高二数学复习讲义(11)
——《统计案例》
<知识点>
1、独立性检验
{x 1, x 2}和{y 1, y 2},其样本频数列联表为: 若要推断的论述为H 1:“X 与Y 有关系”,可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系,并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是,由表中的数据算出随机变量K^2的值(即K 的平方) K 2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中n=a+b+c+d 为样本容量,K 2的值越大,说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大。
K 2≤3.841时,X 与Y 无关; K 2>3.841时,X 与Y 有95%可能性有关;K 2>6.635时X 与Y 有99%可能性有关
2、回归分析
回归直线方程bx a y
+=? 其中x
SS SP x x y y x x x n x y x n xy b =---=--=∑∑∑∑∑∑∑2
22)())(()(11, x b y a -=
<练习题>
一、填空题(请把答案填在题中横线上)
1.下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是______.(填序号)
①回归分析和独立性检验没有什么区别;
②回归分析是对两个变量准确关系的分析,而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系;
③回归分析研究两个变量之间的相关关系,独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验;
④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系.
2.工人月工资y (元)依劳动生产率x (千元)变化的回归方程为y ^=50+80x ,则当劳动生
产率提高1000元时,工资提高________元.
3.若线性回归方程中的回归系数b ^=0,则相关系数r =________.
4.为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某校学生中随机地抽取了50
根据表中的数据,得到χ2=50×(13×20-10×7)23×27×20×30
=4.844>3.841,你认为性别与是否喜欢数学课程之间有关的把握有________.
5.已知一个线性回归方程为y ^=1.5x +45,其中x 的取值依次为1,7,5,13,19.则y 为
________.
6.变量x 、y 具有线性相关关系.当x 取值为16,14,12,8时,通过观测得到y 的值分别为11,9,8,5.若在实际问题中,y 最大取值是10,则x 的最大取值不能超过________.
7.对两个变量y 和x 进行线性相关性检验,已知n 是观察值组数,r 是相关系数,且已知:①n =7,r =0.9533;②n =15,r =0.3012;③n =17,r =0.9991;④n =3,r =0.9950,则变量y 和x 具有线性相关关系的是________.(填序号)
8.为考察数学成绩与物理成绩的关系,在高二随机抽取了300名学生,得到下面列联表:
9
设H 0此药的效果与患者的性别有关.这种判断出错的可能性为________.
10.为预测某种产品的回收率y ,需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系,现取了8组观察值.计算知∑i =18x i =52,∑i =18y i =228,∑i =18x 2i =478,∑i =18x i y i =1849,则
y 对x 的回归
方程是____________.
11.某研究小组为了研究中学生的身体发育情况,在某学校随机抽取20名15至16
周岁的男生,将他们的身高和体重制成2×2列联表,根据列联表的数据,可以有______%的把握认为该学校15至16
χ2=n (ad -bc
)2
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d
) 12.今年一轮又一轮的寒潮席卷全国.某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系,随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,数据如下表:
由表中数据算出线性回归方程y ^=b ^x +a ^中的b ^≈-2.气象部门预测下个月的平均气温约
为6 ℃,据此估计,该商场下个月羽绒服的销售量约为________件.
13.(2011年高考广东卷)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位:小时)与当天投篮命中率y 之间的关系:
小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________.
14.某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量
与当天气温,并制作了对照表,由表中数据得线性回归方程y ^=b ^x +a ^,其中b ^=-2.现预测
当气温为-4
二、解答题(15.有研究者欲考察某一高考试题的得分情况是否存在性别差异,统计结果如下:及格的人中男生有290人,女生有100人,不及格的人中男生有160人,女生有350人,试根据这些数据判断得分与性别是否有关系.
16.某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系,
17.冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备,为了检验用这两种设备与生产的产
试作统计分析推断.
18.为了研究三月下旬的平均气温(x)与四月二十号前棉花害虫化蛹高峰日(y)的关系,
试估计2011年四月化蛹高峰日为哪天.
19.炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短,必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x 与冶炼时间
(2)若y 与x 具有线性相关关系,求回归直线方程.
20.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀
已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为27
. (1)请完成上面的列联表;
(2)根据列联表的数据,若按95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人:把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号,试求抽到6或10号的概率.
