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内蒙古赤峰二中平面向量及其应用经典例题百度文库

一、多选题

1．下列说法中错误的为（）

A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

5,3??-+∞ ???

B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ??

???

不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a

D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°

2．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ?=

D ．()

4BC a b ⊥+

3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >

D ．

sin sin sin +=+a b c

A B C

4．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（） A ．a 与b 的夹角为钝角

B ．向量a 在b

C ．2m +n =4

D ．mn 的最大值为2

5．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB += D ．0PA PB PC ++=

6．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两

解的是（）

A ．10,45,70b A C ==?=?

B ．45,48,60b c B ===?

C ．14,16,45a b A ===?

D ．7,5,80a b A ===? 7．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（）

A ．2

AB AB AC B ．2

BC CB AC C ．2AC

AB BD

D ．2

BA BD

BC BD

8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（） A ．8+33 B ．83161+

C ．8﹣33

D ．83161-

9．ABC 中，4a =，5b =，面积53S =，则边c =（） A ．21 B ．61

C ．41

D ．25

10．给出下面四个命题，其中是真命题的是（）

A ．0AB

BA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=

11．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（）

A ．A

B D

C =

B ．AB D

C =

C ．AB DC >

D ．BC AD ∥

12．对于ABC ?，有如下判断，其中正确的判断是（） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ?为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >

C ．若8a =，10c =，60B ?=，则符合条件的ABC ?有两个

D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ?是钝角三角形 13．下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等

B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量

C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >

D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同14．题目文件丢失！

15．题目文件丢失！

二、平面向量及其应用选择题

16．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且1

MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2?

?-- ??

C ．31,2?? ???

D ．(8，－1)

17．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且

0aGA bGB cGC ++

=.则BAC ∠等于（） A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

18．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（）

A ．a 与b 的夹角为αβ-

B ．a b ?的最大值为1

C ．2a b +≤

D ．()()

a b a b +⊥-

19．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ?的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ?的形状为（） A ．不确定 B ．直角三角形 C ．钝角三角形

D ．等边三角形

20．设θ为两个非零向量,a b →→

的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →

→

-的最小值为1，则（）

A ．若θ确定，则||a →

唯一确定 B ．若θ确定，则||b →

唯一确定 C ．若||a →

确定，则θ唯一确定

D ．若||b →

确定，则θ唯一确定

21．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -=

B ．1a b ?=

C ．a b =

D ．0a b ?=

22．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形

ABCD 的形状是( )

A ．矩形

B ．梯形

C ．平行四边形

D ．以上都不对

23．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正．．确．的是（） A ．2

3BG BE = B ．2CG GF = C ．1

DG AG =

D ．0GA GB GC ++=

24．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230

OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ?的形状是（）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．不能确定

25．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若

()2

2S a b c +=+，则cos A 等于（）

A ．

B ．45

C ．

1517

D ．1517

26．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2a

B c

=，则ABC ?一定是（） A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

27．在ABC 中，()

BC BA AC AC +?=，则ABC 的形状一定是（） A ．等边三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．直角三角形

28．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在

OC 方向上的投影相同，则a =（）

A ．12

B ．

C ．-2

D ．2

29．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 30．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，

则①AD ＝－b －

12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋1

b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

31．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在

实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（）

A ．1-

B ．12

C ．2-

D ．32

32．已知点O 是ABC ?内一点，满足2OA OB mOC +=，4

AOB ABC

S S ??=，则实数m 为（） A ．2

B ．-2

C ．4

D ．-4

33．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点

C ，

D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（）

A ．10,2?? ???

B ．10,3?? ???

C ．1,02??- ???

D ．1,03??- ???

34．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（）

A 3

B 2

C 31

- D 21 35．已知20a b =≠，且关于x 的方程2

0x a x a b ++?=有实根，则a 与b 的夹角的

取值范围是( ) A ．06

,π??????

B ．,3ππ??

???

C ．2,33ππ???

