微分及意义
第五讲 微分及其应用
授课题目：
第六节 微分及其应用 教学目的与要求：
1.理解微分的概念和微分的几何意义
2.会求函数的微分
3.会利用函数的微分进行近似计算
4.理解微分形式不变性
教学重点与难点： 重点：函数的微分 难点：函数微分的定义 讲授内容：
第六节 微分及其应用
一、微分的定义与几何意义
讨论当自变量有微小变化时，函数大体上的变化情况。
引例： 边长为x 的正方形铁片，其面积函
数为2x y =，假定它在0x 受热而膨胀，边长增加x ?，这
时
面
积
的增
加量为
2
02
02
02)(x x x x x x y ?+?=-?+=? 从上式可
以看出，y ?分成两部分，第一部分x x ?02是x ?的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分是比x ?高阶的无穷小。由此可见，如果边长改变很微小，即x ?很小时，面积的改变量可用第一部分来
代替，此时误差也很小（误差仅为2x ?）。
1、定义 设函数)(x f y =在某区间内有定义，0x 及x x ?+0在此区间内，如果
函数的增量
)()(00x f x x f y -?+=?
可表示为
)(x o x A y ?+?=?
其中A 是不依赖x ?的常数，那么称函数)(x f y =在点0x 点可微的，而x A ?叫做函数
)(x f y =在点0x 相应于自变量增量x ?的微分，记作dy ，即
x A dy ?=
0x x ?
注：(1) 微分dy 依赖于函数)(x f ，点0x 及自变量的改变量x ?；
(2) 微分dy 是x ?的线性函数 可以证明：
证明 （1）可微一定可导
若)(x f y =在x 点可微，则)0)((→??+?=?x x o x A y
x
x o A x
y ??+
=??∴)(等式两边取0→?x 时的极限，有：
A x
x o A x
y x x =??+=??→?→?)(lim
lim
即极限x
y x ??→?0
lim
存在且等于A ，
而由导数定义，此极限就是：)('x f
A x f =∴)('，可微一定可导
（2）可导一定可微
若)(x f y =在x 点可导，则)('lim
x f x
y x =??→?
)()('x x f x
y ?+=??∴α，其中0)(lim 0
=?→?x x α
x x x x f y ??+?=?∴)()('α 这里x x ??)(α是一个关于x ?的高阶无穷小量，可将)0)(()(→????x x o x x 记作α
)()('x o x x f y ?+?=?∴
由微分定义，可知)(x f y =在x 点可微，且x x f dy ?=)('
综上所述，对一元函数而言，函数的可微性与可导性是等价的，且有x x f dy ?=)('。 2、可微与可导关系
结论 )(x f y =在点0x 处可微?)(x f y =在点0x 处可导，且A x f =')(0，由此
x x f dy ?'=)(0。
主部的定义
)(x o dy y ?+=?
即dy 是y ?的主部，因而
dy y ≈?
又因x x f dy ?'=)(0是x ?的线性函数，所以在0)(0≠'x f 的条件下，就说dy 是y
?
的线性主部 （当0→?x ）。
通常将自变量x 的增量x ?称为自变量的微分，记作dx ，即x dx ?=，于是，函数
)(x f y =的微分又记为
dx x f dy )('= 从而有
)(x f dx
dy '=
函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商等于该函数的导数。因此，导数也叫做“微商”。
3、微分的几何意义
函数()y f x =的图形是一条曲线，
)(x f y =是可微的，当y ?是曲线
函数
)(x f y =的点的
纵坐标的增量时，dy 就是曲线的
切线上点的纵坐标的增量,,的附近在点很小时当M x ?切线段近似代替曲线段。因而，
dy y ≈?
