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数学竞赛辅导--托勒密定理.(一)docx

托勒密定理

Ptolemy(约公元85年~165年),希腊数大天文学家,他的主要著作《天文集》被后人称为“伟大的数学书”。

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圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和。

已知:四边形ABCD内接于圆,如图,求证:AB·CD+BC·AD=AC·BD

证明:在∠BAD内作∠BAE=∠CAD,交BD于E。

因∠ABE=∠ACD,所以△ABE∽△ACD,

从而AB·CD =AC·BE ①;

易证△ADE∽△ACB,所以BC·AD=AC·DE②;

①+②得AB·CD+BC·AD=AC·BD。