备课时间:8月15日 上课时间:8月24日 §3.1.1倾斜角与斜率 一、 教学目标: (1)知识与技能:理解直线倾斜角和斜率的概,掌握过两点的直线的斜率公式及其应用. (2)过程与方法:培养学生对数学知识的理解应用能力及转化能力;使学生初步了解数形结合分类讨论思想. (3)情感态度与价值观:从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点,能够从不同角度去分析问题,体会代数与几何结合的数学魅力。 二、教学重难点: (1)教学重点:直线的倾斜角和斜率的概念,过两点的直线的斜率公式; (2)教学难点:斜率概念的学习,过两点的直线的斜率公式。 三:课时计划:1课时 四、教学过程: 学习目标: 1、 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握它们之间的关系; 2、 掌握过两点的直线的斜率计算公式及其简单的应用。 (一)课题导入 前面,我们学习了两点确定一条直线。 问题1:一点能够确定一条直线? 问题2:了加多一个点外,在已知一个点的基础上能不能加上另外一个条件使到它能确定一条直线? 【老师板书】画坐标平面以及一条直线,点出直线上一点,过此点画多条直线。 问题3:这些直线有什么共同点(过同一点,倾斜程度不一样) 如何刻画直线的倾斜程度呢?这就是本节课我们要学习的内容…… (二)讲授新课 1、 直线倾斜角的定义:当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫 做直线l 的倾斜角。 例题:最后在黑板上用尺子依照定义说法比画出倾斜角将直线倾斜角的可能情况显示出来(共四种情况:平行于x 轴,经过一、三象限,垂直于x 轴,经过二、四象限) 注意:(1)直线的向上方向;(2)x 轴的正方向;(3)倾斜角范围是)180,0[??。 练习:下列三个图中所指的角是不是直线的倾斜角? 命制:王露 校对:高一数学组 审核:刘金琼 第三章 第1节 直线的倾斜角与斜率(第1课时)
高二数学竞赛班二试平面几何讲义 第五讲 四点共圆(一) 班级 姓名 一、知识要点: 1. 判定“四点共圆”的方法: (1)若对角互补,则四点共圆; (2)若线段同一侧的两点对线段的张角相等,则四点共圆; (3)圆的割线定理成立,则四点共圆; (4)圆的相交弦定理成立,则四点共圆; 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现,这类问题一般有两种形式:一是以“四点共圆”作为证题的目的,二是以“四点共圆”作为解题的手段,为解决其他问题铺平道路. 二、例题精析: 例1. 在梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB >CD ,K ,M 分别在AD ,BC 上,∠DAM =∠CBK. 求证:∠DMA =∠CKB. (第二届袓冲之杯初中竞赛) A B C D K M ··
例2.给出锐角△ABC,以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M,N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P,Q.求证:M,N,P,Q 四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克) 例3.A、B、C三点共线,O点在直线外,O1,O2,O3分别为△OAB,△OBC, △OCA的外心.求证:O,O1,O2, O3四点共圆. (第27届莫斯科数学奥林匹克) A B C K M N P Q B′ C′ A B C O O O O 1 2 3 ? ?
三、精选习题: 1.⊙O1交⊙O2于A,B两点,射线O1A交⊙O2于C点,射线O2A 交⊙O1于D点.求证:点A是△BCD的内心. 2.△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1,A2;同样得到B1,B2,C1,C2.求证:A1A2=B1B2=C1C2.
