数列知识点
数列高考知识点
数列基本概念
数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：
依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；
依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()
n a f n =
2、等差数列
1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。
2、通项公式
1(1)n a a n d =+-
1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d
斜线上一些孤立点。
2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又11(1),(1)n
m a a n d a a m d
=+-=+-,
相减得
()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-.
若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ；
若n m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d. 3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ， 12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=. 3、前n 项和公式 由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++ ， 相加得 12n n a a S n += ， 还可表示为1(1) ,(0)2 n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。 特别的，由1212n n a a a -+= 可得 21(21)n n S n a -=-。 3、等比数列 1、 定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1 (0)n n a q q a -=≠ , q 叫公比。 2、通项公式： 11n n m n m a a q a q --==, 在等比数列中，若2m n p q r +=+= , 则 2m n p q r a a a a a ?=?=. 3、前n 项和公式: 由 12231,n n n n n S a a a qS a a a a +=+++=++++ ， 两式相减， 当 1q ≠时，11(1),(1)11n n a a q a q S q q q --= =≠-- ；当1q =时 ，1n s na = 。 关于此公式可以从以下几方面认识： ①不能忽视11(1)11n n a a q a q S q q --==-- 成立的条件：1q ≠。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。 ②公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。 如，公差为d 的等差数列{}n a ，212n n n S a x a x a x =+++ ，则 231121n n n n n xS a x a x a x a x +-=+++ ， 相减得 211(1)n n n n S x a x dx dx a x +-=+++- ， 当 1x ≠时，11 1(1)(1)1n n n n dx x S x a x a x x -+--=+ --，12112(1)1(1)n n n n a x a x dx x S x x +---=+-- 当1x =时 ，121(1)2 n n n n d S a a a na -=+++=+ ； 3）从函数角度看 n S 是n 的函数，此时q 和 1a 是常数。 4、等差与等比数列概念及性质对照表 5、递推数列 表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数，数列可用递推 式表示。求递推数列通项公式常用方法：公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的，累加法是求形如 1()n n a a f n +=+递推数列的基本方法，其中数列 {()}f n 可求前n 项和，即 1211()()n n n a a a a a a -=+-++- ；累乘法是求形如 1()n n a g n a +=? 递推数列通项公式的 基本方法，其中数列 {()}g n 可求前n 项积，即 3 21121 ,(0)n n n a a a a a a a a a -=? ?≠ . 第一节 等差数列的概念、性质及前n 项和 题根一 等差数列{a n }中，6 9121520a a a a +++= ，求S 20 [思路]等差数列前n 项和公式11()(1) 22 n n a a n n n S na d +-= =+： 1、 由已知直接求a 1 ，公差d. 2、 利用性质q p n m a a a a q p n m +=+?+=+ [解题 ] 由69121520a a a a +++= ，615912120a a a a a a +=+=+ ，得 1202()20a a +=， 120 10a a ∴+=，120()20 1002 n a a S +?∴= =。 [收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。 1、 等差数列{a n } 满足12 1010a a a +++= ，则有 （ ） A 、 11010a a +> B 、 21000a a +< C 、 3990a a += D 、 5151a = 2、 等差数列中,a 3+a 7-a 10=8,a 11-a 4=4,求 13S 。 第1变 求和方法——倒序相加法 [变题1] 等差数列{a n }共10项，123420a a a a +++= ，12360n n n n a a a a ---+++=，求S n. [思路] 已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想S n 公式推导方法。 [解题] 已知12 3420a a a a +++=，12360n n n n a a a a ---+++=， 又 14()80n a a +=，得 120n a a +=，1()20 1010022 n n a a n S +?∴= =?=， [收获] 1、重视倒加法的应用，恰当运用通项性质：q p n m a a a a q p n m +=+?+=+，快捷准确； 3、 求出1n a a +后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。 1、 等差数列{a n }共2k+1项，所有奇数项和为S 奇 ，所有偶数项和为S 偶 ，求 S 奇：S 偶 的值。 2、 等差数列{a n }前n 项和为18 ，若 1S =3, 123n n n a a a --++=, 求项数n . 3、 求由 1,2,3,4四个数字组成的无重复数字的所有三位数的和。 4、 求和 122n n n n n S n C C C =+++ 。 第2变 已知前n 项和及前m 项和，如何求前n+m 项和 [变题2] 在等差数列{a n }中，S n =a,S m =b,(m>n)，求S n+m 的值。 [思路] ,,m m n S S S +n 下标存在关系：m+n=m+n, 这与通项性质 q p n m a a a a q p n m +=+?+=+是否有关？ [解题] 由S n =a,S m =S n +a n+1+a n+2+……+a m =b 得 a n+1+a n+2+……+a m =b-a, 即 a b n m a a m n -=-++)(21 ， 得 n m a b a a m n --= ++21 由(n+1)+m=1+(n+m), 得a n+1+a m =a 1+a m+n 故).()(2)(211n m n m a b n m a a n m a a S m n n m n m +--=++=++= +++ 1、在等差数列{a n }中，15S =6，55S =9，求 S 15 。 2、在等差数列{a n }中，1S =3 ，3S =9，求 S 12 。 第3变 已知已知前n 项和及前2n 项和，如何求前3n 项和 [变题3] 在等差数列{a n }中，20S =10 ，40S =20，求 S 30 [思路] 由2030,,S S S 10寻找102030,,S S S S S --1020之间的关系。 [解题] 设数列{a n }公差为d ，10 1210S a a a =+++ ， 2010111220S S a a a -=+++ ， 3020212230S S a a a -=+++ , 201010()1010S S S d ∴--=?, 30202010()()1010S S S S d ---=?， 所以 102030,,S S S S S --1020成等差数列，公差100d , 于是 2010302()()S S S S S -=+-1020，得 30203()32060S S S =-=?=10。 [收获] 1、在等差数列{a n }中，1020 30,,S S S S S --1020成等差数列，即 1210a a a +++ ， 111220a a a +++ ，212230a a a +++ ，……，成等差数列，且30203()S S S =-10。 3、 可推广为 535()n n S S S =-2n ，747()n n S S S =-3n ，……， (21)(21)[]k n kn S k S S -=--(k-1)n 。 