探索数学活动内涵 构建高效数学学习

探索数学活动内涵构建高效数学学习

摘要新课改倡导探究式学习，而数学活动是学生进行学习探究而获得数学知识的有效途径。本文以北师大版高年级数学为例，从探索数学活动内涵的角度入手，就如何构建高效的数学学习课堂进行探讨。

关键词数学活动；高效学习；探究；兴趣

如何在短短的一堂课中，让学生得到更多的收获，这就需要提高学生的学习效率。本文从小学生活泼好动的天性出发，结合数学活动的独特魅力，联系工作实践，谈谈自己的点滴体会。

一、创设数学竞赛活动，激发学生学习热情

小学生大多具有很强的好胜心，喜欢追求成功，体验竞赛带来的深刻的感受与体验。因此，教师在教学中，应该与学生爱玩好动和好胜心切等心理特点相结合，创设数学学习竞赛活动。譬如在教学“搭一搭”（北师大版小学六年级数学上册）时，引导学生找出被遮住的小立方块是本课重点和难点。于是，教师可以将学生分成若干个四人小组，每个学生准备小立方体，教师则准备大立方体，每小组准备了一张比赛记录纸。一是让学生观察小正方体搭成的立体图形，然后让学生想一想，分别从正面、侧面和上面看，各是什么形状。二是画一画，看哪个组画得又好又快。每个学生为了获得成功，都争先恐后地画了起来，然后小组讨论、修改。三是比一比、评一评。每个组都选派一名代表，展示各组的作品。在生生互动和师生互动的数学竞赛活动中，学生注意力更加集中，在这个过程中，每个小组的学生都积极调动起来了，思维被激活，兴趣高涨，这样的学习效果自然比平时要好许多，学习也就更加高效。

二、创设悬念性数学活动，点燃学生好奇心理

小学生大都具有一定的好奇心，因此，教师要善于创设悬念式的数学活动，以满足学生的好奇心理，从而提高学习效率，增强学习效果。如在教学《圆锥的体积》（北师大版数学六年级下册）时，一位教师是这样设计的：一是设置悬念式问题，导入新课。首先展示出一幅图，提出了一个问题：这个麦堆的体积是多少？大家都说不知道。此时，教师顺势引入课题，只要我们这堂课认真学习，就能够解决这个问题。这样悬念式地导入，让学生的好奇心一下子就被激发了。二是设置悬念式数学实验活动。让学生进行分组实验，有的学习小组采用等底等高的圆锥和圆柱模具，而有的组则使用的是非等底等高的圆柱和圆锥模具。通过实验，有的组能推导出了圆锥的体积公式，有的则没有推导出来。最后，通过大家一起对未推导出的原因进行分析，才发现原来是因为所使用的圆锥模具与圆柱模具并非是等底等高的。在这样悬念式的数学实验中，通过实际探究推导出的圆锥体积计算公式，比直接按课本设计进行实验，所留给学生的影响要深刻得多。

三、充分利用生活元素，用实用性吸纳学生

小学数学高效课堂教学模式

小学数学高效课堂教学模式 一、基本训练激趣导入（5分钟左右） 这一步是为学生先学打下基础，是学生进行“自学”前的准备阶段。对解决尝试问题的基础知识先进行准备练习，然后采用“以旧引新”的办法，从准备题过度过“尝试题”发挥旧知的“迁移”作用，为学生学习解决尝试题铺路搭桥。 这一环节可视教材内容的不同，采用不同的方式： 1、尝试题引路。（常用的） 2、创设一种有利于学生积极思维的教育情景。 总之在这一阶段，通过尝试题的引路或情景的创设，激发学生的求知欲望，让学生在迫切要求学习的心理状态下开始新的一课。 二、认准目标指导自学（5分钟左右） 认准目标，即把一堂课的学习目标准确地把握住，这既是对学生说的，也是对教师说的。教师和学生只有目标明确，方向才不会跑偏，才会集中精力攻主要问题，才会高效。目标的认定方式可灵活多样。既可课前重点认定，也可课中逐一认定。 出示尝试题后，学生转入自学，这里关键的是教师要根据学情出示相应的自学指导。让学生自学提示的引导下，更加有目的的自学。 在这个过程中，教师要深入到学生中间，了解自学情况，特别应关注学困生的自学指导。同时要对学习态度不端正，不守纪律的学生以正面引导。 三、合作学习引导发现（12分钟左右） 合作学习首先是“兵教兵”，学生在尝试的过程中，有了问题学生之间可以讨论、可以在课本范例中获得启示、也可以向老师请教，解决开始提出的尝试题，这也是学生自学后的第一次反馈。最后教师抓住普遍性的关键问题认真点拨，作最后的概括讲解，把新知纳入学生的知识系统。 四、变式训练反馈调节（8分钟左右） 这是第二次的集中反馈，学生经过了前面的自学，解决了尝试问题，还没有从本质上抓住问题的特征，有必要进行巩固。这一层次教师要通过变式题的训练使学生从本质上了解所学知识，从多角度掌握解题的方法从而达到训练学生的思维掌握解题技能技巧的目的。教师也可以从这次训练中发现前面没有解决的问题作进一步的明确。 五、分层测试效果回授（10分钟）

2018-2019年中考数学专题(1)规律探索问题(含答案)

第二篇专题能力突破 专题一规律探索问题 一、选择题 1．(原创题)观察下列图形， 它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形中的“★”有( ) A．57个B．60个C．63个D．85个 解析第1个图形有3个“★”，第2个图形有6＝2×3个“★”，第3个图形有9＝3×3个“★”，第4个图形有12＝4×3个“★”，…，第20个图形有20×3＝60个．故选B. 答案 B 2．(原创题)如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n＝( ) A．29 B．30 C．31 D．32 解析前n行的点数和可以表示成2＋4＋6＋…＋2n＝2(1＋2＋3＋…＋n)＝ 2×n（n＋1） 2 ＝n(n＋1)，从而得到一元二次方程n(n＋1)＝930，可以求出n

