气象站M 是否受台风侵袭? (2)几小时后该气象站开始受台风的侵袭?
例7:如图,如图,有一段斜坡BC 长为10米,坡角12CBD ?
∠=,为方便残疾人的轮椅
车通行,现准备把坡角降为5°.
(1)求坡高CD ;(2)求斜坡新起点A 与原起点B 的距离(精确到0.1米).
(参考数据:sin5°≈0.09 ,cos5°≈1.0 , tan5°≈0.09 , sin12°≈0.2 ,cos12°≈0.98 , tan12°≈0.2 )
练习:1.如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减
小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. (1)求新传送带AC 的长度; (2)如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道,试判断距离B 点4米的货物MNQP
是否需要挪走,并说明理由.(说明:⑴⑵的计算结果精确到0.1米) (参考数据:2≈1.41,3≈1.73,5≈2.24,6≈2.45)
D
B A
C 512
2.我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图所示.
AB=米,坡角60
BC AD
∥,斜坡40
∠= ,为防夏季因瀑雨引发山体滑坡
BAD
,保障安全,学校决定对山坡进行改造.经地质人员勘测,当坡角不超过45 时,可确保山体不滑坡,改造时保持坡脚A不动,从坡顶B沿BC削进到E处,问BE至少是多少米(结果保留根号)?
北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等,对应角也相等 判定:SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) 推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(即“三线合一”) 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60度;等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质;等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴。判定定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 (1)勾股定理及其逆定理 定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。 (2)命题包括已知和结论两部分;逆命题是将倒是的已知和结论交换;正确的逆命题就是逆定理。 (3)直角三角形全等的判定定理 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 5、线段的垂直平分线 (1)线段垂直平分线的性质及判定 性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定:到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 (2)三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。(3)如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心,以大于AB的一半长为半径作弧,两弧交于点M、N;作直线MN,则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 (1)角平分线的性质及判定定理 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定:在一个角的内部,且到角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。
第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起(第一课时) 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义,并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗?你有哪些办法? 2、生活问题数学化: ⑴如图:梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的? ⑵以下三组中,梯子AB 和EF 哪个更陡?你是怎样判断的? 二、直角三角形的边与角的关系(如图,回答下列问题) ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵ 2 2 2111B AC C B AC C 和有什么关系? ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?
三、例题: 例1、如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC中,∠C=90°,BC=12cm,AB=20cm,求tanA和tanB 的值. 四、随堂练习: 1、如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗? 2、如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为55m,求山的坡度.(结果精确到0.001) 3、若某人沿坡度i=3:4的斜坡前进10米,则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ,则 tanθ=______. 5、如图,Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图,斜坡AB的长为12 m,它的坡角为45°,为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡比为1:1.5的斜坡AD,求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习: 1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______. 3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______. 4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.