讲义:直线与方程 内容讲解: 1、直线的倾斜角和斜率: (1)设直线的倾斜角为α() 0180α≤<,斜率为k ,则tan 2k παα??=≠ ?? ?.当2 π α=时,斜率不存在. (2)当090α≤<时,0k ≥;当90180α<<时,0k <. (3)过111(,)P x y ,222(,)P x y 的直线斜率21 2121 ()y y k x x x x -=≠-. 2、两直线的位置关系: 两条直线111:l y k x b =+,222:l y k x b =+斜率都存在,则: (1)1l ∥2l ?12k k =且12b b ≠; (2)12121l l k k ⊥??=-; (3)1l 与2l 重合?12k k =且12b b = 3、直线方程的形式: (1)点斜式:()00y y k x x -=-(定点,斜率存在) (2)斜截式:y kx b =+(斜率存在,在y 轴上的截距) (3)两点式: 11 21212121 (,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--(两点) (4)一般式:( ) 22 00x y C A B A +B += +≠ (5)截距式: 1x y a b +=(在x 轴上的截距,在y 轴上的截距) 4、直线的交点坐标: 设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=,则: (1)1l 与2l 相交1122A B A B ? ≠;(2)1l ∥2l 111 222 A B C A B C ?=≠;(3)1l 与2l 重合
111 222 A B C A B C ? ==. 5、两点111(,)P x y ,222(,)P x y 间的距离公式2 2 122121()()PP x x y y = -+- 原点()0,0O 与任一点(),x y P 的距离22OP x y = + 6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离002 2 Ax By C d A B ++= + (1)点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax C d A += (2)点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By C d B += (3)点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离2 2 C d A B = + 7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离122 2 C C d A B -= + 8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为 ()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈ 9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称: (1)中心对称:设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称,则12012 022 x x x y y y +?=??? +?=?? (2)轴对称:设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称,则: a 、0B =时,有 122x x C A +=-且12y y =; b 、0A =时,有122y y C B +=-且12x x =
【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了人教版高二数学教案,希望能给大家带来帮助! 一、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点,依据新课程标准要求,确定本节课的教学目标如下: (1知识与技能目标: 1、了解微积分基本定理的含义; 2、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分. (2过程与方法目标:通过直观实例体会用微积分基本定理求定积分的方法. (3情感、态度与价值观目标: 1、学会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,提高理性思维能力; 2、了解微积分的科学价值、文化价值. 3、教学重点、难点 重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:了解微积分基本定理的含义. 二、教学设计 复习:1. 定积分定义: 其中 --积分号, -积分上限, -积分下限, -被积函数, -积分变量, -积分区间
2.定积分的几何意义:一般情况下,定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和,在轴上方的面积取正号,在轴下方的面积去负号. 曲边图形面积: ; 变速运动路程: ; 3.定积分的性质: 性质1 性质2 性质3 性质4 二. 引入新课: 计算 (1 (2 上面用定积分定义及几何意义计算定积分,比较复杂不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的比较一般的方法。 问题: 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t时物体所在位置为S(t, 速度为v(t( ,则物体在时间间隔[a,b]内经过的路程可用速度函数表示为。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S(t在[a,b]上的增量S(b-S(a来表达,即s= = = S(b-S(a 而。 推广: 微积分基本定理:如果函数是上的连续函数的任意一个原函数,则
北辰教育学科老师辅导讲义
V πr 2 h(即πr 2 l) 31πr 2 h 31πh(r 21+r 1r 2+r 2 2) 3 4πR 3 表中l 、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径,R 表示半径。 四.题型解析: 题型1:柱体的体积和表面积 例1.一个长方体全面积是20cm 2,所有棱长的和是24cm ,求长方体的对角线长. 点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。 例2.如图1所示,在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB=5,AD=4,AA 1=3,AB ⊥AD ,∠A 1AB=∠A 1AD= 3 。 (1)求证:顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积。 图1 图2 题型2:柱体的表面积、体积综合问题 例3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2,这个长方体对角线的长是( ) A .2 3 B .3 2 C .6 D . 6
图
图 图图
题型8:球的体积、表面积 例15.已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且2AB BC CA ===,求球的表面积。 点评: 正确应用球的表面积公式,建立平面圆与球的半径之间的关系。 例16.如图所示,球面上有四个点P 、A 、B 、C ,如果PA ,PB ,PC 两两互相垂直,且PA=PB=PC=a ,求这个球的表面积。 点评:本题也可用补形法求解。将P —ABC 补成一个正方体,由对称性可知,正方体内接于球,则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径R= 2 3 a ,下略。
高二 年级 数学 科辅导讲义(第 讲) 学生姓名: 授课教师: 授课时间: 11.23 一、知识点讲解 (1)双曲线的定义:平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于||21F F )的点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意:a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-(||221F F a <)表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线;||221F F a >没有轨迹; (2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:
(3)双曲线的渐近线: ①求双曲线12 2 22=-b y a x 的渐近线,可令其右边的1为0,即得02222=-b y a x ,因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线122 22=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x ; (4)等轴双曲线为2 22t y x =-,其离心率为2 (4)常用结论:(1)双曲线)0,0(12 222 >>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ,过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点,则2ABF ?的周长= (2)设双曲线)0,0(1222 2 >>=-b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ,过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点,则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、例题讲解。 例1、如图,1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心, 以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△AB F 2是等边三角形,则双曲线的离心率为( ) (A )3 (B )5 (C ) 2 5 (D )31+ 例2、设P 为双曲线2 2 112 y x -=上的一点,12F F ,是该双曲线的两个焦点,若12||:||3:2PF PF =,则12PF F △的面积为( ) A . B .12 C. D .