二、微分运算法则
我们把自变量的微分dx 定义为自变量的改变量x ?，因此可导函数)(x f 在任一点的微分可写成
dx x f dy )('= 1、基本微分公式：
dx
x
darc dx x
x d dx
x x d dx x
x d xdx x d xdx x d xdx x d xdx x d dx
a
x x d dx x
x d adx
a da
dx e de
dx
x
dx dc a
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
1
11
cot 11arctan 11arccos 11arcsin csc cot sec tan sin cos cos )(sin ln 1log 1ln ln 0+-=+=
--
=-=
-==-===
=====-αα
α
2、微分运算法则
设)(x u u =及)(x v v =都是关于x 的可导函数，则有：
dv du v u d ±=±)(
cdu cu d =)( （其中c 为常数）
()0, )()(2
≠-=+=v v
udv
vdu v u d udv
vdu uv d 其中 例3 求函数x e y =在点x=0与x=1处的微分。
例4 求函数2x y =当3=x 和02.0=?x 时的微分
解 x x x x dy ?=?'=2)(2，所以 12.0|2|02
.03
02
.03
=?==?==?=x x x x x x dy
3、复合函数的微分法则
设)( , )(x g u u f y ==，且函数g 在x 处可导，函数f 在相应的点u 处可导，则
dx x g u f dy )()(''=，由于du dx x g =')(，
故 du u f dy )('=
注意到当u 是自变量时，函数)(u f y =的微分dy 也具有上述形式，因此，不管u 是自变量还是因变量，上式的右端总表示函数的微分，这一性质称为微分形式不变性。 例5 设x y cos =，求dy
例6 设x e
y x
cos 31-=，求dy
例7 求由方程y
x e y -=所确定的隐函数)(x y y =的微分
三、微分在近似计算中的应用
利用为微分可以把一些复杂的计算公式改用简单的公式来代替。当|x ?|很小时，有
x x f dy y ?'=≈?)(0 即
x x f x f x x f ?'+≈?+)()()(000 或 ))(()()(000x x x f x f x f -'+≈
特别地，当x f f x f x x )0()0()(||,00'+≈=很小时，有且 常见的近似公式有（|x|很小时）：
n
x x n
+
≈+11 x e x +=1 x x ≈+)1l n ( x x ≈s i n x x ≈t a n
例9 计算 arctan1.05的近似值 例11 计算05.1的近似值 作业：习题3-6 P128 7、9
偏导数的几何意义
偏导数的几何意义 实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件 背景知识： 一偏导数的定义 在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多. 所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例, 如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义 定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在 处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果 (1) 存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做 , , ,或 例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为
记做, , 或 如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导 函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为
常用微分公式
(1)dx dx =nx n -1 ，n ∈N 。 (2)d x dx n x n N n n =∈-11 1,。 (3)dc dx =0，其中c 为常数。(4)(sin x )/=cos x (5)(cos x )/=-sin x 另一种表示：① (x n )/=nx n -1 ② /)(n x =1n 1 1-x ③ (c )/=0 证明： (2)设a 为f (x )=n x 定义域中的任意点， 则f /(a )=a x →lim f (x )-f (a ) x -a =a x →lim a x a x n n --=a x →lim ] )(....)())[((121---++?+--n n n n n n n n n n n a a x x a x a x =1) (1-n n a n =1n (n a -1)=1n (1 1-a ) (4)设a 为任意实数，f (x )=sin x f (x )-f (a )x -a = sin x -sin a x -a = a x a x a x -+-2cos 2sin 2 计算f /(a )= a x →lim f (x )-f (a )x -a =a x →lim ( a x a x a x -+-2cos 2sin 2)=cos a 。 (1)(3)(5)自证 (1)f (x )与g (x )为可微分的函数。?f (x )+g (x )为可微分的函数。 且d dx (f (x )+g (x ))= d dx (f (x ))+ d dx (g (x ))成立。 另一种表示：(f (x )+g (x ))/=f /(x )+g /(x ) 证明：令h (x )=f (x )+g (x )，设a 为h (x )定义域中的任一点 h /(a )=a x →lim h (x )-h (a )x -a =a x →lim a x a g a f x g x f ---+) ()()()( =a x →lim (f (x )-f (a )x -a + g (x )-g (a )x -a )=a x →lim (f (x )-f (a )x -a )+a x →lim (g (x )-g (a )x -a ) =f /(a )+g /(a ) 例：求=+)(35x x dx d ？ 推论：dx d (f 1(x )+f 2(x )+...+f n (x )) = dx x df dx x df dx x df n )() ()(21+???++
