泛函分析习题标准答案
第二章 度量空间
作业题答案提示 1、
试问在R 上，()()2,x y x y ρ=-
能定义度量吗？
答：不能，因为三角不等式不成立。如取
则有(),4x y ρ=,而(),1x z ρ=，(),1z x ρ= 2、
试证明：（1）()1
2
,x y x y ρ=
-;(2)(),1x y x y x y
ρ-=
+-在R 上都定
义了度量。
证：（1）仅证明三角不等式。注意到
2
11
22x y x z z y x z z y ??
-≤-+-≤-+- ?
??
故有1
112
22
x y
x z z y
-≤-+-
（2）仅证明三角不等式 易证函数()1x
x x
?=+在R +上是单调增加的， 所
以
有
()()
a b a b ??+≤+,从而有
1111a b a b a b
a b a b a b
++≤≤+
++++++
令,,x y z R ?∈,令,a z x b y z =-=- 即111y x z x y z
y x z x y z
---≤+
+-+-+-
4.试证明在[]b a C ,1
上，)12.3.2()()(),(?-=b
a dt t y t x y x ρ
定义了度量。
证：（1）0)()(0),(≡-?=t y t x y x ρ（因为x,y 是连续函数） 0),(≥y x ρ及),(),(x y y x ρρ=显然成立。
[])
,(),()()()()()()()()()()(),()2(y z z x dt
t y t z dt t z t x dt
t y t z dt t z t x dt
t y t x y x b
a
b a
b a
b
a ρρρ+≤-+-≤-+-≤-=????
5.试由Cauchy-Schwarz 不等式证明
∑∑==≤??
?
??n
i i
n i i x n x 12
2
1
证：∑∑∑∑=====?≤??
? ??n
i i
n i n i i n i i x n x x 12
12
122
11
8.试证明下列各式都在度量空间()11,ρR 和()21,R R 的Descartes 积
21R R R ?=上定义了度量
{}2
12/1222121,max ~~)3(;)(~)2(;)1(ρρρρρρρρρ=+=+= 证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设12(,)x x x =，12(,)y y y =12R R ∈?，则
{
}
12
22
1
112
2212
22
2222
111111222222112
2222
2
1111
112222
2211222211(,)[(,)(,)]
(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)
n n i i i i i i x y x y x y x z z y x z z y x z z y x z z y x z z y ρρρρρρρρρρρρρξηξη===+????≤+++????
????≤+++????????=++≤+ ? ?????∑∑%%%1
221n i =???? ? ? ??? ???
∑
（3）111222(,)max{(,),(,)}x y x y x y ρρρ=%%
111111222222111111222222max{(,)(,),(,)(,)}max[(,)(,)]max[(,)(,)](,)(,)
x z z y x z x z x z z y x z x z x z z y ρρρρρρρρρρ≤++≤+++=+%%%%
9、试问在[,]C a b 上的0(;1)B x 是什么？
[,]C a b 上图像以0x 为中心铅直高为
2的开带中的连续函数的集
合。
10、试考虑[0,2]C π并确定使得(,)y B x r ∈的最小r ，其中
sin ,cos x t y t ==。
[0,2]
[0,2(,)sup sin cos sup
)4
t t x y t t t πππ
ρ∈∈=-=-=
11．试证明在离散度量空间中，每个子集既是开的又是闭的。 设A 是离散度量空间X 的任一子集。
a A ?∈，开球1
(,){}2
B a a A =?，故A 事开集。
同样道理，知C A 是开的，故()C C A A =又是闭集。
12．设0x 是M R ?的聚点，试证明0x 的任何邻域都含有M 的无限多个点。 证：略。
13．（1）若度量空间R 中的序列{}n x 是收敛的，并且有极限x ，试证明{}n x 的每个子序列{}k
n x 都是收敛的，并且有同一极限。
（2）若{}n x 是Cauchy 序列，并且存在收敛的子序列{}k
n x ，
k n x x →，试证明{}n x 也是收敛的，并且有同一极限。
（1） 略
（2） ε?，N ?，当,k
m n N
>时，有
(,)2
kl
m n x x ε
ρ<
，(,)2
kl
n
x x ε
ρ<（{}n x 是Cauchy 序列且k
n
x x →）
因此，当m N >时，(,)(,)(,)2
2
kl
kl m m n
n x x x x x x ε
ε
ρρρε
≤+≤+
=
18.试证明：Cauchy 序列是有界的.
