程序化与构造性
专题9 程序化与构造性
一、古代：建立数学理论体系的两种基本方式
1．希腊：公理化的演绎体系
虽然希腊数学在整体上是公理化的演绎数学体系，但在具体的数学方法上仍含有大量构造性的因素，例如 Euclid 证明“存在无穷多个素数”的方法。实际上，在19世纪以前，一般来说，对数学对象存在性的证明都是通过实际获得或显示出问题中的量而建立起来的。2．中国：构造性、机械化的算法体系
⑴《九章算术》
《九章算术》是中国古代影响最为深远的数学典籍。它系统总结了秦汉以前的数学成就，标志着中国传统数学理论体系的建立，成为汉代以后直到宋元时期一千多年间中国数学高度发达的辉煌开端与重要源泉。魏晋时刘徽为之作注，为传统数学奠定了较为完备的理论基础。《九章算术》及其刘徽注不仅对中国古代数学的发展，而且对世界数学的发展也产生了巨大影响，是世界数学史上的传世名作。
《九章算术》成书于公元纪元前后，收入 246个数学问题，大多与当时的生产及生活实际密切相关，但也包括一些较纯粹的数学理论问题。每题大致由问 (问题) 、答 (答案) 、术 (解题方法或过程) 三部分组成。全书以具体问题及其解法为模型，广泛阐发中国数学的独特理论和方法，按性质分属九章：①方田，田亩面积计算。包括系统而完备的分数算法，矩形、等腰三角形、直角及等腰梯形、圆、圆环等面积的正确公式，以及弓形与球冠形面积的近似公式。约分术中使用了更相减损术，即辗转相除法，从而引出了最大公约数的概念。
②粟米，四项比例算法及其应用。其中“其率术”用带余除法解题，成为后世以鸡兔同笼问题为代表的一大类数学问题的开端。③衰分，配分比例与反比例。比例理论是全书的核心内容之一，在粟米、衰分、均输三章中给出各种算法，有些问题涉及等差、等比数列。④少广，已知面积、体积而求长度，其中开方术、开立方术给出的开方程序可直接用于求解二次及三次方程的正根，并可自然推广到开高次方及求解一般高次方程的正根。开立圆术由球体积求其直径，等价于一个粗略的球体积公式。⑤商功，土木工程中的体积计算。给出多种棱柱、棱锥、棱台、拟柱体以及圆柱、圆锥、圆台体积的正确公式。⑥均输，以配分比例解决复杂的赋税摊派等问题。⑦盈不足，双假设法的原理及其应用。通过两次假设及检验，将各种复杂的线性问题和非线性问题转化为盈亏类问题，用统一的模式给出解答。⑧方程，线性方程组解法，运用加减消元法给出统一的演算程序，由此引出正负数的加减法运算并给出明确的法则。⑨勾股，与直角三角形有关的各种问题，包括勾股定理及其应用、勾股恒等变形、整勾股数一般公式，以及利用相似勾股形的比例性质进行测量的问题。
历史地位①《九章算术》是先秦到汉代数学发展的系统总结，标志着中国传统数学理论体系的建立，传统数学的大致分类与基本格局的形成以及它作为构造性、机械化算法体系的确立都始于《九章》。②《九章》所涉及的内容与主题，它的通过数学问题阐述理论与方法的形式，构造性、机械化、形数结合、注重应用的数学思想，对后世数学的发展与数学著作的编纂产生了深远影响，成为大量数学成果的源头。③《九章》中系统而完备的分数算法，整齐划一、便于推广的开方程序，体系严整、求解迅速的线性方程组理论，均比其他国家的相近成果早千年以上，比例算法与正负数运算也早 500年以上。书中许多著名问题曾传入印度、阿拉伯和欧洲，盈不足术传入欧洲后成为长期占支配地位的算法。以《九章算术》为代表的机械化算法体系，与以希腊《几何原本》为代表的公理化演绎体系，各擅其长，东西辉映，为世界数学发展的两大源泉。
⑵刘徽
刘徽是魏、晋间杰出的平民数学家，一生钻研《九章》，著《九章算术注》。他在数学理论、方法、技巧和程序等方面多所建树和发明，是传统数学理论体系当之无愧的奠基者。刘徽改变了以往数学名词约定俗成的惯例，对《九章》和他本人所用的重要词汇均予定义，逻辑严谨，含义明确，为严格的演绎论证创造了前提。《九章算术》载有大量数学公式和法则，有的难度很高，决非简单的经验归纳所能获得，但其推理过程却完全没有记载，刘徽从自然数的四则运算、长方形面积、长方体体积、出入相补原理、截割原理等基本法则和原理出发，一一给出证明和深入的理论分析，体现了明显的严格求证思想和高超的论证技巧，运用了多种逻辑推理方法，其基本原则是“析理以辞，解体用图”，即分析道理靠逻辑论证，阐发几何对象使用各种图形，还广泛使用了立体几何模型。他将计算与推理有机地结合，发扬中国数学构造性与机械化的精神，对《九章》的内容按照由简单到复杂的顺序进行论证，形成了较为严谨的理论体系。刘徽在数学上有许多杰出的创造。他从分数的通分过程中概括出“齐同术”，并将其推广为处理比率问题的一般方法。在注解开平方和开立方法时，他精辟地研究了二次及三次不尽根并首创十进分数逼近它们。