???

D ．,6ππ??

???

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．ACD 【分析】

由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】

对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，

且(时与的夹角为0)，所以且，故A 错误；

解析：ACD 【分析】

由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】

对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ?+=?++

142350λλλ=+++=+>，

且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以5

λ>-

且0λ≠，故A 错误；对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；

对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误；对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =?，则2

3()||||2

a a

b a a b a ?+=+?=

， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+?+=，

故2

3||()32cos ,2

||||3||a a a b a a b a a b a a ?+<+>===

+?∣，而向量的夹角范围为[]0,180??，得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】

本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.

2．ABD 【分析】 A.

根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据，，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长

解析：ABD

A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；

B.根据2AB a =，

2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1

a AB

b BC =

=，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ?=-，利用数量积运算判断. 【详解】

A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；

B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；

C. 因为1,2a AB b BC =

=，所以11

22cos120122

a b BC AB ?=?=????=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ?=-，所以()()

444440BC a b b a b a b b ?+=?+=?+=-+=，所以()

4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】

本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

3．ACD 【分析】

根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】

对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确；对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误；对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角

解析：ACD 【分析】

根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】

对于A ，在ABC ，由正弦定理得

2sin sin sin a b c

R A B C

===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；

对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2

A B π

+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错

误；

对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以

A B >，故C 正确；

对于D ，由正弦定理得

2sin sin sin a b c

R A B C

===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C

R B C B C ++==++，故D 正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 4．CD

【分析】

对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；

对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】对于A ，向量(

解析：CD 【分析】

对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】

对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ?=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；

对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为2

a b b

，错误；

对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；

对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12=

(2m ?n )12

≤ (

22m n +)2

=2，即mn 的最大值为2，正确；故选：CD. 【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.

5．CD 【分析】

转化为，移项运算即得解【详解】

由题意：故即 , 故选：CD 【点睛】

本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

解析：CD 【分析】

转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解【详解】

由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=

0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=

故选：CD 【点睛】

本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

6．BC 【分析】

根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】

对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为，且，所以角有两

解析：BC 【分析】

根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】

对于选项A 中：由45,70A C =?=?，所以18065B A C =--=?，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；

对于选项B 中：因为csin sin 115B C b =

=<，且c b >，所以角C 有两解；

对于选项C 中：因为sin sin 17

b A B a =

=<，且b a >，所以角B 有两解；

对于选项D 中：因为sin sin 1b A

B a

=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】

本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

7．AD

【分析】

根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】

对于A ，，故A 正确；对于B ，，故B 错误；对于C ，,故C 错误；对于D ，, ,故D 正确.

故选：AD. 【点睛】本题考查三角形

解析：AD 【分析】

根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，2

cos AB AB AC AB AC A AB AC

AB AC

，故A 正确；

对于B ，

cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB AC

CB AC

，

故B 错误；对于C ，

cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BD

,故C 错误；对于D ，2

cos BD BA BD

BA BD ABD BA BD

BD BA

cos BD BC BD

BC BD CBD BC BD

BD BC

,故D 正确.

故选：AD. 【点睛】

本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.

8．AC 【分析】

利用余弦定理：即可求解. 【详解】

在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：，即，解得. 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基

解析：AC 【分析】

利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】

在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，

即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.

9．AB 【分析】

在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】

中，因为，，面积，所以，所以，解得或，

当时，由余弦定理得：，解得，

当时，由余弦定理得：，解得

所以或

解析：AB 【分析】

在ABC 中，根据4a =，5b =，由1

sin 2

ABC

ab C =

=60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.

【详解】

ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC

所以1

sin 2

ABC

ab C =

所以sin 2

C =

，解得60C =或120C =，当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，

解得c =

当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，

解得c =

所以c =c =故选：AB 【点睛】

本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

10．AB 【解析】【分析】

根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】因为，正确；

，由向量加法知正确；，不满足加法运算法则，错误；，所以错误. 故选：A B. 【点睛】

本题主要考查了向量加法的

解析：AB 【解析】【分析】

根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】

因为0

AB BA AB AB，正确；

AB BC AC，由向量加法知正确；

+=，不满足加法运算法则，错误；

AB AC BC

+=，所以00

AB AB

+=错误.