证明：若{}n x 是Cauchy 序列，则存在,使得对于一切0n n >,有()0
,1n n
x x ρ<,因此，对于一切n ，有
()()(){}0
00
1
1
,max 1,,,...,,n n
n n n x x x x x
x ρρρ-≤
19.若{}n x 和{}n y 都是度量空间x 中的Cauchy 列，试证明： (),n n n x y ρρ=是收敛的。
证：根据三角不等式，有
()()()()
()()
,,,,,,n n n n m m m m n n m m m n x y x x x y y y x x y y ρρρρρρρρ=≤++=++
故，()(),,n m n m m n x x y y ρρρρ-≤+ 同样有：()(),,m n n m m n x x y y ρρρρ-≤+
即：()(),,0n m n m m n x x y y ρρρρ-≤+→ 而R 是完备的，则{}n ρ是收敛的。
34.若X 是紧度量空间，并且M X ?是闭的，试证明M 也是紧的。
证明：因为X 是紧的，故M 中任一序列{}n x 有一个在n X 中收敛的子序列{}nk x 。不妨设{}nk x x X →∈，则有x M ∈。又因M 是闭的，所以x M ∈，因此M 是紧的。
第三章 线性空间和赋范线性空间
10.试证明下列都是n R 上的范数 （1）
11n
i
i x x ==∑； (2)
1
2
2
21n i i x x =??= ?
???
∑ ; (3) max i i
x x ∞=; 2
12
1n
i
i x x =?? ?= ??
?
∑是范数吗？
（1）、（2）和（3）的证明略
2
12
1n
i
i x x =?? ?= ??
?
∑不是范数，不满足三角不等式。
以
为例，令()()1,0,0,1x y ==则1,4x y x y ==+=
13.试证明（1）C 、0C 和0l 都是l ∞的线性空间，其中C 是收敛数列集；0C 是收敛数列0的数列集；0l 是只有有限个元素的数列集。 （2）0C 还是l ∞的闭子空间，从而是完备的。 （3）0l 不是l ∞的闭子空间。 证明：
（2）设()12,0,...x x x C =∈，()()
()12
,,...n n n x x x =,使得 ()n n x x →∞→.则有任意的0ε>，N ?使得对于一切j ，
当,时有
,又因为，所以当时
从而有
于是，故
14.试证在赋范线性空间中，级数的收敛性，并不蕴含级数的收敛性。
令，则，且
于是，收敛
但
15.设是赋范线性空间，若级数的绝对收敛性蕴含着级数的收敛性，则是完备的。
证：设{X
n }是X中任一Cauchy列，则?k∈N，?n
k
，s.t.当m，
n≥n
k 时，k-
<2
S-
S
m
n
。
而且对一切的k，可选取n
1
k+>n
k
，从而{S
nk
}是{S
n
}的一个子列，
并且令X 1=S 1n ，X k =S n -S nk ，则{S nk }是级数k X ∑的部分和序列，从而
12X 12
)1(112
1k +=+=+-=∑∑∑∞
=--∞
=-X X X S S k k k k k
于是k X ∑绝对收敛，故k X ∑收敛。
不妨设S nk →S ∈X ，由于{X n }是Cauchy 列，故
0S n →-+-≤-S S S S S nk nk n
又由于{S n }是任意的，故证明X 是完备的。
17.设（X ，1?）和（X ，2?）是赋范线性空间，试证明其Descarts 积X=X 1*X 2在定义范数X =max{11X ，22X }后也成为赋范线性空间。
证：（1）X =0?11X =22X =0?X=（0,0）=Θ
（2）X α=max{11X α，22X α}=αmax{11X ，22X }=αX （3）设X=（X 1，X 2），y=（y 1，y 2），则 }y x y x max{y x 222111++=+，
y
+=+≤++≤x }y ,y max{}x ,x max{}y x ,y x max{2211221122221111
20.（1）若?和?0是X 上任意两个等价范数，试证明（X ，?）和（X ，?0）中的Cauthy 序列相同 （2）试证明习题10中的三个范数等价 证：设{X n }是（X ，?）中的任一Cauthy 序列，即 0>?ε，∈?N N ，当n ，m>N 时，ε 由于?和?0是X 上任意两个等价范数，所以存在正数a ，b 使a ?≤?0≤b ? （*） 于是当n ≥m>N 时，有 εb x b x m m <-≤-n 0n x x 即x n 是（X ，?0）中的Cauthy 序列。 反之，若{x n }是（X ，?0）中的Cauthy 序列，则由（*）左边不等式，可证{x n } 是（X ，?）中的Cauthy 序列。 （2）R n 是有限维赋范线性空间，其上的范数都是等价的。 20 (2)的直接证明： 证明在中，范数1?、2?和∞?等价，其中 11n i i x x ==∑；12221 () n i i x x ==∑；max i x i x ∞= 证 1o Q 2 2 max i i x i x ≤， ∴2x x ∞∞≤≤， 故2?和∞?等价。 2o 由Cauchy-Schwart 不等式，得， 1112 2 2 2 2 1 1 1 1 ()(1)() n n n n i i i i i i i x x n x ====≤=∑∑∑∑ 故有 12x n x ≤ 再有 112222 2111 ()[()]n n i i i i x x x x ===≤=∑∑ 我们得 1211 x x x n ≤≤ 故1?与2?等价 29. 若T ：()D T Y →是可逆的线性算子，x 1,...,x n 是线性无关的，试正明1Tx ,...,n Tx 也是线性无关的. 证：若存在λ1，...，λn ∈Ф且不全为零，使得 11...0n n Tx Tx λλ++=, 则由于1T -存在且为线性的，故 1T -()1111......0n n n n Tx Tx x Tx λλλλ++=++=, 与x 1,...,x n 线性无关矛盾。 32.若T θ≠是有界性算子，试证明对满足1x <的任意()x D T ∈，都有Tx T <. 思路：由Tx T x ≤即证结论。 33.