复变函数与积分变换试题(A卷)
2007～2008学年第一学期
《复变函数与积分变换》课程考试试卷(A 卷)
院(系)_________专业班级__________学号_______________姓名__________
考试日期: 2007年11月26日 考试时间: 晚上7:00~9:30
一、填空题 (每空2分，共22分) 1．复数
i
i
+-12的模为 ，辐角主值为 ． 2．函数22)(x i y z f -=在何处可导？ ， 何处解析？ ．
3．2)3(Ln i +的值为 ． 4．函数i
z i z z f ++-=
)1(1
)(2
在0=z 点展开成泰勒(Taylor)级数的收敛半径为 ． 5．0=z 为函数2
z
z
z f cos 1e )(-=的何种类型的奇点？ ．
6．积分
z z z z
z d )
2(sin 11
||?
=--的值为 ．
7．映射z z z
f 2)(2+=在i z -=处的伸缩率为 ， 旋转角为 ．
8．函数t t f 2cos 21)(+=的Fourier 变换为 ．
二、计算题 (每题5分，共20分)
1．
?
=--2
||2
d )
1(1
e z z z z z
2．
?
=2
||12d 1sin
e z z
z z
z
3．
?
-2π2cos d 0
5
θθ
4．x x x
x d 2sin 0
?
∞++1
2
三、(10分)已知y x a y x y x u 334),(+=，求常数a
以及二元函数),(y x v ，使得v i u z f +=)(为 解析函数且满足条件0)1(=f ．
四、(12分)将函数i
z i z i
z f ++--=
)1(1)(2
分别在 0=z 和1=z 处展开为洛朗(Laurent)级数．
五、(8分)求区域}0Re ,2
π
Im 2π:{<<<-
=z z z D 在映射i
i
w z z +-=e e 下的像．
六、(10分)求把区域}0Re ,1|1|:{>>-=z z z D
映射到单位圆内部的保形映射．
七、(12分)利用Laplace 变换求解微分方程组：
????
?='='-=-'-'===-''-''.
1)0()0(,sin )()()(,0)0()0(,
e )()()(y x t t x t y t x y x t t y t y t x t
八、( 6 分)设函数)(z f 在2|| 2|2)(|<-z f ，证明： 0d ) (4)() (4)(1 ||2 =-'-''? =z z f z f z f z f z ．