故选：A B.

【点睛】

本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.

11．BD

【分析】

根据向量的模及共线向量的定义解答即可；

【详解】

解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；

与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；

向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故

解析：BD

【分析】

根据向量的模及共线向量的定义解答即可；

【详解】

解：AB与DC显然方向不相同，故不是相等向量，故A错误；

=，故B正确；

AB与DC表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC

向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C错误；

等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以//

BC AD，故D正确；

故选：BD.

【点睛】

本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.

12．BD

【分析】

对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，根据正弦定理去判断即可．【详解】

在中，

对于A，若，则或，

当A＝

解析：BD

【分析】

对于A，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B，根据正弦定理即可判断证明；对于

C ，利用余弦定理即可得解；对于

D ，根据正弦定理去判断即可．【详解】在ABC ?中，

对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形；当2

A B π

时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，

对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B

=，即sin sin A B >成立．故B 正确；

对于C ，由余弦定理可得：b C 错误；对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，

∴222

cos 02a b c C ab

+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ?是钝角三角形，故D 正确；

综上，正确的判断为选项B 和D ．故选：BD ．【点睛】

本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．

13．AD 【分析】

利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】

单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据

解析：AD 【分析】

利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】

单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据相等向量的概念知，D 正确. 故选：AD 【点睛】

本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．

14．无

15．无

二、平面向量及其应用选择题

16．B

【分析】

由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.

【详解】

解：设P(x，y)，则MP＝ (x－3，y＋2)，而1

MN＝

(－8,1)＝

- ?

，

所以

-=-

，解得

，即

，

故选B.

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.

17．D

【分析】

由点G是ABC的重心可得0

GA GB GC

++=,即GA GB GC

=--,代入

aGA bGB cGC

++=中可得

()0

b a GB

c a GC

-+-

,由,

GB GC不共线可得

b a

,即可求得,,

a b c的关系,进而利用余弦定理求解即可

【详解】

因为点G是ABC的重心,所以0

GA GB GC

++=,

所以GA GB GC

=--,

代入

aGA bGB cGC

++=可得

()0

b a GB

c a GC

-+-=

因为,

GB GC不共线,所以

b a

c a

即b a c =???=??,

所以222cos 2b c a BAC bc +-∠==

,故30BAC ?∠=, 故选:D 【点睛】

本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角 18．D 【分析】

由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ?，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算

()()a b a b +?-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.

【详解】

()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则2cos 1a α==，同理可得

1b =，

a 与

b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈.

对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且

()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；

对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，

()cos cos 1,1a b a b θθ?=?=∈-，B 选项错误；

对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选项错误；对于D 选项，(

)()

220a b a b a b a b +?-=-=-=，所以，()()

a b a b +⊥-，D

选项正确. 故选：D. 【点睛】

本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 19．D 【分析】

先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】

因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin 0B A -=，所以A B =，

又因为2B A C B π=+=-，所以3

B π

=，

所以3

A B π

==，所以ABC 是等边三角形.

故选：D. 【点睛】

本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 20．B 【分析】

||2b ta b a bt a t -=-?+，令2

()2f t b a bt a t =-?+，易得2cos b a b t a a

?==

时，222min 2

44()()14a b a b f t a

-?==，即222

||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】

2222||2b ta b a bt a t -=-?+，令222()2f t b a bt a t =-?+，因为t R ∈，

所以当2cos b a b t a a

?==时，222min 2

44()()4a b a b f t a -?=，又||b t a →→-的最小值为1，所以2

||b ta -的最小值也为1，即222

min

44()()14a b a b f t a

-?==，222||cos 1b b θ-=，

所以2

||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ

=，故若θ确定，则||b →

唯一确定. 故选：B 【点睛】

本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 21．C 【分析】取,a b 夹角为3

，计算排除ABD ，得到答案. 【详解】取,a b 夹角为3π

，则0a b -≠，12

a b ?=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C . 【点睛】

本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力.