1、在等差数列{a n }中，123a a +=，346a a +=，求 78a a + 2、在等差数列{a n }中，121010a a a +++= ，11122020a a a +++= ，求 313240a a a +++ 3、在等差数列{a n }中，20S =10，30S =20，求 S 50及S 100。 4、数列{a n }中，S a =n ，S b =2n ，求 S 3n 。 5、等差数列{a n }共有3k 项，前2k 项和25S =2k ，后2k 项和 75S '=2k ，求中间k 项和S 中。 第4变 迁移变换 重视Sx=Ax 2+Bx 的应用 [变题4] 在等差数列{a n }中，S n =m,，S m =n,(m>n)，求S n+m 的值。 [思路] 等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，若所求问题与1,a d 无关时，常设为S=An 2+Bn 形式。 [解题] 由已知可设 S n =An 2+Bn=m S m =Am 2+Bm=n , 两式相减 ，得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n , 又m>n , 所以 ()1A n m B ++=-， 得 2()()()[()]() m n S A m n B m n m n A m n B m n +=+++=+++=-+。 [收获] “整体代换”设而不求，可以使解题过程优化。 1、 在等差数列{a n }中，84S =12，460S =20，求 S 32 2、 在等差数列{a n }中，,()n S S m n =≠m ，，求 S m+n 3、 在等差数列{a n }中，0a >1 ，15S S =10，求 当n 为何值时，S n 有最大值 第5变 归纳总结，发展提高 [题目] 在等差数列{a n }中，S n =a,S m =b,(m>n)，求S n+m 的值。（仍以变题2为例） 除上面利用通项性质q p n m a a a a q p n m +=+?+=+求法外，还有多种方法。现列举例如 下： 1、 基本量求解： 由b d m m ma S a d n n na S m n =-+==-+ =2) 1(,2)1(11， 相减得b a d n m a m n -=-++-]21)[(1, d n m n m a n m S n m 2 ) 1)(()(1-++++=+ 代入得m n b a n m S n m --+=+) )((。 2、利用等差数列前x 项和公式Sx=Ax 2+Bx 求解 由Sx=Ax 2+Bx ，得 S n =An 2+Bn, S m =Am 2+Bm 两式相减 ，得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-b 即 m n b a B m n A --= ++)( 故)()()(2 b a m n m n n m B n m A S n m --+=+++=+ 3、利用关系式 B An n S n +=求解 由B An n S n += 知 n S n 与n 成线性关系，从而点集{(n, n S n )}中的点共线，即(n, n S n ), (m, m S m ),(m+n, n m S n m ++)共线，则有 n n m n s n m s m n m s n s n n m m n -+-+=--+ ， 即 m n a n m s m n m b n a n m - +=--+ ， 化简, 得 m n nb na a m n nb ma s n m n n m --=+--=++ ， 即)(b a m n m n s n m --+=+. 4、利用定比分点坐标公式求解 由A(n, n S n ), B(m, m S m ), P(m+n, n m S n m ++)三点共线,将点P 看作有向线段→ AB 的定比分点,则 n m n m m n n m PB AP -=+--+==→→ )(λ ，可得 m n b a n m n b n a n m m s n m n s n m s m n n m --=-- =-+-+=++1)(1)(, 即)(b a m n m n s n m --+=+. 若S n 是等差数列{a n }的前n 项 和，S 2=3，S 6=4 ，则S 12______. 第二节 等比数列的概念、性质及前n 项和 题根二 等比数列{a n } ， 574,6a a ==, 求a 9。 [思路] 1、由已知条件联立，求，从而得 2、由等比数列性质，知成等比数列。 [解题1] 由 4651714,9a a q a a q ====, 两式相除，得 232q = ，2 973692 a a q ∴==?=。 [解题2] 由579,,a a a 成等比，得 22 795694 a a a ===。 [收获] 1、灵活应用性质，是简便解题的基础； 2、等比数列中，序号成等差的项，成等比数列。 等比数列{a n } ， 10,2a q >=，若 30123302a a a a ???= ，则36930a a a a ???= _______。 第1变 连续若干项之和构成的数列仍成等比数列 [变题2] 等比数列{a n } ，12 34562,6a a a a a a ++=++=，求 101112a a a ++。 [思路] 等比数列中，连续若干项的和成等比数列。 [解题] 设1 1232456,b a a a b a a a =++=++，……，4101112b a a a =++， 则{}b n 是等比数列，12,3b q ==，33412354b b q ∴==?=，即 10111254a a a ++=。 [收获] 等比数列{a n } ， 1q ≠- 时，232,,k k k k k S S S S S --，…… 成等比数列，但总有 2322()()k k k k k S S S S S ?-=- 。当k 为偶数时，0k q >恒成立。 1、等比数列{a n } ， 1q ≠- 时，242,6S S ==，求6S 。 2、等比数列{a n } ， 1q ≠- 时，261,21S S ==，求4S 。 第2变 396 ,,S S S 成等差，则 396 ,,a a a 成等差 [变题3] 等比数列{a n } 中， 396,,S S S 成等差，则 396,,a a a 成等差 。 [思路] 396,,S S S 成等差，得3692S S S +=，要证 396,,a a a 等差，只需证 3692a a a +=。 [解题]由 396,,S S S 成等差，得3692S S S +=， 当 q=1时，3 161913,6,9S a S a S a === , 由 10a ≠ 得 3692S S S +≠，1q ∴≠。 由3692S S S +=， 得 36 9111 (1)(1)2(1)111a q a q a q q q q ---+=---， 整理得 3692q q q +=，0q ≠ ，得 3612q q +=， 两边同乘以 3a ， 得 3692a a a +=，即 396,,a a a 成等差。 [收获] 1、等比数列{a n } 中，396,,S S S 成等差，则 285,,a a a 成等差。 2、等比数列{a n } 中，,,n m k S S S 成等差，则 ,,n d m d k d a a a +++ （其中 *,,,m d n d k d N d Z +++∈∈ ）成等差 3、等比数列{a n } 中，,,n m k a a a 成等差，则,,n d m d k d a a a +++ （其中*,,,m d n d k d N d Z +++∈∈） 成等差。 1、 等比数列{a n } ， 1q ≠，356,,a a a 成等差， 求11910()a a a -+的值。 2、等比数列{a n } ，174,,a a a 成等差，求证 361262,,S S S S -成等比。 第3变 {} n S 是等比， {} n a 也是等比数列 [变题4]数列{}n a 中，10a ≠ 且 12,,,,n S S S ，是等比数列，公比 q (1q ≠)，求证{}n a (2n ≥) 也是等比数列。 [思路] 1n n n a S S -=- ,欲证 {}n a 为等比数列，只需证 1 n n a a -为常数。 [解题] 1n n n a S S -=- ，11n n n a S S ++=-，（2n ≥）, 得111 n n n n n n a S S a S S ++--=-，而 1n n S S q -=?， 211n n S S q +-=?，111(1) (1) n n n n a S q q q a S q +--?-∴ ==-， （2n ≥ ）, 故{}n a 从第二项起，构成等比数列，公比为 q 。 第4变 等比数列在分期付款问题中应用 问题 顾客购买一售价为5000元的商品时，采用分期付款方法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，到第12次付款后全部付清。如果月利润为0.8%，每月利息按复利计算，那么每期应付款多少？（精确到1元） 分析一：设每期应付款x 元，则 第1次付款后，还欠 5000(1+0.8%)-x （元） 第2次付款后，还欠 [5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x （元） 第3次付款后，还欠 {5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x}(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)3-x(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x （元） ………… 最后一次付款后，款已全部还清，则 5000(1+0.8%)12-x(1+0.8%)11-x （1+0.8%）10-……-x(1+0.8%)-x=0 ， 移项 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x （1+0.8%）10+……+x(1+0.8%)+x ， 即 12 121 1.0085000 1.0081 1.008 x -?=?