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2019-2020学年高考数学总复习 对数与对数函数知识梳理.doc

2019-2020学年高考数学总复习 对数与对数函数知识梳理

【考纲要求】

1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化,对数的运算性质、换底公式与自然对数;

2.掌握对数函数的概念、图象和性质.

3.正确使用对数的运算性质;底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用.

4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法; 【知识网络】

【考点梳理】

考点一、对数概念及其运算

我们在学习过程遇到2x =4的问题时,可凭经验得到x=2的解,而一旦出现2x

=3时,我们就无法用已学过的知识来解决,从而引入出一种新的运算——对数运算.

(一)对数概念:

1.如果()01b

a N a a =>≠,且,那么数

b 叫做以a 为底N 的对数,

记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.

2.对数恒等式:

log log a b N

a a N

a N N

b ?=?=?=?

3.对数()log 0a N a >≠,且a 1具有下列性质: (1)0和负数没有对数,即0N >; (2)1的对数为0,即log 10a =; (3)底的对数等于1,即log 1a a =.

(二)常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数,N N lg log 10简记作. 以e 为底的对数叫做自然对数, log ln e N N 简记作.

(三)对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的,因此对数式与指数式联系密切,且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示.

对数与对数函数

图象与性质

对数运算性质

对数函数的图像与

对数的概念

指对互化运算

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由此可见a ,b ,N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数

已知()log log 010a a M N a a M N >≠>,且,、 (1)()log log log a a a MN M N =+; 推广:()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、

(2)log log log a

a a M

M N N

=-; (3)log log a a M M αα=.

(五)换底公式

同底对数才能运算,底数不同时可考虑进行换底,在a>0, a ≠1, M>0的前提下有: (1) )(log log R n M M n a

a n

∈=

令 log a M=b , 则有a b

=M , (a b )n

=M n

,即n b n M a =)(,

即n a

M b n

log

=,即:n a a M M n log log =.

(2) )1,0(log log log ≠>=

c c a

M

M c c a ,令log a M=b ,

则有a b

=M , 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c 即M a b c c log log =?, 即a

M

b c c log log =,

即)1,0(log log log ≠>=

c c a

M

M c c a

当然,细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出,但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论:

)1,0,1,0(log 1

log ≠>≠>=

b b a a a

b b a .

考点二、对数函数及其图像、性质

1.函数y=log a x(a>0,a ≠1)叫做对数函数.

2.在同一坐标系内,

当a>1时,随a 的增大,对数函数的图像愈靠近x 轴;

当0

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(1)对数函数y=log a x(a>0,a ≠1)的定义域为(0,+∞),值域为R (2)对数函数y=log a x(a>0,a ≠1)的图像过点(1,0)

(3)当a>1时,0(1)log 0(1)0(01)a x x x x >>??

==??<<

a 0(x 1)0a 1log x 0(x 1)0(0x 1)<>??

<<==??><

当时,

【典型例题】

类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化:

(1)2log 83=;(2)13

log 92=-;

(3)3x =;

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(4)4

5625=;(5)1133-=;(6)2

1164-??= ?

??

.

【解析】(1)3

28=;(2)2

193-??

= ???;

(3)3x =;

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(4)5log 6254=;(5)31

log 13=-;(6)14

log 162=-.

【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据,而对数形式和指数形式的互化又是解决

问题的重要手段.

举一反三:

【变式】求下列各式中x 的值:

(1)642

log 3

x =- (2)log 86x = (3)lg100=x (4)2

-ln e x =

【解析】(1)2223()

3

23

3

3

1(64)

(4)

4

416

x --

?--=====

(2)11116

636

6

6

2

8()(8)(2)2x x x ======

,所以

(3)10x =100=102

,于是x=2;

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(4)由2

2

2ln ln 2x

e x x e e e x --=-===-,得,即所以.

类型二、对数运算法则的应用 例2.求值

(1) log 89·log 2732

(2)9

1log 81log 251log 32log 532

64??? (3))36log 4

3

log 32(log log 42

122++

(4)(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)

【解析】(1)原式=9

1035322log 3log 5

32

233=?=

?. (2)原式=103log 2log 5log 2log 2

53322526-=---

(3)原式=1

222223

log (5log log 6)4-++ 22223

log (5log log 6)log 834

=-+==

(4)原式=(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52) 22251

(3log 5log 5log 5)(3log 2)3

=++

5213

3log 2log 5133

=

?= 举一反三:

【变式】已知:log 23=a , log 37=b ,求:log 4256=? 【解析】∵ 3

log 1

2log 23=

∴a 12log 3=,

33342333log 56log 7log 8

log 56log 42log 7log 6+==

+ 3333log 73log 2

log 71log 2

+=

++ 13113+++=+

++

=

a a

b ab a

b a b 类型三、对数函数性质的综合应用

例3.已知函数)2(log )(2

2

1x x x f +-=

(1)求函数)(x f 的值域;(2)求)(x f 的单调性 【解析】

22222112

2

212

212

212

(1)-20200202-2(2)(0,1]log (-2)log 10

log (-2)[0,).