【分析】

计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案. 【详解】

2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=.

设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形. 故选：B .

【点睛】

本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力. 23．C 【分析】

由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案．【详解】

ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，可得G

为重心，则23BG BE =，2CG GF =，1

DG GA =且0GA GB GC ++=

故选：C 【点睛】

本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题． 24．C 【分析】

根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果. 【详解】

由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是

123PP P ?的外心，又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ?的重心，所以点O 既是123PP P ?的外心，又是123PP P ?的重心，故可判断该三角形为等边三角形，故选：C 【点睛】

本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题.

【分析】

由2

()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：

sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可．【详解】

解：22()S a b c +=+，

2222S b c a bc ∴=+-+， ∴

sin 2cos 22

bc A bc A bc =+，所以sin 4cos 4A A -=，因为22sin cos 1A A +=．解得15

cos 17

A =-

或cos 1A =-．因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．

15cos 17

A ∴=-

．故选：D ．【点睛】

本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．A 【分析】

利用余弦定理化角为边，得出c b ABC =，是等腰三角形．【详解】

ABC ?中，c cos 2a B c =，由余弦定理得，222

2a c b cosB ac

+-=

， ∴222

22a a c b c ac +-= 220c b ∴-= ，

∴c b ABC =，是等腰三角形．【点睛】

本题考查余弦定理的应用问题，是基础题． 27．D 【分析】

先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状. 【详解】

因为()()()

22BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +?=+?-=-=，所以

222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.

【点睛】

判断三角形形状的方法

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．

28．A 【分析】

根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解. 【详解】

由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点，根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则

OA OC OB OC OC

??=

即OA OC OB OC ?=?，可得4152415a +?=?-?，解得12

a =-. 故选：A. 【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 29．D 【分析】

根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．【详解】

∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得2

a b

a b +=-，即2222

||2||2a b a b a b a b ++?=+-? ，

则0a b ?=，由2a b b +=，

平方得2

||24||a b a b b ++?=，得2

3a b =，即3a b =则2a b b +=，

22|3|a b a a a b b +?=+?=（），

则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||3

23a b a b cos a b a b b

θ+?===+??（），，

平面向量经典例题讲解

平面向量经典例题讲解讲课时间:___________姓名：___________课时：___________讲课教师：___________ 一、选择题（题型注释） 1．空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r , OC c =u u u r r ,点M 在OA 上，且MA OM 2=，N 为BC 的中点，则MN u u u u r =（） A C 【答案】B 【解析】试题分析：因为 N 为 BC 的中点，则，，选 B 考点：向量加法、减法、数乘的几何意义； 2．已知平面向量a ，b 满足||1= a ，||2= b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（）（A （B （C （D 【答案】D 【解析】试题分析：2()()00a b a a b a a a b +⊥∴+?=∴+?=r r r r r r r r r Q ，||1=a ，||2=b ，设夹角为θ，则考点：本题考查向量数量积的运算点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到cos θ的值，求出角 3．若OA u u r 、 OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为60u u r 【答案】D 【解析】试题分析：ΘOA u u r 、OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为 60° 6= r 考点:向量的数量积. 4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F , 若AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则AF =u u u r ( ) A.1142a b +r r B.1233a b +r r C.1124a b +r r D.2133 a b +r r 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知，AEB ?与FED ?相似，且相似比为3:1，所以由向量加减法的平行四边形法则可知，,AB AD a AD AB b +=-=u u u r u u u r r u u u r u u u r r ，解得，故D 正确。考点：平面向量的加减法 5．在边长为1的等边ABC ?中，,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =u u u r u u u r ，2 AE EC =u u u r u u u r 则AD BE ?=u u u r u u u r （） A ．【答案】A 【解析】试题分析：由已知,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =u u u r u u u r ， 2AE EC =u u u r u u u r 则D 是BC 的中轴点，E 为AC 的三等分点，以D 为坐标原点，DA 所在直线为y 轴，BC 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，，设),(y x E ，由EC AE =2可得：