- 算得 1212 5000 1.008(1.0081)1.0081 x ??-=- 438.6≈（元） 一般地，购买一件售价为a 元的商品，采用分期付款时，要求在m 个月内将款还至b 元，月利润为p ， 分n （n 是m 的约数）次付款，那么每次付款数计算公式为[(1)][(1)1] (1)1 m m n m a p b p x p +-+-= +- . 分析二：设每月还款x 元，将商家的5000元折算成12个月后的钱要计算12个月的利息，而顾客第一次还的钱也应计算11个月的利息，第二次还的钱应计算10月的利息……，于是得方程 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x （1+0.8%）10+……+x(1+0.8%)+x ， 解得438.6x ≈（元） 分析三：设每次还款x 元，把还款折成现在的钱，可得 211 500010.8%(10.8%)(10.8%)x x x = ++++++ ， 解得 438.6x ≈（元）。 将上述方法应用到其他实际问题中，如木材砍伐，人口增长等。 某地现有居民住房的总面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半。当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建设新住房。如果10年后该地的住房总面积正好比 目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x 是多少？（取1.110为2.6） 第三节 常见数列的通项及前n 项和 [题根3] 求分数数列 111,,,122334 ??? 的前n 项和n S [思路] 写出数列通项公式，分析数列特点：分母中两因数之差为常数1。 [解题] 数列通项公式 1(1)n a n n = +，亦可表示为11 1 n a n n =-+ ， 所以 11111111223111 n n S n n n n =-+-+---= +++ 。 [收获] 将数列每一项裂为两项的差，再相加，使得正负抵消。 第1变 分母中两因数之差由常数1由到d [变题1] 求分数数列 111,,,133557 ??? 的前n 项和n S 。 [思路] 写出通项公式，裂项求和。， [解题] 1111(21)(21)22121n a n n n n ?? = =?- ?-+-+?? ， 11111111112335212122121 n n S n n n n ????∴= ?-+-++-=?-= ? ? -+++???? 。 [收获]1、求分数数列的前n 项和n S 时，将数列每一项裂为两项的差，称裂项法。 2、用裂项法可求解： （1） 若{}n a 为等差数列，0,1,2,n a k ≠= ，公差为d ，则 122334111 1111n n n n a a a a a a a a a a ++++++= ????? . 3、常见裂项法求和有两种类型：分式型和根式型。如分式型1111(3)33n a n n n n ?? = =?- ?++?? ； 根式型 n a = = 1 a b =-。另外还有： nn!=(n+1)!-n!， 11m m m n n n C C C -+=-。 1、求分数数列 1111 ,,,,261220 的前n 项和n S 2、求分数数列22221111 ,,,,12243648 ++++ 的前n 项和n S 。 2、 求分数数列 22222222 81828384 ,,,,13355779???????? 的前n 项和n S 。 第2变 分母中因数由2到3 [变题2] 求分数数列 111 ,,,123234345 ?????? 的前n 项和n S 。 [思路] 数列中的项的变化：分母因数由两个变为三个，是否还可裂项呢？ [解题] 由1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ??= =?-??+++++?? ， 得 1111111 ()()212232334(1)(1)(2)n S n n n n ??∴=?-+-++-??????+++?? 111(3)212(1)(2)(1)(2) n n n n n n ??+= ?-= ? ?++++??。 [收获] 1、分母为连续三因数的积，仍拆为两项的差，再相加，使得正负抵消。 2、对于公差为d (0d ≠)的等差数列{}n a ,有 12121231111 ()(1)k k k a a a k d a a a a a a -=?-?-?? . 1、求分数数列111 ,,,135357579 ??????……的前n 项和n S 。 2、求分数数列111 ,,,123423453456 ?????????……的前n 项和n S 。 3、求分数数列 3 3 3 33 4 5 1 1 1 1 ,,,,,n C C C C ……的前n 项和n S 。 第3变 由分数数列到幂数列 [变题3] 求数列2 221 ,2,3,……的前n 项和n S 。 [思路] 利用恒等式 332(1)331k k k k +-=++，取k=1 , 2 , 3 ,……，相加正负抵消可解。 [解题] 由恒等式 332(1)331k k k k +-=++ 取k=1、2、3……， 得 3322131311-=?+?+ 3323232321-=?+?+ ………… 332(1)331n n n n +-=++ 各式相加得 332 22 (1)13(12)3(12) n n n n +-=++ + +++++ 得 2223311(1) 12[(1)3(12)1](1)3332 n n n S n n n n n n +?=+++=+-+++--=+-?-?? 1 (1)(21) 6 n n n =++ 。 [收获] 利用恒等式4432(1)4641k k k k k +-=+++ ，类似可得 3 3 3 12n S n =+++ 2 (1)2n n +?? =? ??? 。 注意：正整数的平方和、立方和公式应用十分广泛。 求和 （1）22224(2)n S n =+++ ， （2）333 13(21)n S n =+++- ，（3）33324(2)n S n =+++ 。 第4变 由幂数列到积数列 [变题4] 求数列12,23,34,???……的前n 项和n S 。 [思路1]写通项公式，由通项特征求解。 [解题1]2(1)n a n n n n =+=+ ， 222(11)(22)()n S n n ∴=++++++ 222(12)(12)n n =+++++++ 1(1)1 (1)(21)(1)(2)623 n n n n n n n n +=+++=++。 [思路2] 利用[]1 (1)(1)(2)(1)(1)3n a n n n n n n n n =+=++--+ 裂项相加。 [解题2] 由[]1 (1)(1)(2)(1)(1)3 n a n n n n n n n n =+=++--+ 得 122334(1)n S n n =?+?+?+++ []1 (123012)(234123)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n = ??-??+??-??++++--+ 1 (1)(2)3n n n =++。 [收获] 对于通项为两因数的积，可推广到通项为k 个因数的积，如求数列 123,23(1),34(2),k k k ???+?+ ……的前项和n S 。 由1 (1)(1)[(1)()(1)(1)],1 n a n n n k n n n k n n n k k =?+?+-= ++--+-+ 将每一项裂为两项的差，相加即可正负抵消。 [思路3] 联想组合数公式，可见 2 1 (1)2 n n n C = +，利用组合数性质可得。 [解题3] 由2 (1)2n n a n n C =+=，得 2222 23122()2n n n S C C C C ++=+++= 1(1)(2)3 n n n =++。 [请你试试 3——4] 求数列123,234,345,??????……的前n 项和n S 。 第4变 由等差数列与等比数列对应项的积构成的积数列 [变题5] 在数列{}n a 中，2 10(1)11n n a n n n ??=+?=+ ??? ， （1） 分别求出10n n a a +-> 和 10n n a a +-<的n 取值范围；（2）求数列最大项；（3）求数列前n 项和n S 。 [思路] 1、解正整数不等式，2、利用函数单调性，3、利用错位相消法。 [解题] （1）由 1 11010910(2)(1)11111111n n n n n n a a n n ++-?? ?? ??-=+?-+?=? ? ? ? ?? ???? ，当n<9时， 10n n a a +-> ，即 1n n a a +>；当 n<9时 ，10n n a a +-<， 即 1n n a a +<。 （2） 当n=9时，9109991001111a a -??-= ?= ??? ，9 910101011a a ?? ∴==? ??? 是数列的最大 项。 （3） 设 2 10101023(1)111111n n S n ???? =?+?+++? ? ? ???? (1) 则 2 3 1 1010101023(1)11111111n n S n +?????? =?+?+++? ? ? ??????? (2) 相减得 2 3 110101010102(1)111111111111n n n S n ????????=?+?++-+? ? ? ? ????????? 12010(12)1111n n ??=-+? ??? 。 [请你试试 3——5] 1、 求数列 {2}n n ?……的前n 项和n S 。 2、 求和2311357(21)n n S x x x n x -=++++++ 。 3、 求和13521 2482n n n S n n n n -= ++++? 。 4、 已知数列 {}n a ，11,23n a a n =-=- 数列{}n b ，114,2n n b b +==，求数列 { }n n a b 的前n 项和n S 。 