函数单调性
2.1《函数的单调性》教学设计
教学基本信息
课题函数的单调性
学科数学学段高中年
级
高一
教学辅助设备多媒体辅助教学
教材书名：《普通高中课程标准实验教科书数学1·必修B》
出版社：北京师范大学教育出版社
1.教学背景分析（教学内容分析，学情分析）
学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，在此学习单调性是对函数概念的延续和拓展，对进一步探索、研究函数的其它性质有着示范性的作用，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础。
单调性起着承上启下的作用，一方面，是初中学习内容的深化，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等都有着紧密的联系。
通过初中对函数的学习，学生已具备了一定的观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力。在此学习单调性，有助于学生从感性思维到理性思维的过渡。
2.教学目标(含重、难点)
知识与技能目标：
（1）从形与数两方面理解单调性的概念
（2）初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法
过程与方法目标：
（1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力
（2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法
（3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程
情感态度价值观目标：
通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题
教学重点：函数单调性的概念形成和初步运用
教学难点：函数单调性的概念形成
3.学习环境选择与学习资源设计
1．学习环境选择（打√）
（1）WEB教室√（2）局域网（3）城域网
（4）校园网（5）因特网（6）其他
2．学习资源类型（打√）
（1）课件√（2）工具√（3）专题学习网站
（4）多媒体资源库（5）案例库（6）题库
（7）网络课程（8）其他
3．学习资源内容简要说明
（1）、多媒体课件里面包含了这节课的学习主题、学习目标、重点难点、具有对称性的一些图片、函数的图像，函数的单调性的定义，函数单调性判断方法、练习题、学习拓展等。
（2）、充分利用几何画板分析函数图象，引导学生发现函数图像的特征。
4.学习情境创设
1．学习情境类型（打√）
（1）真实情境√（2）问题性情境√
（3）虚拟情境（4）其他√
2．学习情境设计
（1）、真实情境：创设了之前学过的简单函数，激起学生学习这节课的兴趣和热情。
（2）、问题情境：创设了观察函数图像，说出函数的变化趋势。
（3）、其他情境：给学生提供了交流、展示自己的平台。
5. 流程图
教师给出两个一次函数，让学生们对函数的变化趋势作以描述 学生根据函数的变化趋势，回答y 随x 增大的变化情况
开始
多媒体课件
教师对学生的回答进行随机点评，用几何画板对函数的点的移动作出详细解释
给出二次函数的图像让学生描述函数的变化趋势 多媒体课件
学生观察、类比，得出二次函数y 随x 增大的变化情况
几何 画板
教师让学生观察点的移动情况 几何画板
让学生对二次函数对称轴两侧的情况分别作以描述
教师用数学语言对二次函数的变化情况作以描述
多媒体课件
教师分析进一步解释函数单调性定义
教师总结单调递增的情
况
多媒体课件
学生类比总结单调递减的情况。
6.教学过程
环
教师活动
学生活动
设计意图
教师给出例题二，让学生证明单调性
学生记录作业及思考题
学生交流，讨论，如何去判断 教师把定义里的重点在强调一遍，加深印象
多媒体课件
学生分组讨论，并汇报讨论结果
教师给出例题1，看看反比例函数是不是单调递减，为什么？
教师给出答案总结学生在判断单调性易遗漏的问
多媒体课件
学生们自己做，三
位同学到 黑板板演
教师总结判断证明函数单调性的五个步骤
多媒体课件
教师布置课后作业，留下思考题
多媒体课件
结束
节
课前引入问题1：分别作出函数y=2x，
y=-2x和y=x2+1的图象，并
且观察函数变化规律？
描述完前两个图象后让学生
们对递增和递减有一个认
识。
二次函数的增减性要分段说
明
老师引导学生：
在y轴的左侧，任意x1 , x2∈
[0，+∞),且x1< x2，都有f(x1) <
通过PPT放映，让学生观
察图象，对函数增减性质
进行描述
学生回答：函数y=2x是呈
上升趋势的，y=2x的图象
自变量x在实数集变化时，
y随x增大而增大
函数y=-2x是呈下降趋势的，
y=-2x的图象自变量x在实
数集变化时，y随x增大而
减小
y=x2+1在y轴左侧呈下降
趋势，y=x2+1在（-∞，0]
上y随x增大而减小
y=x2+1在y轴右侧呈上升
趋势，在（0，+∞）上y
随x增大而增大
学生根据函数左侧的情况
描述函数右侧的情况：
在y轴的左侧，任意x1 , x2
数学课程标准
中提出“通过已
学过的函数特
别是二次函数
理解函数的单
调性”，因此在
本环节的设计
上，从学生熟
知的一次函数
和二次函数入
手，从初中对
函数增减性的
认识过渡到对
函数单调性的
直观感受。
f(x2),那么y=x2+1就说在[0，+∞)上是单调递增的.
