习题11-1 对弧长的曲线积分
1.计算下列对弧长的曲线积分: (1)
22
x y L
e
ds +?
,其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的
扇形的整个边界;
(2)
2x yzds Γ
?
,其中Γ为折线ABCD ,这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、
(1,0,2)、(1,3,2);
(3)
2L
y ds ?
,其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-,(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.
2.有一段铁丝成半圆形y =,其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标,求其质量。
解 曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ???π==≤≤
ds ad ??=
=
依题意(),x y y ρ=,所求质量22
sin 2L
M yds a d a π
??=
==?? 习题11-2 对坐标的曲线积分
1.计算下列对坐标的曲线积分: (1)
2
2()L
x
y dx -?,其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧;
(2)
22()()L
x y dx x y dy x y
+--+?,其中L 为圆周222
x y a +=(按逆时针方向绕行);
(3)
(1)xdx ydy x y dz Γ
+++-?
,其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线;
(4)
dx dy ydz Γ
-+?
,其中Γ为有向闭折线ABCA ,这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、
(0,1,0)、(0,0,1);
2.计算
()()L
x y dx y x dy ++-?,其中L 是:
(1)抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧;
(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段;
(3)先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到(4,2)的折线;
(4)曲线2
21x t t =++,21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。
3.把对坐标的曲线积分
(,)(,)L
P x y dx Q x y dy +?
化成对弧长的曲线积分,其中L 为:
(1)在xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1);
(2)沿抛物线2
y x =从点(0,0)到点(1,1);
(3)沿上半圆周2
2
2x y x +=从点(0,0)到点(1,1).
4.设Γ为曲线x t =,2y t =,3
z t =上相应于t 从0变到1的曲线弧,把对坐标的曲线积分
L
Pdx Qdy Rdz ++?
化成对弧长的曲线积分。
习题11-3 格林公式及其应用
1. 利用曲线积分,求星形线3
cos x a t =,3
sin y a t =所围成的图形的面积。
2.计算曲线积分
222()
L ydx xdy x y -+?,其中L 为圆周22
(1)2x y -+=,L 的方向为逆时针方向。
3. 证明曲线积分(2,1)
423(1,0)
(23)(4)xy y dx x xy dy -++-?
在整个xOy 面内与路径无关,并计
算积分值。.
4.利用格林公式,计算下列曲线积分: (1)
(24)(536)L
x y dx y x dy -+++-?
,其中L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的
三角形正向边界;
(2)22
()(sin )L
x y dx x y dy --+?
,其中L 是在圆周y =
上由点(0,0)到点(1,1)
的一段弧。
5.验证下列(,)(,)P x y dx Q x y dy +在整个xOy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分,并求这样的一个(,)u x y : (1)22xydx x dy +;
(2)2
2
(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-
6.计算
224(2)()L
x x y d x x y d y +++?
,其中L 为由点()0,0O 到点()1,1
B 的曲线弧sin
2
x
y π=
解
2,2P Q P Q
x x y x y x
????==?=???? 原积分与路径无关,()1,0A 故原式()()2
242OA AB
x
xy dx x y dy +=+++?
()11
2400
23
115
x dx y dy =
++=
?
? 习题11-4 对面积的曲面积分
1. 计算曲面积分
3∑
??
zdS ,其中∑为抛物面22
2()z x y =-+在xOy 面上方的部分。
3=zdS ∑
??
223[2(xy
D x y -+??22
00
32d d πθρρ=-?
()()()1
2222
01614]141432d πρρρ=?-+++
()()35
222232[61414165
πρρ=+-+ ()()3532111[63131]16510
ππ=
---=
2.计算下列对面积的曲面积分: (1)
4
(2)3
z x y dS ∑
++
??,其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分;
(2)
()x y z dS ∑
++??
,其中∑为球面2222
x y z a ++=上z h ≥(0)h a <<的部分;
3.求抛物面壳2
21()2
z x y =
+(01)z ≤≤的质量,此壳的面密度为z μ=.
4.计算
22
()x y dS ∑
+??