平面向量经典习题_提高篇

平面向量： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－ 2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线， ∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与 c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116

C.6 11D. 11 6 [答案] C [解析] a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a＋b与a－λb垂直， ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ ＝6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、 b间的夹角为( ) A．150° B．120° C．60° D．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD中， ∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形， ∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.

(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3 2，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.12 B.1 3 C.1 4 D.15 [答案] A [解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2 －2a ·b ＝34， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，设|b |＝x ，则1＋x 2 －x ＝34，∵x >0，∴x ＝1 2 . 4. 若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] B [解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形． 5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示 c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学第八章平面向量第一讲向量的概念与线性运算一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法：同一个图中画出 a b a b r r r r 、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a 。二．【典例解析】题型一：向量及与向量相关的基本概念概念例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

高考数学专题复习第二轮第18讲平面向量与解析几何

第１８讲平面向量与解析几何在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。二、例题解析例1、（2000年全国高考题）椭圆 14 9 2 2 =+ y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ） 21PF F ∠ 为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?=- -?- （ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：5 5cos 5 5< <- θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5 5 3,553- ）点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2 =4上的一动点，求22 PA PB +的最大值和最小值。分析：因为O 为AB 的中点，所以2,P A P B P O += 故可利用向量把问题转化为求向量O P 的最值。解：设已知圆的圆心为C ，由已知可得：{1,0},{1,0}O A O B =-=

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则：） AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 ) （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。

平面向量典型题型大全

平面向量题型1.基本概念判断正误：例2 （1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r ____；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r _____ （2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r ＝_____ （3）若O 是ABC V 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 的形状为_ 9．与向量a =（12，5）平行的单位向量为（） A ．125,1313??- ??? B ．12 5,1313??-- ??? C ．125125,,13131313????-- ? ?????或 D ．125125,,13131313???? -- ? ????? 或 10．如图，D 、E 、F 分别是?ABC 边AB 、BC 、CA 上的中点，则下列等式中成立的有_________： ①+-=u u u r u u u r u u u r FD DA AF 0 ②+-=u u u r u u u r u u u r FD DE EF 0 ③+-=u u u r u u u r u u u r DE DA BE 0 ④+-=u u u r u u u r u u u r AD BE AF 0 11.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r ，则（） A.0PA PB +=u u u r u u u r r B.0PC PA +=u u u r u u u r r C.0PB PC +=u u u r u u u r r D.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 12.已知点(3,1)A ，(0,0)B ，(3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=u u u r u u u r ，其中λ等于（） A.2 B. 1 2 C.-3 D.－13 13.设向量a=(1, －3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为 ( ) A.(2,6) B.(－2,6) C.(2,－6) D.(－2,－6) 14.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ，则 x = ，y = . 图2 15、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 题型3平面向量基本定理 F E C B A

高中数学典型例题解析平面向量与空间向量

高中数学典型例题分析第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。记作a -b 。 7.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一

平面向量典型例题67629

平面向量经典例题： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ， 3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝( 3，1)＋(0,2)＝( 3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝ 3k ＋3 3＝0，∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－ 611 B ．－116 C.611 D.11 6 [答案] C [解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直， ∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611 . 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD 中， ∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，

高中数学经典解题技巧和方法：平面向量

高中数学经典解题技巧：平面向量【编者按】平面向量是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下平面向量的经典解题技巧。首先，解答平面向量这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景。（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。（3）理解向量的几何意义。 2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。 3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义。（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 5. 向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。