那么在y轴右侧是什么情况呢？大家描述一下。
让学生们学会用数学符号语音对递增的图像和递减的图像进行描述，为给出函数的单调性概念，学生更容易理解做铺垫。
提问：能否用自己的理解说说什么函数是单调递增的，什么函数是单调递减的？∈[0，+∞ )且x1< x2，都有
f(x
1
) > f(x
2
),那么y=x2+1
就说在[0，+∞ )上是单调
递减的.
结合单调性是局部性质，
用直观描述回答：在一个
区间里，y随x增大而增大，
则函数是单调递增的；y随
x增大而减小，则函数是单
调递减的。
通过一次函数
认识单调性，
再通过二次函
数认识单调性
是局部性质，
进而完善感性
认识。
环
节
教师活动学生活动设计意图
新知识的讲解提问：（以y=x2+1在 (0，+
∞)上单调性为例）如何用精
确的数学语言来描述函数的
单调性？
老师给出函数单调递增和递减
的定义
在函数y=f（x）的定义域内的一
个区间A上，如果对于任意两数
x1 , x2，∈A，当x1< x2，都有
f(x
1
) < f(x
2
),那么就称函数
y=f（x）在区间A上是增加
的，有时也称函数y=f（x）
在区间A上是递增的。
让学生们类似的总结递减的定
义
老师继续总结：
如果函数y=f （x）在区间
学生分组讨论，互相提出
观点，有不同见解，疑问，
先组内解决，解决不了老
师补充。
根据刚才新课的课前引
入，已引导学会用数学符
号语音对递增的图像和
递减的图像进行描述，学
生有了基础，让学生用类
比推理，将特殊的函数性
质推广到一般的函数。得
出函数单调递增和单调递
减的定义。
在函数y=f（x）的定义域
内的一个区间A上，如果
对于任意两数x1 , x2，∈A，
当x1< x2，都有f(x1) >
f(x
2
),那么就称函数y=f
（x）在区间A上是减少的
的，有时也称函数y=f（x）
在区间A上是递减的。
通过启发式提
问，实现学生
从“图形语言”
到“文字语言”
到“符号语言”
认识函数的单
调性，实现“形”
到“数”的转换。
另外，在此强
调“任意性”的
理解，从而达
到突破难点，
突出重点的目
的。
A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间，在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的，如果函数是减少的，那么它的图像是下降的。
下面给出子集单调性的定义
一般的，对于函数y=f （x）的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1 , x2，∈A，当x1< x2，都有f(x1) < f(x
2
),那么就称函数y=f（x）在数集A上是增加的。
那么类似的在数集A上是减
少的定义是什么呢？
如果函数y= f（x）在某个子集
上是增加的或是减少的，那么就称函数y=f（x）在这个子集上具有单调性。
如果函数y=f（x）在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数还是减函数，统称为单调函数。学生一起回答：
一般的，对于函数y=f（x）的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1 , x2，∈A，当x1< x2，都有f(x1) > f(x2),那么就称函数y=f（x）在数集A上是减少的
例题1：能否说f(x)=在
它的定义域上是减函数？
从这个例子能得到什么结论？
给出例子进行说明：
进一步提问：
函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数
再一次回归定义，强调任意性思考、讨论，提出自己观
点
学生提出反例，如x
1
=-1，
x
2
=1
进一步得出结论：
函数在定义域内的两个区
间A,B上都是增（减）函
数，函数在A∪B上不一定
是增（减）函数
将函数图象进行变形（如
x<0时图象向下平移）
通过上面的问
题，学生已经
从描述性语言
过渡到严谨的
数学语言。而
对严谨的数学
语言学生还缺
乏准确理解，
因此在这里通
过问题深入研
讨加深学生对
单调性概念的
理解。
环
节
教师活动学生活动设计意图
例题2：证明函数
在（0，+）上是增函数
证明：任取且
∴函数在（0，+）上是增函数
例2：判断函数在（0，+∞）上的单调性
进一步提问：如果把（0，+∞）条件去掉，如何解这道题？
（作业）根据单调性定义进行证明
讨论，规范步骤
取值
作差
变形
定号
判断
根据定义进行判断
体会判断可转化成证明
课后思考
本环节是对函
数单调性概念
的准确应用，
本题采用前面
出现过的函
数，一方面希
望学生体会到
函数图象和数
学语言从不同
角度刻画概
念，另一方面
避免学生遇到
障碍，而是把
注意力都集中
在单调性定义
的应用上。
从知识、方法两个方面
引导学生进行总结.