＝30.故选B. 答案 B 3．(原创题)符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： (1)f (1)＝2，f (2)＝4，f (3)＝6，…；(2)f ? ????12＝2，f ? ????13＝3，f ? ?? ??14＝4，…利用以上规律计算：f (2 014)－f ? ?? ??12 014等于 ( ) A ．2 013 B ．2 014 C.12 013 D.12 014 解析 根据题意，得f (2 014)－f ? ?? ??12 014＝2 014×2－2 014＝2 014.故选B. 答案 B 4．(原创题)观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，…按此规律第6个图形中共有点的个数是 ( ) A ．38 B ．46 C ．61 D ．64 解析 第1个图形中共有4个点， 第2个图形中共有10个点，比第1个图形中多了6个点； 第3个图形中共有19个点，比第2个图形中多了9个点；…，按此规律可知， 第4个图形比第3个图形中多12个点，所以第4个图形中共有12＋19＝31

北京版二年级下册数学教案 探索规律教学设计

（北京版）二年级数学下册教案 探索规律 教学要求： 1.知识与技能：通过观察，找到两个算式之间的联系与区别。 2.过程与方法：再通过计算，发现两个算式的积相等。从而引发学生的好奇心，激发学生探索规律的迫切欲望，体验数学活动充满着探索与创新。 3.情感、态度和价值观：使学生学习一些数学中的规律，激发对数学的喜爱，增强学习数学的兴趣。 教学重点： 寻找算式中的规律。 教学难点: 总结出规律，并会举例。 教学过程: 一、读一读，你有什么发现？ 1.上海自来水来自海上 2.34543 239676932 从左向右或从右向左读都一样。 具有这个特点的句子叫回文句，具有这个特点的数字叫回文数。 二、探索规律 1.读读下面的几个算式，你又有什么发现？（相同点和不同点） 相同点：两个算式中的数字都一样。 不同点：两个因数的位置交换了，每个因数首尾上的数字也交换了位置。 只读左右两个算式中的数字，你有什么感受？ 今天，我们来研究一下这类算式的规律。 先计算下面每题中的左、右两个小题，再在（）里填上“〉”、“<”或“=”。 （1）12×42= 24×21= 12×42（）24×21 （2）34×86= 68×43= 34×86（）68×43 （3）36×21= 12×63= 36×21（）12×63 2.独立计算思考，引导发现规律。 (1)通过以上的计算与比较，你有什么发现？

(2)这3组算式为什么分别相等， ①左边算式的第一个因数与右边算式的第一个因数的关系怎样？左右两个算式的第二个因数的关系又是怎样？（12扩大2倍是24，42缩小相同的2倍是21） ②再看竖式你有什么发现？（每层的乘积相等，比较为什么？） ③你从每个算式中的4个数字中能发现什么规律吗？（第1个数字乘第3个数字的积等于第2个数字乘第4个数字的积） 3.验证： 我们把每个因数都变成小数，这个规律是否成立？不计算你怎样验证？（验算a×c是否等于b ×d） （1）3.6×4.2（）2.4×6.3 （2）3.2×4.6（）6.4×2.3 （3）1.3×2.6（）6.2×3.1 4.这类题和表内乘法的哪些口诀有关？ 这类题和表内乘法中积相等的两句不同口诀有关。 追问想想：两句乘积相等的口诀有哪几组？ （1×4 2×2 ；1×6 2×3 ；1×8 2×4 ；1×9 3×3 ；2×6 3×4 ；2×8 4×4 ；2×9 3×6 ；4×6 3×8 ；4×9 6×6） 追问：这类题和表内乘法的这几组口诀有什么关系？ 追问：根据这几组口诀你能编出具有这种规律的题吗？计算并检验。 例如：1×6=6 2×3=6 12×63=36×21

小学二年级下册数学导学案 第三单元 探索规律

探索规律（一） 学习内容： 教科书第66~67页例1、例2及课堂活动。 学习目标： 1．联系生活实际，通过现实生活情景，让学生体验到事物内部或事物之间的联系，渗透辩证唯物主义思想。 2．通过活动，让学生经历探索规律的过程，激发探索规律的欲望，培养探索发现能力。 学习重点： 引导学生从具体事物中体验事物内部或事物之间是有规律的。 学习准备： 1．课件、题卡。 2．课前准备：各小组用几种颜色的花设计一个布置花台的方案，可选一种或几种颜色，让学生自由发挥。 3．回家收集爸爸或妈妈的年龄。 学习过程： 一、创设情景，激发兴趣 教师：“五一”节快到了，为了增添节日的喜庆，小朋友设计了布置花台的方案，现在就请各小组展示你们的设计，其他小朋友说说你发现了什么。 教师：小朋友的设计都挺棒，我们看得出来这些花的排列都很有规律。确实，生活中有规律的现象是很多的，你们愿意和老师一起来探索生活中的一些规律吗？（板书：探索规律） 二、探索新知，自主建构 1．教学例1 教师：小朋友喜欢旅行吗？假如“五一”到了，你和爸爸妈妈去旅游，从重庆出发，去大约300千米远的成都。 多媒体出示地图，动画演示出行的过程。 再在电脑上出示：