目录 考点一:排列 (2) 题型一、排列数计算 (3) 题型二、排列在实际问题中的应用 (5) 课后综合巩固练习 (6)
考点一:排列 排列:一般地,从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素) 排列数:从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号A m n 表示. 排列数公式:A (1)(2) (1)m n n n n n m =---+,m n +∈N ,,并且m n ≤. 全排列:一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n 个不同元素的一个全排列. n 的阶乘:正整数由1到n 的连乘积,叫作n 的阶乘,用!n 表示.规定:0!1=. 排列组合一些常用方法 1.特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置; 2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏. 3.排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法. 4.捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列. 5.插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空. 6.插板法:n 个相同元素,分成()m m n ≤组,每组至少一个的分组问题——把n 个元素排 成一排,从1n -个空中选1m -个空,各插一个隔板,有1 1m n C --. 7.分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均分成n 堆(组),必须除以n !,如果有m 堆(组)元素个数相等,必须除以m ! 8.错位法:编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当2n =,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题. 实际问题的解题策略 排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径: ①元素分析法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; ②位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;
高二数学必修二复习讲义(九) 一.解答题(每小题5分,共70分) 1. 过点(2,-3),在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 . 2.棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________. 3.动圆2 2 2 2220x y x k k +--+-=的半径的取值范围是__________. 4.如图所示,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧棱PA=a, ,则它的5个面中互相垂直的面有__________对. 5. 过P(0,4)及Q(3,0)两点,且在x 轴上截得的弦长为3的圆的方程是 . 6.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,3cm AB AD ==,12cm AA =, 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ____ cm 3. 7. 若直线y=kx-1 与曲线y =有公共点,则k 的取值范 围是 . 8.已知正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为 33 4,则它的体积为 . 9.把半径为3cm ,中心角为π32 的扇形卷成一个圆锥形容器,这个容器的容积为:__________. 10. 过点(1A , 作圆22 2120x y x ++--=的弦,其中长度为整数的弦共有 条. 11.已知点P 在直线x+2y-1=0上,点Q 在直线x+2y+3=0上,PQ 的中点为0(M x 0)y ,,且002y x >+,则 00 y x 的取值范围为 . 12.设m 、n 是两条不同的直线α,、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是___________(填序号). ①m n m n αβαβ⊥,?,⊥?⊥ ②α∥m n βα,⊥,∥m n β?⊥ ③m n αβα⊥,⊥,∥m n β?⊥ ④m n m n αβαββ⊥,?=,⊥?⊥ ⑤若m 不垂直于α,则m 不可能垂直于α内无数条直线. 13.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是 ___ . 14.设直线系M:xcos θ+ (y-2)sin θ =1(02θ≤≤π),对于下列四个命题: ①存在一个圆与所有直线相交; ②存在一个圆与所有直线不相交; ③存在一个圆与所有直线相切; ④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等. 其中真命题的代号是 ___ .(写出所有真命题的代号) 二.解答题(共90分) 15.如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱AB 、BC 的中点. (1)试判截面MNC 1A 1的形状,并说明理由; (2)证明:平面MNB 1⊥平面BDD 1B 1. 16.在直角坐标系xOy 中,以O 为圆心的圆与直线4x -=相切. (1)求圆O 的方程;(2)圆O 与x 轴相交于A B ,两点,圆内的动点P 使PA PO PB ,,成等比数列,求?的取值范围.