偏导数的几何意义教学内容
偏导数的几何意义
偏导数的几何意义 实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件 背景知识： 一偏导数的定义 在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例,如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义 定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果 (1) 存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做
, , ,或 例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为 记做, , 或 如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或
由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在 变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求 时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为 = 其中( )是函数的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题 例求的偏导数 解= , = 二偏导数的几何意义
高数微分公式
初等数学基础知识 一、三角函数 1．公式 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1; tan^2(α)+1=sec^2(α);cot^2(α)+1=csc^2(α)·商的关系： tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα ·倒数关系： tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-1/2[ cos(α-β)-cos(α+β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 2 只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。 3诱导公式： 记忆规律： 竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割 即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的） 1 ο45 2 1 ο45 1 2 ο30 ο60 3
偏导数的几何意义
偏导数得几何意义 ?实验目得：通过实验加深学生对偏导数定义得理解掌握偏导数得几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等得条件?背景知识: 一偏导数得定义 在研究一元函数时、我们从研究函数得变化率引入了导数概念、对于多元函数同样需要讨论它得变化率、但多元函数得变化量不只一个,因变量与自变量得关系要比一元函数复杂得多、所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量得变化率，以二元函数= 为例，如果只有自变量变化,而自变量y固定(即瞧作常量），这时它就就是得一元函数,这函数对x 得导数，就称为二元函数ｚ对于得偏导数,即有如下定义 定义设函数z= 在点得某一邻域内有定义，当y固定在，而在处有增量时,相应得函数有增量 - ， 如果（1) 存在，则称此极限为函数＝在点处对得偏导数，记做 , ，,或 例如，极限(1)可以表为 = 类似得,函数z＝在点处对得偏导数定义为 记做，，或 如果函数= 在区域D内每一点( )处对得偏导数都存在，那么这个偏导数就就是得函数,它就称为函数= 对自变量得偏导函数,记做 , ，,或 类似得,可以定义函数= 对自变量得偏导函数,记做 ，，，或 由偏导数得概念可知，在点处对得偏导数显然就就是偏导函数在点处得函数值，就像一元函数得导函数一样，以后在不至于混淆得地方也把偏导函数简称为偏导数、
至于求=得偏导数,并不需要用新得方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外一个自变量瞧作就是固定得,所以仍旧就是一元函数得微分法问题,求时,只要把暂时瞧作常量而对求导;求时，则只要把暂时瞧作就是常量，而对求导数、 偏导数得概念还可以推广导二元以上得函数，例如三元函数在点（)处对得偏导数定义为= 其中（)就是函数得定义域得内点，它们得求法也仍旧就是一元函数得微分法问题 例求得偏导数 解= ， = 二偏导数得几何意义 二元函数= 在点得偏导数得几何意义 设为曲面= 上得一点,过点作平面,截此曲面得一曲线，此曲线在平面上得方程为= ,则导数，即偏导数，就就是这曲线在点处得切线对轴得斜率、同样,偏导数得几何意义就是曲面被平面所截得得曲线在点处得切线对得斜率 三偏导数得几何意义 我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续，但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续、这就是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴得方向趋于P 时，函数值趋于，但不能保证点Ｐ按任何方式趋于P 时,函数值都趋于、例如，函数 = =｛ 在点（０，0）对得偏导数为 同样有 但就是我们在前面得学习中知道这函数在点（０，0)并不连续 四二阶混合偏导数 设函数= 在区域D内具有偏导数 =, =