平面向量经典习题-提高篇61861

平面向量： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－1 3 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线， ∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116 C.611 D.116 [答案] C [解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)，

∵a＋b与a－λb垂直， ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为( ) A．150° B．120° C．60° D．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD中， ∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形， ∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B. (理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝ 3 2 ，a与b的夹角为60°，则|b|＝( ) A.1 2 B. 1 3 C.1 4 D. 1 5 [答案] A [解析] ∵|a－b|＝ 3 2 ，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝ 3 4 ，

平面向量基本定理及经典例题

平面向量基本定理一．教学目标：了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底，则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为

平面向量易错题解析

平面向量易错题解析 1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？ 2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用2 2 ||→→ =a a ；22||y x a +=） 3.你知道解决向量问题有哪两种途径？（①向量运算；②向量的坐标运算） 4.你弄清“02121=+?⊥→ → y y x x b a ”与“0//1221=-?→ → y x y x b a ”了吗？ [问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？（1）在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=?→ →b a ，不能推出→ →=0b . （2）已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→ →→→→→=??=?c a c b b a . （3）在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数量积中)()(→ → → → → → ??≠??c b a c b a ，这是因为左边是与→ c 共线的向量，而右边是与→ a 共线的向量. 5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1.向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线? AB AC 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，j 为基底，则平面内的任一向量可表示为 (),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

高中数学典型例题解析汇报平面向量与空间向量

实用文档文案大全高中数学典型例题第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算一、、疑难知识导析 1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量” 向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量； 2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点； 3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆； 4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的； 5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。二知识导学 1.模（长度）：向量AB的大小，记作|AB|。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a?长度相等，方向相反的向量叫做a?的相反向量。记作-a?。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。已知a?，b?。在平面内任取一点，作AB=a?，BC=b，则向量AC 叫做a与b?的和。记作a?+b?。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。已知a?，b?。在平面内任取一点O，作OA=a?，OB=b?，则向量BA 叫做a?与b?的差。记作a?-b?。 7.实数与向量的积：（1）定义：实数λ与向量a?的积是一个向量，记作λa?，并规定： ①λa?的长度|λa?|=|λ|·|a?|； ②当λ＞0时，λa?的方向与a?的方向相同；当λ＜0时，λa?的方向与a?的方向相反；当λ＝0时，λa?=0? （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa?)=(λμ) a?

平面向量典型例题

平面向量经典例题： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0，∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116 C.611 D.116 [答案] C [解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直， ∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11. 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD 中， ∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B. (理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3 2 ，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.12 B.13 C.14 D.15 [答案] A [解析] ∵|a －b |＝ 32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34 ，∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝1 2 .

平面向量典型例题

平面向量经典例题: 1.已知向量a＝(1,2),b＝(2,0),若向量λa＋b与向量c＝(1,－2)共线,则实数λ等于( ) A.－2 B.－1 3 C.－1 D.－2 3 [答案] C [解析] λa＋b＝(λ,2λ)＋(2,0)＝(2＋λ,2λ),∵λa＋b与c共线,∴－2(2＋λ)－2λ＝0,∴λ＝－1、 2.(文)已知向量a＝(3,1),b＝(0,1),c＝(k,3),若a＋2b与c垂直,则k＝( ) A.－1 B.－ 3 C.－3 D.1 [答案] C [解析] a＋2b＝(3,1)＋(0,2)＝(3,3), ∵a＋2b与c垂直,∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0,∴k＝－3、 (理)已知a＝(1,2),b＝(3,－1),且a＋b与a－λb互相垂直,则实数λ的值为( ) A.－6 11 B.－ 11 6 C、6 11 D、 11 6 [答案] C [解析] a＋b＝(4,1),a－λb＝(1－3λ,2＋λ), ∵a＋b与a－λb垂直, ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0,∴λ＝6 11、 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|,a＋b＝c,则向量a、b间的夹角为( ) A.150° B.120° C.60° D.30° [答案] B [解析] 如图,在?ABCD中, ∵|a|＝|b|＝|c|,c＝a＋b,∴△ABD为正三角形,∴∠BAD＝60°,∴