第四节 递推数列的通项公式及前n 项和 1、利用不动点求数列通项 [题根三] 数列 {}n a 满足11a =，121n n a a +=+，求通项公式n a 。 [思路] 1、写出 1234,,,a a a a ，由不完全归纳法得n a 表达式。 2、构造新数列，转化成等比数列求解。 [解题] 在的1 21n n a a +=+ 两边加1，则数列 {1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 得 1122n n a -+=?，即 122121n n n a -=?-=-即为所求。 [收获] 1(1)n n a pa q p +=+≠型递推数列，当p=1时, 数列为等差数列；当0,0q p =≠时,数列为等 比数列。下面给出 1p ≠时递推式的通项公式的求法： 方法1、因为 1,p ≠ 所以一定存在 α 满足 p q αα=+ ， 从而得 1q p α= -， 此为函数()f x px q =+的不动点。 由 1()()n n n a p a q p q p a ααα+-=+- +=-，得{}n a α-是首项为 1a α-，公比为p 的等比数列，于是 11()n n a a p αα--=-, 即 11()n n a a p αα-=+- ，将 1q p α= - 代入上式， 得 通项公式为 11().11n n q q a a p p p -=+--- ………………（I ） 方法2、由1n n a pa q +=+,1n n a pa q -=+， 得11()n n n n a a p a a +--=-，令1n n n b a a +=-， 则1n n b pb -=，则{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列， 得 1 11 n n k k a a b -==+∑111(1) 1n b p a p --=+ - 1211()(1) (2)1n a a p a n p ---=+≥- （*）；当n=1时,（*）式也成立。 数列{}n a 满足 19a =, 134n n a a ++= ， 求 n a 。 [变题1] 数列 {}n a 满足11a =，1221 n n n a a a += + 求通项公式n a 。 [思路] 常见解法：先求数列 1n a ?? ???? 的通项公式 [解题]由将已知关系式取倒数得 111112n n a a +=?+， 由（#）式 得 1 1122n n a -??=- ??? ，所以 11 22n n a -= -。 [收获] 1n n n pa a ra s += +型递推数列的通项公式的求法： 令 px x rx s = +，得10x = 或2p s x r -= 为两不动点。由于 111111n n n s r a x a p a p ++==?+ -， 设1n n b a = ，则 1n n s r b b p p += ?+， 此为1(1)n n a pa q p +=+≠模型。 同样，121 n a x +- 也 可化为 1(1)n n a pa q p +=+≠模型，由（I ）式 可求得n a 。更为特殊的是p=s 时， 111111n n n r a x a a p ++==+-, 设 1 n n b a = 则数列 {}n b 是等差数列 。我们常取1n n n pa a ra p += +的 倒数求解 ，原因恰是为此 。 [变题2] （06年江西理第22题）数列 {}n a 满足13 2 a = ，11321n n n na a a n --= +-*(2,)n n N ≥∈ 求通项公式n a 。 [解答] 11321n n n na a a n --= +-1112 33 n n n n a a --?=?+ ，即11233n n b b -=?+111 1()33 n n b b -?-=?-，又132a =，得 1213b =-，所以 1 21(1)33n n b -?? =-? ? ?? ，得 331 n n n n a ?=-。 函数 ()31 x f x x = + ，数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=，* ()n N ∈ ，（1）求{}n a 的 通项公式 n a ； （2）设 12231n n n S a a a a a a +=?+?++? ，求 n S 。 [变题2] 数列{}n a 中，1114 0,,(2)2 n n n a a a n a --+== ≥- ，求 n a [思路1] 令 4 2x x x +=-，得 124,1x x ==-，即两不动点，可得1141n n a a ++??-??+??是等比数列， [解法1] 由11111143123(4)44222 n n n n n n n a a a a a a a ------+-+--= -==- ---， 令4n n b a =-， 则1 132 n n n b b a --=- - ……………………（a ） 由111142(1) 1122 n n n n n a a a a a ----+++= += --， 令1n n c a =+， 则 1 122 n n n c c a --= - ……………………（b ） (a) 式除以(b)式 得 1 132n n n n b b c c --=-?，即n n b c ?????? 是首项为111144,1b a c a -= =-+ 公比为32-的等比数列，1 4 3421 n n n n n b a c a --?? ∴=-?-= ?+?? ， 1 11 344 2024.3241423n n n n a ---?? --+ ???∴==-?????-++- ? ????? [思路2] 111n a x +-和 12 1 n a x +-均可化为1(1)n n a pa q p +=+≠型递推式， [解法2] 由 1112121.43(4)3(4)3n n n n a a a a ----=-=----- 令14n n b a = -， 则 121 33 n n b b -=--， 由（I ）式 得 111123322431133n n b -?? - - ???=+--?- ? ??? ?+ +?? 1112152034n n a -??=--?-= ?-?? 所以 1 1 12044.1122452033n n n a --=+ =- ????---+- ? ??? ?? [解法3] 由 11311 1212 n n a a -=-?+++， 亦可求得1 204.243n n a -=-?? +- ??? [收获] 求解1 n n n pa q a ra s ++= +型递推数列的通项公式的方法： 令 px q x rx s += + ， 设其两根为 12,x x 即两不动点。于是1112n n a x a x ++??-??-?? 是等比数列， 并且 111n a x +-和 12 1 n a x +-均可化为1 (1)n n a pa q p +=+≠型递推式 。 [变题3] 设数列{}n a 前n 项和为432n n S a n =-+，求 n a 及 n S 。 [思路] 将已知关系中 n S 的化为 n a ，再进一步变形。 [解题] 由432n n S a n =-+，得 1141a a =-, 即11 .3 a = 11432[43(1)2]n n n n n a S S a n a n --=-=-+---+1443n n a a -=-+, 得 14 13 n n a a -= -. 这是1n n a pa q -=+ 型递推式，由(#)式得 11 11144310.3331133n n n n a --?? ???=+-?=-+? ? ??? ?--?? 443210103.3n n n S a n n ?? ∴=-+=-+- ??? 第1变 递推式 1()n n a f n a += 2、累积错位相消法求数列通项 [变题4] 数列 {}n a 满足11a =，12n n n a a +=，求通项公式n a 。 [思路] 观察 1a 与2a 、2a 与3a 存在的关系，思考解题方法。 [解题] 212a a = ，322a a =，432a a =，……，12n n a a -=，各式相乘得 11122n n n a a --==。 [收获] 1、若f(n)为常数, 则{}n a 为等比数列。2、1 ()n n a f n a +=型递推式，通项公式求解方法如下： 12121 (1),(2),(1).n n n n a a a f n f n f a a a ---=-=-= 各式两边分别相乘，得 1(1)(2)(1),n a a f f f n =- ……………………………（II ） 当n=1时, (II)仍成立 [变题5] 在数列{}n a 中,1 1121,2()n n a na a a a +==++ , （1） 求{}n a 通项公式 （2）令1 22 24n n n n a b a a ++=，求{}n b 的前n 项和n S 。 [思路] 将题中递推式转化、归类，再求解。 [解题] （1）将题中递推式转化为： 1121212()2()2(1)2n n n n n n na a a a a a a a n a a +-=++=++++=-+ . 即 11n n n a a n ++= .由 (II) 式 得{}n a 通项公式123.121 n n a a n n =??=- (2) 由 {}n a n =, 得 1222222244(1)11 .(2)(2)n n n n a n b a a n n n n +++= ==-++ 所以数列{}n b 前n 项和 ： 22 1 1 11 [ ](2)n n n k k k S b k k ====-+∑∑ 22222221111111 1324(1)(1)(2)n n n n =-+-++-+- -++ 222 5265.4(1)(2)n n n n ++=-+?+ 第2变 ) (1n f a a n n +=+型递推数列 3、累加错位相消法求数列通项 [变题6] 已知数列}{n a 中，11a =，11 (1)n n a a n n +=+-, 求}{n a 的通项公式。 [思路] 将题中递推式变形 111 1n n a a n n +-= --，利用错位相消法。 