在R上的原函数若函数
函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题
函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） －
最新函数的奇偶性的经典总结
x x x f 1)(+ =1 )(2+= x x x f x x f 1)(= 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴ x x x f +=2)(，（2） x x x f -=3)( （3） ()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。
函数的奇偶性的经典总结
函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2 )(，（2）x x x f -=3 )( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在(x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 （6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。 （7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为
函数的奇偶性知识点
函数的奇偶性 1.偶函数: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数. 奇函数: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫奇函数. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称 判断函数的奇偶性,包括两个必备条件:一是定义域关于原点对称,先考虑定义域是解决问题的前提，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件；二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；(2)确定f(－x)与f(x)的关系；(3)作出相应结论． 说明：根据奇偶性,函数可划分为四类：①偶函数②奇函数③既奇又偶函数④非奇非偶函数 2.奇函数的性质：○1定义域关于原点对称；○2f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0；○3图象关于原点对称；○4在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；○5如果0在f(x)的定义域内，则一定有f(0)=0 偶函数的性质：○1定义域关于原点对称；○2f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0；○3图象关于y轴对称；○4在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；○5如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0 3.判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区间是否关于原点对称呢？答：由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称．即：如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称，这个函数一定不具有奇偶性．例如：函数f(x)＝x3在R上是奇函数，但在[－2,1]上既不是奇函数也不是偶函数． 4.函数奇偶性的判断：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再严格按照奇偶性的定义或其等价形式进行推理判断．函数定义域影响奇偶性，若首先求得定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数； 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: （1）考查定义域是否关于原点对称； （2）考查表达式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）： 若f（-x）= - f（x），则f（x）为奇函数； 若f（-x）= f（x），则f（x）为偶函数； 若f（-x）= f（x），且f（-x）=- f（x）,则f(x)既是奇函数又是偶函数； 若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），则f（x）既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数. 5.函数奇偶性定义的理解：(1)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数．(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．由函数奇偶性的定义知，若x是定义域中的一个数值，则－x必然在定义域中，因此，函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在数轴上所示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性．如函数y＝2x在(－∞，＋∞)上是奇函数，但在[－2,3] 上则无奇偶性可言．(3)既奇又偶函数的表达式是f(x)＝0，x∈A，定义域A是关于原点对称的非空数集．(4)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)＝0. 6.奇、偶函数的图象特征：(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴成轴对称图形．反之，如果一个函数的图象关于y轴成轴对称图形，
证明函数单调性的方法总结
证明函数单调性的方法总结 导读：1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个， 则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数． （2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 （补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，
