多涡卷混沌吸引子的电路研究
东北师范大学
硕士学位论文
多涡卷混沌吸引子的电路研究
姓名：刘英明
申请学位级别：硕士
专业：电路与系统
指导教师：汪大伟
20070501
二、用阶梯波序列产生多涡卷混沌吸引子
用阶梯波序列能够产生多涡卷吸引子，其数学模型如下（１）式所示口甜：
２．１一维（Ｍ，＋以＋１）涡卷
此时公式模型中的各参量为它里面的ｇ。Ｇ）一ｆ２０ｆ＜０
ｆ乏０
ｆ‘０，而＾（．）Ⅳ，＾，，一薹ｇｌ型Ｇ）＋薹ｇ绁＠）ｌ－Ｊ２●－１２．
平衡点由下式决定，％一ｍ；ｏ；ｏｋｔ—Ｍ。，—Ｍ；＋１’…，也一１，虬））；口”此时的平衡点在线
上，其涡卷由非线性产生环绕在该线沿Ｘ轴的空间。其平衡点如图１所示：
４
Ｏ
ＯｌＯ
如翻峥臣Ｏ．１）
阿一…．）２（０ＯＯＯ
卜卜‘、ｒ口口口口１
０Ｏｄ
图１一维涡卷沿ｘ轴的平衡点图２二维涡卷在（Ｘ，Ｙ）平面的平衡点
Ｐｉ。Ｍ，４－０．５＋（ｆ一１）Ｑｄｙ＋Ｎｙ＋１）
户ＩＭｙ＋Ⅳ，＋ｌ：
“”。卜Ｍ，；．．’；一１；ｏ生…；Ⅳ，Ｊ是平衡点的ｙ向量，平衡点由下式决定
Ｖ。一亿一１）似，＋以＋１）＋Ｊ；一ｊ；ｏｊｉ－１＇２，…，辨；，－－Ⅳ，，…，一１，ｏ工…，Ｍ，）｝［３习：这类情况
是，有两个非线性函数非别在Ｘ，Ｙ轴产生非线性，平衡点在Ｘ，Ｙ平面内，涡卷由非线性
产生并且曾加到二维空间。其平衡点如图２所示。
２．３三维七×∞，＋Ⅳ，＋１）×似ｚ＋Ⅳｚ＋１）涡卷
此时公式模型中的各参量为
，而，１０）与一维中的相同，，２Ｇ）与二维中的相同，
５
以－们√副也爪“以●Ｌ
，，ｏ）。荟）笞一＠），它里面的＾ｆＩｌｌＰ４－０．５＋Ｕ一项ｐ＋ｆ＋１）
ｙ－Ｐ＋ｆ＋１
ｐ—Ｉ睁一＋Ｈ尸４ｊ，ｆ—Ｉ肾ｐ＋Ｈ尸‘１，∥．【－％…；一１；蜘鹕Ｊ和Ｕｅｑ，ｚ一［－Ｍ：；…；一１；ｏ皿…；Ⅳ：】是平衡点的ｙ，ｚ向量。平衡点由下式决定，ｙ。－如一１）（ｆ＋ｐ＋１）一“尸”一耻尸４；Ｈ尸’，；“尹‘Ｊ．（ｆ
１１，２，…，Ｍｙ＋Ⅳ，＋１，，＿１，２，…，Ｍｚ＋Ｍ＋ＬＺＩＬ２，…，七?）蚴；三维情况是一维和二维的总括，此时平衡点在ｘ，Ｙ，ｚ三维空间内，如图３涡卷由非线性产生布满三维空间。图４为４Ｘ３ｘ２涡卷混沌吸引子。
图３三维涡卷在（ｘ，Ｙ，ｚ）三维空间的平衡点
图４（４ｘ３ｘ２）涡卷混沌吸引子
６
图５随转折点值ｔｉｆｆ变化时的分岔图图６一维３涡卷混沌吸引子
３．２三角波参数变化时对混沌系统特性的影响
３．２．１通过改变参数Ａ的值，可改变三角波的幅度，宽度，转折点，平衡点和斜率的大
小，适当选取参数Ａ的大小对于产生涡卷数量更多的混沌吸引子是至关重要的，如果Ａ
的值选的较大，当涡卷的数量增加时，混沌信号就会超出运算放大