设Τ： ∞ → ∞ 使得21, ,...2x Tx x ?? = ??? ，试证明() ,.T B l l ∞∞∈ 证：设()12,,...,,...n x x x x =，()12,,...,,...n y y y y =，则 () ()1211211222122211211212221121,,...,,...,,...,,...22,,...,,...22n n n n T x y T x y x y x y x y x y x y n n x y x y αααααααααααααααα+=+++?? =+++ ? ????? ?=+ ? ? ???? =2211χαχαT +T 从而T 是线性算子. χ χχχ=≤=T n n n n n sup sup , 所以()1,,≤T B ∈T ∞∞且l l . 进一步可以证明1=T . 37.设[][]1 1 :0,10,1,T C C →使得()()[]0,0,1.t Tx t x d t ττ=∈? （1）试求()R T 和()[]11:0,1;T R T C -→ （2）试问()[]()11,0,1T B R T C -∈吗？ （1）()R T 是满足()00y =且在[]0,1上连续可微分的函数构成的 []10,1C 的子空间，且()[]1',0,1T y y t t -=∈。 （2）1T -是线性的，但是无界的。 事实上，()1'n n t n t -=，蕴含着1T n -≥ 38.在C[0,1]上分别定义1 0()()Sx t t x s ds =?和()()Tx t tx t = (1)试问S 和T 是可交换的吗? (2)试求Sx ，Tx ，STx 和TSx 修改S ，T ，ST ，TS (1)1 0()(())()ST x S tx t t sx s ds ==?, 1 1 2 00()(())()TS x T t x s ds t x s ds ==??, 故ST TS ≠，S 和T 不是可交换的。 (2)1 0Sx xds x ≤=?, 所以1S ≤ 令1x ≡，[0,1]t ∈ 则1sx s x s =≤= 于是1S = 类似可求：1T =，1 2 ST = ，1TS =。 39.在()X B R =上定义范数 sup () t R x x t ∈=，并设T ： X X →使得 ()()Tx t x t τ=-，其中0τ>试证明(,)T B X X ∈。 证： X y x ∈?,，则 T （+x α1y α2）=x α1(t-τ)+α2y(t-τ)=Ty Tx αα21+, 即 T 是线性算子 Tx =sup R t ∈)(τ-t x =sup R t ∈)(t x =x ， ∴1=T 40、证明下列在C []b a ,上定义的泛函是有界线性泛函： （1）dt t t x x b a o y f )()()(1?=，[] b a C y ,0∈固定； （2） 固定R b x a x x f ∈+=βαβα,),()()(2 证： （1）线性性略 令B=[] max ,t b a ∈)(0 t y =y 0， 则有 dx x B x b a f ?≤)(1=B （b-a ）x ， 故有 f 1≤B （b-a ） （2）略 41、设[]11,1C -上的线性泛函f 定义为 ??-=-1 1 )()()(dt t x dt t x x f ，试求f 解：[]11,1x C ?∈-, ()() 1 1 2f x x dt dt x -≤+=? ?， 所以2f ≤， 取()1n x t t =，n 为正奇数，[]1,1t ∈-则1x =， ()1110 1 1 100122211 1n n n n f x t dt t dt t dt f n n -= -===≤++???g 由于2sup 21 n n =+,故2f ≥. 综上所述，2f =。 44. （1）在[]11,1C -上定义[] ()[] () ',,max max t a b t a b x x t x t ∈∈=+， 试证明?是[]11,1C -中的范数。 （2）试证明()()'2a b f x x c c +??== ?? ? 在[]1 ,C a b 上定义了有界线性泛函。 （3）试证明视[]1,C a b 为[]1,C a b 的子空间时，上面定义的f 不再是 有界的。 证：（1）仅证三角不等式 '' ''≤≤∣x +y ∣=max ∣x(t)+y(t)∣+max ∣x(t)+y(t)∣ max ∣x(t)∣+max ∣y(t)∣+max ∣x(t)∣+max ∣y(t)∣ ∣x ∣+∣y ∣ （2）仅证有界性 ''()max max c ≤≤∣f(x)∣=x ∣x(t)∣+∣x(t)∣=∣x ∣, ∣f ∣1 (3)当1[,]c a b 视为[],c a b 的子空间时，（2）中的f 不再是有界的，此时[]1,,sup ().x c a b x x t ?∈=对每个n N ∈，都存在[]1,n x c a b ∈，使得 '()1n x c =且1 max ()n x t n < 于是，便有 '()()() sup max () n n n t x c f x f x n x x x t ≥=> 试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 泛函分析答案： 1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的 λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、 设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z) for every x,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 】 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=( 21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y) = ( 1 ||n p i i i x y =-∑ )1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)0(n ∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或 简单地记作x n x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,for every x,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞ n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 $ 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2（a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2（a,b ）, 2|()|b a f t dt ? ＜∞。 