高中数学论文集：用导数求几类参数问题
用导数法求几类参数问题
何大柯 （浙江奉化武岭中学 315502）
导数及其思想方法是中学数学新增的内容，是中学数学知识的一个重要交汇点。纵观近几年的高考试题和各地的模拟试题，运用导数法求参数范围，是高考命题一个的新趋向，以此考查学生的函数方程、分类讨论和数形结合思想、代数推理能力、不等式技能及创新意识。下面举例探讨几类参数问题的导数求法，以展示导数的工具作用。
一、与函数单调性有关的参数问题
例1、（2004全国Ⅰ，文19）
已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围.
解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f
则0)(≤'x f （R x ∈）时，)(x f 是R 上是减函数
)(01632R x x ax ∈≤-+ .3012360-≤?≤+=?
所求a 的取值范围是（].3,-∞-
评注：对三次函数求导，利用导函数为二次函数特点、结合二次函数的性质得以解决，体现了导数处理函数单调性的优点。
我们把问题一般化：
三次函数 f(x)=ax 3+bx 2+cx+d （a ≠0）?f '(x)=3ax 2+2bx+c
①若f(x)在R 上是增函数?f '(x)≥0，则a>0,且Δ≤0;
②若f(x)在R 上是减函数?f '(x)≤0，则a<0,且Δ≤0.
例2、(2005全国卷Ⅱ，理22) 已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ 2x -2ax ）x e
(1)当X 为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；
(2)设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a 的取值范围.
解：（I ）x e a ax x x x f )222()(2--+=' 令,0)(='x f
即2x +2(1－a )x －2a =0 得 11,112221++-=+--=a a x a a x 当x 变化时，()f x 、'()f x 的变化如下表
12当a ≥0时，1x <－1,2x )(,0x f ≥在()21,x x 上为减函数，在),(2+∞x 上为增函数，而当0
所以当112++-=a a x 时，)(x f 取得最小值
（II ）当a ≥0时，)(x f 在[]1,1-上为单调函数的充要条件是12≥x 即1112≥++-a a ，解得a 4
3≥ 于是)(x f 在[-1，1]上为单调函数的充要条件是4
3≥a 评注：此题关键在于利用导数对极值点大小的判断，抓住极值点与所给区间的位置关系，数形结合，把问题解决。
二、与函数极值有关的参数问题
例3、（2004湖北文22）
已知c bx x x g b x x f c b ++=+=>->2)()(,0,1的图象与函数函数的图象相切。
（Ⅰ）求b 与c 的关系式（用c 表示b ）；
（Ⅱ）设函数),()()()(+∞-∞=在x g x f x F 内有极值点，求c 的取值范围 解：（Ⅰ）易求 .21c b +-=
（Ⅱ）.43)(.
)(2)()()(22223c b bx x x F bc x c b bx x x g x f x F +++='++++==
当且仅当.),()(,0上有极值点在函数时+∞-∞>?x F
24(3)0,33.12,123123.
074374 3.
(0,743)(743,).
b c b c b c b c c c c c c c c ?=-><->=-+∴-+<-+><<->+-?++∞由得或或解之得或故所求的取值范围是 评注：三次函数 f(x)=ax 3+bx 2+cx+d （a ≠0）?f '(x)=3ax 2+2bx+c
<1>若f(x)在R 上无极值点?Δ≤0
<2>若f(x)在R 上有极值点?Δ>0
三、与方程有关的参数问题
例4、若关于x 的方程x 3-3x=a 有3个互不相等的实根，求实数a 的取值范围。 解：设f(x)= x 3-3x,y=a,∵=')(x f 3x 2-3=3(x-1)(x+1)
∴f(x)在（－∞，－1）上单调递增，在[-1,1]上单调
递减，(1,+∞)单调递增
∴[f(x)] 极小值＝－2，[f(x)] 极大值＝2
要使直线y=a 与函数f(x)的图像有3个相异的交点，
只需a ∈(-2,2)
评注：通过构造函数，用导数求函数的极值，数形结合把问题巧妙解决。
例5、( 2005全国卷III ，理22) 已知函数()2472x f x x
-=-，[]01x ∈， （Ⅰ）求()f x 的单调区间和值域；
（Ⅱ）设1a ≥，函数g(x)=x 3-3a 2x-2a, []01x ∈，，若对于任意[]101x ∈，，总存在
[]001x ∈，，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范围
解：（Ⅰ）易求 ()f x 的值域为[]43--，
（Ⅱ）对函数()g x 求导，得 ()()223g x x a =-，
因此1a ≥，当()01x ∈，时， ()()2310g x a -≤，
因此当()01x ∈，时，()g x 为减函数，从而 ()()()10g x g g ∈????，
又()21123g a a =--，()02g a =-，即当[]1x ∈0，时有
()21232g x a a a ??∈---??，
任给[]11x ∈0，，()[]143f x ∈--，，存在[]001x ∈，使得()()01g x f x =，则
[]2
123243a a a ??---?--??，，，即212341232a a a ?--≤-?-≥-?（）（） 解1（）式得 1a ≥或53a ≤-，解2（）式得 32
a ≤，又1a ≥， 故：a 的取值范围为312
a ≤≤ 评注：运用导数工具，理解方程内涵，自觉转化为集合观点思考问题、解决问题。
四、与不等式有关的参数问题
例6、(05浙江五校)
若存在正实数x ，使不等式
)1ln(1ln x
kx x x +>+成立，求实数k 的取值范围。 解：要使不等式)1ln(1ln x kx x x +>+成立，即 lnk 1(ln 2x x +-, 当0 x x +1ln + ln(1+x)- lnx 取最大值为ln2, ∴ln2≥lnk 时，存在正实数x ，使原不等式成立，即0 变式：对任意的正实数x ，使不等式 )1ln(1ln x kx x x +≤+恒成立，求实数k 的取值范围。 简析：lnk ≥x x +1ln + ln(1+x)- lnx 恒成立，lnk ≥y max = ln2,∴k ≥2 评注：对于不等式中存在性问题和恒成立问题向来是数学的难点之一，我们通过变量分离（或二次方程根的分布）、构造函数运用导数求出函数的最值，从而把问题巧妙解决 综上可知，运用导数法求有关的参数问题，体现了导数的工具性、现代性，使中学数学解题增添了新的活力。强化导数的应用意识，善于用等价转化、分类讨论、数形结合等数学思想方法，不断提高解题的综合能力。