三视图和正多面体
1.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)
①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱
2.一个几何体的三视图如下图所示.则该几何体的体积为_____
3.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积是()
4. 空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为___________
5.总结棱长为1的正四面体,正六面体,正八面体的体积,表面积,内切球半径,外接球半径
6.欧拉公式: 正多面体面数F, 棱数E, 定点数V满足: V+F-E=2
以此写出所有正多面体种类(面数,棱数,)
专题七立体几何专题 三视图和球 一、知识清单 1.空间几何体的结构特征 注意区别:1.正三棱柱 2.正四面体 3.直棱柱 4.正棱柱 2. 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用________画法来画,基本规则是: (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直。 (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中______________________。平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中__________,平行于y轴的线段长度在直观图中_________________。 3.几何体的三视图 三视图包括_______________,____________,_________________. 三视图的长度特征,三视图中,正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽.即“长对正,宽相等,高平齐” 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 S圆柱侧=_____S圆锥侧=_____S圆台侧=__________ 5.空间几何体的表面积和体积公式
二、实例演练 1.【2017课标II ,文6】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( ) A.90π B.63π C.42π D.36π 【解析】由题意,该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱,故其体积为221 3634632 V πππ= ???+??=,故选B. 2.【2017北京,文6】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) (A )60 (B )30 (C )20 (D )10 试题分析:该几何体是三棱锥,如图: 图中红色线围成的几何体为所求几何体,该几何体的体积是 ,故选D. 3.【2018届四川省成都市龙泉第二中学高三10月月考】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D 故该几何体的表面积 4.【2017课标1,】某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ) A .10 B .12 C .14 D .16 5.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是( ) A .314 B .4 C .3 10 D .3 【解析】几何体如图,体积为:422 1 3=?,故选择B 11 5341032 V =????=3π4π24π+34π+1 222342 S πππ=? ?++?=+() ,
专题:空间几何体的结构及其三视图 高考中对空间几何体的三视图,主要考查同学们识图、画图的能力、空间想象能力以及运算求解能力等基本能力。因此,首先要熟练掌握三视图的概念和画图要求,其次要熟悉柱、锥、台、球各种基本几何体和它们组成的简单组合体,第三要熟练各种几何体的表面积、体积的计算公式和方法,最后要熟悉如下几种基本题型。 知识纵横 1、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。 2、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变; ②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行,长度为原来的一半。 直观图与原图面积之比为1: 3、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,' h 为斜高,l 为母线) ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 (3)柱体、锥体、台体的体积公式: V Sh =柱 1 3 V Sh =锥 (4)球体的表面积和体积公式:V 球=343 R π ; S 球面=24R π 考点剖析 一.明确要求 1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征,理解柱、锥、台、球的结构特征. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图,会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图或直观图,了解空间图形的不同表示形式. 4.能识别三视图所表示的空间几何体;理解三视图和直观图的联系,并能进行转化. 二.命题方向 1.三视图是新增加的内容,是高考的热点和重点,几乎年年考. 2.柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本节内容的重点,也是难点.