在注解圆面积公式时，他结合极限观念和出入相补原理创立了割圆术，求得圆周率的近似值157／50 （3.14）和 3927／1250 （3.1416），其方法对后世产生了深远影响。为求得由底为直角三角形的直棱柱分割成的一个四棱锥与一个三棱锥的体积之比，从而导出各自的体积公式，他采用无限分割、逐次拼合的方法建立了关于锥体体积的“刘徽原理”。在处理体积问题时，他创造性地运用两立体图形相应截面面积之间的关系确定它们体积之间的关系，例如分别作圆柱、圆锥、圆台的外切方柱、方锥、方台，由其横截面积之比为π∶４，推得其体积之比也是π∶４，在推导球体积公式时还引入了“牟合方盖”的概念。在这些工作中，刘徽明确地使用了极限方法，并对相应的理论问题有了初步认识。
⑶秦九韶与《数书九章》
南宋数学家秦九韶 (约1202／1209～约1261）著《数书九章》 (1247) 十八卷，收入81个问题，分为九类：大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易。每类九题，每题之下有答、术和草。《数书九章》对数学的主要贡献有：“大衍总数术”，即一次同余式组的一般解法；“正负开方术”，即高次方程的数值解法；系统地研究和总结了勾股测量问题；独立地推导出由三角形三边确定其面积的“三斜求积”术，与古希腊海伦 ( Heron) 公式等价。
⑷中国传统数学中的典型构造性、机械化算法
①《九章算术·方田》约分术。“约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
②《九章算术·少广》开方术。“开方术曰：置积为实，借一算。步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除，折法而下，复置借算步之如初。以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法，复除，折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实，乃开之。讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。”
③《九章算术·盈不足》盈不足术。“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实。并盈、不足为法。实如法而一。有分者通之。盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法实。实为物价，法为人数。”
④《九章算术·方程》方程术。 8-1：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾一秉各几何。答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一；中禾一秉，四斗四分斗之一；下禾一秉，二斗四分斗之三。”“方程术曰：置上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉、实三十九斗于右方。中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直
除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实.余如中禾秉数而一，?即中禾之实。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”
⑤刘徽割圆术
⑥刘徽阳马术注
⑦秦九韶正负开方术。《数书九章》中有21题需要用二次以上的方程求解，共给出高次方程26个，次数最高的达10次，对次数实际已无限制。秦九韶称自己的解法为“正负开方术”，其基本原理与贾宪的增乘开方法一致，但据现有文献，贾宪只用增乘开方法处理了开高次方问题，并未给出求高次方程正根的一般方法，而要实现这一进步，尚有一些实质性的困难需要克服。秦九韶通过自己的创造，出色地完成了这项工作。他的方法在西方被称为鲁斐尼( Ruffini，1804) -霍纳 (Horner，1819) 法，然而秦九韶的方法不仅在时间上早 500多年，在步骤上也比后者更加井然有序。