重庆到成都大约300千米 已行路程（千米）100剩下路程（千米） 教师：已行100千米，剩下多少千米？怎样填？ 将教科书例1出示 已行路程（千米）100150250 剩下路程（千米）200〖4〗100 让学生完成书上第66页例1填表，可独立填，也可讨论合作填。 学生展示自己填好的表格，并谈一谈自己的填法。 教师：根据自己填写的已行路程，你发现了什么？让学生自由汇报自己的发现。 教师：说得好，已行的路程不断增多，剩下的路程就不断减少。 2．教学例2 教师：小朋友旅行得真快，下面老师给小朋友讲一个笑话。 小明今年8岁，小华今年9岁。小华对小明说：“我比你大。”小明不服气地说：“有什么了不起。我明年满9岁，就和你一样大，后年就比你大了。” 教师：小朋友，你知道这是怎么回事吗？他们说的实际上是有关年龄的规律，下面我们探索年龄的规律。请小朋友将收集到的爸爸、妈妈和自己的年龄填在题卡上。今年5年后10年后（）年后父（母）（岁）学生（岁）相差（岁）（1）让学生分组讨论，这个表格怎样填，说说这样填表的道理，展示填的结果。 （2）观察所填表格，你发现了什么？ 教学例3 （1）动手操作，探索发现规律。 （2）课件出示例3。 教师：同学们，你们看这3个图都是由几个正方形摆成的？我们能用6个正方形依次摆出每一个图形吗？动手摆一摆吧！ 学生动手摆图，摆完后请一位同学在投影仪上摆，边摆边说是怎么摆的。 教师：观察这3个图，你有什么发现？ 学生可能说：

小学数学“自主、合作、探究”学习方式研究课题题

小学数学“自主、合作、探究”学习方式研究课题题 小学数学“自主、合作、探究”学习方式研究课题小学数 学“自主、合作、探究”学习方式研究课题 研究报告 一、课题背景 小组自主、合作、探究学习的实验是在促进学生主体性发展的思想指导下，在已有的研究成果的基础上提出的。随着新一轮基础教育课程改革的逐步深入，课堂教学的组织形式也在悄然发生变化。原来单一、被动的学习方式已被打破，出现了旨在充分调动、发挥学生主体性的多样化的学习方式，自主、合作、探究学习是新课程标准倡导的学习方式之一。小组自主、合作、探究学习学习实验假说是：根据学生的身心特点和认识规律，在现代学习理论和教学理论的指导下，在现行传统的集体教学形式的基础上，适当运用组间同质、组内异质的小组合作学习形式，使学生在课堂教学活动中得以充分合作和互助，不仅能提高学生的学 习主动性和学业成绩，同时还能促进他们社会适应性的发展，合作意识、技能的提高以及健康个性的养成和积极情感的发展。 二、课题的目的、意义 小组自主、合作、探究学习是在班级授课制背景上的一种教

学方式，即在承认课堂教学为基本教学组织形式的前提下，教师以学生学习小组为重要的教学组织手段，通过指导小组成员展开合作，发挥群体的积极功能，提高个体的学习动力和能力，达到完成特定的教学任务的目的。小组合作学习改变了在传统集体教学师生单维交流中，教师垄断整体课堂的信息源而学生处于十分被动的局面，学生的主动性、创造性也因此得以充分的发挥。 三、研究内容及目标： A、实验对象：所任学科 B、实验时间：2003年9月至今 C、实验目标 （1）教师目标：更新教育观念，自觉地进行教学改革的尝试，提高自己教育教学水平，与学生共同成长。 （2）学生目标： 一是培养学生具有自主性。即能主动动脑思考问题；有主见，不盲从；能根据情况做出决定。 二是培养学生具有合作性。即能虚心听取同学的意见，相互合作、取长补短。 三是培养学生具有探究性。即能在学习过程中不断发现问题并能主动进行探究。

小学数学高效课堂建设做法分析

小学数学高效课堂建设做法分析 摘要：随着素质教育在我国不断发展，这也促进教学方法与教学理念不断地进步，为了让小学生能够更好的学习数学，必须建立高效的数学课堂，来激发小学生对数学的学习兴趣，培养小学生自主学习的意识，从而提高教学质量。 关键词：小学数学；高效课堂；建设 引言：课堂教学依然是学生学习的主要阵地，小学数学高效课堂的建设，就应该采取有效的教学措施，减轻小学生的学习负担，提高教学质量。这样不仅可以使老师与学生感到轻松，还能让小学生在愉悦的课堂氛围中，充分的把握数学相关知识，为小学生以后的数学学习打下坚定的基础。因此，本文就构建高效的小学数学课堂提供几点措施。 １灵活运用教材，提高教学质量 １．１分清教材的难易知识点： 教材是每一位学生学习的基础，也是每一位老师讲课的参照依据。教材当中的知识点，必然会有难易之分，重点与非重点之分。小学数学教师在教学的过程中，首先要对教材的知识点有充分的认识，采取由易到难、循序渐进的方式，让学生一步一步的把握每个知识点，让小学生学习数学变得不再困难。例如，在二年级上册的两位数加减法的学习过程中，老师可以先为学生讲解“１０＋１０”、“２０－１０”之类的加减法，让学生充分认识到两位数加减法的特点时，然后在进行“１３＋１２”之类的讲解，让小学生有一个接受知识的过程［１］。 １．２将教材的知识前后结合： 数学是一门很深奥的学科，每一个知识点都有着关联，如果老师按部就班的把整本教材讲完，表面上是完成了教学任务，但是在讲完后面的知识的时候小学生有可能会把前面的知识忘掉，这样就造成了一种小学生学完整本教材却感觉什么都不会的现象。因此，老师应该充分的把教材的前、后知识相结合，让小学生对教材有个整体的把握，保证小学生使前后知识融会贯通。例如，在学习二年级上册的加减混合计算时，老师可以先让学生回顾一下前面加减法的学习，然后，让学生自己去做一些加减混合的题目，找出之间的相同点与不同点，这样不仅使学生对前面学习的知识得到巩固，还能为接下来的学习提供帮助，提高课堂效率。２优化教学方法，营造高效课堂 ２．１以学生为主体实施教学： 由于在应试教育的影响下，大部分课堂都是以老师为主体，整堂课就像由老师一个人在上课一样。在新课程改革的背景下，课堂要以学生为主体，让小学生真正的参与到学习中来，充分的发挥小学生的想象力和创造力。例如，在学习认识图形的时候，老师就可以把课堂留给学生，让学生结合自己身边的实物，来发掘对各种图形的认识，并说明为什么会是这种图形以及这种图形的特点，以此来调动学生的积极性，激发学生的学习兴趣，这样既可以提高小学生的数学水平，也可以有效的完成教学目标。 ２．２采用多媒体实施教学： 随着信息技术的发展，多媒体教学将有效的走进课堂，为小学高效课堂的建设提供了重要的教学方式。小学教师应该积极采用多媒体实施教学，利用多媒体的优势，来调动小学生的学习积极性，激发小学生学习数学的兴趣。比如，在四年级上册的第八单元的复习课中，由于空间图形的抽象性，老师很难将其表达出来，即使能够表达出来，但是小学生的思维能力还不足，无法充分的对知识点进行了解，这样就会让学生感到困惑，不利于课堂教学质量的提高。这时老师就可以采用多媒体实施教学，把空间图形形象的展现在屏幕上，让小学生一目了然，感受到数学图形的奇妙之处，使小学生对接下来的学习具有浓厚的兴趣，这样既可以提高小学生的思维能力，也有利于课堂效率的提高。 ３激发学生学习兴趣，培养学生自主学习 ３．１激发学生学习兴趣： 兴趣是最好的老师，如果小学生对某件事物具有高昂的兴趣，就会积极主动的探索。要想培养小学生对数学自主学习的能力，首先应该让小学生对数学知识产生兴趣，让他们对数学知识充满好奇［２］。例如，在学习时、分、秒的时候，老师可以根据教材的设计，并且结合实际，利用生活中的一些数学资源，将钟表带进课堂，这样能够使学生直观的观察每个指针的特点，先让学生对知识产生浓厚的兴趣。然后，老师可以继续提问学生：“秒针转一圈时分针转多少、时针转多少”等一些问题，小学生通过对这些问题的解答，既了解了钟表中时、分、秒的特点，也可以巩固除法的运算。通过这种方式的教学，可以使学生能够有效的结合生活实际来学习数学知识，有效的激发了学生的学习兴趣，在以后的学习生活