正方体中三视图还原技巧 一、找三棱锥 1、已知某几何体的三视图是三个全等且直角边长为1的等腰直角三角形(单位:cm)如图所示,则该几何体的 体积是 解:由几何体的三视图知,几何体如图所示的三棱锥, ∵几何体的三视图均为腰长为1的等腰直角三角形, ∴AB=BC=CD=1,且∠ABC=∠BCD=∠ABD=90°, ∴该几何体的表面积是 =1+ . 2、已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 选B.由三视图可知原几何体如图所示, 所以111111ABCD A B C D M A D N V V V --=-1166334410032 =??-????=. 3、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多 面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 解析 如图,设辅助正方体的棱长为4,三视图对应的多面体 为三棱锥A -BCD ,最长的棱为 AD =(42)2 +22 =6, 4、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是 某个四面体的三视图,则该四面体的表面积为 8+ 5、(周练题)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为 【解析】由三视图可知,该几何体是如图所示的三棱锥 (正方体的棱长为 , 是棱的中点),其体积为
二、寻找四棱锥 6、一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是 腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,则用____3____个 这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体. 7、如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为______. 【解析】由三视图可知,此多面体是一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥, = 8、(11.17周练) 三、寻找多面体 9、一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 【解析】由三视图得,在正方体1111ABCD A B C D -中,截去四面体111A A B D -,如图所示,,设正方体棱长为a ,则11133111326A A B D V a a -=?=,故剩余几何体体积为33315 66 a a a -=,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为5 1. A
龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/c216460637.html, 三视图易错点分析与反思 作者:耿丽丽 来源:《中学数学杂志(高中版)》2017年第02期 空间几何体的三视图是人教版高中数学必修二的内容,也是新课改后增添的新内容.它是 在初中学习过三视图的基础上,进一步培养学生作图、识图及运用图形解决几何问题的能力,需要学生有较强的空间想象能力及运算能力.对于这部分内容,学生实质上在初中已经接触过 一些简单几何体的三视图,并会画一些常见简单几何体的三视图,尤其是圆柱、圆锥、长方体、正方体的三视图.但是初中对几何体更多的是直观感知,而高中要求学生能从定性和定量 上对简单几何体进行研究.实际上,学生在做具体题目时却常常出错,这里对学生在三视图中 常犯的错误进行分析与反思. 1根据几何体识别三视图 例1如图1,多面体ABCD-EFG的底面ABCD为正方形,FC=GD=2EA,其俯视图如图2,则其正视图和侧视图正确的是(). 解析本题重点考查学生是否领会三视图的定义及内涵,在教学中应培养学生从空间几何体的整体入手,直观认识和理解三视图的本质.这个题学生容易犯的错误是选B,对三视图中 实、虚线的画法掌握不牢.在作三视图时,看得见的部分的轮廓画成实线,看不见部分的轮廓 画成虚线.注意BE,BG在平面CDGF上的投影为实线,且由已知长度关系确定投影位置,E 的投影点落在GD的中点上,排除A,C选项,观察B,D选项,侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影,所以BG,BF的投影为虚线,故选D. 例2已知正三棱锥V—ABC的主视图、俯视图如下图所示,其中,则该三棱锥的左视图 的面积为() A. 9 B. 6 C.33 D39. 解析本题重点考查正三棱锥的三视图及其面积运算,考查学生运用三视图的基本知识及空间想象、罗辑思维能力.对于正三棱锥V—ABC的三视图,学生比较常见,但不同的放置方法,却影响其三视图的形状.所以,要引导学生从主视图、俯视图入手,想象其左视图应为等 腰三角形(如上).由于俯视图是边长为23的等边三角形,所以根据三视图作图的原则:“长 对正,高平齐,宽相等”,可以得到左视图的三角形的底边也为23,欲求左视图的面积,关键在于求左视图对应三角形的高.而这却是学生容易出错的地方,因为学生很容易将正三棱锥V—ABC的侧棱长或侧高误以为是左视图对应三角形的高,实际上正三棱锥V—ABC的体高h 才是所要求的侧视图的高.利用勾股定理可得,底面正三角形的高为3,正三棱锥的体高,所 以左视图的面积 .故选B.
三视图是新课标与老教材相比新增的内容,每年各省市数学高考试题均会有所涉及,是一种常考常新,必考内容。题型多以选择题、填空题为主,涉及的空间几何体有柱、锥、台、球等简单几何体或由简单几何体通过组合、截取构成的多面体,多是求几何体的面积或体积。三视图考察了学生的识图、画图的能力、空间想象能力和逻辑运算能力。因此,首先要熟练掌握三视图的概念和画图要求,其次要熟悉柱、锥、台、球各种基本几何体和它们组成的简单组合体,第三要熟练各种几何体的表面积、体积的计算公式和方法,最后要熟悉各种基本题型。 一、知识点 1、几何体的三视图是指正视图、侧视图、俯视图。 2、三视图的画法: (1)在画三视图时重叠的线只画一条,被挡住的线要画成虚线。 (2)画三视图的基本原则:正视图和侧视图的高相等,俯视图和正视图长相等,侧视图和俯视图宽相等。 注意:解决三视图的有关原则:主(正)视图与左(侧)视图高平齐,主(正)视图与俯视图长对正,左(侧)视图与俯视图宽相等 二、简单多面体的三视图