器的动态范围，难以产生数量较多的涡卷。对于１ｌ涡卷吸引子当Ａ＝５和５涡卷吸引子
Ａ＝３时吸引子变为如图７和图８所示。
图７一维１ｌ涡卷混沌吸引子（Ａ＝５）
图８一维５涡卷混沌吸引子（Ａ＝３）
８
‘
３
２
１
Ｏ
，
２
Ｋ
３．２．２参数ａａ。具有对称性。由于Ｆ１（ｘ）为奇函数，故满足口口。＝硼．（Ｆ１，２，３…）．３．２．３通过改变参数∞。的值，可改变三角波幅度，转折点和斜率的大小，从而可改变涡卷的大小和形状。当各４口．的值相等时，Ｆ１（ｘ）为均匀一致的三角波；当ｇｒａａ。的值不相等时，五＠）为非均匀一致的三角波。以１１涡卷混沌吸引子为例，令Ｍ－－５，Ａ＝Ｉ，现分别取如下两组不同的∞。的值：
［ａａｌ，ａａ２，ａａ３，ａａ４，ａａＳ］＝［Ｏ．１，Ｏ．１，０．０５，０．０１，０．００１］，
［ａａｌ，ａａ２，ａａ３，ａａ４，ａａ５］＝［０．１，０．０１，０．１，０．０１，０．１］，
图９由小到大的一维ｌｌ涡卷混沌吸引子
图１０大小相间的一维１ｌ涡卷混沌吸引子
第一组数据产生由小到大的１１涡卷混沌吸引子，如图９所示，第二组数据产生大小相问的１１涡卷混沌吸引子，如图ｌＯ所示。
３．２．４通过改变参数ａａ。的值，可改变涡卷的形状和相轨分布。参数Ａ不变，改变ａａ。的
９
值，随着口口。值的增加相轨迹将远离平衡点，随着ａａ，的减小相轨迹将
近平衡点，这可通过两组数据来加以说明。以５涡卷混沌吸引子为例，令Ｍ＝２。第一组数据为［ａａｌ，ａａ２］＝［０．１，０．１］，结果如图１１所示；第二组数据为
［ａａｌ，ａａ２］＝［０．０１，０．０１］，结果如图１２所示。
（ｘ，Ｙ）混沌吸引子（ｘ，Ｙ，ｚ）混沌吸引子
图１１相轨迹远离的一维５涡卷混沌吸引子
（ｘ，ｙ）混沌吸引子（Ｘ，Ｙ，ｚ）混沌吸引子
图１２相轨迹靠近平衡点的一维５涡卷混沌吸引子
３．３系统在平衡点处的混沌动力学特性
三角波ＥＯ）中的正负线性函数段相对应的平衡点吃，Ｅ二可表示为
吃：‰一Ｉ，ｎｌ／ｍｂ（ｍ一±Ｌ：ｔ：２，．．．＇±Ｍ），
￡０＝２ｍＡ（ｍ?Ｏ，±１，±２，…，±＾ｆ）………（５）
１０
四．用三角波序列产生三维多涡卷混沌吸引子
在上述分析结果的基础上，进一步提出用三角波序列来构造一个三维多涡卷混沌系统。用三角波序列来构造三维多涡卷混沌系统的状态方程可表示为（８）式
ｄｘ／ｄｆ－一，２（ｙ）；
ａｙ／ｄｆ一一只（ｚ）；
ｄｚ／ｄｚＩ一卢＋ｚ—ｒ／４Ｙ＋ｙ＋Ｆ１０）…………………………………．．（８）
式中，ｒ／＝卢＝ｙ＝０．７５，最Ｏ），，２ｏ，），Ｂ０）为三角波序列，数学表达式为
Ｅ＠）－。参／知口。肛爿（拥一圳／肼））…。Ｉ—ｋ４∽一Ｈ／肌））…。胁，
