高三理科数学集体备课专题三概率与统计

第1讲计数原理

[考情考向分析] 1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注．

热点一两个计数原理（见P66《步步高》）

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘．例1(1)(2018·潍坊模拟)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()

A．120种B．156种

C．188种D．240种

答案 A

(2)若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”．因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23＋24＋25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为()

A．9 B．10 C．11 D．12

答案 D

思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．

(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．跟踪演练1(1)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有()

A ．18种

B ．24种

C ．36种

D ．48种

答案 C

(2)(2018·百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有( ) A.9种 B ．18种 C ．12种 D ．36种

答案 B

热点二 排列与组合

例2 (1)(2018·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有( ) A ．240种 B ．480种 C ．720种 D ．960种

答案 B

(2)5

位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有( ) A ．25种 B ．60种 C ．90种 D ．150种 答案 D

思维升华 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．

具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径

(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．

(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 解答计数问题多利用分类讨论思想．分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”． 跟踪演练2 (1)(2018·北京市建华实验学校模拟)甲、乙、丙、丁、戊共5人排成一排照相合影，如果甲、乙必须在丙的同侧，则不同的排法有________种． 答案 80

解析 由题意先将甲乙捆绑在一起有A 22种排法，再与丙一起排列一共有A 22A 22种排法，然后再将丁戊插入共有A 22A 22C 14C 15＝80(种)排法．

(2)(2018·湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学联考)郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到四个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有( ) A ．168种 B ．156种 C ．172种 D ．180种

答案 B

热点三 二项式定理

(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n ，其中各项的系数C k n (k ＝0,1，…，n )叫做二项式系数；展开式中共有n ＋1项，其中第k ＋1项T k ＋1＝C k n a

n －k b k (其中0≤k ≤n ，k ∈N ，n ∈N *)称为二项展开式的通项公式．

例3 (1)(2018·揭阳模拟)已知(x ＋1)????ax －1

x 5的展开式中常数项为－40，则a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．4 答案 C

(2)已知(1－2x )2 017＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 2 016(x －1)2 016＋a 2 017(x －1)2 017(x ∈R )，则a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋…－2 016a 2 016＋2 017a 2 017等于( ) A ．2 017 B ．4 034 C ．－4 034 D ．0 答案 C

思维升华 (1)在应用通项公式时，要注意以下几点：

①它表示二项展开式的任意项，只要n 与k 确定，该项就随之确定； ②T k ＋1是展开式中的第k ＋1项，而不是第k 项；

③公式中，a ，b 的指数和为n ，且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式(a －b )n 的展开式的通项公式要特别注意符号问题．

(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．

跟踪演练3 (1)(2018·龙岩质检)已知二项式????1＋1

x －2x 4，则展开式的常数项为( ) A ．－1 B ．1 C ．－47 D ．49 答案 B

(2)????x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，若A

B ＝32，则n 等于( ) A ．5 B ．6

C ．7

D ．8 答案 A

课外作业：二本学生做A 组专题通关1~6题；一本学生做B 组能力提高13~16题；

第2讲 概 率

[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．

热点一 古典概型和几何概型（见P68《步步高》）

1．古典概型的概率：P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.

2．几何概型的概率：P (A )＝

构成事件A 的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

. 例1 (1)党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展．现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教．将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为( ) A.425 B.25 C.1425 D.4

5

答案 C (2)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，过C ，M ，D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是( )

A.16

B.13

C.12

D.2

3

答案 D

思维升华 (1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，常用到计数原理与排列、组合的相关知识．

(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性．

(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．

跟踪演练1 (1)(2017·山东)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A.518 B.49 C.59 D.7

9

答案 C (2)(2018·咸阳模拟)在区间????－π2，π2上随机选取一个实数x ，则事件“sin x ≥3

2”发生的概率为( ) A ．1 B.14 C.13 D.1

6 答案 D

热点二 条件概率与相互独立事件

1．条件概率：在A 发生的条件下B 发生的概率P (B |A )＝P (AB )

P (A ).