三、题型归纳 1、已知空间几何体,能画和识别其三视图。 1.1已知柱、锥、台、球空间基本几何体,考查三视图的识别与画法。(2010广东理6)如图1,△ABC为正三角形,AA'//BB'//CC',CC'⊥平面ABC 且3AA'=3 2 BB'=CC'=AB,则多面体ABC-A'B'C'的正视图(也称主视图) 是( D ) 1.2.已知空间简单组合体,考查三视图的识别与画法。 (2010江西文9)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的左视图为( D) 2、已知空间几何体的三视图,还原空间几何体并能运用求其表面积和体积。 2.1.已知空间几何体的部分三视图,还原空间几何体,并识别三视图。(2011新课标理6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示则相应
正视图 侧视图 俯视图 第3题 三视图练习题 2013 1.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( ) A.283π- B.83π- C.π28- D.23 π 2.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( ) A .32 B.16+ 16+3.如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体的体积为( ) A .. 4 C . 4.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A .942π+ B.3618π+ C.9122π+ D.9182 π+ 5.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A. 48 B. 32+ 6.若某几何体的三视图(单位:cm )如图所示,则此几何体的体积是( ) A. 35233cm B.3203 3cm C.2243 3cm D.1603 3 cm 正视图 侧视图 俯视图 第4题 第5题 第1题 第2题 第6 题
7.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ) A.2 B.1 C. 23 D. 13 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.π816+ B. π88+ C. π1616+ D. π168+ 9. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( ) A.4 B.314 C.3 16 D.6 10. 某三棱锥的三视图如图所示,已知该三视图中正视图和俯视图均为边长为2的正三角形, 侧视图为如图所示的直角三角形,则该三棱锥的体积为( ) A .1 B .3 C .4 D .5 11. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( ) A B C D 12.某几何体的底面为正方形,其三视图如图所示,则该几何体的体积等于( ) A .1 B .2 C .3 第7题 第8题 第9题 第11题 俯视图 正视图 第12题
三视图与直观图(习题) 1. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 ____________. ④正四棱锥 ③棱台②圆锥①正方体 2. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( ) A . B . C . D . 3. 长方体的正视图、俯视图如图所示,则其侧视图面积为( ) A .3 B .4 C .12 D .16 143 4俯视图 正视图 4. 如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是等腰直角三角形,则 该几何体的体积为________. 俯视图 正视图 侧视图2 2 4422 5. 某几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图是完全相同的图形,则这 个几何体的体积为________. 俯视图 正视图 侧视图
1 1 1 1 3俯视图 正视图 侧视图 6. 某几何体的三视图如图所示,则其表面积为________. 俯视图 正视图 侧视图 第6题图 第7题图 7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是______. 8. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为( ) A .80 B .40 C . 803 D . 403 侧(左)视图 俯视图正(主)视图 9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A . 163 π B . 203 π C . 403 π D .5π 正视图 侧视图俯视图 54 24
俯视图侧视图 正视图 10. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为____. 1 俯视图 正视图 侧视图 11. 利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观 图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形.以上结论,正确的是( ) A .①② B .① C .③④ D .①②③④ 12. 如图,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形,则 原来图形的形状是( ) A . B . C . D . 13. 如图是一个正三棱柱的三视图,根据此几何体的三视图,画出该正三棱柱的 直观图,并求出该三棱柱的体积和表面积.