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Ax 偏导数的儿何意义 实验目的:通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二 阶混合偏导数相等的条件 背景知识： 一偏导数的定义 在研究一无函数吐我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论 它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变最的关系要比一元函数复杂的多. 所以我们首先考虑多元函数关于其中一-个自变量的变化率，以二元函数z= /(了疗)为例， 如果只有自变量工变化，而自变量y 固定(即看作常量)，这时它就是X 的一元函数,这函数 对X 的导数，就称为二元函数Z 对于才的偏导数,即有如下定义 定义设函数z= *')在点的某一?邻域内有定义，当y 固定在V 。，而工在工。 处有增量? A*时，相应的函数有增量 /(x 0 4-Ax,^) _ /(x 0,^0) f(x 0 +Ax,y 0)-f(x 0,y 0) lim --------------------------------- 如果 Ax (1) 存在，则称此极限为函数z=在点”°疗°)处对汗的偏导数，记做 例如，极限(1)可以表为 f(x 0 +Ax,y 0)-f(x 0,y 0) hgy°)蚣。 类似的，函数z= ,(兀、)在点(冲疗°)处对歹的偏导数定义为 尚 栈尚九(％必) dz
lim 敏T O Rxo，Vo +Ay）?地， dz 记做分5 X■命 如果函数2= 了3疗）在区域D内每一点（&'）处对工的偏导数都存在,那么这个偏导数就是工溜的函数,它就称为函数Z = /（工1）对自变量式的偏导函数，记做 & 堂 凯瓦，气或九（"）类似的，可以定义函数z= /（兀力对自变量W的偏导函数，记做dz 山偏导数的概念可知，/3'力在点（如儿）处对工的偏导数九成。/）显然就是偏导函数九3',）在点成°疗°）处的函数值,就像-?元函数的导函数-?样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求z=的偏导数,并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外 dz 一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题，求欲时,只要把*暂时看 作常最而对工求导;求莎时，则只要把式智时看作是常量，而对V求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数，例如三元函数〃 = /（兀MZ）在点（、,yz）处对式的偏导数定义为 岫Rx +Ax, y ,z）?Rx ,y ,z） 九（X'V’z） = A XT O A X 其中（X'W'Z）是函数〃 = /3，V，z）的定义域的内点，它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题 例求z = / sin 2y的偏导数 dz
微分和导数的几何解释和物理解释
微分和导数的几何解释和物理解释 1.微分和导数的几何解释 莱布尼茨当初是借助几何直观定义函数的微分和导数.近代微积分是借助极限定义函数的微分和导数.如图2-4，因为比值y x ??是弦PA 的斜率，当0→?x 时，点A 沿曲线无限接近点P ， 所以曲线)(x y y =在点P 处切线PT 的 斜率就是导数 00d ()lim d x x x y y y x x x ?→=?'== ? 根据直线方程的点斜式，切线PT 的方程 就是 000()()y y y x x x '-=- 其中00()y y x =，x 和y 为切线上流动点 的坐标. 我们可以得出下面的结论： 曲线()y y x =在点00(,)x y 处有不垂直于Ox 轴的切线，充分必要条件是函数()y x 在点0 x 可微分；当0||||h x x =-很小时，曲线()y y x =接近它在点x y 00(,)处的切线 000()()y y y x x x '=+- [其中00()y y x =] 这就是说，在点00(,)P x y 近旁，曲线段()y y x =看作直线段（切线）是合理的. 【注】 当00()lim x y y x x ?→?'==∞?（无穷导数）时，说明曲线()y y x =在点00(,)x y 处有垂直于Ox 轴的切线 0x x =. 在点P 处垂直于切线的直线PQ ，称为曲线)(x y y =在点P 处的法线(图2-4).因此，当 0()0y x '≠时，曲线)(x y y =在点00(,)P x y 处法线的斜率为01 () y x - '（相互垂直两直线斜率的乘积等于1-），从而法线方程就是 0001 ()() y y x x y x -=- -' (点斜式) 其中x 和y 为法线上流动点的坐标. 其次，在图2-4中，从初等数学的角度说，把“微分三角形”PBT 和“增量三角形”PBA 看作全等当然是不对的.但从变量数学的观点来说，把y d 和y ?看作“相等”是合理的 [因为 )0(d →??≈x y y ]，所以三角形PBT 和三角形PBA “全等”(这里说的“全等”是指对应边为 等价无穷小量).于是，把弧 PA 的长度s ?、弦长||PA 和微分三角形PBT 的斜边长||PT 都看作“相等”是合理的.因此，在微积分中就认为 2 2 2 )d ()d ()(d y x s += 或 )0d (d 1)d ()d (d 222>'+=+= x x y y x s (2-4) 我们就称式(2-4)为弧长的微分形式或弧微分. 图2-4 y
微分的几何意义
微分的几何意义 1 微分的几何意义 x设函数在点处可导，如图一所示，直线MT为曲线在点 y,f(x)y,f(x) 图一微分的几何意义 dy,M处的切线，MQ,dxNQ,,y,PQ,tan,，dx,tan,dx,dx,f(x)dx。 dx 所以，dy,PQ，而PQ为曲线y,f(x)在M点处的切线MT上的纵坐标的增量。当自变量很小时，就可以用切线段上的增量来近似代替曲线段上的增量。 , 若曲线的弧长为，则有 MN,,s dy222|MP|,(dx)，(dy),dx1，(),(dx,0) ……(1) dx (1) 式称为弧的微分公式，由图可知: 22ds,(dx)，(dy) 当曲线上的N点无限地(想象力比知识重要～)接近M点时，即时，,x,0