集合基本概念及题型分类学生用讲义 一、基本知识 1.1.1 集合的相关概念 (1) 集合、元素的含义:一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就是这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)。构成集合的每个对象叫做集合的元素。 (2) 元素用小写字母Λ,,,c b a 表示;集合用大写字母Λ,,,C B A 表示。 (3) 不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ。空集是一个特殊又很重要的集合,很多问题的考虑,要注意空集的情况,这是容易忽略的问题,在学习中还要记住常用集合的记法,在今后的学习中使用频率较高,如实数集和整数集的记号,正整数集和自然数集的记号。 (4) 集合的分类: ①按照集合中元素个数的多少,可分为???无限集 有限集集合; ②按照集合中元素形式的不同,可分为? ??点集数集集合; ③集合还可以分为???集 不可列集可列集合。 (5) 元素的性质: ①确定性:集合中的元素是确定的,不能模棱两可。也就是说给定一个集合,那么任何一个元素在不在集合中就确定了。例如,“山东的地级市”构成一个集合,济南、青岛、烟台、临沂在这个集合中,北京、南京……不在这个集合中;“比较大的数”不能构成一个集合,因为组成它的元素是不确定的。 ②互异性:集合中的元素是互不相同的,相同的元素在集合中只能算作一个,也就是说集合中的元素是不重复出现的。例如:good 中的字母构成的集合为},,{d o g ,而不是},,,{d o o g 。集合的三个特性中,互异性往往是我们考虑不周的地方,如含字母的集合中,求出字母的值,要代回原来的集合中检验。 ③无序性:集合中的元素是无次序的,也就是说只要两个集合中的元素相同,这两个集合就相等。例如:},,{},,{},,{a b c c a b c b a ==。 (6) 常见集合的表示 1.1.2 集合与元素的关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种,如果a 是集合A 中的元素,就说a 属于A ,记作A a ∈,a 不是集合A 中的元素,就说a 不属于A ,记作A a ?。 1.1.3 集合的表示法 a) 例举法:把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表,其它元素用省略号表示,并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法 例如:方程062=--x x 的解的集合,可表示为}3,2{-,也可以表示为}2,3{-;又如方程组?? ?=-=+0 2y x y x
高考数学基础知识复习:数列概念 知识清单 1.数列的概念 (1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列; 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,……,序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)记作n a ; 数列的一般形式:1a ,2a ,3a ,……,n a ,……,简记作 {}n a 。 (2)通项公式的定义:如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如,数列①的通项公式是n a = n (n ≤7,n N +∈), 数列②的通项公式是n a = 1 n (n N +∈)。 说明: ①{}n a 表示数列,n a 表示数列中的第n 项,n a = ()f n 表示数列的通项公式; ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如,n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ; ③ 不是每个数列都有通项公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,…… (3)数列的函数特征与图象表示: 序号:1 2 3 4 5 6 项 :4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集N +(或它的有限子集)的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……,()f n ,…….通常用n a 来代替 ()f n ,其图象是一群孤立点。 (4)数列分类:①按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;②按数列项与项之间的大小关系分:单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。 (5)递推公式定义:如果已知数列{}n a 的第1项(或前几项),且任一项n a 与它的前一项1n a -(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 (6) 数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系:1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 课前预习 1.(04 )设数列{}n a 的前n 项和为n S ,n S =2 ) 13(1-n a (对于所有1≥n ),且544=a ,则 1a 的数值是 2.(05,14)设平面有n 条直线)3(≥n ,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不 过同一点.若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数,则)4(f =____________;当4>n 时,=)(n f (用n 表示)。