⑧秦九韶大衍总数术。中国古代的一次同余式组问题起源于汉代《三统历》中的上元积年推算，《孙子算经》“物不知数”问题是其现存最早的数学模型。由于中国历代统治者均将制定和颁布历法视为皇权的象征，而上元积年的推算被认为是历法计算的关键之一，从而使一次同余式组解法长期成为不传之秘。秦九韶“早岁侍亲中都，因得访习于太史”，得以知其梗概。经过潜心研究，终于将其推广到最一般的情形，作出了辉煌的理论总结。他认为，一次同余更早的渊源是周代的卜筮之法，故摘取《周易·系辞上》“大衍之数五十，其用四十有九”中“大衍”二字冠于这一理论的名称之上。他的方法相当于求解满足
N≡ R i (modA i)， (i ＝ 1，2，…，n)
的所有 N中的最小正整数，其中A
1，A
2
，…，A
n
未必两两互素，甚至未必是整数。其演算
完全是程序化的，分为两部分：①化问数为定数：将所给数据标准化。秦九韶处理的一次同余式问题，模数分为四类：一般整数；含有同一公因数的整数；分数；十进小数。秦九韶通过独特的演算程序将各种模数化为满足一定条件的正整数，使其解不变。②运用剩余定理求解的演算程序，其中求“乘率”是全部算法的关键。为求得乘率，秦九韶设计了极为精巧的演算程序，称为大衍求一术。大衍总数术的发明具有划时代的意义。在欧洲，经过欧拉(L.Euler ，1707～1783) 、拉格朗日 (Lagrange，1736～1813），高斯（Gauss ，1777～1855）三位数学大师60多年的努力才达到同样水平。高斯晚年得知中国古代早以获得这一成果后说，发明大衍术的数学家是最幸运的天才。
⑸模型化方法在中国传统数学中的地位
以问题为中心、以算法为基础，主要依靠归纳思维建立数学模型，强调基本法则及其推广，是中国传统数学思想的精髓。中国传统数学最本质的方法是归纳，认识过程是由特殊到一般，数学知识是针对具体的对象，通过观察、操作、比较、分析的过程，然后归纳、概括的产物。中国传统数学的实用性，要求数学研究的结果必须能对各种实际问题进行分类，对每类问题给出统一的解法；以归纳为主的思维方式和以问题为中心的研究方式，倾向于建立基本问题的结构与解题模式,一般问题则被化归、?分解为基本问题解决；由于中国传统数学未能建立起一套抽象的数学符号系统，对一般原理、法则的叙述一方面是借助文辞，一方面是通过具体问题的解题过程加以演示，使具体问题成为相应的数学模型。
?根据今天的观点，数学模型是对现实世界的某一特定对象，为某个特定目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具描述和揭示对象的某些特征而得到的一个数学结构。它或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最
优决策或控制。数学模型按其性能一般分为三类：产生于具体的实际问题的应用性模型，从应用性模型抽取其相同数学特征而得的概括性模型，对大量概括性模型中共同的数学本质再进行概括和抽象而形成的抽象性模型。从总体上说，现代所说的数学模型是可以用来解决具体问题的抽象结构，而所谓中国古代的数学模型则是用以揭示一般方法的具体问题与解题模式，接近于现代的应用性模型，二者表面上虽不一致，但本质上是相通的。
在归纳思维、注重实用、注重基本原理的思想指导下，模型化的思想与方法在中国传统数学中得到了广泛的运用，这在《九章算术》及其刘徽注中体现得尤为突出。《九章算术》共收入 246个数学问题，分属九章，可以看作九类基本问题。每题大致由问 (问题) 、答 (答案) 、术 (解题方法或过程) 三部分组成，以具体问题及其解法为模型，揭示与说明一般原理、法则及其应用。这些问题，有的独立地对应于某一原理或法则，有的表现了同类问题的各种不同情形。书中的“术”共有 202条，有的一题一术，构成一个完整的数学模型；有的多题一术，从不同侧面揭示同一原理法则，构成统一的模型；有的一题多术，体现了问题的多侧面和解法的灵活性。
中国古代数学注重原理的概括性和方法的统一性，认为掌握了基本原理和方法就掌握了数学的实质，从而在数学研究中对它们给予了极大的关注，称之为“算之纲纪”，典型的有算术中的整数四则运算与比率变换原理，几何中的长方形面积、长方体体积、图形变换的出入相补原理、计算锥体体积的刘徽原理、以横截面积求体积的截割原理 (刘祖原理) ，代数中的开方术和线性方程组解法等。具体而巧妙的解题方法也受到推崇，中国古代一些数学名家如刘徽、秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰等都是一题多解的能手，但是，无论奇题妙解还是一题多解，都必须以对基本原理和方法的充分理解为前提。
与原理的高度概括性和方法的高度统一性相对应，中国古代数学家明确地反对生搬硬套，强调数学方法的简洁性与灵活运用，针对各种不同情形推广一般法则，或者将简单方法推广到复杂情形。
二、近代数学：东西方的统一
1．解析几何：研究定量问题，解的构造性.