2．相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B )．

例2 (1)(2018·衡水调研)电路从A 到B 上共连接着6个灯泡(如图)，每个灯泡断路的概率是1

3，

整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是( )

A.1027

B.448729

C.100243

D.40

81

答案 B (2)(2018·新余模拟)从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A ＝“第一次取到的是奇数”，B ＝“第二次取到的是奇数”，则P (B |A )等于( ) A.12 B.25 C.310 D.1

5

答案 A 跟踪演练2 (1)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为1

5，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二

次闭合后出现红灯的概率为( ) A.110 B.15 C.25 D.1

2

答案 C

(2)如图，ABCD 是以O 为圆心、半径为2的圆的内接正方形，EFGH 是正方形ABCD 的内接

正方形，且E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点．将一枚针随机掷到圆O 内，用M 表示事件“针落在正方形ABCD 内”，用N 表示事件“针落在正方形EFGH 内”，则P (N |M )等于( )

A.1π

B.22

C.12

D.1

4 答案 C 热点三 离散型随机变量的分布列

1．离散型随机变量的分布列的两个性质：(1)p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. 2．独立重复试验、二项分布

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概

率为C k n p k (1－p )

n －k ，k ＝0,1,2，…，n . 一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的

概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k q

n －k ，其中0

4．期望的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np .

5．方差公式D (X )＝[x 1－E (X )]2·p 1＋[x 2－E (X )]2·p 2＋…＋[x n －E (X )]2·p n ，标准差为D (X ). 6．方差的性质(1)D (aX ＋b )＝a 2D (X )；(2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．

例3 (2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单

位：瓶)为多少时，Y 的期望达到最大值？

跟踪演练3 (2018·永州模拟)某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A ，B ，C 三类工种，从事这三类工种的人数分别为12 000,6 000,2 000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率)：

已知A ，B ，C 三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元．

(1)求保险公司在该业务所获利润的期望值；(2)现有如下两个方案供企业选择：

方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给发生意外的职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元； 方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支． 请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议．

课外作业：二本学生做A 组专题通关1~6题；一本学生做B 组能力提高13~16题；

第3讲 统计与统计案例

[考情考向分析] 1.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等.2.在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现．

热点一 抽样方法（见P79《步步高》）

1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体数较少．

2．系统抽样特点是将总体平均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．

3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．

例1 (1)某学校在高一新生入学后为了解学生的体质情况，决定从该校的1 000名高一新生中采用系统抽样的方法抽取50名学生进行体质分析，已知样本中第一个号为007号，

则抽取

的第10个学生的编号为()

A．107 B．097 C．207 D．187 答案 D

(2)已知某高级中学高一、高二、高三学生人数分别为880,860,820，现用分层抽样的方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为________．答案43

跟踪演练1(1)(2018·福州检测)为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()

A．简单随机抽样B．按性别分层抽样

C．按年龄段分层抽样D．系统抽样答案 C

(2)(2018·永州模拟)现从已编号(1～50)的50位同学中随机抽取5位了解他们的数学学习状况，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法所选取的5位同学的编号可能是() A．5,10,15,20,25 B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,10,18,26,34 答案 B

热点二用样本估计总体

例2(1)一组数据共有7个数，记得其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为()

A．－11 B．3 C．9 D．17 答案 C

(2)(2018·齐齐哈尔模拟)某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，

样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5，

30].根据频率分布直方图可知，这320名学生中每周的自习时

间不足22.5小时的人数约是()

A．68 B．72 C．76 D．80 答案 B

跟踪演练2(1)为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老

师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是()

A．x甲>x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛

B．x甲>x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛

C．x甲

D．x甲

(2)(2018·大庆质检)下面是追踪调查200个某种电子元件寿命(单位：h)的频率分布直方图，

其中300～400,400～500的两组数据丢失，下列四个说法中有

且只有一个与原数据相符，这个说法是( ) ①寿命在300～400的频数是90； ②寿命在400～500的矩形的面积是0.2； ③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为

150×0.1＋250×0.15＋350×0.45＋450×0.15＋550×0.15； ④寿命超过400 h 的频率为0.3.

A ．①

B ．②

C ．③

D ．④ 答案 B 热点三 统计案例

例3 (2018·广东省省际名校联考)某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表：

数据表明y 与x 之间有较强的线性关系． (1)求y 关于x 的线性回归方程；

(2)该班一名同学的数学成绩为110分，利用(1)中的回归方程，估计该同学的物理成绩； (3)本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？ 答案：线性回归方程为y ^

＝0.8x －6.

课外作业：二本学生做A 组专题通关1~6题；一本学生做B 组能力提高13~16题；

规范答题示例4 离散型随机变量的分布列

典例4 (12分)2015年，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖．以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：

(1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z 相同的概率； (2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一块，其综合指标为n ，记随机变量X ＝m －n ，求X 的分布列及其期望． 跟踪演练4 (2018·全国Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^

＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^

＝99＋17.5t .

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．（见P88《步步高》）

评分细则(1)第(1)问中，列出空气湿度相同的情况给2分；计算概率只要式子正确给2分；

(2)第(2)问中，列出长势等级的给2分，只要结果正确无过程不扣分；计算概率的式子给3分；

分布列正确写出给1分．