解 将题中递推式表示为：1111n n a a n n +-= --， 于是 21112a a -=-，321123a a -=-，431134 a a -=-，……，111 21 n n a a n n --=--- 各式相加得 213211()()(),n n n a a a a a a a a --+-+-=- 得 11111111 (1)()()()2233421n a a n n =+- +-+-++- -- 11 11211 n n =+-=- -- 即为所求通项公式。 [收获] 对于数列}{n a ，设 ,2,1,1=-=+n a a b n n n 则称数列}{n b 是}{n a 差数列， 则 121213211()()(),n n n n b b b a a a a a a a a --+++=-+-+-=- 得∑-=+=1 1 1.n k k n b a a 所以{}n a 的通项公式为1 11 (),(2)n n k a a f k n -==+≥∑………… （III ）. 当n=1时，也满足(III)式。 [变题7] 在数列}{n a 中，12a =, 1(1)n n na n a +=+ , 求}{n a 通项公式。 [思路] 题中关系式不是)(1 n f a a n n +=+型的递推式，但两边同除以n(n+1)，经过变量替换，可化为 )(1n f a a n n +=+型递推式。 [解题] 在递推式 1(1)n n na n a +=+ 两边同除以 n(n+1) , 得 11 1(1) n n a a n n n n +=+ ++ 令n n a b n = 得 11(1)n n b b n n +=++，1121 a b ==。由（III ）式得 n b 表达式为： 1 1 1111111()(1)1n n n k k b b b k k k k --===+=+-++∑∑111111 2(1)3.2231n n n =+-+-++-=-- 于是{}n a 通项公式为 1 (3)3 1. n n a nb n n n ==- =- 求数列 1、4、11、26、57、120、……，的通项公式。 第3变 1()n n a pa q n +=+型递推数列 4、两边同除以 1n p + ，经过变量替换，化为)(1n f a a n n +=+型递推式 [变题8] 数列{}n a 满足 12a =, 1223n n a a n +=+- ， 求 n a 。 数列知识点归纳及例题分析 《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：???≥-==-)2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：①强调2,1≥=n n 分开，注意下标；②n a 与n S 之间的互化（求通项） 例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2 ,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质： （1）单调性的判定与证明：①定义法；②函数单调性法 （2）最大（小）项问题：①单调性法；②图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系） 例3：已知数列}{n a 满足?? ??? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处） 等差数列 等比数列 定义 1n n a a d +-=（d 是常数1,2,3n =，…） 1 n n a q a +=（q 是常数，且0≠q ，1,2,3n =，…） 通项 公式 ()11n a a n d =+- ()n m a a n m d =+- 11n n a a q -= 推广：n m n m a a q -= 求和 公式 () 112 n n n S na d -=+=()12n n a a + ()111 (1)1(1)11n n n na q S a q a a q q q q =?? =-?-=≠? --? 中项 公式 2 n k n k a a A -++=（*,,0n k N n k ∈>>） k n k n a a G +-±=（*,,0n k N n k ∈>>） 《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：???≥-==-) 2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：强调2,1≥=n n 分开，注意下标；n a 与n S 之间的互化（求通 项） 例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质： （1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法 （2）最大（小）项问题： 单调性法；图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系） 例3：已知数列}{n a 满足????? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处） 例题： 例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，数列{b n }满足b n ＝1a n －1 (n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 ∵a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，b n ＝1 a n －1 . ∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1 a n －1－1 ＝ 1? ?? ??2－1a n －1－1 －1 a n －1－1 ＝a n －1 a n －1－1－1a n －1－1 ＝1. ∴数列{b n }是以－5 2 为首项，1为公差的等差数列． 一、数列 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ①n n a a a S +++= 21； ②???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知*2()156 n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为（答：n a <1+n a ）； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）； 4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式) (1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ） 必修 5 第二章 数列 （复习 1） 一 、等差数列知识点 1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起， 那么 这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表 示为 a n a n 1 d ( n 2) 或 a n 1 a n d (n 1)。 2、等差数列的通项公式： a n a 1 (n 1)d ；说明：等差数列 的单调性： 为数列 当 为常数列， 为递减数列。 3、等差中项的概念：定义：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差 其中 A a ， A ， b 成等差数列 。 4、等差数列的前 n 和的求和公式： 。 5、等差数列的性质： （ 1）在等差数列 a n 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （ 2）在等差数列 a n 中，相隔等距离的项组成的数列是 AP ， 如： a 1 ， a 3 ， a 5 ， a 7 ，??； a 3 ， a 8 ， a 13 ， a 18 ，??； （3）在等差数列 a n 中，对任意 m ， n N ， a n ， d (m n) ； （ 4）在等差数列 a n 中，若 m ， n ， p ， q N 且 m n p q ，则 ； 说明：设数列 { a n } 是等差数列，且公差为 d ， （Ⅰ）若项数为偶数，设共有 2n 项，则① S 奇 S 偶 nd ； ② S 奇 a n ； S 偶 a n 1 （Ⅱ）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则① S 偶 S 奇 a n a 中 ；② S 奇 n 。 S 偶 n 1 （ 2） S n 最值的求法：①若已知 S n ，可用二次函数最值的求法（ n N ）；②若已知 a n ，则 S n 最 值时 n 的值（ n a n 0 a n 0 N ）可如下确定 或 a n 1 。 a n 10 变式训练 1， 根据各题的条件，求等差数列 a n 的前 n 项和 S n ， （ 1） a 1 2,d 5, n 10 （ 2） a 12, a n 6,n 12 （ 3） a 10 2, d 5, n 8 2. 在 1 和 15 之间插入 25 个数，使得所得到的的 27 个数成等差数列。求插入的 25 个数的和 ? 