笛卡尔 (Descartes)《几何学》：“全部几何问题可以被容易地归纳为这样一些术语，使得我们为了作出它们的图形，只需知道一定的直线段的长度就够了。正如全部算术仅由四、五种运算—加、减、乘、除以及可以被看作除法变种的开方—组成一样，在几何中，为了求出所需线段，我们也只要对一些线段进行加减就行。”“我将毫不犹豫地在几何学中引入算术的术语，以便使自己变得更加聪明”。
2．微积分：算法精神
李文林：“算法、演绎倾向与数学史的分期”，1986.
“从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻求一系列实际问题的普遍算法的结果。……从十六世纪中开始一百多年间，许多大数学家度致力于获得解决这些问题的特殊算法。牛顿与莱布尼兹的功绩是在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算—微分与积分，并进一步指出了它们的互逆关系。无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用的算法都是不严格的，都没有认真的演绎推导。……对当时的学者来说，首要的是找到行之有效的算法，而不是算法的证明。这种倾向一直延续到十八世纪。十八世纪的数学家也往往不管微积分基础方面的困难而大胆前进。如泰劳公式，欧拉、伯努利甚至十九世纪初福里叶所发现的三角展开等等，都是在很长时期内缺乏严格的证明，但却作为有效的算法而广泛地被数学家们所采用，虽然中间充满了争论。正如冯·诺依曼指出的那样：没有一个数学家会把这一时期的发展看作是异端邪道；这个时期产生的数学成果被公认为第一流的。并且反过来，要是当时的数学家一定要在有了严密的演绎证明之后采承认他们的新算法的合理性，那恐怕就不
会有今天的微积分和整个分析大厦了。”
3．概率论
从17世纪中叶帕斯卡与费尔马创立这个数学分支时起，在将近三个世纪的时间里，概率论基本上只是处理随机问题的一些原理和算法，直到本世纪30年代才由苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构，以现代集合论、测度论和泛函分析为基础，明确了概率的定义和概率论的基本概念。
4．代数学
作为一门独立数学分支的代数学，可以追溯到9世纪阿拉伯数学家花拉子米（ al-Khowarizmi，约 780～850）的《还原与对消的科学》（又被译为《代数学》），近代意义上的代数学则开始于16世纪的法国数学家 F.Viete (韦达，1540～1603) ，而代数学的公理化直到19世纪群论建立后才开始进行。
三、程序化与构造性思想的现代意义
吴文俊《几何定理的机器证明》（《吴文俊文集》）：“用机械方法证明定理的思想，可以远溯至十七世纪的莱布尼兹，在本世纪内,?已经由希尔伯特的数理逻辑学派和他的学生们用精确的数学形式表述出来。这问题的实质在于：把通常数学证明中所固有的质的困难性，代之以用算法方式使证明过程标准化而造成的计算中的量的复杂性。这种属于计算的量的复杂性过去是人力所不可及的，而现在由于计算机的产生和迅速发展，已经变得越来越微不足道了。”
吴文俊《复兴构造性的数学》（《吴文俊文集》）：“非构造性观点在现代数学研究中普遍流行。这种观点往往主要考虑对象的一些性质，如存在性、可能性等问题，不大关心如何求出解答、或将能行的方法予以有效的实现。应用上对构造性数学要求非常迫切。一个工程师对于方程解的存在唯一性不会有太多的兴趣，而更关心一些典型的特解，或利用微扰方法找出近似解。机器定理证明向数学提出许多构造性的问题，例如将代数簇如何分成不可约分支，把一正定多元多项式如何表示成为有理函数的平方和等。这些问题在非构造性观点下被搁置多年，目前尚无有效的处理方法。历史上，中国古代数学基本上是构造性的。在西方，非构造性观点从上世纪末才逐渐盛行。实际研究中有许多问题。一时难以给出构造性的处理，因而首先研究存在性、可能性等有关问题，但最终应是构造性的。值得注意的是，近来由于各种原因的促进，构造性观点的抬头有了一些明显趋势。”