一、课题名称:三视图的绘制与尺寸标注 二、设计人:张怀莹 三、时间:一课时 四、教学方法: 讲解法,实践训练法,讨论分析法。 五、教学资源: 形体模型,绘图工具,简单的工程图样资料等 六、教学目标 1、知识与技能 (1)、掌握三视图的绘制原则,学会基本形体及简单几何体的三视图的绘制,学会规范作图的方法和技能。 (2)、掌握尺寸的分类,掌握基本形体及简单几何体的尺寸标注的方法与步骤 2、过程与方法 经历三视图的绘制过程,形成在设计活动中用技术语言表达设计意图的能力 3、情感态度与价值观 领略三视图绘制的重要性,体验技术语言的魅力,。亲历三视图绘制和尺寸的标注要严格规范,以此培养学生的严谨的态度 七、重点、难点 学会绘制简单的三视图、尺寸标注。 八、教学分析
1、学生分析 通过前面章节的学习及所学数学知识,高中学生能够较熟练地绘制(识读)平面图和正等轴测图,。教学可以从学生的现有知识和经验出发,按照直观感知、操作确认、思辩求证的认识过程展开,建构三视图的绘制、识读、尺寸标注等较完整的知识体系。 2、教材分析 这节内容重要的是让学生能掌握一种表达物体外部形状结构的方法——三视图,同时也要求能够正确标注一些简单的尺寸。 九、自主学习 1、基本几何体的三视图画法 正棱柱(如:三棱柱、四棱柱、六棱柱等),正棱锥(如:三棱锥、四棱锥等),回转体(圆柱、圆锥、圆台、球)的三视图。 2、基本几何体的三视图尺寸标注 正棱柱(如:三棱柱、四棱柱、六棱柱等)、正棱锥(如:三棱锥、四棱锥等)、回转体(圆柱、圆锥、圆台、球)的三视图尺寸标注。 3、简单形体三视图绘制的一般步骤: 4、简单形体三视图尺寸标注 (1)、尺寸的种类: (2)、标注尺寸的要求: (3)、简单形体三视图尺寸标注的方法与步骤:
立体几何专题(部分内容) 一.圆柱的截面 用一个平面去截(分三种情形:①用与圆柱的底面平行的平面去截;②用与圆柱的底面垂直的平面去截;③用与圆柱的底面不垂直的平面去截.),观察图1,很容易得出它们分别是:圆、长方形、椭圆. 图1 二.圆锥的截面 用一个平面去截一个圆锥体,圆、三角形、椭圆. 图2 三.球的截面 用一个平面去截一个球体 图3 四.三棱锥的截面 请同学们尝试用一个平面去截一个三棱锥,试判断所截得的平面图形是什么?观察图4 图4 五.正方体的截面(需补充两面截图)
补充:三视图或投影经典考题 公式: 空间几何体的表面积 棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和 圆柱的表面积 :2 22S rl r ππ=+ 圆锥的表面积:2S rl r ππ=+ 圆台的表面积:22 S rl r Rl R ππππ=+++ 球的表面积:24S R π= 扇形的面积公式2211 =36022 n R S lr r πα==扇形(其中l 表示弧长,r 表示半径,α表示弧度) 空间几何体的体积 柱体的体积 :V S h =?底 锥体的体积 :1 3 V S h = ?底 台体的体积 : 1 )3 V S S S S h =+ +?下 下上上( 球体的体积: 34 3 V R π=
空间几何体的三视图和直观图:正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图。 侧视图:光线从几何体的左边向右边正投影,得到的投影图。 俯视图:光线从几何体的上面向右边正投影,得到的投影图。 1、线线平行的判断: (1)、平行于同一直线的两直线平行。 (3)、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。(6)、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (12)、垂直于同一平面的两直线平行。 2、线线垂直的判断: (7)、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。(8)、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直。(10)、若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。 补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。 3、线面平行的判断: (2)、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 (5)、两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 判定定理: 性质定理: 4、线面垂直的判断: ⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⒃如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 判定定理:
三视图练习题大全 1、若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 2 1 1 2、一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是7260980 3一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图则该几何体的俯视图为: 4、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于...A .C ..6 5、图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm的几何体的三视图,则h= cm、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为。、如图,网格纸的小正方形的边长是1,则这个几何体的体积为。 1
2 9、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为. A.2?? B.?? C.?? 俯视图 正视图 侧视图 D.??3 正视图 侧视图 俯视图 10、上图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A.9π B.10π C.11π D.12π 11、已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是 A. 4000380003 cm B.cm C.2000cm3D.4000cm33 3
B.2π C.3π D.4π 12、一个几何体的三视图如上图所示,其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形,则这个几何体的侧面积为 A. 13 、如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积为 A.32π B.16π C .12π D. 8π 14、下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A.9π B.10π C.11π D.12π 15、右图是一个多面体的三视图,则其全面积为 正视图 侧视 俯视图 2 A B