,其中∑为锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面。
解 12∑=∑+∑, 1:z ∑=
1∑上,
ds =,1∑在xoy 面的投影为22:1xy D x y +≤
在2∑上,ds dxdy =,2∑在xoy 面的投影为22
:1xy D x y +≤
())()
222222xy
xy
D D x y ds x y dxdy x y dxdy ∑
∴+=
+++????
??
)
21
20
1
12
d r rdr πθπ=
??=
?
? 习题11-5 对坐标的曲面积分
1.计算下列对坐标的曲面积分: (1)
22
x y zdxdy ∑
??
,其中∑为球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.
(2)[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑
+++++??
,其中(,,)
f x y z 为连续函数,∑是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧;
2.把对坐标的曲面积分(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑
++??化成对面积的曲
面积分,其中
(1)∑是平面326x y ++=在第一卦限的部分的上侧;
(2)∑是抛物面228()z x y =-+在xOy 面上方的部分的上侧;
习题11-6 高斯公式
1.利用高斯公式计算曲面积分: (1)
222x dydz y dzdx z dxdy ∑
++??,其中∑为平面0x =,0y =,0z =,x a =,y a =,z a =所围成的立体的表面的外侧.
(2)
xdydz ydzdx zdxdy ∑
++??
,其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体22
9x y +≤的整个表面的外侧;
(3)
2
4xzdydz y dzdx yzdxdy ∑
-+??,其中∑为平面0x =,0y =,0z =,1x =,1y =,1z =所围成的立方体的全表面的外侧;
2.计算曲面积分()2I z x dydz zdxdy ∑
=++??,其中∑是曲面()22
01z x y z =+≤≤的外侧.
解 添加平面()
22
1:11z x y ∑=+≤,取上侧,使1∑+∑构成封闭,应用高斯公式地
()21
1
211
2132
xy
r
D I dv dxdy d rdr dz ππ
θπ∑+∑∑Ω
=
-=+-=-=
??
????????
??
习题11-7 斯托克斯公式
1.利用斯托克公式,计算下列曲线积分: (1)
ydx zdy xdz Γ
++?
,其中Γ为圆周2222x y z a ++=,0x y z ++=,若从x 轴的正
向看去,这圆周是取逆时针方向;
(2)
23ydx xzdy yz dz Γ
-+?
,其中Γ为圆周222x y z +=,2z =,若从z 轴正向看去,
这圆周是取逆时针方向;
(3)
223ydx xdy z dz Γ
+-?
,其中Γ为圆周2229x y z ++=,0z =,若从z 轴正向看去,
这圆周是取逆时针方向;
复习题十一
1.计算下列曲线积分: (1)
22L
x y ds +?
,其中L 为圆周22x y ax +=;
(2)
(2)L
a y dx xdy -+?,其中L 为摆线(sin )x a t t =-,(1cos )y a t =-上对应t 从0到
2π的一段弧;
(3)(sin 2)(cos 2)x x
L
e y y dx e y dy -+-?
,其中L 为上半圆周222()x a y a -+=,0y ≥
沿逆时针方向;
2.计算下列曲面积分: (1)
222dS x y z ∑
++??,其中∑是界于平面0z =及z H =之间的圆柱面222
x y R +=;
(2)
2
22()()()y
z dydz z x dzdx x y dxdy ∑
-+-+-??,其中∑为锥面z =
(0)z h ≤≤的外侧.
(3)
xdydz ydzdx zdxdy ∑
++??
,其中∑为半球面z =.
3.证明:
22
xdx ydy
x y
++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数。
4. 计算曲线积分
22
()()L
x y dx x y dy
x y
-+++?
,其中L 是边长为4,原点为中心的正方形边界,方向为逆时针方向。 解法一
2222
,x y x y
P Q x y x y -+=
=++
22222
2()Q P y x xy
x y x y ??--==
??+ 在L 内作一圆Γ:2
2
1x y +=,方向逆时针 由格林公式有
22L
xdy ydx x y -+?
=22xdy ydx
x y Γ
-+? Γ:cos sin x t y t
=??
=?
22222
220
()()cos sin 2cos sin L
x y dx x y dy
t t
dt x y t t
π
π-+++=
=++?
?
法二: 由参数法将得积分代入四部分之和