当 L 2（a,b ）中内积的定义为（f,g ）= _____ ()()b a f t g t dt ? (其中f(t),g(t)∈L 2（a,b ）)时其为Hilbert 空间。 ★ 12、算子表示一种作用，一种映射。设X 和Y 是给定的两个线性赋范空间，集合D ?X ， 若对D 中的每一个x ，均有Y 中的一个确定的变量y 与其对应，则说这种对应关系确定 泛函分析答案： 1、所有元素均为0的n ×n 矩阵 2、设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x,y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。 3、设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L,则集合x 0+L={x 0+l,l ∈L}称为E 中一个线性流形。 4、设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x,y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。 5、设x,y 是线性空间E 中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件： （1） 非负性：d(x,y)＞0，且d(x,y)＝0＜―――＞x=y （2） d(x,y)=d(y,x) （3） 三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)foreveryx,y,z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义： 设x={x 1,x 2,…x n }T ,y={y 1y 2,…y n }T d 2(x,y)=(21 ||n i i i x y =-∑)1/2 d 1(x,y)=1 ||n i i i x y =-∑ d p (x,y)=(1 ||n p i i i x y =-∑)1/p d ∞(x,y)=1max ||i i i n x y ≤≤- 6、距离空间(x,d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ,x 0)?0(n ?∞)，这时记作 0lim n n x x -->∞ =，或简单地记作x n ?x 0 7、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0,且||x||＝0 iffx=0 （2）||λx||=λ||x||,λ为常数 （3）||x+y||≤||x||+||y||,foreveryx,y ∈E 8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0,总存在自然数N ，使得当n>N,m>N 时，均有|x m -x n |<ε,则称序列{x n }是E 中的基本列。若E 的基本列的收敛元仍属于E ，则称E 为完备的线性赋范空间，即为Banach 空间。线性赋范空间中的基本列不一定收敛。 9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach 空间。 10、如果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert 空间。 11、L 2 （a,b ）为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)∈L 2 （a,b ）,2|()|b a f t dt ?＜∞。 泛函分析试题B PTU院期末考试试卷 (B)卷 2010 ——2011 学年第 1 学期课程名称: 泛函分析适用年级/专业 07 数学试卷类别:开卷(?)闭卷( ) 学历层次: 本科考试用时: 120 分钟 《考生注意:答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分》(((((((((((((((((((((((((((一、填空题(每小题3分，共15分) (,)Xdx1.设=是度量空间，是中点列，如果____________________________, XX,,n x则称是中的收敛点列。 X,,n ffNf2. 设是赋范线性空间，是上线性泛函，那么的零空间是中的闭子空XXX，，间的充要条件为_____________________________。 3. 为赋范线性空间到赋范线性空间中的线性算子，如果_________________, TXY 则称T是同构映射。 xyX,,4. 设是实Hilbert空间，对中任何两个向量满足的极化恒等式公式 为:XX ___________________________________________。 ,,5. 设是赋范线性空间，是的共轭空间，泛函列，如果XXXfXn,,(1,2,)Ln ff_______________________________________________,则称点列强收敛 于。 ,,n二、计算题(共20分) ppl叙述空间的定义，并求的共轭空间。 lp(1),,，, 三、证明题(共65分) p1、(12分)叙述并证明空间中的Holder不等式。 lp(1), ,,MM,2、(15分)设是Hilbert空间的闭子空间，证明。 