则 为减(增）函数， 为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的'单调性相同， 则其复合函数f[g(x)]为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象． 【证明函数单调性的方法总结】 1.函数单调性的说课稿 2.高中数学函数的单调性的教学设计 3.导数与函数的单调性的教学反思
证明函数单调性的方法总结归纳
证明函数单调性的方法总结归纳 1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个， 则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数． （2）单调性的判断方法： 定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等 （补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，
则 为减(增）函数， 为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的单调性相同， 则其复合函数f[g(x)]为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反， 则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反． 函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象． 搜集整理，仅供参考学习，请按需要编辑修改
函数的奇偶性的经典总结
x x x f 1)(+=1 )(2+= x x x f x x f 1)(=函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及 ) ()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时，) ()(x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时，) ()(x g x f 是偶函数。
函数单调性的判断或证明方法
函数单调性的判断或证明方法. （1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明． 解：设－1
所以， 所以 所以 设 则， 因为， 所以， 所以 所以 同理，可得 （2）运算性质法. ①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减） ②若. ③当函数. ④函数二者有相反的单调性。 ⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。 例3.求函数的单调区间。 解：
在同一坐标系下作出函数的图像得 所以函数的单调增区间为 减区间为. （4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，，都是单调函数，则在 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表： 增增增 增减减 减增减 减减增 例4.求函数的单调区间
函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、零点(心血之作)
函函数数的的定定义义域域、、值值域域、、单单调调性性、、奇奇偶偶性性、、对对称称性性、、 反反函函数数、、伸伸缩缩平平移移变变换换、、零零点点问问题题知知识识点点大大全全 一、函数的定义域 1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零； （4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； 例.（05江苏卷）函数y = ________________________ 2、求函数定义域的两个难点问题 （1）知道f(x)的定义域（a ，b ），求f(g(x))的定义域：转化为解不等式a 偶函数的概念 一、教学目标 1．知识与技能： 理解偶函数的概念及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断什么样的函数是偶函数 2．过程与方法： 通过偶函数概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想 3．情态与价值： 通过偶函数的学习，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力 二．教学重点和难点 教学重点：偶函数的概念及其几何意义 教学难点：判断偶函数的方法与格式 三．学法与教学用具 学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立偶函数的概念，理解其性质 教学用具：三角板多媒体课件 四．教学思路 （一）创设情景，揭示课题 “对称”是大自然的一种美，先用投影仪给出几个现实生活中“对称美”的例子。然后由现实生活过渡到数学中来。 这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列两个函数 （1）这两个函数有什么共同特征？ （2）你能利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2， 由学生通过填表，讨论，引导学生得到以下两个结论 结论：1、这两个函数之间的图象都关于y轴对称 2、这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3);f(-2)=f(2);f(-1)=f(1).可以发现对 于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说 对于函数定义域内一个x ，都有f(-x)=f(x) 此时，老师指出，这样的函数就是我们这一节课要学习的偶函数 （二）研探新知 通过以上的讨论，引导学生得出偶函数的定义 1、定义 一般地，如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数 注意：①如果一个函数是偶函数，那么它所具有的性质是函数的整体性质； ②由偶函数定义可知，如果一个函数是偶函数的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． 2、偶函数的图像的特征 偶函数的图象关于y 轴对称 （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1．下列说法是否正确，为什么？ （1）若f (－2) = f (2)，则函数 f (x )是偶函数． （2）若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x )不是偶函数． 例2．下列函数是否为偶函数，为什么？ （1）2 ()[1,2]f x x x =∈- （2）()4f x x = （3）()31f x x =+ 解：（1）函数2(),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称 （2）对于函数()4f x x =，其定义域为(,)-∞+∞ 因为对定义域内的每一个x ，都有 ()()44()f x x x f x -=-==， 所以，函数()4f x x =为偶函数 （3）对于函数()31f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞ 因为对定义域内的每一个x ， ()()3()131f x x x f x -=-+=-+≠ 所以，函数()31f x x =+不是偶函数 函数的单调性证明 一．解答题（共40小题） 1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数． 2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）是增函数． 4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数． 5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数． 6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性． 7．证明：函数y=在（﹣1，+∞）上是单调增函数． 8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．9．用函数单调性的定义证明函数y=在区间（0，+∞）上为减函数． 10．已知函数f（x）=x+． （Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数； （Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，数a的取值围． 11．证明：函数f（x）=在x∈（1，+∞）单调递减． 12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．13．判断并证明f（x）=在（﹣1，+∞）上的单调性． 14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性． 15．求函数f（x）=的单调增区间． 16．求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数． 17．求函数的定义域． 18．求函数的定义域． 19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式 （1）f（x+）=x2+（2）f（x）+2f（）=3x． 20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 21．求下列函数的解析式 （1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x） （4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x） 高一 第二课堂练习卷（2）-函数的定义域和奇偶性 一. 函数的定义域: 简单来说,定义域就是使到函数有意义的自变量的集合,高一比较常见的有 自变量限制有分式的分母，零指数幂的底数均不能为零；偶次根式的被开方数不能为负；对数的真数大于零,底数大于零且不等于1, 例1 )()021log 324y x = -求函数的定义域 练习: 1．函数y =)23(log 2 1-x 的定义域是 ( ) A.［1,+∞) B.( 32,+∞) C.［32,1］ D.(3 2，1］ 4.若奇函数f(x)在(－1，1)内为单调减函数，且f(1－a)＋f(1－2a)＜0，求a 的取值范围。 二. 函数的奇偶性: 1．重视数形结合思想．从图象的对称性上看：关于原点对称的，函数为奇函数；关于y 轴对称的，函数为偶函数． 2 用定义判断函数的奇偶性的一般步骤是：（1）检验定义域是否关于原点对称；（2）验证f (-x )=f (x )或f (-x ) = - f (x )是否恒成立；（3）据此得出结论． 3．灵活运用函数的单调性与奇偶性解题．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，而偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 练习: 1:判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=3x 4+ (2) f(x)=+ 2．已知f(x)=x 5+ax 3+bx ，且f(-2)=10,则f(2) = ． 3.f(x)是[－2，2]上的奇函数，若在[0，2]上f(x)有最大值5，则f(x)在[－2，0]上有最 值 。 4. 已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 为偶函数，其定义域为 [ a —1, 2a ],则函数的值域为 。 6．已知函数f (x ) =1 1+-x x a a (a ＞0，且a ≠1),判断f (x )的奇偶性,并证明. 偶函数教学设计（第一课时） 一、教学地位和作用分析 （一）.本课时是函数奇偶性第一课时偶函数的学习，本节内容是高等教育出版社基础版（修订版）数学第三章第二小节。 （二）函数奇偶性是研究函数的一个重要策略，因此成为函数的一个重要性质，是贯穿整个函数内容的始终，也为学习其他函数起到铺垫作用。 （三）教材从数到形，从直观到抽象，层次分明，循序渐进地引导学生回顾自然界和日常生活中具有对称美的事物进入数学领域观察，归纳，同时渗透数形结合，从特殊到一般的数学思想。 二、学情分析 （一）作为中职学生，学习要求不在于内容的高难度，鉴于学生本身的学习基础和工作生活的实际是要学生形成发现问题，细心观察并能归纳总结的思维。学生具备一定的观察能力，但归纳能力还欠缺。我所任教的机电专业班级课堂气氛活跃，但注意力容易分散。 （二）在本节课之前，学生已经掌握了函数的基本概念且能根据函数解析式作出相应的函数图象。在学习函数单调性上，学生懂得了由形象到具体，再由具体到一般的科学处理方法。 三、设计思想 学习是学生积极主动地建构知识的过程，在建构过程中，由老师提出启发性的问题带领学生一步步向新知靠拢。并完善新知，运用新知，在回答问题过程中通过生生互动，师生互动，让学生学会思考与合作。 四、教学目标 （一）知识目标 从数和形两个方面引导，使学生理解偶函数的概念，会利用定义判断简单偶函数。 （二）能力目标 在偶函数概念形成过程中，培养学生的观察归纳能力，同时学习运用数形结合讨论 从特殊到一般的数学思想。 （三）德育目标 1. 在学生感受数学美的同时，激发学习兴趣，培养学生乐于求索的精神。 2. 