, 曲线的弧长为转化为直线(切线MP)。此时，(增量等于微分)。 MN,,s,s,ds 根据导数与微分的关系、导数与积分的关系，由基本初等函数的求导公式和积分公式，可以直接推出其微分和积分公式。 2 函数的导数我们是这样定义的: 设函数在点x0处及其近旁有定义，当自变量 y,f(x) x在x0处有增量时，相应地函数y有增量。 ,x ,y,f(x，,x),f(x),, ,y 的极限存在，这个极限称为函数y=f(x)在点x0处的如果 lim ,x,0,x 导数(或称为变化率)，记为: y, fx，,x,fx()(),,,lim,y, limx,x,x,00x,,x,0 ,x,y如果极限不存在，就说函数y=f(x)在点x0处不可导。 lim ,x,0,x 根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤: ,y,f(x，,x),f(x)1.求增量: (1) ,yf(x，,x),f(x)2.算比值: , ……(2) ,x,x ,yfx，,x,fx()()3.取极限: ,y,,limlim,x,0,x,0,x,x (3) 2y,x例1 求函数的导数。 解: (1)求增量: 222,,，,,yfxxfx()(),，,,,,，,()2()xxxxxx ,y(2)算比值: ,2x，,x
二元函数及其偏导数的几何意义.doc
120 实验14 偏导数与方向导数 多元函数的偏导数刻画了函数沿坐标轴方向的变化率．设函数(,)z f x y =在点()00,x y 的某一邻域内有定义，该函数在点()00,x y 处关于自变量x 的偏导数 ()()00000000,,(,)lim lim x x x x f x x y f x y z f x y x x ?→?→+?-?'==??， 同样可定义函数(,)z f x y =在点()00,x y 处关于自变量y 的偏导数00(,)y f x y '．因为定义中考虑的是函数沿x 或y 方向的变化量，所以偏导数反映的是函数沿坐标轴变化的快慢程度． 方向导数作为偏导数的推广，它可以刻画函数沿不同方向变化的快慢程度．以二元函数(,)z f x y =为例，设00(,)P x y 和(cos ,cos )αβ=u 为给定点和给定方向，则称极限 000000(cos ,cos )(,)lim lim h h f x h y h f x y z h h αβ→→++-?= 为函数(,)z f x y =在点00(,)P x y 处沿方向u 的方向导数，记为0 P f u ??．我们知道，如果函数 (,)z f x y =在点00(,)P x y 处可微，则在该点处沿任何方向的方向导数存在，且沿梯度 00grad (,)P P f f f x y ??=?? 的方向导数最大，并且该点的梯度方向与经过该点的等值线:(,)l f x y C =在该点的切线方向互相垂直．假设一光滑坡面可由二元函数(,)z f x y =来描述，现在坡面某处有一物体，假设该物体沿最陡的路线向下滑落，由于最陡方向即为高度z 减少最快的方向，即函数(,)z f x y =的梯度相反方向，由此可确定物体向下滑动的路径．本实验以实验形式考虑、分析了曲面与平面的交线及在坐标平面上的投影、等值线与隐函数的图形、曲面与平面交线的切线以及最速下降曲线。
偏导数的几何意义
实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件 背景知识： 一偏导数的定义 在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数 = 为例,如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义 定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在 ,而在处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果(1) 存在,则称此极限为函数 = 在点处对的偏导数,记做 , , ,或 例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为 记做 , , 或 如果函数 = 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数 = 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 类似的,可以定义函数 = 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或 由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.
至于求 = 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为 = 其中( )是函数的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题 例求的偏导数 解 = , = 二偏导数的几何意义 二元函数 = 在点的偏导数的几何意义 设为曲面 = 上的一点,过点作平面 ,截此曲面得一曲线,此曲线在平面上的方程为 = ,则导数 ,即偏导数 ,就是这曲线在点处的切线对轴的斜率.同样,偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对的斜率 三偏导数的几何意义 我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P 时,函数值趋于 ,但不能保证点P按任何方式趋于 P 时,函数值都趋于 .例如,函数 = ={ 在点(0,0)对的偏导数为 同样有 但是我们在前面的学习中知道这函数在点(0,0)并不连续 四二阶混合偏导数 设函数 = 在区域D内具有偏导数 = , =