作业（1、2、4必做，3选做）
1、证明：函数在区
间
[0，+∞)上是增函数。
2、课上思考题
3、求函数的单调区间
4、思考P46 探索与研究回顾函数单调性定义的探
究过程；证明、判断函数
单调性的方法步骤；数学
思想方法
完成课堂反馈
使学生对单调
性概念的发生
与发展过程有
清晰的认识，
体会到数学概
念形成的主要
三个阶段：直
观感受、文字
描述和严格定
义
作业实现分
层，满足学生
需求
6.学习效果评价设计
学习效果预测：
在本节课学习中，学生能理解单调性的定义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性
学习效果评价方式：
1、课堂反馈：证明：函数在（0，+∞）上是减函数
2、教师评价：课堂发言反映的思维深度；课堂发现问题的角度、能力；课堂练
习的正确性；课堂学习的积极性
3、学生自评：本节课学习兴趣；独立思考的习惯；合作交流的意识；对知识、
方法等收获的程度
函数单调性讲解及常见类型(整理)
函数的单调性 题型一 判断、讨论、证明函数的 单调性 1 判断函数 y=x- 1 在其定义域上的单调性。 x 2 讨论并证明 y=x+ 1 在定义域上的单调性。 x 3 定义在R 上的函数 f （x ）对任意不相等实数 a ，b 总有 f （a ）- f （b ） >0成立，则必有 a -b A 、函数 f （x ）是先增加后减小 B 、函数 f （x ）是先减小后增加 C 、f （x ）在R 上是增函数 D 、f （x ）在 R 上是减函数 4已知 f （x ） =（2k +1）x + b 在实数R 是减函数，则k 的取值范围为（ ） 5 已知函数 f （x ） = x 2 +bx +c ,x （0,+）是单调函数，则实数b 的取值范围为（ ） A .b 0. B .b 0 C .b 0 D , b 0 6 已知 f （x ） = x 2 -2（1-a ）x + 2在（- ,4］上是减函数，求实数a 的取值范围。 题型二 抽象函数的单调性 1、已知 f （x ）是定义在［-1,1］上的增函数，且 f （x-2）
题型四用图形讨论函数单调性 1 函数y=|x—3|—|x+1|的单调递减区间是。 2画出函数y=-x2+2x +3的图像，并指出函数的单调区间. 3 画出函数y=|x| 的图像，并判断其单调性。 4画出函数y=|x2+2x-1|的图像，并指出其在R 上的单调性。 题型五基本初等函数的单调性问题 1.设函数y = x2-4x+3,x[1,4]，则f（x）的最小值和最大值为（） A.-1 ，3 B.0 ，3 C.-1，4 D.-2，0 2．函数f（x）=—x2+2（a—1）x+2 在（—∞，4）上是增函数，则a 的范围是 A 、a≥5 B 、a≥3 C、a≤3 D、a≤—5
必修一函数的单调性专题讲解(经典)
第一章 函数的基本性质之单调性 一、基本知识 1．定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当 21x x <时，都有 ))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。 重点 2．证明方法和步骤： （1） 取值：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <； （2） 作差：)()(21x f x f -； （3） 变形：（如因式分解、配方等）； （4） 定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或； （5） 根据定义下结论。 3．常见函数的单调性 时， 在R 上是增函数；k<0时， 在R 上是减函数 （2），在（—∞，0），（0，+∞）上是增函数， （k<0时），在（—∞，0），（0，+∞）上是减函数， （3）二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ， 当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0 函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升哪些区间下降？ 解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ 函数的单调性 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1. 从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念; 2. 会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性; 3. 会用定义证明一些简单函数的单调性. 自学评价 观察函数x x f =)(，2 )(x x f =的图象 从左至右看函数图象的变化规律: (1). x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的. (2). x x f =)(在),(+∞-∞上，f （x ）随着x 的增大而___________;2 )(x x f =在]0,(-∞ 上， f （x ）随着x 的增大而_______;2 )(x x f =在),0(+∞上，f （x ）随着x 的增大而________. 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 函数的单调性 单调性的定义 定义法证明函数的单调性 增函数 减函数 单调区间 x y 0 x y 0 x x f =)( 2)(x x f = 第8讲：函数的单调性 一、课程标准 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义 2.掌握求函数的单调性的方法· 3.能处理函数的最值问题。 二、基础知识回顾 1. 函数单调性的定义 (1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1 1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间； 1.3.1函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间 （1）12-=x y ; （2）322++-=x x y ; （3）2 )2(1-++=x x y ; （4）969622++++-=x x x x y 相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论 ?取值，即_____________________________； ?作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； ?定号，即____________________________________________________________; ④下结论，即______________________________________________________。 例2.用定义法证明下列函数的单调性 （1）证明：1)(3 +-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数. ▲定义法证明单调性的等价形式： 设[]b a x x ,21∈、，21x x ≠,那么 [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?