2020年高二数学教案最新范文格式 教案的设计要合理,重点突出,难点突破,充分体现教师为主导,学生为主体的双主体课堂地位,充分调动学生的积极性,教师合理清晰的引导思路,使学生的数学思维得到培养和提高,教学内容容量与难度适中,符合学情。以下是整理的高二数学教案,可以提供给大家进行参考和借鉴。 高二数学教案范文一:《函数的极值与导数》 一、教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值 2 过程与方法 结合实例,借助函数图形直观感知,并探索函数的极值与导数的关系。 3 情感与价值
感受导数在研究函数性质中一般性和有效性,通过学习让学生体会极值是函数的局部性质,增强学生数形结合的思维意识。 二、重点:利用导数求函数的极值 难点:函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、教学基本流程 回忆函数的单调性与导数的关系,与已有知识的联系 提出问题,激发求知欲 组织学生自主探索,获得函数的极值定义 通过例题和练习,深化提高对函数的极值定义的理解 四、教学过程 〈一〉创设情景,导入新课 1、通过上节课的学习,导数和函数单调性的关系是什么? (提问C类学生回答,A,B类学生做补充) 函数的极值与导数教案2、观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数函数的极值与导数教案 =-4.9t2+6.5t+10的图象,回答以下问题
函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案 函数的极值与导数教案 函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案 (1)当t=a时,高台跳水运动员距水面的高度,那么函数函数的极值与导数教案在t=a处的导数是多少呢? (2)在点t=a附近的图象有什么特点? (3)点t=a附近的导数符号有什么变化规律? 共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t0;当ta时,函数函数的极值与导数教案单调递减, 函数的极值与导数教案0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 函数的极值与导数教案先正后负,且函数的极值与导数教案连续变化,于是h/(a)=0. 3、对于这一事例是这样,对其他的连续函数是不是也有这种性质呢? 二探索研讨 函数的极值与导数教案1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象,回答以下问题:
高二数学辅导讲义(排列组合、二项式定理与概率)07、5、7 排列组合试题从解法上看,大致有以下几种: (1)有附加条件的排列组合问题,大多需用分类讨论的方法; (2)排列与组合的混合型问题,需分步骤,要用乘法原理解决; (3)元素不相邻问题常用插空法,相邻问题常用捆绑法; (4)排除法,将不符合条件的排列或组合剔除掉; (5)穷举法,将符合条件的所有排列或组合一一写出来,或写出一部分发现规律; (6)定序问题“缩倍法”,即若某几个元素必须保持一定的顺序,则可按通常排列后再除以这几个元素的排列数; (7)隔板法,例如:10个相同的小球分给三人,每人至少1个,有多少种方法?可将10个 C种方法。 球排成一排,再用2块“隔板”将它们分成三个部分,有2 9 1、n个人参加某项资格考试,能否通过,有多少种可能的结果? 2、同室四人各写了一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有种 3、某班的10人中恰有班干部和团干部各5名: (1)班干部不全排在一起; (2)任何两名团干部都不相邻; (3)班干部和团干部相间排列。 4、有9个不同的文具盒: (1)将其平均分成三组; (2)将其分成三组,每组个数分别为2,3,4。上述问题各有多少种不同的分法? 5、排一张有8个节目的演出表,其中有3个小品,既不能排在第一个,也不能有两个小品排在一起,有几种排法? 6、一个楼梯共10级台阶,每步走1级或2级,8步走完,一共有多少种走法? 7、20个相同的球分给3个人,允许有人可以不取,但必须分完,有多少种分法? 8、从4名男生和3名女生中选4人参加某座谈会,若这四人中必须既有男生又有女生,则不同选法有 A.140种B.120种C.35种D.34种 9、从1、3、5、7中任取两个数字,从0、2、4、6、8中任取两个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有个(数字答) 10、将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案有() A.12 种 B.24种 C.36种 D.48种 11、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参加比赛,3名主力队员要安排在第
目录 考点一:组合 (2) 题型一、组合数计算 (3) 题型二、组合在实际问题中的应用 (5) 课后综合巩固练习 (6)
考点一:组合 组合:一般地,从n 个不同元素中,任意取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合. 组合数:从n 个不同元素中,任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中,任意取出m 个元素的组合数,用符号C m n 表示. 组合数公式: (1)(2)(1)!C !!()! m n n n n n m n m m n m ---+== -,,m n + ∈N ,并且m n ≤. 组合数的两个性质:性质1:C C m n m n n -=;性质2:1 1C C C m m m n n n -+=+.(规定0C 1n =) 排列组合一些常用方法特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置; 分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏. 排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法. 捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列. 插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空. 