6、数列最值 3,等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，已知 S 9 0, S 10 0 ，则此等差数列的前 n 项和中， n 是多少的 （ 1） a 1 0 ， d 0 时， S n 有最大值； a 1 0 ， d 0 时， S n 有最小值； 1 / 6 数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界 项， 即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶 奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有 数列知识点及常用解题方法归纳总结 一、 等差数列的定义与性质 () 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 {}性质：是等差数列a n （）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则 ；421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52 a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即： 当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11 000 0><≥≤?? ?+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000 <>≤≥?? ?+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 （由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331 ()又·，∴S a a a a 3132 22 33113 = +=== 数列知识点题型方法总复习 一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函 数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如 （1）已知* 2 () 156 n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（125）； （2）数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数 列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（A ） A B C D 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。如设{}n a 是等差数列，求证：以b n = n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = 210n +；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 8 33 d <≤ 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S += ，1(1) 2n n n S na d -=+。如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2 n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和15 2n S =-，则13a =-，10n =； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和2 12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2* 2* 12(6,) 1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2 a b A +=。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、 d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 三．等差数列的性质： 1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率 为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数 列。 数列专题解析方法 一、数列通项公式的求解 类型一：观察法 例 1: 写出下列数列的一个通项公式 （1）3,5,9,17,33 ，； （2）11,22,33,44, ; 2345 （3）7,77.777.7777. （4）2, 1,10, 17,26, ; 3 7 9 11 （5）3,9,25,65, ; 2 4 8 16 类型二：公式法 (1) a n a1 (n 1)d a m (n m)d 例 2：已知等差数列a n 中，a1 1,a3 3,求a n 的通项公式 n 1 n m (2)a n a1q n1 a m q n m 例 3：已知等比数列a n 中，a2 6,6a1 a3 30, 求a n 的通项公式类型三：利用“ S n ”求解 S1,(n 1) (1) (1) a n n S n S n 1(n 2) 例 4：已知数列a n 的前n项和S n n2 24n(n N* )，求a n 的通项公例 5：已知数列a n 的前n项和为S n，且有a1 3,4S n 6a n a n 1 4S n 1,求a n 的通项公式 例 6：已知数列a n 的前n 项和为S n，且有a1 1,a n 1 2S n 1(n 1), 求a n 的通项公式 例 7：已知正数数列a n 的前n项和为S n ，且对任意的正整数n满足 2 S n a n 1, 求a n 的通项公式 (2)S n S n 1的推广 例 8：设数列a n满足a13a232a33n 1a n n,n N*求a n的通项公 3 式 类型四：累加法 形如a n 1 a n f (n)或a n a n 1 f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n 的函数) (1)若 f (n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和例 9：a n 1 a n 2n 1,a1 2, 求a n 的通项公式 (2)若 f (n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和例 10：a n 1 a n 2n,a1 2, 求a n 的通项公式 (3)若 f (n) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 例11：a n 1 a n n n 1,a1 1, 求a n 的通项公式 (4)若 f (n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和 例 12：a n 1 a n 21,a1 1, 求a n的通项公式 n 2 2n n 类型五：累乘法 形如an1f(n)或an f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数) a n a n 1 数列知识点总结 第一部分 等差数列 一 定义式： 1n n a a d --= 二 通项公式：n a 1()(1)m a n m d a n d =+-??=+-? 一个数列是等差数列的等价条件：b an a n +=(a ，b 为常数)，即n a 是关于n 的一次函数，因为n Z ∈，所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=na =中间项 1(1)2 n n na d -=+ 一个数列是等差数列的另一个充要条件：bn an S n +=2(a ，b 为常数，a ≠0)，即n S 是关于n 的二次函数，因为n Z ∈，所以n S 关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。 四 性质结论 1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置， 如：3个数a-d,a,a+d ； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d 2.a 与b 的等差中项2 a b A +=； 在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则 m n p q a a a a +=+；若2m n p +=，则2m n p a a a +=； 3.若等差数列的项数为2() +∈N n n ，则，奇偶nd S S =- 1 +=n n a a S S 偶奇 ； 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1 -=n n S S 偶奇 4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设12,n A a a a =++?+，122n n n B a a a ++=++?+， 21223n n n C a a a ++=++?+，则有C A B +=2； 5.10a >,m n S S =,则前2m n S +(m+n 为偶数)或12 m n S +±(m+n 为奇 数)最大 第二部分 等比数列 一 定义：1 (2,0,0){}n n n n a q n a q a a -=≥≠≠?成等比数列。 二 通项公式：11-=n n q a a ，n m n m a a q -= 数列{a n }是等比数列的一个等价条件是： (1),(0,01n n S a b a b =-≠≠，） 当0q >且0q ≠时，n a 关于n 的图像是指数函数图像的分点表示形式。 数列基础知识点 1．概念与公式： ①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列； 2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列：1°.