2011年暑假八年级数学作业7月11
A
B
C F
D
P 图3
A
B C D
P 图2 E
l l
E
F A B C D
P 图１ l E F 2011年暑假八年级数学作业2011.7.11
1. 如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，∠DCB=450
，CD=2，BD⊥CD.过点C 作CE⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，点G 为BC 中点，连结EG 、AF ．（1）求EG 的长；（2）求证：CF=AB+AF ．
2.在等边ABC △中，点D 为AC 上一点，连结BD ，直线l 与AB BD BC ，，分别相交于点E P F ，，，且
60BPF ∠= ．
（1）如图1，写出图中所有与BPF △相似的三角形，并选择其中一对给予证明； （2）若直线l 向右平移到图2、图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
（3）探究：如图1，当BD 满足什么条件时（其它条件不变），1
2PF PE =？请写出探究结果，并说明理由．
3. 在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝1
2
∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ． ⑴当AB ＝AC 时，（如图1）
①∠EBF ＝_______°；②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；
⑵当AB ＝kAC 时（如图2），求BE
FD
的值（用
含k 的式子表示）．
图1 B E
F
F E D
C
B
A
图2
A B
C
D
E
F
4.情境观察:将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A(A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC 相等的线
段是 ，∠CAC′= °．
问题探究:如图3，△ABC 中，AG⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰
Rt△ABE 和等腰Rt△ACF，过点E 、F
作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q. 试探究EP 与FQ 之间的数量关
系，并证明你的结论.
拓展延伸:如图4，△ABC 中，AG⊥BC 于点G ，分
别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩
形ACNF ，射线GA 交EF 于点H. 若AB= k AE ，AC= k AF ，试探究HE 与HF 之间的数量关系，并说明理由.
5. 在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线P E⊥AB，与边AC 或BC 相交
于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM ＝EN ，12
13
PE EM ．
（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；
（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP ＝x ，BN ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）若△AME∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．
图4 M N G F
E
C B A H 图3
A
B C
E F G P Q 图1 图2
C'A'B A D C A B C D B C
D A (A')C'图1
图2
备用图
A
B
C F
D
P 图3
A
B C D
P 图2 E
l l
E
F A B C D
P 图１ l E F 2011年暑假八年级数学作业2011.7.11
1. 如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，∠DCB=450
，CD=2，BD ⊥CD.过点C 作CE⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，点G 为BC 中点，连结EG 、AF ．（1）求EG 的长；（2）求证：CF=AB+AF ．
2.在等边ABC △中，点D 为AC 上一点，连结BD ，直线l 与AB BD BC ，，分别相交于点E P F ，，，且
60BPF ∠= ．
（1）如图1，写出图中所有与BPF △相似的三角形，并选择其中一对给予证明； （2）若直线l 向右平移到图2、图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
（3）探究：如图1，当BD 满足什么条件时（其它条件不变），1
2PF PE =？请写出探究结果，并说明理由．
解：（1）BPF EBF △∽△与BPF BCD △∽△. 以BPF EBF △∽△为例，证明如下：
60BPF EBF ∠=∠= ，BFP BFE ∠=∠，BPF EBF ∴△∽△；
（2）均成立，均为BPF EBF △∽△，BPF BCD △∽△； （3）BD 平分ABC ∠时，1
2
PF PE =
． 证明：BD 平分ABC ∠，30ABP PBF ∴∠=∠= .60BPF ∠= ，90BFP ∴∠=
，1
2
PF PB ∴=
，又603030BEF ABP ∠=-==∠
，BP EP ∴=，1
2
PF PE ∴=
3. 在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝
1
2
∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ． ⑴当AB ＝AC 时，（如图1）
①∠EBF ＝_______°；②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明； ⑵当AB ＝kAC 时（如图2），求BE
FD
的值（用含k 的式子表示）．
图1
B E
F
F E D
C
B
A
图2
A B
C
D
E
F
4.情境观察:将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A(A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC 相等的线段是 ，∠CAC′= °．
问题探究:如图3，△ABC 中，AG⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt△ABE 和等腰Rt△ACF，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q. 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸:如图4，△ABC 中，AG⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H. 若AB= k AE ，AC= k AF ，试探究HE 与HF 之间的数量关
系，并说明理由.
情境观察:AD （或A′D），90
问题探究
结论：EP=FQ. 证明：∵△ABE 是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP. ∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP. 同理AG=FQ. ∴EP=FQ. 拓展延伸
结论： HE=HF. 理由：过点E 作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P 、Q.
∵四边形ABME 是矩形，∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴AG EP = AB
EA
.
同理△ACG∽△FAQ，∴AG FP = AC
FA
.
∵AB= k AE，AC= k AF ，∴AB EA = AC FA = k ，∴AG EP = AG
FP
. ∴EP=FQ.
∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF .
5. 在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC 或BC 相交
于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM ＝EN ，12
13
PE EM ．
（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；
（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP ＝x ，BN ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）若△AME∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．
Q P H
A B C
E
F G N
M
图4
M
N
G F
E C
B A
H 图3 A B C
E F G P Q 图1 图2
C'A'B A D C A B C D B
C D A (A')C'
解：(1) 由AE=40，BC=30，AB=50，?CP=24，又sin ∠EMP=
13
12
?CM=26. (2) 在Rt△AEP 与Rt△ABC 中，∵ ∠EAP=∠BAC ，∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC，
∴
AC
BC AP EP =，即4030=
x EP ，∴ EP=43
x ， 又sin ∠EMP=1312?tg ∠EMP=512=MP EP ?512=MP x
43，∴ MP=16
5
x=PN ，
BN=AB -AP -PN=50-x -165x=50-16
21
x (0 12134 3=x EM ，?EM=1613 x=EN ， 又AM=AP -MP=x - 165x=16 11 x ， 由题设△AME ~ △ENB，∴ NB ME EN AM = ，?x x 16131611=x x 16 21501613-，解得x=22=AP. 当E 在线段BC 上时，由题设△AME ~ △ENB，∴ ∠AEM=∠EBN. 由外角定理，∠AEC=∠EAB +∠EBN=∠EAB +∠AEM=∠EMP ， ∴ Rt△ACE ~ Rt△EPM，?PM EP CE AC = ，即x x CE 16 54340=，?CE=3 50… 。 设AP=z ，∴ PB=50-z ， 由Rt△BEP ~ Rt△BAC，?BC BA PB BE = ，即z BE -50=30 50，?BE=35 (50-z)， ∴CE=BC -BE=30- 35 (50-z)… 。 由 ， ，解3 50=30-35 (50-z)，得z=42=AP.