西师版小学四年级下册数学《探索规律》教案

探索规律 执教：罗天均 第一课时 教学内容：第26页例1，第27页课堂活动第1题和第28页练习六第1～3题。 教学目标： 1、经历探索寻找因数与积的变化规律的过程，理解因数与积的变化规律。 2、能利用探索出的因数与积的变化规律进行判断。 3、学习掌握探索规律的方法，发展学生探究与发现的能力。 教学重、难点：在探索规律的过程中，理解并掌握因数与积的变化规律。 教具准备：多媒体课件 教学过程： 一、引入新课 1、理解“扩大”和“缩小”的意思 教师：8扩大3倍用算式表示是：8×3。 20缩小2倍用算式表示是：20÷2。 9扩大5倍用算式表示是什么？15扩大4倍呢？ 55缩小5倍用算式表示是什么？60缩小10倍呢？ 学生列出算式并计算后，讨论：你怎样理解“扩大”和“缩小”？ 2、谈话引入新课

教师：同学们理解了“扩大”、“缩小”的含义。 今天我们就要用这些知识来学习探索规律。 二、探究新知 1、教学例1 课件出示例1，（将例1中的摘棉花改为收小麦：平均每天约收小麦3公顷，2天能收小麦多少公顷？4天、8天、24天呢？）学生口述例1中的条件和问题。 学生独立列式解决，全班汇报。 教师板书：（1）3×2＝6（公顷） (2)3×4＝12（公顷） (3)3×8＝24（公顷） (4)3×24＝72（公顷） 教师：认真观察这一组算式，你能发现什么？ 2、全班汇报并进行交流 教师：你是怎样观察的？发现了什么规律？ （1）从上往下观察，你发现了什么？谁能用一句话来概括这个规律？ （2）从下往上观察，你又发现了什么？谁能用一句话来概括这个规律？ 教师：刚才，我们一起发现了因数与积的变化规律，想一想，你能用自己的话把两个规律比较简练的叙述出来吗? 小结：一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也扩

探索端正学生学习数学的态度形成良好学习习惯的方法(同名42912)

探索端正学生学习数学的态度形成良好学习习惯的方法(同名42912)

《探索端正学生学习数学的态度 形成良好学习习惯的方法》 一、研究的背景和意义（500字） 1、新课改强调以人的发展为本，数学教学时不仅要关注知识与技能的掌握，还应关注如何掌握和获得知识的过程与方法，同时还要关注学生情感、态度、价值观的形成。要关注学生的发展，就必须关注学生在参与数学学习活动中，所表现出来的精神状态，在学习过程中是否获得了积极的情感体验。随着认知心理学的兴起和发展，心理学家对学习者的内在认知加工过程的认识逐渐深入，学习态度成为教育心理学的一个重要研究领域。 2、数学学习态度是影响学生数学学习效果的重要的非智力因素之一。新课改以来，我们关注学生学习方法和学习成绩的取得，而对良好学习态度的培养薄弱化了。致使我们的学生沾染了浮躁、怕吃苦、目标模糊、追求功利、做事 应付等坏习气。美国作家罗曼·文森特·皮尔的书《态度决定一切》，在美国最 畅销书排行榜上整整待了十年时间，从此“态度决定一切！”成为表达积极思维力量的一句口头禅传遍了全世界。它能迅速提高你对生活的感知，并帮助你确立和提升自己的人生定位。 3、如何从满足学生心理需要层次上充分调动学生的内在积极性，激发其学习兴趣，提高学习效率，如何转变讨厌数学学科学习的学生，对于数学教师来说，是十分重要的。 4、“一位高中生与母亲的对话，有道理：”令人反思：小学重态度，中学重品行，高中重品质，大学重成绩，将来重选择，不可颠倒，因为教育没有回头路可走。还有，老师家长的引导很重要，推动摇篮的手就是推动地球的手。 二、拟研究解决的问题（限200字以内） 1、改变学生沾染的浮躁、怕吃苦、目标模糊、追求功利、做事应付等坏习气。 2、改变学生消极被动或厌恶的数学学习心理倾向。 3、改变教师呆板、以传授为目的的教学方法。

打造小学数学高效课堂的几点做法(修改稿)