插板法:n 个相同元素,分成()m m n ≤组,每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一 排,从1n -个空中选1m -个空,各插一个隔板,有11m n C --. 分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均分成n 堆(组),必须除以n !,如果有m 堆(组)元素个数相等,必须除以m ! 错位法:编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当2n =,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题. 实际问题的解题策略 排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径: ①元素分析法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; ②位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;
高二数学复习讲义(1) ——《常用逻辑用语》 <知识点> 1. 四种命题,(原命题、否命题、逆命题、逆否命题) (1)四种命题的关系, (2)等价关系(互为逆否命题的等价性) (a )原命题与其逆否命题同真、同假。(b )否命题与逆命题同真、同假。 2. 充分条件、必要条件、充要条件 (1)定义:若p 成立,则q 成立,即q p ?时,p 是q 的充分条件。同时q 是p 的必要条件。 若p 成立,则q 成立,且q 成立,则p 成立 ,即q p ?且p q ?,则p 与q 互为充要条件。 (2)判断方法: (i )定义法, (ii )集合法:设使p 成立的条件组成的集合是A ,使q 成立的条件组成的集合为B ,若B A ? 则p 是q 的充分条件。同时q 是p 的必要条件。 若A=B ,则p 与q 互为充要条件。 (iii )命题法:假设命题:“若p 则q ”。当原命题为真时,p 是q 的充分条件。 当其逆命题也为真时,p 与q 互为充要条件。 注意:充分条件与充分非必要条件的区别: 用集合法判断看,前者:集合A 是集合B 的子集;后者:集合A 是集合B 的真子集。 3. 全称命题、特称命题(含有全称量词的命题叫全称命题,含有存在量词的命题叫特称命题) (1)关系:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题。 4. 逻辑连结词“或”,“且”,“非”。 (1)构造复合命题的方式:简单命题+逻辑连结词(或、且、非)+简单命题。
注意:“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念:前者只否定结论,后者结论与条件共同否定。 <练习题> 一、填空题 1.命题:“若ab =0,则a =0或b =0”的逆否命题是________. 2.????? x 1>3x 2>3,是??? x 1+x 2>6,x 1x 2>9 成立的________条件. 3.命题“若x 2≥1,则x ≥1或x ≤-1”的逆否命题是________. 4.下列四个命题中,是真命题的序号是________. ①“若x +y =0,则x ,y 互为相反数”的否命题;②“若a >b ,则a 2>b 2”的逆否命题;③“若x ≤-3,则x 2-x -6>0”的否命题;④“对顶角相等”的逆命题. 5.下列命题是真命题的是________(填序号). ①?x ∈R ,x 2+x +1<0;②?x ∈R ,x 2+x +1>0;③?x ∈Z ,x 2=2;④?x ∈R ,x 2=2. 6.设M 、N 是两个集合,则“M ∪N ≠?”是“M ∩N ≠?”的________条件. 7.“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的________条件. 8.已知p :-4
高二数学复习讲义(7) ——《框图》 <知识点> 1、程序框图基本概念: 一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。 画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。 2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。 3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。 4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。 5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。 三)、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。 顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A框和B框是依次执行的,只有在执行完A 框指定的操作后,才能接着执行B框所指定的操作。 2、条件结构: 条件结构是指在算法中通过对条件的判断 根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立,只能执行A框或B框之一,不可能同时执行A框和B框,也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。 3、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类:(1)、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件P成立时,执行A框,A框执行完毕后,再判断条件P是否成立,如果仍然成立,再执行A框,如此反复执行A框,直到某一次条件P不成立为止,此时不再执行A框,离开循环结构。 (2)、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件P是否成立,如果P仍然不成立,则继续执行A框,直到某一次给定的条件P成立为止,此时不再执行A框,离开循环结构。 当型循环结构直到型循环结构 注意:1循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。因此,循环结构中一定包含条件结构,但不允许“死循环”。 2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。