以管窥豹——正四面体中的立体几何 摘要:越简单的东西,其基础性就越深刻,其内涵和外延的东西就越多。本文以正四面体为载体,研究高中立体几何怎么学,高考从什么角度考,题怎么解三大类问题。 关键词:正四面体立体几何数学解题 一、如何学 立体几何在高中数学各章中处于相对独立的位置,它以初中的代数学、平面几何学、三角学、逻辑学等学科的知识和方法为基础,这些知识难度并不大,也就是说立体几何的门槛和起点并不高。立体几何的研究对象是三维空间,通过对空间图形的各种位置关系的内在联系的学习,培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。同学们在这两种能力方面的起点是不同的,空间想象力来源于生活,每人都有或多或少。一般来说平时善于观察、喜欢动手、动脑、乐于主动体验、发现的同学,空间想象能力的基础要好一些(整体来说,男同学的空间想象能力比女同学要好一些)。逻辑思维能力在多年的学习过程中,尤其是在数学学习过程中,一直在培养和训练,它是一种理性思维。逻辑思维的基本形式是概念、判断、推理。在初中的平面几何中我们有深刻的体会。 针对立体几何本身的特点以及学生普遍的实际情况,我建议从以下两个方面尝试和努力。 1、擅用类比思维推理 从空间维度来看,立体几何是平面几何从二维到三维的一个延伸,因此学习平面几何学的一般方法和思维(如:观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理等)在立体几何中同样也适用,也就是可以从图形、公式定理、方法等几个方面进行类比。 (1)、类比的本源 从逻辑体系和研究方法来看,立体几何和平面几何都是以严格的公理体系为基础的。和平面几何公理化一样,刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形、进行逻辑推理的基础。 从研究对象和构成图形的基本元素来看,平面几何研究的是平面图形性质的科学,它的基本元素是点和直线;立体几何研究的是空间图形性质的科学,它以点、线、面为基本要素。 立体几何和平面几何的相同性和相似性,就是它们能够进行类比的本源。 (2)、类比的根据 立体几何和平面几何之所以能够进行类比,从整体上看,在于它们的逻辑体系结构、研究对象和方法、构成图形的基本元素是相同或相似的;从局部来看,它们的一些具体图形也具有相似性。 如四面体(锥)、四棱柱、棱台(圆台)在立体几何中的地位和三角形、四边形、梯形在平面几何中的地位是相当的。这是它们能够进行类比的具体根据,因此,为了将二者进行类比,关键在于寻找它们的相似图形,以便架设起由此及彼的类比桥梁。 (3)、类比的方法
三视图(一) 1(2011西城一模理12).一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的体积为_____. 2(2011西城一模文5).一个棱锥的三视图如图所示,则这 个棱锥的体积是 (A)6 (B)12 (C)24 (D)36 3.(2011朝阳一模理6)已知某个三棱锥的三视图如图所示, 其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是 等腰直角三角形,则此三棱锥的体积等于() (A ) 6 12 (B ) 3 3 (C ) 6 4 (D ) 23 3 4(2011门头沟一模理3).一几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是 (A) 2 (B) 4 3 (C) 3 1 2 +(D) 3 1 6 + 正(主)视图 俯视图 侧(左)视图 3 4 4 3 3 3 正(主)视图 俯视图 侧(左)视图 3 4 4 3 3 3 侧视图 正视图 1 俯视图 2 主视图左视图 1 1 1
A B C D O E A 1 B 1 C 1 D 1 5(2011石景山一模理4).一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示(单位:cm ),则这个几何体的体积是( ) A . 3 3cm B . 3 52cm C . 3 2cm D . 332 cm 6(2011朝阳一模文6.)已知三棱锥的三视图如图所示,其中侧视图为直角三角形, 俯视图为等腰直角三角形,则此三棱锥的体积等于( ) (A ) 2 3 (B )33 (C )223 (D )23 3 7(2011丰台文5).如图所示,O 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1对角线A 1C 与AC 1的交点,E 为棱BB 1的中点,则空间四边形OEC 1D 1在正方体各面上的正投影不可能...是( ) 8(2011海淀一模文11). 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点P 是上底面1111A B C D 内一动点,则三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为_____. (A) (B) (C) (D) 正视图 俯视图 侧视图 1 3 P D C B A 1 A 1 D 1 B 1 C 左视 主视
三视图 1.将长方体截去一个四棱锥后,得到的几何体的直观图如图所示,则该 几何体的俯视图为() 2.如图,甲、乙、丙是三个立体图形的三视图,与甲、乙、丙相对应的 标号是() ①长方体;②圆锥;③三棱锥;④圆柱. A.③①② B.①②③ C.③②④ D.④②③ 3.如图所示,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是() A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 4.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是() 15.一个几何体的三视图如右图,则组成该组合体的简单几何体为() A.圆柱与圆台 B.四棱柱与四棱台 C.圆柱与四棱台 D.四棱柱与圆台 5.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的三视图为() 6.将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的侧视图为() 7.如图所示为一个简单几何体的三视图,则其对应的几何体是() 8.某几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是() 9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是() 10.如果用□表示1个立方体,用表示2个立方体叠加,用■表示3个立方体叠 加,那么图中由7个立方体叠成的几何体,从正前方观察,可画出的平面图形是