(2)-2(02)log -20,11,2log x x x x x x y x x x x x x y x x u x x x v u

u x x v u +>∴-<∴<<<<=+=--∈∴+≥=∴=++∞=+<<==+=∴由题得当时,函数的值域为设函数在()上是增函数,在()上是减函数。是减函数

由复合函数的单调性得函数f(212

log (-2)

0,11,2x x +x)=在()上是减函数,在()上是增函数。

举一反三:

【变式】已知f(log a x)=)

1()

1(2

2--a x x a (a>0且a ≠1),试判断函数f(x)的单调性.

【解析】设t=log a x(x ∈R +

, t ∈R).

当a>1时,t=log a x 为增函数,若t 1

)

1()

1)(()

1()

1()

1()

1(2

2121212

22

22

121-+-=

---

--a x x x x x x a a x x a a x x a ,

∵ 01, ∴ f(t 1)

当01或0

例4.求函数y=2

1log (-x 2

+2x+3)的值域和单调区间.

【解析】设t=-x 2+2x+3,则t=-(x-1)2

+4. ∵ y=2

1log t 为减函数,且0

∴ y ≥4log 2

1=-2,即函数的值域为[-2,+∞).

再由:函数y=2

1log (-x 2

+2x+3)的定义域为-x 2

+2x+3>0,即-1

∴ t=-x 2

+2x+3在(-1,1)上递增而在[1,3)上递减,而y=2

1log t 为减函数.

∴ 函数y=2

1log (-x 2

+2x+3)的减区间为(-1,1),增区间为[1,3).

例5. 判断下列函数的奇偶性.

(1)1-()lg

;1x

f x x =+

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(2)())f x x =. 【解析】由

1-0-111x

x x

><<+可得 所以函数的定义域为:(-1,1)关于原点对称

又1111()lg

lg()-lg ()111x x x

f x f x x x x

-+---====--++ ()()f x f x -=-即

所以函数1-()lg 1x

f x x

=+是奇函数;

【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式,函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性,不能轻易直接下结论,而应注意对数式的恒等变形.

(2)

0x x R >∈可得 所以函数的定义域为R 关于原点对称,又

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(-))f x x ==

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)-()x f x ===

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即f(-x)=-f(x)

;所以函数())f x x =是奇函数.

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【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难,函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧,要求掌握.

例6.已知函数h(x)=2x

(x ∈R),它的反函数记作g(x),A 、B 、C 三点在函数g(x)的图象上,它们的横坐标分别为a ,a+4,a+8(a>1),记ΔABC 的面积为S.

(1)求S=f(a)的表达式; (2)求函数f(a)的值域;

(3) 判断函数S=f(a)的单调性,并予以证明;(4)若S>2,求a 的取值范围

.

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【解析】(1)依题意有g(x)=log 2x(x>0). 并且 A 、B 、C 三点的坐标分别为

A(a , log 2a), B(a+4, log 2(a+4)), C(a+8, log 2(a+8)) (a>1). ∴A ,C 中点D 的纵坐标为2

1

〔log 2a+log 2(a+8)〕 ∴ S=

2

1

|BD|·4·2=4|BD|=4log 2(a+4)-2log 2a-2log 2(a+8). (2)把S=f(a)变形得:

S=f(a)=2〔2log 2(a+4)-log 2a-log 2(a+8)〕=2log 2)8()4(2

++a a a =2log 2(1+a a 8162+).

由于a>1时,a 2

+8a>9, ∴1<1+a a 8162+<9

25,

又函数y=log 2x 在(0,+∞)上是增函数,

∴ 0<2log 2(1+

a

a 816

2

+)<2log 2

925, 即0

25

.

(3)S=f(a)在定义域(1,+∞)上是减函数, 证明如下:任取a 1,a 2,使1

222816a a +)-(1+121816

a a +)

=16(

12

122281

81a a a a +-+) =16·

)

8)(8()

8)((12

1

222

2121a a a a a a a a ++++-,

由a 1>1,a 2>1,且a 2>a 1,

∴ a 1+a 2+8>0, 22a +8a 2>0, 2

1a +8a 1>0, a 1-a 2<0,

∴ 1<1+

222816a a +<1+1

21816

a a +,

再由函数y=log 2x 在(0,+∞)上是增函数,于是可得f(a 1)>f(a 2)

∴ S=f(a)在(1,+∞)上是减函数.

(4)由S>2,即得??

?

??>>++??????>>++12)8()4(12)

8()4(log 222

2a a a a a a a a , 解之可得:1