MX 试卷第 1 页共 2 页 3、(14分)Hilbert空间是可分的，证明任何规范正交系至多为可数集。 XX 4、(12分) 证明Banach空间自反的充要条件是的共轭空间自反。 XX ,,ll5、(12分)叙述空间的定义，并证明空间是不可分的。 试卷第 2 页共 2 页 第七章 习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2. 设 ],[b a C ∞是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明 （1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 2 1 ),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1 。 证明 令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使 n x x d 1),(10<。设,0),(1 10>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ??∞=1 。若n n o x ∞ =?∈1 则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的 5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有1 1p q +的值为（ ）. A. 1- B. 12 C. 1 D. 12 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。 2、任何赋线性空间的共轭空间是（ ）。 3、1l 的共轭空间是（ ）。 4、设X按积空间 泛函分析试题一 一、叙述问答题(第1小题18分，第小题20分，共38分) 1 叙述赋范线性空间的定义并回答下列问题. 设)||||,(11?E 和)||||,(22?E 是赋范线性空间, E 是1E 和2E 的直接和. 对任意E x ∈,定义 2211||||||||||||x x x +=, 其中),(21x x x =,11E x ∈, 22E x ∈. 验证||)||,(?E 为一个赋范线性空间. 2 叙述共鸣定理并回答下列问题. 设}{n T ),2,1( =n 是从Banach 空间E 到Banach 空间1E 上的有界线性算子列, 如果对E x ∈?, }{x T n 是1E 中的基本点列. 问: 是否存在),(1E E T β∈, 使得}{n T 按强算子拓扑收敛于T ? 如果存在, 给出证明, 如果不存在, 试举出反例. 二、证明题 (第1小题10分，第2小题15分,第3小题17分,共42分) 1． 设)(x f 是从距离空间X 到距离空间1X 中的连续映射，A 在X 中稠密，证明)(A f 在1X 中稠密. 2. 设),(ρX 为完备距离空间, A 是从X 到X 中的映射. 记 ),(),(sup 111 x x x A x A n n x x n ρρα≠=, 若级数+∞<∑+∞ =n n α1, 则A 在X 中存在唯一不动点. 3. 设H 是内积空间, H N M ?,, L 是M 和N 张成的线性子空间, 证明: ⊥⊥⊥=N M L . 三、应用题 （20分） 设),(t s K 在b s a b t a ≤≤≤≤,上连续, 试证明由ds t x s t K t Tx b a )(),())((?=定义的 泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若 0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. 0等价于0且,0==≥x x x B.()数复为任意实,αααx x = C. y x y x +≤+ D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X是闭的 D.集Y是闭的 5、设(1) p l p <<+∞的共轭空间为q l，则有11 p q +的值为（）. A. 1- B.1 2 C. 1 D. 1 2 - 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。 3、1l的共轭空间是（）。 4、设X按内积空间 泛函分析题1_3列紧集p19 1.3.1 在完备的度量空间中，求证：为了子集A是列紧的，其充分必要条件是对?ε > 0，存在A的列紧的ε网． 证明：(1) 若子集A是列紧的，由Hausdorff定理， ?ε > 0，存在A的有限ε网N． 而有限集是列紧的，故存在A的列紧的ε网N． (2) 若?ε > 0，存在A的列紧的ε/2网B． 因B列紧，由Hausdorff定理，存在B的有限ε/2网C． 因C ?B ?A，故C为A的有限ε网． 因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知A是列紧的． 1.3.2 在度量空间中，求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界． 证明：设(X, ρ)是度量空间，D是紧子集，f : D→ 是连续函数． (1) 若f无上界，则?n∈ +，存在x n∈D，使得f (x n) > 1/n． 因D是紧集，故D是自列紧的． 所以{x n}存在收敛子列x n(k) →x0∈D (k→∞)． 由f的连续性，f (x n(k))→f (x0) (k→∞)． 但由f (x n) > 1/n知f (x n)→ +∞(n→∞)， 所以 f (x n(k))→ +∞ (k→∞)，矛盾． 故f有上界．同理，故f有下界． (2) 设M = sup x∈D f(x)，则?n∈ +，存在y n∈D，使得f (y n) > M- 1/n． {y n}存在子列y n(k) →y0∈D (k→∞)． 因此f ( y0 ) ≥M． 而根据M的定义，又有f ( y0 ) ≤M． 所以f ( y0 ) = M．因此f能达到它的上确界． 同理，f能达到它的下确界． 