在实践中打造小学数学高效课堂的几点做法 省市肃州区泉湖乡泉湖小学红莲 邮编：735000 联系： [关键词] 高效课堂和谐评价学案导学教学反思达标测评 作为教师，追求“高效课堂”是一生理想的境界，是我们每个教师应思考和落实的首要问题，如何提高数学课常教学的高效性，打造适合自己的高效课堂，让数学课堂焕发生命的活力? 一、课题导向，提高效能。 首先，为寻求高效教学的策略和措施，在实践中我重视教学教研活动，以数学学科教研组为单位，和学科组成员随时随地进行交流、探讨。面对学习、实施中的困惑，我积极抓住各级各类教研单位提供的课堂观摩学习和教研教学成果展示，对口研讨课、常态课、达标课、探究课、展示课的机会，寻找课堂高效教学的办法。同时结合我校的“高效课堂实施方案”和自己的实际情况，制定出个人“高效课堂”达标活动的实施计划，进一步加强数学学科的高效教学。 第二，由于传统的教学方法严重束缚了学生主体能力的发挥。为了改变现状，优化课堂教学，提升教学质量，从2010年11月开始，我们借鉴洋思和杜郎口教学经验，根据我校教学实际和学区安排的研究课题，本人承担了《如何发挥兵教兵作用提高数学课堂教学效率》的子课题，我在课堂教学中采取了“兵教兵”的合作学习方式，实现了高效教学的达成，同时对高效课堂的实施有了明确的导向， 二、经验交流，提高效能。 为了相互交流和提升教师的教和学生学的高效，每学期分别举行两次教师

的教育教学经验交流和学生的学习方法交流。教师交流在实施高效课堂中的有效做法和遇到的困惑；优秀学生在全校经验交流大会上交流自己如何高效学习的方法，并适时进行“请进来，走出去”的班与班之间的交流，让“教师引导教师，教师引领学生，学生影响学生”。 三、和谐评价，提高效能。 （一）建立一种促进学生作出个人努力并且互助合作的良性制约评价机制。 （1）定期评价，采用比赛形式引入竞争机制，用《“兵教兵”“帮扶结对”情况分析表》这种记分的方法，以及《合作学习小组长周评比》，激发“兵教兵”的积极性。 （2）生生互评，师生互评，教师与教师互评，学科评价小组评价的多渠道评价。 （3）周周清、单元请、月检测的过程性和终结性评价相结合。 （4）学生自我评价，将自评变为自主参与、自我反省、自我教育、自我发展的过程；教师自我评价，进一步反思自己的课堂驾驭能力，调整自己的教学容和教学策略，以保证教学质量的稳步提高。 （二）创建和谐的师生评价——赢得情感支持。 评价方式主要体现三级评价： 自评、形成自我反思。互评、，促进和谐发展。他评。加强情感交流。 评价载体主要体现在： 1、对学生课堂上的评价。根据学生平时的表现评出：合作之星、参与之星、管理之星、创新之星等，每周获星之最发喜报，并将获得的星星按周次、课节、类别分别贴在如“星光闪耀——×××”（个人评价表）和“群星灿烂—