>--? >--在[]b a ,上是增函数； [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?<--? <--在[]b a ,上是减函数. (2)证明：x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数； （3）证明：21 )(x x f = 在()0,∞-上是增函数； 法一： 作差 法二：作商 函数的单调性 1.单调性与单调区间： 例1.下列函数中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x ”的是（ ） A ．()f x =1x B ．()f x =2(1)x - C ．()f x =x e D ．()ln(1)f x x =+ 演变1.给定函数：①1 2y x =，②12 log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间 (0,1)上单调递减的函数序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 例2.函数2()21 x f x x -= -的单调区间为__________ 演变1.函数25---=a x x y 在),1(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是__________ 例3.函数267)(x x x f --=的单调递增区间为__________ 演变1. 函数()f x =__________ 例4.函数2()2||3f x x x =--的单调递增区间为__________ 演变1.函数|32|)(2--=x x x f 的单调递增区间为__________ 2.利用单调性求参数范围： 例1.已知函数2)1(22+-+=x a x y 在)4,(-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是_______ 演变1.若ax x x f 2)(2+-=与1 )(+=x a x g 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________ 例2.已知函数(31)4(1)()log (1)a a x a x f x x x -+ 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 第14课时函数的单调性（一） 【学习目标】 1．理解增函数．减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法； 2．培养学生的判断推理能力和数形结合，辩证思维的能力． 【课前导学】 【复习回顾】 1.函数有哪几个要素？ 2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？ 3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？ 4.区间的表示方法. 前面我们学习了函数的概念．表示方法以及区间的概念，今天我们来研究函数的另一性质（导入课题，板书课题）． 【课堂活动】 一．建构数学： 1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题： 问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？ ?随着x的增加，y值在增加． 问题2：怎样用数学语言表示呢？ ?设x1．x2∈[0，+)∞，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1 高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0` 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0 函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 ).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=， 又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ， 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直 接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我 微专题30 例题1 答案：(1){x|x ＞1，或x ＜－4}； (2)－2. 解析：∵f(x)是定义域为R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，令x ＝0，得f (0)＝0，k －1＝0，k ＝1. (1)∵f (1)＞0，∴a －1a ＞0，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，f (x )＝a x －a －x ，∵f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a ＞0，∴f (x )在R 上为增函数(令解析：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(ax 2－ax 1)＋])1()1[(21x x a a -，因为a ＞1，则ax 2－ax 1＞0，21)1()1(x x a a -＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，则f (x )在R 上为单调增函数)．因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0可化为f (x 2＋2x )＞f (4－x )，又f (x )在R 上为单调增函数，所以x 2＋2x ＞4－x ，解得x ＜－4，或x ＞1，所以不等式的解集为{x |x ＞1，或x ＜－4}． (2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12 (舍去)，∴g (x )＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t ＝2x －2－x (x ≥1)，则t ＝2x －2－x (x ≥1)为增函数， 即t ≥21－2－1＝32 .所以g (x )＝h (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2≥－2(当t ＝2， x ＝log 2(1＋2)时取等号)．则g (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2. 例题2 答案：22. 解析：因为函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R )，所以4是函数f (x )的周期．