胡世华《信息时代的数学》（《数学进展》1988年第 1期）：“数学各学科中的研究，可以归结为两种倾向的研究，即构造性数学和非构造性数学。意识到这两种倾向的不同和二者的对立统一关系是很重要的。按照王浩的观点（见 Richman，1980前言），前者是做的数学（mathematics of doing），后者是在的数学（mathematics of being）。在数学史上，?这两种倾向的数学研究一直存在着。?到了近代，?在 Cantor 之后，非构造性数学的研究有了很大的发展，似乎占了压倒优势。但是在? ?Baire?，?Borel?，Lebesgue 等数学家看来,按非构造性数学那样随意使用选择公理是有问题的。意识到信息加工时代和数学中这两种倾向，对于数学对象和数学真理性质的理解是有好处的，有利于数学的自我认识。数学的在是信息模式和结构的在；数学的做是信息加工。构造性数学的倾向是用数学取得结果把结果构造出来，侧重于思维的构造性实践 (有限制地使用排中律) 。非构造性数学的倾向是数学地理解问题和规律、建立数学模型形成数学理论体系、追求科学理想 (可以自由使用排中律) 。这两种数学是不能截然分得开的。”“考虑到信息时代的要求，就可以看清楚：构造性与非构造性数学的关系，它们各自的重要性和前进方向，二者是不可缺一的。要使计算机为人所用，特别是使原来由人做的事让计算机来做，就必须使数学规律计算化、算法化，就要研究计算数学，研究构造性数学。但是，研究用计算机来做事的可能性、有效性、可行性以至局限性，
又非进入非构造性的研究不可。在信息时代里，构造性数学与非构造性数学一起都需要以空前的规模来发展。但是两种倾向的数学都要意识到一些基本原则：构造性数学总是自觉或不自觉地在非构造性数学的原则下进行研究和探索；而非构造性数学中又总存在着构造性数学的因素，‘纯净’的非构造性数学是不存在的。在非构造性数学的研究中，构造性成分越多的部分往往对自身的发展也越有意义。在计算机科学的发展中，可以更清楚地看到构造性数学与非构造性数学的关系。这一点对数学科学和计算机科学的发展都很重要，都很根本；对于信息时代的科学技术的发展也很重要，也很根本。”
四、算法的现代概念与计算数学的发展
1．算法的现代概念
在本世纪30年代以前，数学中的算法通常被理解为确定由初始数据导出所求结果过程的准确指令，同时要求：①决定运算过程的指令可以从不同的初始数据开始运算，初始数据在一定范围内变动，─大量性；②处理初始数据的过程由有限个离散的步骤组成并且是完全确定的，─确定性；③算法沿着可以得到所求结果的方向进行，在适当的初始数据条件下经有限步后总能得到结果，─有效性。这三个特征──大量性、确定性和有效性是算法特有的，并且决定了其在数学中所起的作用。
上述描述缺乏数学的精确性，它不是算法概念原义上的数学定义。但毕竟根据它往往还是能断定出，对解决某个问题来说是否有算法，以及它所具有的内容是什么。
算法的现代概念：丘奇的λ-演算；图灵机。