1.3.3 在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2的子集E = {e k }k≥ 1，其中e k = { 0, 0, ..., 1, 0, ... } (只是第k个坐标为1，其余都是0 )，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的． 证明：(1) 若A是度量空间(X, ρ)中的完全有界集． 则存在A的有限1-网N = { x0, x1, x2, ..., x n }． 令R = ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) + 1． 则?x∈A，存在某个j使得0 ≤j≤n，且ρ(x, x j) < 1． 因此，ρ(x, x0) ≤ρ(x, x j) + ρ(x j, x0) ≤ 1 + ∑1 ≤j≤nρ(x0, x j) = R． 所以A是度量空间(X, ρ)中的有界集． (2) 注意到ρ(e k , e j) = 21/2 ( ?k ≠ j )， 故E中任意点列都不是Cauchy列． 所以，E中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy列，矛盾)． 第七章习题解答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 2.设],[b a C ∞ 是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义 证明],[b a C ∞按),(g f d 成度量空间。 证明（1）若),(g f d =0，则) ()(1)()(max ) () ()()(t g t f t g t f r r r r b t a -+-≤≤=0，即f=g （2）)()(1)()(max 21 ),()()()()(0 t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞ =∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ） 因此],[b a C ∞ 按),(g f d 成度量空间。 3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =?∞ =1。 证明令n n n o n n B x d Bo o .2,1},1 ),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使n x x d 1 ),(10< 。设,0),(110>-=x x d n δ则易验证n o x U ?),(0δ，这就证明了n o 是开集 显然B o n n ??∞ =1 。若n n o x ∞ =?∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1 ),(1< ，因此)(∞?→??→? n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =?∞ =1 。 4.设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明（1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+= 21．试在2([1,1])L -中将函数231,,,,t t t L 进行正交化. 解： 根据Schmidt 正交化过程, 可取 0()1u t =, 01000(,)()()(,) t u u t t u t u u =- 1111 1111t dt t t dt --?=- =??? ; 2 2 2 102101100(,)(,)()()()(,) (,) t u t u u t t u t u t u u u u =- - 112 2 2 111 1 1 1 1111t tdt t dt t t t tdt dt ----??=- -??? ? ? ? 2 13 t =- ; L L 再单位化可得 000()()|||| u t e t u = = = ; 111()()|||| 2 u t e t u = = = ; 2 22221()1()|||| 43t u t e t t u - ? = = = -??? ; L L . 解二： 引入如下形式的Legendre 正交多项式: 2 1,0, ()(1),1,2,. k k k k k u t d t k dt =?? =?-=??L 我们断言{}0()k k u t ∞ =是2 ([1,1])L -中由2 3 1,,,,t t t L 直交 化所得到的直交函数列。 首先我们断言{}0()k k u t ∞ =是直交的. 事实上, 不失一 般性, 可设l k ≥. (i) 如果0k =, 显然有 1 001((),())2u t u t dt -= =?; 而对于1,2,l =L 1 201 ((),())(1)l l l l d u t u t t dt dt -= -? 1 12 1 1 (1) 0l l l d t dt ---= -=. (ii) 对于1k ≥, 根据定积分的分部积分法，可以得到 1 221 ((),())(1)(1)k l k l k l k l d d u t u t t t dt dt dt -= -? -? 1 12 21 1 (1)(1)k l k l k l d d t d t dt dt ---= -?-? 1 1221 1 (1) (1) l k l k l k d d t t dt dt ---=-- 1 1221 1 (1)(1)l k l k l k d d t d t dt dt -----?-? 1 222 222 2 1 (1) (1)(1)l k l k l k d d t t dt dt dt -+-+-=--? -? =L 1 221 (1) (1)(1)k l l l k k l d t t dt dt ++-=--? -? ， (*) 当l k =时， 2222(1)(1)(2)!k l k k k k l k d d t t k dt dt ++-= -=， 因此 ((),())((),())k l k k u t u t u t u t = 12 1 (1) (1)(2)!k k t k dt -=--?? 1 20 (1)2(2)!