第十八章组合 一、方法与例题 1.抽屉原理。 例1 设整数n≥4,a1,a2,…,a n是区间(0,2n)内n个不同的整数,证明:存在集合{a1,a2,…,a n}的一个子集,它的所有元素之和能被2n 整除。 [证明] (1)若n {a1,a2,…,a n},则n个不同的数属于n-1个集合{1,2n-1},{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。由抽屉原理知其中必存在两个数a i,a j(i≠j)属于同一集合,从而a i+a j=2n被2n整除; (2)若n∈{a1,a2,…,a n},不妨设a n=n,从a1,a2,…,a n-1(n-1≥3)中任意取3个数a i, a j, a k(a i,0)不被n 整除,考虑n个数a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,…,a1+a2+…+a n-1。 ⅰ)若这n个数中有一个被n整除,设此数等于k n,若k为偶数,则结论成立;若k为奇数,则加上a n=n知结论成立。 ⅱ)若这n个数中没有一个被n整除,则它们除以n的余数只能取1,2,…,n-1这n-1个值,由抽屉原理知其中必有两个数除以n的余数相同,它们之差被n整除,而a2-a1不被n整除,故这个差必为a i, a j, a k-1中若干个数之和,同ⅰ)可知结论成立。 2.极端原理。
例2 在n ×n 的方格表的每个小方格内写有一个非负整数,并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0,那么该行与该列所填的所有数之和不小于n 。证明:表中所有数之和不小于22 1 n 。 [证明] 计算各行的和、各列的和,这2n 个和中必有最小的,不妨设第m 行的和最小,记和为k ,则该行中至少有n-k 个0,这n-k 个0所在的各列的和都不小于n-k ,从而这n-k 列的数的总和不小于(n-k)2,其余各列的数的总和不小于k 2,从而表中所有数的总和不小于 (n-k)2 +k 2 ≥ .2 12)(2 2n k k n =+- 3.不变量原理。 俗话说,变化的是现象,不变的是本质,某一事情反复地进行,寻找不变量是一种策略。 例3 设正整数n 是奇数,在黑板上写下数1,2,…,2n ,然后取其中任意两个数a,b,擦去这两个数,并写上|a-b|。证明:最后留下的是一个奇数。 [证明] 设S 是黑板上所有数的和,开始时和数是S=1+2+…+2n=n(2n+1),这是一个奇数,因为|a-b|与a+b 有相同的奇偶性,故整个变化过程中S 的奇偶性不变,故最后结果为奇数。 例4 数a 1, a 2,…,a n 中每一个是1或-1,并且有S=a 1a 2a 3a 4+ a 2a 3a 4a 5+…+a n a 1a 2a 3=0. 证明:4|n. [证明] 如果把a 1, a 2,…,a n 中任意一个a i 换成-a i ,因为有4个循环相邻的项都改变符号,S 模4并不改变,开始时S=0,即S ≡0,即S ≡0(mod4)。经有限次变号可将每个a i 都变成1,而始终有S ≡0(mod4),
江苏省泰兴中学高二数学讲义(64) 几何概型 教学目标: 1、理解几何概型与古典概型的异同; 2、理解几何概型中区域、测度的概念,了解几个模型; 3、掌握几何概型的概率计算公式 教学重难点:实际问题数学化;找准区域,并能正确计算测度 问题引入: 1.取一根30厘米长的细绳(没有弹性),拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不少于10厘米的概率有多大? 2.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色得分环,从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色.已知靶面直径为122CM,靶心直径为12.2CM,假设每次射击都能中靶,且射中靶面上任意一处都是等可能的,那么射中靶心的概率是多少? 数学建构: 1.随机试验与古典概型的相同和不同之处 2.几何概型 3.概率计算公式 典型例题: 例1、某人睡午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机想听整点报时,求他等待的时间短于10分钟的概率. 例2、有一个边长为2a的正方形及其内切圆,现将一粒豆随机的丢进正方形,求豆落入圆内
的概率. 例3、在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率 例4、用橡皮泥做一个直径为6cm的小球,假设橡皮泥中混有一个很小的砂子,试求这个砂子距离球心不小于1cm的概率. 例5、甲、乙两人相约在7点到8点间在某地会面.先到者要等候另一人20分钟,若另一人20分钟后仍不到即离去.如果每个人在一小时内的任何时刻到达的可能性是相同的,求两人能够会面的概率.
课堂小结: 1、设H 、G 为几何区域,H G ?.假定向G 中掷一点M ,M 落在G 中任一点是等可能的.若事件A 为“点M 落在H 内”,则()H P A G =的测度的测度 2、常见的几何概型:(测度为)线型、角度、面积、体积. 3、单变量的几何概型一般转化为一维测度的问题,借助于数轴表示 4、双变量的几何概型一般转化为二维测度的问题,借助于平面直角坐标系表示(如相会问题) 江苏省泰兴中学高二数学课后作业(64) 班级:_______ 姓名:____________ 学号: 1、向数轴上的线段OA (A 的坐标为3)上随机投一点,此点坐标小于1的概率为 2、如图,已知 (0,0),(30,0),(30,30),(0,30),(12,0),(30,18),(18,30),(0,12)O A B C E F P Q 在正方形OABC 内任取一点,该点在阴影内的概率 3、一轮船停靠在某一港口,只有在该港口涨潮时才能出港,已知该港口每天涨潮的时间为早晨5:00—7:00和下午5:00—6:00,则该船在一昼夜内可以出港的概率为 4、在区间[]0,10,任取一个数与6之和大于10的概率为