教学中，让学生体会与老师，与同学合作，并获取新知的乐趣。 五、教学重、难点 （一）重点： 根据本节知识，目标是需要学生非常准确理解偶函数的定义，从具体到归纳概念是比较抽象的过程。因此，偶函数的概念的形成是本节重点之一。我们通过课前的收集活动，图纸的恢复和一系列图片展示，并从数形两方面引导学生逐步形成概念。本节重点之二是偶函数的判断，由于我们不能随时随地准确的做出函数图象，而定义就成为我们判断偶函数的一般工具，我们利用例题来掌握对偶函数的判断。 (二)难点： 在感性到理性的归纳总结是学生不太善于的。因此本节对偶函数定义的总结并能准确的理解是难点所在。我们通过课前收集和课堂讨论活动帮助学生更好的理解定义。 六、教学方法 (一)教法： 根据本节教材内容，为了更有效地突出重点、突破难点、按照学生的认识规律遵循教师为主导，学生为主体、活动为主线的指导思想，采用以引导发现方法为主，直观演示，设疑诱导为辅，教学中提出带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。 (二)学法： 利用翻转式课堂的理念，让学生在“课前收集—课堂观察—归纳—分组讨论完善知识点—检验—应用”的学习过程中，自主参与知识的发生，发展形成的过程，使学生掌握知识。 七、教学准备 学生课前收集关于对称的物体或图片，知识储备材料，多媒体课件 八、教学流程图 二.基础练习 1． 函数1π2sin()2 3 y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin 2x y =的最小正周期是 若函数tan(2)3 y ax π=-的最小正周期是 2 π ,则a=____. 3．函数]),0[)(26 sin(2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 4．函数2 2cos()()363 y x x πππ=-≤≤的最小值是 5已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______. 6．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立； ②函数5sin 22y x π?? =- ??? 是偶函数； ③直线8x π=是函数5sin 24y x π? ?=+ ?? ?的图象的一条对称轴； ④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>． ⑤R x x x f ∈+=),3 2sin(3)(π的图象关于点)0,6 (π -对称； 其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 例1、已知函数 y=log 2 1)4x π -) ⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ;⑷判断 它的周期性. 变式1：求函数34sin(2)23 y x π π=+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的集 合．； 变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是 例2、求下列函数的定义域 (1)x x y sin 21tan 1--+-= (2))sin(cos x y = (3) 1 cos 2)1lg(tan -+= x x y . 例3、求下列函数的值域 (1)R x x y ∈-= ,2cos 23 (2)R x x x y ∈-+= ,2sin 2cos 2 (3)x x y cos 2cos 2-+= 例4 若()2122cos sin f x a a x x =---的最小值为 ()g a ， （1）求()g a 的表达式； （2）求使()1g a =的a 的值，并求当a 取此值时()f x 的最大值。 1．（2007年福建）．已知函数()sin (0)f x x ωωπ? ?=+> ?3? ?的最小正周期为π，则该 函数的图象（ ） A ．关于点0π?? ?3??，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π?? ?4??，对称 D ．关于直线x π = 3 对称 2．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为 2 π 的是（ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4 x y = D ．cos 4y x = 3．如果m m x 44cos +=有意义，则m 的取值范围是 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 二. 教学目标： 理解函数的性质，能够运用函数的性质解决问题。 三. 教学重点：函数性质的运用． 四. 教学难点：函数性质的理解。 ［学习过程］ 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） 利用函数的单调性证明不等式 单调函数是一个重要的函数类, 函数的单调性应用广泛, 可利用它解方程、求最值、证明等式与不等式、求取值范围等, 并且可使许多问题的求解简单明快. 下面主要讨论单调性在不等式中的应用. 定义3.1[8] 设函数()f x 的定义域为 ,D 区间 ,I D ? 如果对于区间I 上任意两点1 x 及2x , 当12x x <时, 恒有()()12 f x f x <, 则称函数()f x 在区间I 上是单调增加的; 如果对于区间I 上任意两点1x 及2x ， 当12x x <时, 恒有()()12 > f x f x , 则称函数()f x 在区间I 上是单调减少的. 定理3.1[8] 设函数()y f x =在[],a b 上连续, 在(),a b 内可导. 如果在(),a b 内()0 f x '>, 那么函数() y f x =在[],a b 上单调增加; 如果在(),a b 内()0 f x '<, 那么函数() y f x =在[],a b 上单调减少. 利用函数的单调性解决不等式证明问题, 在高等数学中是经常使用的方法, 下面通过几个例子来说明. 例3.１[3] 当02x π <<时, 证明:2 sin 1x x π<<. 证明 构造函数sin ()x f x x =, 则 '22cos sin cos ()(tan ).x x x x f x x x x x -= =- 因为02x π<< 时, tan 0x x -<, 即'()0f x <. 所以由定义知()f x 在(0,)2π内为严格单调减函数. 002lim ()()lim ()x x f x f x f x π +→→->>. 而0lim ()1x f x +→=, 022lim ()x f x ππ→-=, 故sin 21x x π >>. 例3.2[2] 当0x > 时, 证明: ()2ln 12 x x x x -<+<. 