1936年，英国数学家图灵（Alan Turing ，1912～1954）对“计算”的概念给出了一个有说服力的和完全的逻辑分析，从而不仅使人们对“什么是计算”的问题有了满意的回答，而且对若干方向上的数学研究提供了框架。图灵从对计算过程的分析得出结论：应该能构造“通用”计算机，在其上通过编程序而实现任何可能的计算，计算过程的逻辑分析也表明，一些数学问题不能有计算的解，或称为不可解。他给出了一些不可解的简单例子，后来的研究者发现，许多被长期探讨其计算解而未获成功的问题实际上是不可解的。图灵的通用计算机存在性的逻辑证明预示了现代通用数字计算机，对现代计算机的先驱者例如冯·诺伊曼等人的思想起了关键作用，对于后来因计算机的发展而兴起的计算理论，图灵对计算的分析也起着枢纽性的作用。
可计算性理论。可计算性理论是在数理逻辑的研究中产生的。从本质上说，数学定理的证明与推导是一种计算，而数理逻辑的研究对象正是这种计算，从而建立了可计算性理论，主要研究什么是计算，什么是可计算，什么是不可计算等问题。
2．计算数学的发展
数值分析；数值逼近；计算几何；蒙特卡罗方法；计算复杂性。
五、现代数学基础的主要流派
1．逻辑主义
弗雷格（ G.Frege，1848～1925，德）《概念演算》 (1879）；《算术基础》（1884）
罗素、怀特海《数学原理》（1910～1913）
基本观点：数学即逻辑，两者之间没有分界线。
以弗雷格、罗素（B.Russell ，1872～1970，英）和怀特海（A.N.Whitehead ，1861～1947，英）为代表的逻辑主义旨在把数学 (即集合论) 化归为纯粹逻辑，从而，前者的不相容之处就可以借助无可指摘的逻辑概念来表述而得到“消解”。在罗素和怀特海那里，康托尔(G.F.L.Cantor ，1845—1918，德) 的集合论被类型论所取代，这是指对集合与其元素作出逻辑的区分：前者被说成比后者具有更高的“类”。悖论通过严格地遵循所谓的“恶性循环原
则” (vicious circle principle) 得以避免—按照这一原则，任一集合都不能借助其本身定义的元素。（例如，所有集合的集合就违背了恶性循环原则，因为，它把自身也作为一个元素包括在内，从而就不是一个合法的实体。）
2．形式主义
⑴希尔伯特的形式主义。作为希尔伯特（ David Hilbert，1862～1943，德）思维的产物，旨在把数学化归为形式符号的操作，从而为数学提供一个新的基础。
⑵形式主义：无论是数学的公理系统还是逻辑的公理系统，其中基本概念都是没有意义的，其公理也只是一行行的符号，无所谓真假，只要能够证明该公理系统是相容的，不互相矛盾的，该公理系统便获得承认，它便代表某一方面的真理。
3．直觉主义
⑴构造主义。
克罗内克（Kronecker ，1823～1891）：“上帝创造了整数，其他一切都是人工构造出来的。”
⑵庞加莱（Poincare，1854～1912）
⑶直觉主义。由荷兰数学家布劳威尔 ( L.E.J.Brouwer，1882～1966）创立的直觉主义建立在这样一种信念上：一个数学概念只有当它可以适当地建立在直觉之上时才是可接受的。《数学基础》（1907），《逻辑规律的不可靠性》 (1908），《直觉主义和形式主义》 (1912）。强调能行性、构造性；不承认实无穷；反对古典逻辑，特别是反对使用排中律。
在布劳威尔看来，数学思想的最终渊源不是外部世界，而是我们的直觉意识。从而，对直觉主义者来说，一个数学对象被认为是存在的，仅当它能以某种确定的方式 (在思想中) 得到构造。存在性的证明必须是构造的。进而，无穷实体永远不能被看作完成了的实体，而毋宁说，它处于不断的“增长”之中。