(1)k k k t dt =--? /2 20 2(2)! (1sin )sin k k s d s π=-? /2 21 2(2)! cos k k sds π+=? 一. 名词解释 弱收敛，弱*收敛，,0()k p W Ω，强制，Gateaux 可微，Frechet 可微，紧映射，正则点，临界点，正则值，临界值，2C 映射的Brouwer 度，全连续场，全连续场的Leray-Schauder 度 二. 举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。 三. 求下列函数在(0,0)处沿着12(,)h h 方向的G-微分 212 1222 1212,(,)(0,0)()0,(,)(0,0)x x x x f x x x x x ?≠?=+??=? 四. 证明Poincare 不等式：存在常数0C >使得对任意1,{|,([0,],)}p p n T u W u u u L T R ? ∈=∈，有 1,p T W u C u ∞ ≤ 五. 设n R Ω?是有界闭集，(,,)k x y u 是2 R Ω?上的连续函数，证明积分算子 :()(), ()()(,,())K C C K x k x y y dy ??Ω Ω→Ω=? 是全连续算子。 六. 设X 是Banach 空间，:[0,)f X X +∞?→连续，对固定的[0,)t ∈+∞，(,)f t x 关于x 是局部Lipschitz 的，并且Lipschitz 常数对t 在有界区间[0,]α上一致有界，证明：存在0β>，使得下列初值问题在区间[0,]β上有唯一解 (,) (0)dx f t x dt x x ?=???=? 七. 证明Gronwall 不等式：设,,u v w 是[,]a b 上的实函数，其中u 非负且在[,]a b 上Lebesgue 可积，v 在[,]a b 上绝对连续，w 在[,]a b 上连续，若它们满足 ()()()(), t a w t v t u s w s ds a t b ≤+≤≤? 则 ()()exp(())exp(()) t t t a a s dv w t v a u s ds u d ds ds ττ≤+??? 八. 证明Brouwer 度的切除性、Kronecker 存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare-Bohl 定理、锐角原理、缺方向性质。 九. 设:n n f R R R ?→连续，关于 x 是局部Lipschitz 的，关于t 是T 周期的，若存在球(0)n r B R ?使得 (0),[0, ]r x B t T ∈?∈时，1 (,),(,)0n i i i f t x x f t x x =<>=<∑，证明下列初值问题存在T 周期解 (,) dx f t x dt ?=?? 1 泛函分析与应用-国防科技大学 第 一 章 第 一 节 3．设}{k x 是赋范空间E 中的Cauchy 列，证明}{k x 有界，即∞ 第 七 章 习 题 解 答 1．设（X ，d ）为一度量空间，令 }),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U 问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。 （23． n x 1)1<。设δ )∞。因B 4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明) ,(1) ,(),(___ y x d y x d y x d += 是X 上的距离。 证明 （1）若0),(___ =y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而 t t +1在),[∞o 上是单增函数，于是) ,(),(1) ,(),(),(),(1),(),(___ ___ z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+= = ) ,(),(1) ,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++ ) ,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___ __z y d z x d +。 5. 证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞ ∈的充要条件为n f 的各阶导数在 [a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数。 证明 若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞ ∈，即 t a ≤ ∑∞ +=o r r 即d A={f|当t 上)(t f n 一致收敛于f （t ）。设B t ∈，则0)(lim )(==∞ >-t f t f n n ，所以f ∈E ，这就证明了E 为闭集 充分性。当B 是闭集时，设f ∈A 。因f 在B 上连续而B 是有界闭集，必有B t ∈0，使 )(max )(0t f t f B t ∈=。设 0)(0>=-δt f a 。我们证明必有A f U ?),(δ。设),(δf U g ∈，则若B t ∈， 必有δ<-)()(t g t f ，于是a t f t f t g t f t g =+<+-≤)(||)(|)()(|)(|0δ，所以A g ∈，这样就证明了A 是开集 必要性。设A 是开集，要证明B 是闭集，只要证明对任意.....2,1,=∈n B t n 若0t t n >-)(∞?→? n ， B、(A*)*=A** D、(aA)*= a A* x?X有 泛函分析考试试卷 、选择题。 