〈a ,b 〉＝120°,故选B 、 (理)向量a ,b 满足|a |＝1,|a －b |＝32 ,a 与b 的夹角为60°,则|b |＝( ) A 、1 2 B 、1 3 C 、14 D 、15 [答案] A [解析] ∵|a －b |＝ 32 ,∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝ 34 ,∵|a |＝1,〈a ,b 〉＝60°, 设|b |＝x ,则1＋x 2－x ＝34,∵x >0,∴x ＝1 2、 4. 若AB →·BC →＋AB →2 ＝0,则△ABC 必定就是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 [答案] B [解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0,∴AB →⊥AC →, ∴AB ⊥AC ,∴△ABC 为直角三角形. 5. 若向量a ＝(1,1),b ＝(1,－1),c ＝(－2,4),则用a ,b 表示c 为( ) A.－a ＋3b B.a －3b C.3a －b D.－3a ＋b [答案] B [解析] 设c ＝λa ＋μb ,则(－2,4)＝(λ＋μ,λ－μ), ∴?? ? λ＋μ＝－2λ－μ＝4 ,∴?? ? λ＝1μ＝－3 ,∴c ＝a －3b ,故选B 、在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于O ,E 就是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC → ＝ a ,BD →＝ b ,则AF → 等于( ) A 、1 4a ＋1 2b B 、2 3a ＋1 3b C 、12a ＋14 b D 、13a ＋23 b

平面向量典型例题

平面向量经典例题： 1.已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b与向量c＝(1，－2)共线，则实数λ等于() A．－2B．－1 3 C．－1 D．－2 3 [答案] C [解析]λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa＋b与c共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2.(文)已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b与c垂直，则k＝() A．－1 B．－ 3 C．－3 D．1 [答案] C [解析]a＋2b＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a＋2b与c垂直，∴(a＋2b)·c＝3k＋33＝0，∴k＝－3. (理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b与a－λb互相垂直，则实数λ的值为() A．－6 11B．－ 11 6 C.6 11 D. 11 6 [答案] C [解析]a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a＋b与a－λb垂直， ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11. 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为() A．150°B．120° C．60°D．30° [答案] B [解析]如图，在?ABCD中， ∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形，∴∠BAD＝60°，∴ 〈a，b〉＝120°，故选B. (理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝ 3 2，a与b的夹角为60°，则|b|＝() A.1 2 B. 1 3 C.1 4 D. 1 5 [答案] A

高中数学必修平面向量测试试卷典型例题含详细答案

高中数学必修平面向量测试试卷典型例题含详细答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

高中数学平面向量组卷一．选择题（共18小题） 1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度 |×|=||||sinθ，若 =（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（） A．4B．C．6D．2 2．已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣） =（） A．﹣1 B．0C．1D．2 3．已知向量=（1，），=（3，m），若向量，的夹角为，则实数m=（） A．2B．C．0D．﹣ 4．向量，，且∥，则=（）A．B．C．D． 5．如图，在△ABC中，BD=2DC．若，，则=（） A．B．C．D． 6．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（） A．B．C．D． 7．已知点A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O（0，0），若，则的夹角为（） A．B．C．D． 8．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是（） A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形9．已知点G是△ABC的重心，若A=，=3，则||的最小值为（） A．B．C．D．2 10．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量=（） A．﹣B．C．﹣D．

11．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）的值为（） A．B．C．1D．2 12．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）（+﹣2）=0，则 △ABC的形状一定为（） A．等边三角形B．直角三角形C．钝三角形D．等腰三角形13．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（） A．B．C．D． 14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（） A．垂心B．外心C．重心D．内心15．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A．B．C．D． 16．已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为（） A．B．C．D． 17．已知点P为△ABC内一点，且++3=，则△APB，△APC，△BPC的面积之比等于（） A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：3 18．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则= （） A．2B．4C．5D．10 二．解答题（共6小题） 19．如图示，在△ABC中，若A，B两点坐标分别为（2，0），（﹣3，4）点C在AB上，且OC平分∠BOA．（1）求∠AOB的余弦值；（2）求点C的坐标．

