矩阵的初等变换应用研究

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矩阵的初等变换应用研究

作者：赵怡欣刘陆军

来源：《教育教学论坛》2017年第25期

摘要：矩阵的初等变换是高等代数中重要的工具，该文主要探讨了利用矩阵的初等变换解决在矩阵、空间向量、求解线性方程组等方面的问题，并给出了相应的理论依据以及解题技巧。

关键词：初等变换；矩阵的秩；空间向量；线性方程组

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）25-0228-02

一、基础知识

矩阵的初等变换。（1）互换矩阵中任意两行位置，记作r■？圮r■。（2）用一个非零数k 乘矩阵的某一行的所有元素，第i行乘k，记作kr■。（3）把矩阵的第i行元素的k倍加到第j 行对应元素上，记作kr■+r■。

二、初等变换在矩阵方面的应用

1.利用矩阵的初等变换求矩阵的秩。

例：设A=■，求矩阵A的秩。

解：A=■■

■■■■■

由于上面阶梯形矩阵有三个非零行，所以R（A）=3。

2.利用矩阵的初等变换判断矩阵是否可逆并求它的逆矩阵。

定理1：矩阵A可逆的充分必要条件是A是方针且A≠0（非退化）及矩阵A可逆。

A=■？圳A=■≠0

推论：A可逆，则A可由初等行变换化为单位矩阵。

R■■…R■■R■■A=ER■■…R■■R■■=A■ （1）

若A可逆，构造分块矩阵AE？摇，其中E为与A同阶的单位矩阵，则：