1、下列说法不正确的是( ) A、n维欧式空间R n是可分空间 B、全体有理数集为 R n的可数稠密子集 C、 I a是不可分空间 D、若X为不可数集则离散度量空间 X是可分的 答案：D 2、设T是度量空间(X,d )到度量空间(Y , d~)的映射，那么T在x°?x连续的充要条件是() A、当xm x o (n fg)时，必有 Tx n i Tx o (n^m) B、当 X n f x o (n ig)时，必有T X O T Tx n (n^m) C、当 X O T x n (n fg)时，必有 Tx n i Tx o (n^m) D、当 X n f x o (n^O)时，必有 Tx n f Tx o (n0) 答案：D 3、在度量空间中有() A、柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 B、柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列 C、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列 D、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案：C 4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是( ) A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间 B、L p[a, b] (p》)是巴拿赫空间 C、空间l p是巴拿赫空间 D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间 答案：D 5、下列对共轭算子性质描述错误的是( ) A、(A+B)*=A*+B*; C、当 X=Y 时,(AB)*=B*A* 答案：B 、填空题 1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意开集 M为 __________________ O 答案：原像T-1M是X中的开集 2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间 Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件是T是X上的。 答案：连续算子。 3、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切 答案：(Tx , x) =0 4、有界线性算子T的共轭算子T x也是有界线性算子，并且 答案：= 第五章习题第一部分01-15 1. M 为线性空间X 的子集，证明span( M )是包含M 的最小线性子空间． [证明] 显然span( M )是X 的线性子空间．设N 是X 的线性子空间，且M ? N ． 则由span( M )的定义，可直接验证span( M ) ? N ． 所以span( M )是包含M 的最小线性子空间． 2. 设B 为线性空间X 的子集，证明 conv(B ) = {∑=n i i i x a 1| a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}． [证明] 设A = {∑=n i i i x a 1 | a i ≥ 0, ∑=n i i a 1 = 1, x i ∈B , n 为自然数}．首先容易看出A 为 包含B 的凸集，设F 也是包含B 的凸集，则显然有A ? F ，故A 为包含B 的最小凸集． 3. 证明[a , b ]上的多项式全体P [a , b ]是无限维线性空间，而E = {1, t , t 2, ..., t n , ...}是它的一个基底． [证明] 首先可以直接证明P [a , b ]按通常的函数加法和数乘构成线性空间， 而P [a , b ]中的任一个元素皆可由E 中有限个元素的线性组合表示． 设c 0, c 1, c 2, ..., c m 是m + 1个实数，其中c m ≠ 0，m ≥ 1． 若∑=m n n n t c 0= 0，由代数学基本定理知c 0 = c 1 = c 2 = ... = c m = 0， 所以E 中任意有限个元素线性无关， 故P [a , b ]是无限维线性空间，而E 是它的一个基底。 4. 在 2中对任意的x = (x 1, x 2)∈ 2 ，定义|| x ||1 = | x 1 | + | x 2 |，|| x ||2 = (x 12 + x 22)1/2， || x ||∞ = max{ | x 1 |, | x 2 | }．证明它们都是 2 中的范数，并画出各自单位球的图形． [证明] 证明是直接的，只要逐条验证范数定义中的条件即可．单位球图形略． 5. 设X 为线性赋范空间，L 为它的线性子空间。证明cl(L )也是X 的线性子空间． [证明] ?x , y ∈cl(L )，?a ∈ ，存在L 中的序列{ x n }, { y n }使得x n x ，y n y ． 从而x + y = lim x n + lim y n = lim (x n + y n )∈cl(L )，a x = a lim x n = lim (a x n ) ∈cl(L )． 所以cl(L )是X 的线性子空间． [注] 这里cl(L )表示子集L 的闭包． 6. 设X 为完备的线性赋范空间，M 为它的闭线性子空间，x 0? M ．证明： L = { a x 0 + y | y ∈M , a ∈ }也是X 的闭线性子空间． [证明] 若a , b ∈ ，y , z ∈ M 使得a x 0 + y = b x 0 + z ， 则(a - b ) x 0 = z - y ∈ M ，得到a = b ，y = z ；即L 中元素的表示是唯一的． 若L 中的序列{ a n x 0 + y n }收敛于X 中某点z ，则序列{ a n x 0 + y n }为有界序列． 由于M 闭，x 0? M ，故存在?r > 0，使得|| x 0 - y || ≥ r ，?y ∈ M ．则当a n ≠ 0时有 | a n | = | a n | · r · (1/r ) ≤ | a n | · || x 0 + y n /a n || · (1/ r ) = || a n x 0 + y n || · (1/r )， 所以数列{ a n }有界，故存在{ a n }的子列{ a n (k ) }使得a n (k ) a ∈ ．《实变函数与泛函分析基础》试卷和答案
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