定义若数列q a a a n n n =+1 }{满足 （常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;1 1k n k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1) 1(111≠--=--= q q q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质： ①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a 1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =?=?=?--n n n a a a a a a ②中项及性质： 1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2 b a A += 2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质：见习题册page28复习题B 组第2题： 1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 21 31 2,,则组成公差为n 2d 的等差数 列； 2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 21 31 2,,则 组成公差为q n 的等比数 列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立） 数 列 专 题 ◆ 考点一：求数列的通项公式 1. 由a n 与S n 的关系求通项公式 由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有： ①利用S n －S n －1＝a n (n≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式； 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可 并入n≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . 2.由递推关系式求数列的通项公式 由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解． ◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1 a n ＝f(n)，常用累乘法求通项； ◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通 项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列； 2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n ＋1 转为用迭加法求解． 3） ◆ 倒数变形 3.数列函数性质的应用 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法． （3)数列{a n }的最大(小)项的求法 可以利用不等式组? ?? ?? a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组? ?? ?? a n －1≥a n ， a n ≤a n ＋1，找到 数列的最小项. [例3] 已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2 －5n ＋4，①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． (2)若a n ＝n 2 ＋kn ＋4且对于n ∈N * ，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围． 考点二：等差数列和等比数列 等差数列 等比数列 定义 a n －a n －1＝常数(n≥2) a n a n －1＝常数(n≥2) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1 (q≠0) 数 列 一、数列的概念 （1 项叫第1项（或首项）第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a （1）(2)2010（2例如：①：1 ，2 ，②：4131211，，，说明： ①{}n a 表示数列，n a 的通项公式； ② 同一个数列的(1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一 个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 n a 来代替()f n ，其图象是一 . 有穷数列和无穷数、 … … 和n S 与通项n a 的关系： 322 +=n ，求数列}{n a 的通项公式 2项起，每一项与它的d 表示。用递推公式表示为1)。 = (1)n d +-； d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ） 3.等差数列,12-=n a n 题型三、等差中项的概念： 定义：如果a ，A ，b 2 a b A += a ，A ， b 成等差数列?A （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．（06全国I ）设{}n a A ．120 B ．D ．75 2.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ） A ．1 B.2 C.4 D.8 题型四、等差数列的性质： ()n m a a n m d =+-， 且m n p q +=+，则 n 。 ) 127...a a a +++= （D ）n n n 项和，已知23a =， 611a =，则7S 等于( ) 等差数列 一、数列 定义：有序的一列数 表示方法：1）最常见的枚举法：1,2,3,4,5,6…… 2）★★★通项公式：()n a f n =，理解：数列是一种特殊的函数，特殊在定义域上，定义 域n 是从1开始的自然数，所以说，数列又可以从函数解析式的角度来分析数列特征 3）递推关系：1 ()n n a f a +=，理解：递推公式是最直观的，比如说等差数列就是后一项和前一项的 差相等，但是递推公式不利于分析数列的性质，比如想知道第100项是多少，就需要由递推公式去推出通项公 式 4）求和公式：n S ，理解：n S 和n a 的关系11 (2) (1)n n S S n S n --≥??=?（记⑤） ★★★难点：递推公式?通项公式 通项公式?求和公式 ☆☆☆一般考察思路：/n n a S ?递推公式?通项公式n S ??不等式（中间截取一段或者几段） 二、等差数列 1. 递推公式：1n n a a d +=+（d 可以是0） ()n m a a n m d =+- 2. 通项公式：1(1)()n a a n d f n =+-=（可以把这个式子看成一个关于n 的一次函数（记①）） 1(dn a d =+-）（一次项系数为d （记②），这个式子递增递减的变化取决于公差d （记③）） 3. 求和公式： 1()2 n n a a n S += （把n a 的式子代入）1(1) 2 n n na d -=+ （更常用） 21=()22d d n a n +-（可看成二次函数，无常数项。二次项系数为2 d ，决定开口方向。（记④） ?从函数的角度看一个数列的n S 有没有最大值和最小值是由d 的正负决定的） 考点1：由数列函数性质速算通项公式和求和公式 例题1.已知一个等差数列{}n a ，2 5a =，57a =，求通项公式 解析：1）通常解法：求通项公式，求1a 求d 52233a a d -= = ，1133a =，1132211 (1)(1)=3333 n a a n d n n =+-=+-?+ 2）口算解法：把n a 看成一个函数1(n a dn a d =+-）（由②，只需要记住一次项系数为d ） 所以23n a n = +一个数，然后代入2a ，解得那个数是113 例题2．1）已知数列{}n a 的通项公式是25n a n =+，求n S 解析：由①知，通项公式为关于n 的一次函数，则n a 是等差数列 常规解法：21221(1) 7,9,2,7262 n n n a a d a a S n n n -===-==+ ?=+ 口算解法：（函数的角度）由②，知道2d =，由④知，2 2 n d S n =+一个数n ?2=n +一个数n ? 想求得这个数只需要代入一个n S 即可，21171S a ===+一个数1?，可知，这个数为6 所以26n S n n =+ 2）已知数列{}n a 的前n 项和为23n S n n =-，求{}n a 的通项公式 解析：由④，n S 是没有常数项的二次函数，所以{}n a 是等差数列 由口算解法，可知6n a n =+一个数，由112S a ==，64n a n =- 数列知识点 内容4 要求层次 A B C 数列 数列的概念 数列的概念和表示法 √ 等差数列、 等比数列 等差数列的概念 √ 等比数列的概念 √ 等差数列的通项公式与前n 项和公式 √ 等比数列的通项公式与前n 项和公式 √ 二．知识点 (一)数列的该概念和表示法、 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作n a ，在数列第一 个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个 数列的通项公式 说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。 ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点 看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤 立的点 （4）数列分类： ①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列； ②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列 （5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间 的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 （二）等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 三角函数知识点总结 1. 角的概念的推广 (1) 终边相同的角：所有与α角终边相同的角(连同α角在)可以用式子k ?360?α，k ∈Z 来表示。 与α角终边相同的角的集合可记作：{β|β k ?360?α，k ∈Z}或{β|β2k πα，k ∈Z}。 ※ 角的集合表示形式不是唯一的；终边相同的角不一定相同，相同的角一定终边相同。 (2) 象限角：角的顶点与坐标轴原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限的角。 象限角 集合表示 象限角 集合表示 第一 象限 ??????∈+< 坐标轴 ? ?????∈=Z k k x x ，π21 2. 弧度制 (1) 1弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 (2) 度数与弧度数的换算： ①180? π弧度； ②180 1π = ?弧度； ③1弧度 O ?? ? ??π180。 (3) 有关扇形的一些计算公式： ①R =α； ②R S 2 1 = ； ③221 R S α=； ④C (α2)R ； ⑤)sin (2 1 2αα-=-=?R S S S 扇形 弓。 3. 同角三角函数的基本关系 (1) 商数关系： αα αtg =cos sin ；(2) 平方关系：sin 2αcos 2 α1， 4. 三角函数的诱导公式：“奇变偶不变(2 π 的奇数倍还是偶数倍)，符号看象限(原三角函数名)”。 5. 两角和与差的三角函数公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； β αβ αβαtg tg tg tg tg 1)(±= ± (变形：)1()(βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=±)。 6. 倍角、半角公式 (1) 二倍角公式： sin2α2sin αc os α，c os2αc os 2αsin 2α2c os 2α112sin 2α，α -α = α2 tg 1tg 22tg ； 7. 倍角、半角公式的功能 (1) 并项功能：1±sin2α(sin α±c os α)2 (类比：1c os2α2c os 2α，1c os2α2sin 2α)； (2) 升次功能：c os2αc os 2αsin 2α2c os 2α1 1 2sin 2α； R 数列 基础知识梳理 一、数列 1、数列的定义 数列是按照一定顺序排列着的一列数，在函数的意义下，数列是某一定义域为正整数或它 的有限子集｛1,2,3,4，……,n｝的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值， 其图像是无限个或有限个孤立的点，数列的一般形式为印，a2,a3,|l（,a n ,通常简记为｛a n｝，其中a n是数列的第n项，也叫通项。 1）｛a n｝与a n是不同的概念，｛a n｝表示数列a1l a2,a3^|,an^L而a.表示的是这个数 列的第n项 2）数列与集合的区别 集合中元素性质：确定性，无序性，互异性； 数列中数的性质：确定性，有序性，可重复性。 2、数列的通项公式 当一个数列｛a n｝的第n项a n与项数n之间的函数关系可以用一个公式a^ f n来表示，就把这个公式叫数列｛a n｝的通项公式，可根据数列的通项公式算出数列的各项，也可判断给定的数是否为数列｛a n｝中的项或可确定是第几项。但不是所有数列都可以写出通项公式，数列的通项公式也不唯一。 3、数列的表示方法 数列看成一个特殊的函数，所有从函数的观点出发，数列的表示方法有以下三种: 1）解析法：通项公式和递推公式两种； 2）列表法 3）图像法（数列的图像是一系列孤立的点）4、数列的分类 （1）有穷数列和无穷数列 （2）单调数列，搬动数列，常数列 5、a n与S n的关系 S（ n =1） n 一IS n —Sn4（n^2） 6、等差数列 1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 定义的表示为：a n -a n 一1 = d （n ?二 N *,n 丄2）或者 a n ： -a n = d （n ?二 N *） 公差d 可正可负或为零，为零时，数列为常数列。 2）等差数列的通项公式 a n =印 n -1 d, a .二 a m n -m d d = a n ~am (n = m) n —m 3）等差数列的增减性 d .0=等差数列「aj 为递增数列； d ：：0=等差数列「a/为递减数列； d=0=等差数列CaJ 为常数列。 4 ）等差中项 a +b 任意两个数a,b 有且仅有一个等差中项 ，即。 2 A 二~~ = a,A,b 三个数构成等差数列。 2 5）等差数列前n 项和公式（倒序相加法） n & a n S i ； 2 n （n —1） 5 d. 2 + x , n （n T ） d 2 『 d 第二个公式 q = na 1 d 可整理成 S n n …I 印 n 2 2 I 2丿 pl pl A 二一启二印-一则S n =An 2 ? B n , S n 可看成是关于n 的二次函数（常数项为 2 2 那么可以得出一下结论： （1） 当d -0是,S n 有最小值；当d ：：：0是,S n 有最大值； （2） ｛ a n ｝是等差数列二 S n 二 An 2 ? Bn. 对于第二个公式要求 a n ，a m 是数列中的项即可，也可表示为 n -1 最全数列知识点归纳 注意：（1）数列与集合的差异；（2）数列中只有很少一部分是等差或者等比数列，只是我们高中阶段仅仅研究与等差、等比相关联的特殊数列而已。 等差（等比）数列定义：从第2项起，每一项与它前一项的差（比）等于同一个常数。 注：常数，即与n 无关的数 等差数列判断方法： （1）1n n n a a d +-=≥（2） （2）112n n n a a a +-+= （3）An+B n a =（4）2n S An Bn =+ 等比数列判断方法： （1） 1(0)n n n a q q a +=≠≥（2） （2）2 11n n n a a a +-?=（3）n-1n 1q kq (0)n n a a a q ==≠或 （4）n k+kq q n S =-（不为0或1） 数列的通项公式研究的是数列的通项n a （代表项）与序号n 之间的函数关系()f n n a =。 类型一：. eg8：若给出一般数列的某几项或无穷项111 11234 --（），，，...； 类型二：.若已知数列就为特殊的等差、等比数列，或者能够转换成等差、等比数列的情况，公式法 类型三：已知数列n S 与n 一个函数关系。递推法 （注意n a 的表示形式，思考是否需要分类表示） 11 , 1, 2n n n a n a s s n -=?=?-≥? 类型四：已知此数列的递推关系（1n n a a +与的关系）()1n n a a f n +=+的形式，求n a 。 累加法 类型五：已知此数列的递推关系（1n n a a +与的关系）为()1n n a a f n +=?的形式，求n a 。 累乘法 类型六：已知此数列的递推关系为1()n n a pa f n p q +=+（、为常数） 等的形式，求n a 。 构造法 1(1) 32;n n a a +=+1(2) 321;n n a a n +=+-1(3) 33;n n n a a +=+1(4) 3321;n n n a a n +=++- 类型七：已知此数列的递推关系为11n n n n ka a pa qa p q ++=+（、为常数） 等的形式，求n a 。 构造法 11111111n n n n n n n n n n n n n n n n ka a pa qa p q ka a pa qa k a a a a a a a a ++++++++=+?=+?=+ 类型八：已知此数列的递推关系为111n n n n n n n pa m ka a pa qa m a ka t ++++=++?=+等的形式，求n a 。 特征方程 {}112200(); (1),,1(2), (3),n n n n a x px m x x kx t px m x x kx t a x x a a x ??-+=?+=+??+-??????-?? 令方程有两根 则是等比数列 方程有两相等根 则是等差数列方程无实数根则是周期数列 类型九：已知此数列的递推关系为1n n n pa a ka m +=+等的形式，求n a 。取倒数法 11111n n n n n n n pa ka m m k a ka m a pa a a p ++++=?=?=++ ()123f n n n a a a a =+++ +=。 若已知数列就为特殊的等差、等比数列，或者能够转换成等差、等比数列的情况，公式法 类型二：. 若出现“等差、等比加减组合型”的通项，分组求和法 类型三：若出现“等差、等比乘除组合型”的通项，错位相减法 类型四：n a =分式可以使用裂项相消：如：111n(n+1)n (n+1)=-= 裂项相消法 类型五：12-1n n a a a a +=+= 可以使用倒序相加： 类型六：既非等差也非等比但正负相间求和可以使用并项法求和。如：1123456(1)n n +-+-+-+ +- 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A +=或 b a A +=2数列知识点归纳及
数列知识点归纳及例题分析
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