新课标下构建小学数学高效课堂初探

新课标下构建小学数学高效课堂初探 发表时间：2019-01-09T11:19:42.723Z 来源：《基础教育课程》2019年1月02期作者：陈文坚[导读] 追求课堂高效，是新课标对教师提出的要求之一。构建高效课堂，前提是教师必须转变理念，提升自身素质，彻底摒弃陈旧的课堂模式。从学生角度看，必须具备浓厚的学习兴趣，这也是教师的任务之一。 陈文坚（岑溪市梨木镇白护小学广西岑溪 543206） 摘要：追求课堂高效，是新课标对教师提出的要求之一。构建高效课堂，前提是教师必须转变理念，提升自身素质，彻底摒弃陈旧的课堂模式。从学生角度看，必须具备浓厚的学习兴趣，这也是教师的任务之一。教师要积极做好研究教材等工作，运用现有的教学设备，创建愉悦和谐的课堂氛围，培养学生良好的倾听习惯，并积极参与到课堂中来。师生共同配合，才能达到预定的教学效果。 关键词：新课标；高效课堂 中图分类号：G623.15 文献标识码：A 文章编号：1672-2051（2019）01-0195-01 要想提高小学数学课堂教学的效率，新课标的实施是否正常是唯一的检验标准。教师在日常教学当中要想切实提高课堂效率，就应当构建出一套在课堂中起到作用的教学方法。笔者总结了目标实施要经过的一系列流程，并在下文当中做了相关叙述，起到了一定的指导作用。 1、引导学生快速进入课堂，是高效课堂构建第一步 在教学当中，最重要的一点就是如何进行课程的导入。假若导入得正常有效，课堂教学的效率就会大大提升。教师应当将导入的内容设置为学生所感兴趣的内容，才能够激发学生参与到课堂教学当中的积极性。 首先，导入的内容应当是学生所感兴趣的内容。例如在数学课堂当中，教师要讲授字母与数的关系这一章节，为了活跃课堂气氛，可以首先教导学生学唱《数青蛙》这首儿歌，进而引入课堂教学相关的内容。让学生通过数青蛙的方式对数有一定的初步理解，提出二十只青蛙有多少张嘴的问题让学生思考。最后再导入本节课要讲授的中心内容；其次，可以通过课前布置自学任务的方式让学生提前了解本节课所要讲述的内容，在上课的时候学生才能快速进入学习状态，避免过长的课堂导入将学生的兴趣给磨灭了。例如，学习字母与数的关系的时候，教师可以通过给出一定的数据让学生猜测小明与父亲的年龄关系，或者将二者之一的年龄用字母表示出来，让学生列出二者年龄之间的关系式，最后得到小明与爸爸的确切年龄。 2、借助多媒体优势，加强课堂构建的效率 由于新课标的教学往往会采用传统教学没有采用的方式，因此学生对这种新教学方法的适应需要一定的时间。为了缩短这种适应时间，我们采取了多媒体教学的新兴手段。与传统的教学方法相比，能够在同样的时间内传达更大的信息量，因此教学效果也比以往要好。多媒体教学的优势就体现在此。假如教师仅仅依靠语言来吸引学生，能够学到的是有限的。而多媒体教学能够显著提升学生在课堂上的感官表现，进而能够达到满意的课堂教学效果。在多媒体系统的帮助下，教室只需要掌握电脑操作的相关知识，就能够灵活地将音频、视频信息传达给学生，进而完成自己的教学目标。在传统情况下，教师表述一个情况，往往需要学生自行开展联想，而多媒体系统能将学生思考的过程形象地表现出来。极大简化了吸收知识的过程，进而达到教学效率的最大化。有了多媒体教学系统的参与，学生的思维习惯能变得十分有条理，教师也不需要通过复杂的板书与口述来传达自己的教学思想。在课堂教学结束以后，根据学生的理解吸收情况来布置课后作业，以便巩固课堂内容，真正掌控学习到的知识。 小学多媒体教学的引入能够充分激发学生的学习积极性，并且多媒体教学系统快速形象的优点也能大大降低教师的教学压力，让教师花费更多的精力在提高教学效率上。而有了多媒体教学系统，形象新颖的教学模式也能激发学生的学习热情。所以说，实际教学应当加强重视有关多媒体教学系统的普及，用多媒体系统来辅助学生的学习，达到激发学习兴趣，提高教学效率的最终目的，这种教学方法实现了教师与学生的双赢，应当得到大力推广。 3、利用多元化方式加大其时代特征 当前的教学当中，应当以学生为教学的中心，切实提升教学效果。实际教学要以教师为主导，一改传统的填鸭式教学模式，充分发挥新课标教学具有的灵活性优势，用极大的灵活性来吸引学生。第一，应当重视实践的作用。在经过了课堂教学的铺垫以后，课外实践能够极大程度地巩固课堂教学的效果，有助于学生深化理解所学习的内容。由于新课标对学生的综合素质提出了全新要求，因此课外实践的重要性不言而喻。学校应当充分利用当地资源，在学校周边寻找能巩固校内学习的地点。教师应当反复联系实际，加深知识点在学生脑中的印象。有了多媒体教学的参与，教师突破了传统教学的局限性，直接略过了板书、讲述等死板的形式，极大地丰富了课堂教学，激发了学生的学习积极性，能收到较好的教学效果。由于这种教学在同等时间内传递了极大的信息量，并且形式丰富多彩，因此往往能让学生迅速记住重要的知识点。但是当前由于多媒体教学的出现，教师习惯于让多媒体教学完全代替传统教学，这也是不对的。多媒体教学的正确使用方法应当是与传统教学相辅相成，发挥各自的优势。 4、利用过程探究化强化课程构建的取向 首先，课堂教学的主人应当是学生。只有学生切身参与到课堂教学的过程中，才能切实提高课堂教学效率。学生应当充分发挥主观能动性，老师仅仅作为引导人出现，对学生施加感官刺激，由此来达到传播知识的目的。 其次，课后学生要善于总结。在国外教育学家的理论当中，学生只有在完全不了解的事物前才会表现出极大的求知欲，才会主动地去追求解决办法。而新课标下的教学就是这样，教师要做的是引导学生去挖掘知识之下所蕴含的东西，那些学生不了解的东西。在不断挖掘与发现的过程中，学生的技能水平、知识水平才能得到提升。 所以，在小学数学课堂教学当中，当前最重要的任务就是提高课堂教学效率。创造出更加高效、更加受学生欢迎的教学方法，通过多媒体技术、自学导航等方式，改变以往老套的教学手段，吸引学生参与到新课标教学当中来，才能达成新课标制定之初的目标。 参考文献 [1] 李盈.打造小学数学高效课堂的实践与探索[J].学周刊：A，2012（5） [2]刘艳萍.联系学生生活实际构建小学数学高效课堂[J].才智，2011（35）. [3]贾献红.如何构建小学数学高效课堂[J].中华少年（研究青少年教育），2013（12）

中考数学专题复习——规律探索(详细答案)

中考数学复习专题——规律探索 一.选择题 1. （2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，16…），在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（ ） A ．33 B ．301 C ．386 D ．571 2.（2018?山东烟台市?3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆 下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（ ） 3.（2018?山东济宁市?3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片， 适合填补图 中空白处的是（ ） A ． B ． B. C ． D ． 4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28 =256…， 则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．0 二、填空题 1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P （13， 3），P 2，P 3，…均在直线 y =﹣13 x+4 上．设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为 S 1，S 2，S 3，…，依据图形所反映的规律，S 2018

【教育资料】五年级数学教案：探索规律

【教育资料】五年级数学教案：探索规律 1、使学生结合具体情境，能正确计算按周期规律排列的某类物体或图形共有多少个。 2、使学生主动经历自主探索、合作交流的过程，体会计算方法解决问题的最优策略。 3、使学生在探索规律的过程中体会数学与日常生活的联系，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣和自信心 教学重点与难点： 引导学生采用计算的方法解决问题 教学准备： 多媒体课件 教学过程： 一、观察场景图，解决例2。 说说：兔子是怎样排列的？ 学生自主交流观察所得。 每3只兔为一组，每组中有1只灰兔、2只白兔

想想：18只兔子排成这样的几组？ 学生交流结果。 18只兔刚好排成这样的6组。 算算：18只兔中有几只灰兔，几只白兔？ 学生讨论，交流结果。 共有6组，每组有1只灰兔，2只白兔。 所以灰兔一共有6个1只，16=6（只） 白兔一共有6个2只，26=12（只）。 二、试一试 问题：如果有20只兔参加跳高，照这样排列，应该有几只白兔和几只黑兔？ 小组内讨论你是怎样想的。 一共有几组？余下几只？ 203=6（组）......2（只）