() 11.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是() A. B. C. D.12.下列三视图所对应的直观图是() A. B. C. D.13.下面的三视图对应的物体是() A. B. C. D.14.如图是哪一个物体的三视图() A. B. C. D. 16.如图是一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直观图是()
三视图还原立体图 1.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积是() A.26 B.27 C.57 2 D.28 2.若正三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的表面积是 A. 3 B. 93 2 C. 63 + D. 623 +
3.如图,右边几何体的正视图和侧视图可能正确 ..的是 【答案】A 【解析】根据三视图的定义,可知正视图为一个正方形以及内部的一个三角形;侧视图和正视图一样,故答案为A. 4.如图是某几何体的三视图,其中正视图为正方形,俯视图是腰长为2的等腰直角三角形,则该几何体的体积是 6.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的全面积为 A. 104342++ B .102342++ C. 142342++ D. 正视图 侧视图 D. 正视图 侧视图 B. 正视图 侧视图 A. 正视图 侧视图 C.
144342++ 【答案】B 【解析】根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形,一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥 其中ABCD 是直角梯形,AB ⊥AD , AB=AD=2,BC=4,即 PA ⊥平面ABCD ,PA=2。且22CD =,, 22PD =,22PB =,,26PC =,底面梯形的面积为 (24)262+?=, 12222PAB S ?=??=,12222PAD S ?=??=,1224422 PBC S ?=??=,侧面三角形DPC 中的高22(22)(6)2DO =-=, 所以1 262232PDC S ?=??=,所以该几何体的总面积为 6222342102342++++=++,选B. 7.空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (A )8+25 (B )6+25 (C )8+23 (B )6+23
三视图 1?将长方体截去一个四棱锥后,得到的几何体的直观图如图所示,则该 几何体的俯视图为( ) 2?如图,甲、乙、丙是三个立体图形的三视图,与甲、乙、丙相对应的 标号是( ) ①长方体;②圆锥;③三棱锥;④圆柱? A .③①② B .①②③ C .③②④ D .④②③ 3?如图所示,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是 ( ) 4?某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是 ( ) 15. 一个几何体的三视图如右图,则组成该组合体的简单几何体为 ( ) A .圆柱与圆台 B .四棱柱与四棱台 C .圆柱与四棱台 D .四棱柱与圆台 5. 一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的三视图为 ( ) 6?将正方体(如图⑴所示)截去两个三棱锥,得到如图 ⑵所示的几何体,则该几何体的侧视图为 ( ) 7?如图所示为一个简单几何体的三视图,则其对应的几何体是 ( ) 8?某几何体的直观图如图所示,下列给出的四个俯视图中正确的是 ( ) 9?一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 ( ) 10. 如果用□表示1个立方体,用侈表示2个立方体叠加,用 ■^示3个立方体叠 加,那么图中由7个立方体叠成的几何体,从正前方观察,可画出的平面图形是 I A .①② B .①③ C . ①④ D .②④ L5 A.
11. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 12. 下列三视图所对应的直观图 是() 13.下面的三视图对应的物体是 14.如图是哪一个物体的三视图( 16. 如图是一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直观图是 C. B. C. D .
三视图 1.以下关于几何体的三视图的论述中,正确的是( ). A .球的三视图总是三个全等的圆 B .正方体的三视图总是三个全等的正方形 C .水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D .水平放置的圆台的俯视图是一个圆 2. 下列四个几何体中,几何体只有主视图和左视图相同的是( ) A .①② B .①③ C .①④ D .②④ 3.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如下图所示,则该几何体的左视图为( ). 4.如下图,某几何体的主视图与左视 图都是边长为1的正方形,且体积为1 2, 则该几何体的俯视图可能是( ). 5. 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )
正左 俯 6.如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为________. (6题) 7.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的(7题)尺寸(单位:cm),那么可得这个几何体的表面积是________体积是_______.8、某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是________. (8题)(9题) 9、如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为________. 10、某几何体的三视图如图所示,则它的体积是________. (10题)(11题) 11、若某几何体的三视图(单位: cm)如图所示,则此几何体的体积是________.12、如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为______.