如果接受了这些原则，对逻辑学和数学都将有很大的影响。例如，构造性要求蕴涵于古典逻辑中的排中律不再是普遍有效的。即，我们不再能够断言：对任何给定的命题 A，或者 A 或者 A的否定非 A成立。按照直觉主义的观点，为了肯定这一选言判断正确，我们必须或者具有 A的证明或者具有非 A的证明；但是，对很多数学断言—例如，每个偶数都是两个素数的和—我们并不具有这样的证明。直觉主义的第二个原则使得人们必须彻底拒绝 Cantor 的集合论并且不可避免地要按照完全不同的路线去重新构造数学。在逻辑与数学的关系方面，直觉主义认为逻辑只是数学的一部分，逻辑决不是数学的基础，数学的唯一来源是直觉，直觉已经把概念和推理清楚明白地呈现在我们的面前了。他们进而认为，逻辑的有效性依赖于数学的可构造性。
布劳威尔认为，除非对于实在的即可构造的存在和纯粹的存在加以明确的区别，否则数学就会变得没有意义。由于把古典逻辑—特别是排中律—从应用于有限集合推广到用于无穷集合，这两种存在的观念逐渐趋于一致了。由于自然界中从来也没有发现过实在的无穷，数学家对无穷并没有实际的直观的认识。因此要把排中律应用于无穷集合，必须把他们关于有限集合的经验加以外推。考虑到总结出排中律的希腊人对于实无穷深表怀疑，要证明这种外推是合理的就显得格外困难。他认为，如果对于那些无法实际构造而仅能依靠纯粹的存在性证明而获得的理想对象也象对于实在的或有限可构造的对象那样同样赋予合理性的话，数学就会失去其确实性。因为理想的对象又可以用来创造更理想的对象，这样下去，我们很快就会无法知道这些对象是否还有什么实际意义。
布劳威尔相信由悖论带来的危机是可以消除的，只要把理想对象及其论证方式从数学中清洗出去，也就是沿着严格的构造性的路线来重建数学。但是，由于这个直觉主义的纲领要把现代数学的大部分都清除掉，所以甚至许多赞成布劳威尔最初观点的数学家也不愿接受它。他们倒更乐于接受希尔伯特制订的一个计划，不是从内部来清洗数学，而是从外部来论证其
合理性。
⑷构造主义：毕肖普 (E.Bishop，1928～1983)。《构造性分析》 (1967)
数学概念要能通过人的智慧构造出来，数学才有实在的意义—这就是构造性数学赖以立论的基本观点。构造主义者主张，要证明一个数学对象存在，必须指出这个对象是怎么构造出来的。
毕肖普提出不用非直观概念来重建数学，他称此为构造性数学。在毕肖普的系统中，只证明一个数学对象在逻辑上必然存在是不够的，还必须拟定一种办法真正把这个对象构造出来。这种办法并不需要真的去施行，但它必须在有限个步骤内终止，而且必须明了在每一步结束之后如何进行下一步。
毕肖普的研究表明，构造性方法所得的结果同形式主义方法所得的结果可以同样漂亮，同样有用。布劳威尔力图从直觉主义的算术公理出发，逐步发展，从根本上建立起数学的确实性，而毕肖普的构造性数学计划则沿着一个不同的方向进行。他所关心的不是建立数学的基础，而是用构造性的方法来研究数学，因此，他从标准的算术规则和有理数出发，并试图从此“实实在在地”推演下去。在毕肖普看来，通过避开理想的观念和不断检验从直觉生成的对象和定理，就可以获得确实性。他的结果表明，很大一部分有价值的数学可以通过这种直接了当的方式有效而漂亮地发展出来。
4．布尔巴基学派：结构主义
受形式主义学派的影响，兴起于20世纪30?年代的法国，以集体署名尼古拉·布尔巴基（N.Bourbaki）出版数学巨著《数学原理》，以结构主义观点对现代数学进行了全面的整理与研究。
布尔巴基学派认为，数学各分支应按结构性质划分，运用公理化方法按照结构观点重新加以整理。所谓“结构”，是一些用若干公理来定义的基本数学关系。最基本的结构有三种，即代数结构、序结构和拓扑结构。以这三种结构为基础，可以形成各种复合结构、多重结构、混合结构，等等。全部或绝大部分数学内容都可以归结为各种结构，数学的发展无非是结构的建成或重组而已。数学结构：代数结构，序结构，拓扑结构，复合结构，多重结构，混合结构。
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