Ｆｅ（ｙ）一窆，７砌。妙一彳∞一Ｉ，，ｒ／厅））＋船。ｆ－ｆ（，，一爿协．Ｈ／盯））一船．１｝＿ｊ，，
一ｎａＯ。’
Ｆ３Ｇ）－皇爿／勉４，他一彳∞一Ｈ／ｆ））＋帆｜－｜仁一４伍一Ｉ，Ｉ／ｆ））一嘲｜｝一ｚ，……．（９）
式中，Ａ＞Ｏｆｆ口ａａ』∈（ｏ，０．１５Ａ】（ｊ一土１，±２，．．．）为三角波序列的变参数，含义同前；Ｍ，Ｎ，Ｌ为正整数。其中，Ｍ＝Ｉ，Ｎ＝２，Ｌ＝Ｉ，Ａ＝Ｉ，ａａｍａａ。一ａａ。：∈（ｏ，ｏ．１５】．根据函数表达式可得ＥＯ）。Ｅ（），）和Ｅ（ｚ）如图１３所示，黑色实点为其平衡点。它们的确切位置由平衡点方程决定，具体如下：
（ａ）Ｅ＠）和涡卷平衡点的位置
（ｂ）Ｅ（），）和涡卷平衡点的位置
（ｃ）Ｅ（ｚ）和涡卷平衡点的位置
图１３三角波序列的涡卷平衡点位置
（１）Ｅ五＋Ｅｊ‘一６时涡卷对应平衡点的坐标值怛二，Ｅ品，Ｅ０Ｊ为（８，一４，一２）．
（２）￡五＋％－一４时涡卷对应平衡点的坐标值眩，Ｅ品，Ｅｊ）为（６，一４，０），（６，－２，－２）．
（３）‰＋％?一２时涡卷对应平衡点的坐标值眩，占厶，％）为（４，一４，２），（４，一２，０），（４，０，一２）．
（４）‰＋毛－ｏ时涡卷对应平衡点的坐标值眩，Ｅ品，％Ｊ为（－２，一２，２），（－２，０，Ｏ），（－２，２，－２），（Ｏ，－２，２），（０，０，０），（Ｏ，２，一２），（２，一２，２），（２，０，Ｏ），（２，２，一２）．
（５）‰＋％－２时涡卷对应平衡点的坐标值眩，Ｅ五，％Ｊ为
（一４，２，Ｏ），（一４，０，２），（一４，４，一２）．
（６）￡品＋％－４时涡卷对应平衡点的坐标值恒二，Ｅ五，Ｅ０）为（一６，４，０），（－６，２，２）．
（７）％＋奶。６时涡卷对应平衡点的坐标值眩，Ｅ五，Ｅ０Ｊ为（一８，４，２）．
上述２１个涡卷对应的平衡点均为指标２的鞍点，其特征值苜，屯．，能够满足在负斜率线性段的各个区间中形成径向拉伸和轴向收缩的涡卷运动。相对应的Ｊａｃｏｂｉ矩阵可表示为
．，．『。０一Ｋ。；一点０芎１
‘，－ｌＯＯ—ＫｉＩ
【孵一叩一∥Ｊ．．．…………………．．（１０、
式中，Ｋｉ。Ｋ；。巧＿一１分别代表三角波序列曩０），Ｅ（），），Ｆ３（ｚ）在各自线性函数段的负斜率。令爿一１，口一口ｎ—ａ。：－…一０．０７５，求得涡卷平衡点眩，Ｅ厶，％Ｊ相对应的特征值为苜－－０－８７３９，笼３。ｏ?０６１９±ｆｏ?９２４３；令Ｍ－ｌ，Ｎ：２，Ｌ＝Ｉ，Ａ－－１，口。口土ｌ。口ｔ２。０．０７５，叩＝卢＝ｙ＝Ｏ．７５，可得三维２１涡卷混沌吸引子的数值模拟结果如图１４所示。
（ｘ，ｙ）吸引子
１４
（ｙ，ｚ）吸引子
（Ｘ，ｚ）吸引子
（Ｘ，Ｙ，ｚ）吸引子
图１４三维２１涡卷混沌吸引子