余下的2只是怎样排列的？ 按照1灰2白的顺序排列的，所以余下的2只为1只灰兔，1只白兔。 方法：203=6（组）......2（只）余下的2只为1只灰兔，1只白兔。 灰兔：16+1=7（只） 白兔：26+1=13（只） 所以20只兔里有13只白兔，7只灰兔。 三、练一练 第1题：棋子是按照什么规律摆放的？ （每4枚棋子一组，每组有3枚黑子，1枚白子。） 学生独立计算，交流结果。 264=6（组）......2（枚）余下的2枚为2枚黑子。 黑子：36+2=20（枚）

浅谈小学数学自主合作探究式学习方法

浅谈小学数学自主合作探究式学习方法小学数学教学中构建自主、合作、探究的学习方式，是实施素质教育，贯彻《数学课程标准》，全面培养小学生科学精神、创新意识和生存、生活实践能力，及终身学习的基础知识和基本能力与方法，也是实现数学现代性教育的行之有效的教学方法。 一、创设教学情境 1.从学生的生活实际出发，创设学习情境 新《数学课程标准》指出：“数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情景，引导学生通过实践，探索，交流来获得知识，形成技能，发展思维；数学教学过程应该是师生之间，学生之间交往互动与共同发展的过程。”教学应从学生熟悉的生活实际情境出发，加深对所学数学知识的认识和理解，从而以积极的心态投入到学习中。感觉数学就是生活，生活中无时无刻的不包含数学。如在教学“总结=数量乘以价格”的应用题这一课时，教师可以创设学生实际生活购物情境，利用了一张生活中处处可寻的学习用品来导入新课，把生活中的现象和日常生活中遇到的问题摆在学生面前，让其能观察生活，搜集信息，促使他们自主地去探索，感受到自己所学知识的价值。 接着出示例题： 每支铅笔5元，买5支铅笔需多少元？ 每个算术本0.5元，买7本需多少元？ 每个文具盒3元，买2文具盒需多少元？ 新的课程理念要求我们关照学生的生活世界，关注与学生相关的生活经验，使学生能够从实际问题中获得必要的感性认识，从自己的经验中亲身体验数学使有用的，将学习过程由简单，被动接受信息，变为在原有的知识，经验基础上自主学习，自我建构知识的过程。 2.通过让学生参与知识发现和探索的过程，创设情境 小学数学作为学科的教学，在课堂教学中虽然不能让学生完完全全地去重复人类所经历过的发现知识的过程，但可以适当地让他们参与知识发现和探索的过程。小学生年龄小，老师组织学生喜欢的游戏，不但有利于学生掌握和理解知识，而且有利于激发学生学习的主动性和创造性。 例如，教材《图形的认识》这一内容，教师可以依次出示实物由学生说出物体的名称。出示实物茶叶罐、魔方、球、书、磁带盒、皮鞋箱子、药盒子、弹力球等，先让学生观察物体的样子，通过观察让学生大胆尝试把“形状相同的物体”放在一起，“哪些形状是相同的？可以放在一起？”这样有利于充分暴露学生对这些物体形状的掌握水平，有利于教师把握

构建小学数学高效课堂教学模式

构建小学数学高效课堂教学模式 新一轮的课程改革下的数学教学倡导学生自主探索、合作交流与实践创新的数学学习方式，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验，数学教学是数学活动的教学，是师生交往、互动与共同发展的过程，学生是数学学习的主人，教师是学生数学学习的组织者、引导者和合作者。在新课改的不断普及和深入下，学生的学习行为和教师的教学行为都发生了重大转变构建高效课堂教学模式也是针对传统课堂教学模式的诸多弊端提出来的。传统课堂教学模式忽视了以学生发展为本位的教育理念。传统的课堂教学普遍存在着一种现象，即把学生当成被动接受知识的容器，认为学生是无知的，什么都不懂，一切都靠老师的讲解、灌注。于是，教师便从主观愿望出发，不管学生的实际情况如何，只是一味的利用课堂向学生生硬、机械的灌注现成的知识，学生只是消极的接受。其表现为教师讲学生听，教师演学生看，教师写学生抄，教师指定考试范围，学生死记硬背。只有教师的积极性，而无学生的积极性。 一、“高效课堂”教学模式的内涵与外延。 1、过程高效率。关注课堂时间的分配，教师的导控制在10分钟以内，学生学习活动要达到35分钟以上；充分利用和调动了小组学习，组织了当堂达标测评，严格按规定导学；注重学习方法指导，关注学习过程；充分调动了学生学习积极性，使全体学生都能够有效地投入到课堂学习活动之中，并有强烈的求知欲望。 2、方式高效力。能按要强求认真完成预习，做好了预习笔记；真正成为课堂的主体，在课堂上参与自主、合作学习人数达到100%；能围绕学习目标参与学习态度认真，习惯良好，乐于自主，善于合作，勤于探究，学习质量高；小组合作学习分工明确，“对学”“群学”充分，合作高效，共同达标；乐于交流展示学习成果，能到板前或聚焦处锻炼诵读、演讲、说理、评价、自信等能力，语言表达准确流畅，会倾听、欣赏，书写或演示规范；能按要求当堂完成达标检测。 3、模式高效能。课堂坚持以学生为中心，并关注了全体学生；依据“三步六段”导学模式撰写的导学案和上课，充分体现学生的自主、合作学习及自我管理；做到没经过学生认真自学的不讲解，没经过学生充分独立思考的不交流探究，没发现学生思维困惑点和障碍点的不讲解；导学过程和环节流畅；围绕“三维目标”能启发、善纠偏、真解惑，培养学生自主学习能力。 4、质量高效益。学生获得新知识的量和质达标，测评反馈“基础达标”100%，“能力提升”80%，“拓展延伸”70%；学生处于乐学、善问、会听、敢议、能评的学习状态，学生充满激情，思维活跃，自主学习能力得到提高，学生智商、情商同步得到发展；学生在学习中体验成功，并在学习中认识自我，建立自信心。 从学生角度来讲，高效课堂应具备以下两个条件：一是学生对三维教学目标的达成度要高。二是在实现这种目标达成度的过程中，学生应主动参与并积极思考。从这个角度来说，高效课堂就是学生主动学习、积极思考的课堂，是学生充分自主学习的课堂，是师生互动、生生互动的课堂，是学生对所学内容主动实现意义建构的课堂。从教师角度来说，高效课堂应具备以下三个条件：一是教师能够依据课程标准的要求和学生的实际情况，科学合理地确定课堂的三维教学目标。因为教学目标的预设与课堂的实际情况不可能完全吻合，这就需要教师在教学的过程中对教学目标作出适时调整，最大限度地面向全体学生，使其更好地体现教学目标的适切性。二是教学的过程必须是学生主动参与的过程。这种主动参与主要体现在教师能否采取灵活机动的教学策略调动学生学习的积极性，能否积极引导学生积极思维，能否给予学生更多的时间和机会进行必要的合作和展示，使全班学生分享彼此的学习成果。