则f (15)＝ f (4×4－1)＝f (－1)＝|211|+-＝12，所以f (f (15))＝f )2 1(＝cos π4＝22. 变式联想 变式1 答案：(1)略； (2)???a ＝－1，b ＝－2，或?????a ＝1，b ＝2；(3)当? ????a ＝1，b ＝2时，D ＝R ； 当?????a ＝－1，b ＝－2时，D ＝(0，＋∞)，或D ＝)7 5log ,(2-∞. 解析：(1)证明：当a ＝b ＝1时，f (x )＝1－2x 1＋2x ＋1 ，f (－1)＝14，f (1)＝－15，所以f (－1)≠－f (1)，则f (x )不是奇函数． 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 例题：y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： b 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当00时，函数图象与x 轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为（ ）；当0a 时；当0 微专题30 函数的单调性、奇偶性、周期性 函数是高考数学的重点内容之一，对函数基本性质的考查是其主要方向；单调性、奇偶性和周期 性是函数的几个重要性质，也是研究函数的主要工具，单调性、奇偶性的考查在江苏高考题中常以填空题的形式出现，周期性作为函数的一个整体性质，给函数带来了周而复始的无穷魅力，也正因如此，周期性、单调性、奇偶性如同函数性质的三驾马车，成为了模考、高考的重点考查对象．重点考查学生的数形结合、分类讨论等方面的能力，考查学生的基本数学素养. 例题1设函数f(x)＝ka x －a － x (a ＞0，a ≠1)是定义域为 R 的奇函数． (1)若f (1)＞0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集； (2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a － 2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值． 例题2(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝??? ????≤<-+≤<02|,21|20,2 cos x x x x π则 f (f (15))的值为____________． 变式1设f(x)＝ －2x ＋a 2x ＋ 1＋b (a ，b 为实常数)． (1)当a ＝b ＝1时，证明：f(x)不是奇函数； (2)若f(x)是奇函数，求a 与b 的值； (3)当f(x)是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x ，c ，都有f(x)＜c 2－3c ＋3成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由． 变式2若函数f(x)(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝???x （1－x ），0≤x ≤1， sin πx ，1＜x ≤2， 则 f )429( ＋f )6 41 (的值为________________． 《判断函数在x=x。处可导性的步骤》 利用知识：左右导数。 本人正读高中，知能浅薄，自行探究，若有疏漏请见谅。 【第一步】~~将原函数化成当x ＜x。与x＞x。的"分段函数".（像y=x2这样，分段之后两个式子一样的也要写出来）； 【第二步】~~将这两个式字都化成两个等价的、可用公式方便地求导的式子.（若原本很完美就省略这步）； 【第三步】~~根据求导公式对每个式子进行求导。求导过程中，只着手式子，不用看定义域怎样。定义域照抄下来； 【第四步】 分类讨论···㈠若此时y′为常数，则比较y′左是否等于y′右······························?如果y′左=y′右=这个常数，则说y=f（x）在x=x。处可导····················?如果y′左≠y′右，则说y=f（x）在x=x。处不可导 ···㈡若此时y′为含x代数式，则看当把x=x。代入时有无意义··············?有意义，则代入x=x。后比较y′左与y′右·····①相同，可导②不相同，不可导···············?无意义，不可导。 【【例题演示】】 第一题 ··············判断y=｜X|在x=0处是否可导.·············· 【第一步】y=｜X|等价于y=-x x＜0 y=x x＞0 【第二步】省略 【第三步】y′=（｜X|）′等价于y′左= -1 x＜0 y′右= 1 x＞0 【第四步】 其为常数，又由于两个常数不等，即左右导数不等，所以y=｜X|在x=0处是否不可导。 第二题 ··············判断y=x2在x=0处是否可导····（X的平方）············ 【第一步】y=x2等价于 y=x2 x＜0 y=x2 x＞0 江苏省东台市三仓中学2015届高三数学 函数的单调性专题复习 教案 导学目标： ①理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； ②理解函数单调性的定义，掌握函数单调性的判定与证明，能利用函数的单调性解决一些问题． 自主梳理 1.增函数和减函数 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是___________. 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M 上是_____________或是____________，就说这个函数在这个区间M 上具有_____________（区间M 称为____________）。 3.最大（小）值 （前面已复习过） 4.判断函数单调性的方法 （1）定义法：利用定义严格判断。 （2）导数法 ①若()f x 在某个区间内可导，当'()0f x >时，()f x 为______函数；当 '()0f x <时，()f x 为______函数。 ②若()f x 在某个区间内可导，当()f x 在该区间上递增时，则'()f x ______0，当()f x 在 该区间上递减时，则'()f x ______0。 （3）利用函数的运算性质：如若(),()f x g x 为增函数，则①()()f x g x +为增函数； ②1 ()f x 为减函数（()0f x >）；③()f x 为增函数（()0f x ≥）；④()()f x g x 为增 函数（()0,()0f x g x >>）；⑤()f x -为减函数。函数的单调性知识点总结与题型归纳
高一函数单调性完整版
第08讲 函数的单调性(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
知识点一-导数与函数的单调性
1.3.1函数的单调性例题
2函数的单调性及其应用高三复习专题
函数的单调性 知识点与题型归纳
函数的单调性(一)
高考数学专题：函数的单调性
导数与函数的单调性练习题
函数单调性的判定方法
微专题30函数的单调性答案
高中的常见函数图像及基本性质
微专题30函数的单调性
判断函数可导性的步骤【微积分】
高三数学 函数的单调性专题复习 教案