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平面向量经典例题： 1. 已知向量 a ＝(1,2)， b ＝ (2,0)，若向量 λa ＋b 与向量 c ＝ (1，－ 2)共线，则实数 λ等于 () 1 A ．－ 2 B ．－ 3 2 C ．－ 1 D ．－ 3 [ 答案 ] C [ 解析 ] λa ＋b ＝( λ，2λ)＋ (2,0)＝(2＋ λ，2λ)，∵ λa ＋ b 与 c 共线，∴－ 2(2＋ λ)－ 2λ＝ 0，∴ λ＝－ 1. 2. (文)已知向量 a ＝ ( 3，1) ，b ＝ (0,1)， c ＝(k ， 3) ，若 a ＋2b 与 c 垂直，则 k ＝( ) A ．－ 1 B ．－ 3 C ．－ 3 D ．1 [ 答案 ] C [ 解析 ] a ＋2b ＝( 3，1)＋ (0,2)＝ ( 3， 3)， ∵a ＋2b 与 c 垂直，∴ (a ＋2b) ·c ＝ 3k ＋ 3 3＝ 0，∴ k ＝－ 3. (理 )已知 a ＝ (1,2)，b ＝(3 ，－ 1)，且 a ＋b 与 a － λb 互相垂直，则实数 λ的值为 ( ) 6 11 A ．－ 11 B ．－ 6 6 11 C.11 D. 6 [ 答案 ] C [ 解析 ] a ＋b ＝ (4,1)， a －λb ＝(1 －3λ，2＋ λ)， ∵a ＋b 与 a － λb 垂直， ∴ ( a ＋ b) ·(a －λb)＝ 4(1－ 3λ)＋ 1×(2＋ λ)＝ 6－11λ＝ 0，∴ λ＝ 6 . 11 3.设非零向量 a 、 b 、 c 满足 |a|＝ |b|＝ |c|，a ＋ b ＝ c ，则向量 a 、 b 间的夹角为 () A ． 150° B ． 120° C ． 60° D ．30° [ 答案 ] B [ 解析 ] 如图，在 ?ABCD 中， ∵ |a|＝ |b|＝ |c|，c ＝ a ＋b ，∴△ ABD 为正三角形，∴∠ BAD ＝60°，∴〈 a ， b 〉＝ 120°，故选 B. (理 )向量 a ， b 满足 |a|＝1， |a － b|＝ 3 ，a 与 b 的夹角为 60°，则 |b|＝() 2 1 1 A. 2 B. 3 1 1 C.4 D.5 [ 答案 ] A [ 解析 ] ∵ |a － b|＝ 3 ，∴ |a|2 ＋ |b|2－ 2a ·b ＝ 3 ，∵ |a|＝1，〈 a ， b 〉＝ 60°， 2 4 设|b|＝ x ，则 1＋x 2－x ＝ 3 1 4 ，∵ x>0，∴ x ＝ . 2

平面向量经典练习题

第五章平面向量第一教时教材：向量目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。过程：一、开场白：课本P93（略）实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。二、提出课题：平面向量 1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。 2．向量的表示方法： 1?几何表示法：点—射线有向线段——具有一定方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长度记作（注意起讫） 2?字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） P95 例用1cm 表示5n mail （海里） 3．模的概念：向量记作：|| 模是可以比较大小的 4．两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。因为零上零下也只是大小之分。例：与是否同一向量？答：不是同一向量。例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。三、向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3．共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。 = = = 例：（P95）略变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（,,）四、小结： A B A(起点) B （终点） a a b c C O B A

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