六年级数学探索规律教案

3.5探索规律 教学目标 1．在对日历的探究的活动中，学习如何用字母代替数，学习如何用代数式表示规律，反映日历中数与数之间变化的奥秘，增强学数学的兴趣和信心。 2．通过观察日历，发现日历中横列、竖列的三个数以及3×3方框里九个数之间的关系，这个关系对不同月份是否也成立等问题，并对其进行分析、探究、验证。在这一实践活动中，经历学会用自己已有的经验和已有的数学知识去解决新的数学问题的过程。这个过程不是培养“学新知识”，而是“生长新知识”。 3．探索日历中数学规律的学习方式是在教师的引导下独立思考，小组共同探索解决一个又一个的问题。 教学重点：培养探索、创新的能力。 教学难点：探索日历中的数学规律。 教学过程 一、创设情境1。 引导学生观察日历，启发他们用自己已有的知识和生活经验探索日历中三个相邻日期数的关系和变化规律。 展示2005年某一个月的日历图片。老师提问：“日历中相邻三个日期数的关系和变化规律是什么？”然后依次用多媒体显示横列、竖列、对角线上三个相邻日期数。最后总结出结论。 1．横列三个相邻的日期数。 规律一：后者比前者多1。 【不急于将规律告诉学生，让学生亲自进行这一探索，给学生留出一定的空间，让学生去发现、认识、归纳出这一规律。】 2．竖列三个相邻的日期数。 规律二：下者比上者多7。

【同上。】 3．右对角线上相邻的日期数。 规律三：下一个比上一个多8。 【同上。】 4．左对角线上相邻的日期数。 规律四：下一个比上一个多6。 【同上。】 提出问题： (1)一个数列上三个数之间有什么相等关系。(用多媒体再次显示这样的三个数。) (2)能用数学符号表示出这个规律吗？(探索出规律五。) 规律五：无论位置怎样的相邻三个数，中间的数是其余两个数的平均数。 应用规律填空：当知道方框中的一个a时，请填上其余空格中的日期数。 (电脑依次闪烁一个a。) 【字母所在位置不同，其余两数列式也不同。从中让学生学会文字语言与数学语言的互化。】 二、创设情境2。 电脑显示日历，组织学生四人小组做猜日期游戏。 教师给出四个方框，每个方框共有九个日期，请组长在方框中任意填出一个日期数，叫其余同伴猜出另外的几个日期数，并说明理由。最后一个方框中每一个日期都猜出了吗？为什么？

数学教学的探索过程

数学教学的探索过程 数学是一门内容较为抽象的学科，它是人们对客观定性把握和定量刻画、逐渐抽象、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在新的数学课程标准中明确规定：“数学课程其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应该遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。 新理念强调学生在活动中学习，通过学生的主动参与，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识与推理能力，新的数学课程标准废除了学科中心论，确立了数学教育应面向全体学生，体现数学教学的基础性、普及性和发展性；重视数学与学生生活、自然和社会的联系；体现了数学学习活动的过程性特点；尊重学生的个体差异，倡导自主性学习和探究性学习。要激发学生的学习兴趣，就必须创设良好的教学情境。学生学习数学兴趣的形成,需要老师在教学过程中,创设生动有趣的情境,组织学生参与学习活动.提高学生的学习兴趣,因为学生的数学学习不应只是简单的概念、法则、公式的掌握和熟练的过程，应该具有探索性和思考性，教师要鼓励学生用自己的方法去探索问题和思考问题。为此我们应该做到以下几点： 一、狠抓“三基”训练，创造探究条件 有扎实而宽厚的基础知识以及熟练的基本方法，基本技能是形成创新探究能力的基础，学生熟练掌握基础知识，当思维量达到一定程度时，才能进行探究，出现探究成果，因此，在数学教学中，必须狠抓“三基”（基础知识基本技能基本的数学思想方式）让学生领会和接受前人的思维成果思维方法，为学生探究性学习创造良好的条件。 二、引入生活化的学习情境，激发学生的学习兴趣 学习兴趣是学生思考研究问题的内在动力，它能促进学生积极探索、大胆猜想、并能更好地推动学生独立、积极地深入探索问题。《课标》指出：数学课程“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学

中考数学专题 规律探索题

1 规律探索 类型一 数式规律 1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为1 4尺，…，第n 天折断一半后 得到的木棍长应为________尺． 12n 2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________． 第2题图 41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝ n （n ＋1） 2 ，∴第8行最后一个数为 8×9 2 ＝36＝6，则第9行从左至右第5个数是36＋5 ＝41. 3. 观察下列关于自然数的式子：

2 第一个式子：4×12－12 ① 第二个式子：4×22－32 ② 第三个式子：4×32－52 ③ … 根据上述规律，则第2019个式子的值是______． 8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075. 4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1 n (n 为正整数)顺次排成一列： 1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝1 2，…，S 1 ＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________． 63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的和为1，3个1 3的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第 2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3× 1 64＝633 64 .