证明 构造函数()ln(1)f x x x =+-, 则'1()111x f x x x -=-=++, 当0x >时, 1.求下列函数的定义域： (1)221533x x y x --= +- ⑵211( )1x y x -=-+ ⑶021(21)4111y x x x =+-+-+- 2. 求下列函数的值域: (1)y= (x ≥5) (2)y= (3)y= (4)y=|x-3|+|x+1| (5) (6)y=4- 3.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3) 5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2 -+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， 33()g x x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 A 、⑴、⑵ B 、⑵、⑶ C 、⑷ D 、⑶、⑸ 4.若函数()f x = 344 2++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ） A 、(－∞,+∞) B 、(0,43] C 、(43,+∞) D 、[0, 43 ) 5.若函数 2()1f x mx mx =++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A.04m << B. 04m ≤≤ C. 4m ≥ D. 04m <≤ 6.对于11a -≤≤，不等式2(2)10x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是（ ） A. 02x << B. 0x <或2x > C. 1x <或3x > D. 11x -<< 7.函数22()44f x x x =---的定义域是（ ） A.[2,2]- B.(2,2)- C.(,2)(2,)-∞-+∞ D.{2,2}- 8.函数1()(0)f x x x x =+≠是（ ） A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数 C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数 D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数 9．下列函数中，既是偶函数又在区间(0+)∞， 单调递增的函数是 ( ) （A ）1y x = （B ）2x y = （C ）1y x x =+ （D ）21y x =+ 10．已知22(2)5y x a x =+-+在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是 （ ） A.2a ≤- B.2a ≥- C.6-≥a D.6-≤a ?函数的奇偶性定义： 偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 函数的周期性： （1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f （x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。 一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 ?奇函数与偶函数性质： （1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。 （3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。 注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件． 1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原 点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件． 2、函数的周期性令a,b均不为零，若： （1）函数y=f(x)存在f(x)=f(x+a)==>函数最小正周期T=|a| （2）函数y=f(x)存在f(a+x)=f(b+x)==>函数最小正周期T=|b-a| （3）函数y=f(x)存在f(x)=-f(x+a)==>函数最小正周期T=|2a| （4）函数y=f(x)存在f(x+a)===>函数最小正周期T=|2a| （5）函数y=f(x)存在f(x+a)===>函数最小正周 期T=|4a| 课题：《函数单调性的判断和证明》 教学目标： 1.知识教学目标：进一步利用图像法判断函数单调性 ，会求复合函数的单调区间，熟练掌握函数单调性证明的步骤. 2.能力训练目标：培养学生数形结合，辩证思维能力，加强化归转化能力的训练. 3.情感渗透目标：培养学生用练习的观点观察、分析、解决问题 教学重点：函数单调性的判断和证明。 教学难点：复合函数单调性的判断。 教学过程： 一、 复习旧知（叫学生回答） 1. 函数单调性的定义 2. 判断函数单调性的方法 3. 证明函数单调性的方法，步骤。 二、 例题讲解 1、用图像判断函数单调性 例1、 判断下列函数的单调性。 (1)1 y x =-2(2)-2 y x = (]()1-11+x -∞∞解:（1)如图1,函数y=在，上递增，在，上递减。()()222-22+2 y x =∞∞-（）如图，函数的减区间为，和，，无增区间。 注：（1）例1叫学生上黑板画图像，检验学生对分段函数图像及图像平移的掌握程度，再利用图像判断函数单调性。 (2)根据函数的图像写出函数的单调区间时，注意区间的端点，单调区间不能用“∪”连接，用“和”或者“，”． 分析：复合函数单调性判断方法“同增异减” 注意：判断函数单调区间时应先求函数的定义域。 例3、证明函数 在区间[)1,+∞上是增加的。 证明：任取[)12,1,x x ∈+∞,且1x <2x ，则 121 2 1 1 ()( )x x x x =-+- 2 1 1 2 1 2 ()x x x x x x -=-+ 121 2 1 ()(1) x x x x =-- 2y =例 、已知函数判断函数的单调区间.(][)--13+.∞∞ 解：此函数的定义域为， ，2 23,u x y x =--=令则(][ )2 23,13,u x x =---∞-+∞又函数在上递减，在上递增， (][),13,∴-∞-+∞函数,增区间是 1 y x x =+121212 11 ()()()() f x f x x x x x -=+-+121212 1 ()() x x x x x x ?-=-?偶函数教案
函数的单调性证明
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