(12题) (13题) 13、 在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( ) 14、设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为________. (14题) (15题) 15、一个几何体的三视图如图所示,这个几何体的体积是________. 16、球面上有四个点P 、A 、B 、C ,如果PA ,PB ,PC 两两互相垂直,且PA=PB=PC=a , 求这个球的表面积。
三视图”(第1课时)教学设计 教 学 目 标 知识技艺 1.会从投影角度深入了解视图的概念。 2.会画复杂几何体及复杂几何体组合的三视图。 数学思索 1.经过详细活动,积聚先生的观察、想象物体投影的阅历。2.经过观察、操作、猜想、讨论、协作等活动,使先生体会到三视图中位置及各局部之间大小的对应关系,积聚数学活动的阅历。 处置效果 会画实践生活中的复杂物体的三视图。 情感态度 1.培育先生自主学习与协作学习相结合的学习方式,使先生体会从生活中发现数学。 2.在运用数学处置生活中效果的进程中,品味成功的喜悦,激起先生运用数学的热情。 重点 1.从投影的角度加深对三视图概念的了解。
2.会画复杂几何体及其组合的三视图。 难点 1.对三视图概念了解的升华。 2.正确画出三棱柱的三视图和小零件的三视图。 教学流程布置 活动流程图 活动内容和目的 活动1 情形设计导入新课 活动2 构成知识引出定义 活动3 演示操作探求规律 活动4 运用实际处置效果 活动5 小结知识拓展升华 情形引入制造小零件,明白学习三视图的作用,并且明白正投影画视图的意义。 对长方体的六个面停止正投影,讨论比拟片面研讨几何体至少需求研讨几个不同的视图。引出三视图的概念,并让先生了解学习三视图的意义。 经过教员课件演示,先生协作探求,发现三视图位置关系及大小的对应关系。 采用多种方式学习和处置复杂几何体的三视图,并在此基础上最终处置实践生活中的模型〔小零件〕的三视图。 师生共同归结总结收获体会。
教学进程设计 效果与情形 师生行为 设计意图 〔活动1〕 1.情形引入制造小零件。 张徒弟是铸造厂的工人,明天我有事情拜托他,想让他给我制造一个如下图的小零件,我如何准确的通知他小零件的外形和规格? 2.给出视图的定义。 3.欣赏工程中的三视图。 4.引见视图的发生。 教员提问: 〔1〕如何准确的表达小零件的尺寸大小? 〔2〕除了用文字的言语,可不可以用图形的言语表示?〔3〕你们生活中见过三视图吗? 活动中教员应关注: 先生能否了解将平面图形分解成平面图形来表达的意义。明白学习三视图的作用,并且为明白正投影画视图的意义?经过引见视图的发生,使先生感遭到数学来源于生活,发生于实际。 〔活动2〕
空间几何体的结构、三视图和直观图 0806013 分别是棱AA , DD 1的中点,则直线EF 被球O 截得的线段长为( ) J d A 、 B 、1 2 「2 C 、1 —— 2 D 、 2 2、( 07安徽)半径为 1的球面上的四点A , B, C , D 是正四面体的顶点, 贝U A 与B 两点 间的球面距离为( ) 46 1 1 A 、arccos B 、arccos C 、 arccos - D 、 arccos - 3 3 3 4 3、( 07福建)顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCD ABCD 中,AB 1, AA A 、一 B 、 一、考题选析: 例1、( 07山东)下列几 何体各自的三视图中, 有且仅有两个视图相同 的是( ) A 、①② B 、①③C 、①④ D 、②④ 得这个几何体的体积是( ) A 、 E 、 4000 3 cm 3 8000 3 cm 3 3 C 、 2000cm 3 D 、 4000cm 3 例3、(07四川)设球 O 的半径是1, A 、B 、C 是球面上三点,已知A 到B 、C 两点的球面距离 都是一,且三面角B-OA-C 的大小为一,则从A 2 3 点沿球面经B 、C 两点再回到 A 点的最短距离是 () 、考题精练: (一)选择题: 1、( 07湖南)棱长为 1的正方体ABCD A|B 1C 1 D 1的8个顶点都在球 O 的表面上,E , F
则A C两点间的球面距离为() (二)填空是: 4、(07全国I 16)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正 三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为____________________ ; 5、(07安徽15)在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点, 这些几何形体是__________________ (写出所有正确结论的编号). ①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体; ④每个面都是等边三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体。
11. 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为_____. 13. 一个三棱柱被一个平面截去一部分,剩下的几何体的 三视图如图所示,则该几何体的体积为 ________________. (12)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的四 个面中,最大面积为________. 12 6 6.已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是 A. 3+ B. C. 1+ D.1+ 7. 如图,已知三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形,且∠ACB=90O,侧面P AB⊥底面ABC,AB=P A=PB=4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x,y,z分别是 (A ) 2 (B) 4,2, (C )2,2 (D ) 2, 正(主)视图 侧(左)视图 俯视图 1 1 2 侧视图 俯视图 侧视图B 侧视图
12.一个棱长为2的正方体,被一个平面截去一部分后,所得几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积为____. 5.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是( ) A .8B . C .10 D . 4.某正三棱锥的三视图如图所示,其中正(主) 视图是边长为2的正三角形,则该正三棱锥的侧面积是 (A )B ) 2 (C )D 22.已知三棱锥P ABC -的侧面PAC ⊥底面ABC ,侧棱PA AB ⊥ 且4PA PC AC AB ====.如图AB ?平面α,以直线AB 为轴旋转三棱锥,记该三棱锥在平面α上的俯视图面积为S , 则S 的最小值是,S 的最大值是. 23.已知点G F E 、、分别是正方体1111 ABCD A B C D - 的棱111DD CC AA 、、的中点,点P Q N M 、、、分别在 线段11B C BE AG DF 、、、上. 以P Q N M 、、、为顶点 的三棱锥P MNQ -的俯视图不可能是() 侧(左)视图 正(主)视图 俯视图 1 D D
三视图还原之俯视图拔高法 鳖臑:没有鳖臑就制作不出一桌满汉全席似的.下面看它的俯视图拔高法画出直观图; 画弧+连线 拔高 阳马:90 年代全国卷考过一道试题:四棱锥的四个侧面最多有几个直角三角形?嘿嘿,这就是考阳马那! 阳马就是底面为矩形而四个侧面都是直角三角形的四棱锥。 壍堵:正方体(长方体)沿着其对角面"一分为二"就得到两个壍堵. 例1:(2018?浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:)cm ,则该几何体的体积(单位:3)cm 是( ) A .2 B .4 C .6 D .8 A .1 B .2 C .3 D .4 秒杀秘籍:盖房子模型——俯视图拔高 一个例题模型的三视图核心——俯视图,代表着地基,三视图可以从俯视图开始,采用画弧、连线、拔高。 画弧:这个是根据工程制图的重要定理,就是俯视图和左视图可以通过90°弧线连接,找到相对应点; 连线:这就是确定各个位置,即主视图和俯视图的重垂线连接,主视图与左视图的水平线连接定位; 拔高:各点定位找好后,在俯视图上能拔高的直接立起来,俯视图转化成斜二测图形,并形成直观图。 画弧 连线 拔高 墙角体的俯视图拔高法:先画弧将俯视图与左视图连接,并将俯视图的三点用数字标记出来;接着将主视图和俯视图连接,发现数字1和2所在的这条重垂线可以拔高,在不知道确切能拔高的点之前,标记上问好,而数字3所在的中垂线看主视图,明显没有高度,不能拔高,标记上Χ;最后判别1和2,通过弧线可知2和3这条线可以拔高,故在2位置标记上〇,而1所在的弧线是不能拔高,故标记上Χ。最后画出直观的墙角体。
例3:(2015?安徽)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是() 去底座拔高法:主视图和左视图都有的矩形部分叫做底座,故可以在三视图还原时不予考虑,最后加上去这个底座,也就是一个长方体部分,需要注意的是矩形必须为实线。 例5:(2017?新课标Ⅰ)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ) A. 1 B. 1 C. 1 D.1